分式的基本性质 优秀课件
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分式的基本性质ppt
应用场景
分式不等式在解决实际问题中非常有用，例如最大值和最小值问题，优化问题 等。
分式与几何知识的结合应用
分式与面积的关系
在几何学中，分式经常用于表示面积的比例关系。例如，在相似三 角形中，边长的比例与对应高线的比例成反比。
分式与体积的关系
在三维几何中，分式可以用来表示体积的比例关系。例如，在圆柱 体中，高与底面积的比例等于体积的比例。
路程问题等，需要使用到约分和通分的技巧。
04
分式的化简与求值
分式的化简方法
01
约分法
通过找出分子和分母的公因式，将 其约去，简化分式。
分子分母同除法
将分子和分母同时除以同一个非零 数，简化分式。
03
02
分子分母分解法
将分子和分母分解为因式，然后约 去公因式，简化分式。
分子分母同乘法
将分子和分母同时乘以同一个非零 数，简化分式。
02
分式的基本性质
分子与分母的运算性质
分子分母同乘除
分式的分子和分母可以同时乘以或除以同一个非零实 数，分式的值不变。
分子分母同加减
分式的分子和分母可以同时加上或减去同一个数，分 式的值不变。
分子分母同倍数
分式的分子和分母可以同时乘以同一个正整数，分式 的值不变。
分式的加减法性质
同分母分式相加减
应用场景
分式在几何学中的应用非常广泛，例如相似性、比例、面积和体积的 计算等。
THANKS
感谢观看
分数的表示方法
1 2
分数
分数是一种特殊的分式，其分母为1。分数可以 用普通的小数表示，例如1/2可以表示为0.5。
混合数
混合数是一种分数，其分子和分母都是整数。例 如，3/4可以表示为3/4，也可以表示为0.75。
分式的基本性质ppt课件
【知识技能类作业】
选做题：
0.4x＋2
5.不改变分式的值，把分式
中分子、分母各项的系数化成
4x＋20
0.5x－1
整数为_5__x_－__1_0_．
课堂练习
x 2－8x y＋16y2
6.分式
约分后的结果为( B )
x 2－16y 2
x ＋4y
x－4y
x ＋4y
A．
B．
C．
D．－8x y
x －4y
x＋4y
4y
课堂练习
【综合实践类作业】
7.先化简，再求值：
（1）x
2
- 4xy 4 (x -2y)3
y2，其中x=
-2
，y
=
3
.
（2）a2 ab
-93bb22，其中a=
-4
，b=
2.
课堂练习
【综合实践类作业】
解：（1）x2
- 4xy 4y (x - 2y)3
2
(x - 2y)2 (x - 2y)3
1， x - 2y
（2） x
2
x2 -9 6x
9
解：（1）-1255aa2bb2cc3
- 5abc 5ac2 5abc 3b
- 5ac2 3b
（2） x
2
x2 -9 6x
9
(x 3)(x -3) (x 3)2
x -3 x 3
新知讲解
【总结归纳】 分式的约分的一般方法： （1）若分式的分子、分母都是单项式，就直接约去分子、分母的公 因式，即分子、分母系数的最大公约数和分子、分母中的相同字母的 最低次幂的乘积； （2）若分式的分子或分母含有多项式，应先分解因式，再确定公因 式并约去.
分式的基本性质课件
分式的基本性质课件
目录
• 分式的定义与分类 • 分式的基本性质 • 分式的约分与通分 • 分式的运算性质 • 分式在实际生活中的应用
01 分式的定义与分类
分式的定义
分数形式的表示
分式是形如A/B（其中A和B都是 整式，并且B中含有字母）的数学 表达式，表示为分数形式。
分数形式的特性
分式具有分数形式的特性，如分 子、分母、分数线等。
04 分式的运算性质
分式的加减法运算
相同分母分式的加减法
相同分母的分式可以直接进行加减运 算，分母不变，分子进行相应的加减 运算。
不同分母分式的加减法
不同分母的分式需要先通分，再进行 加减运算。通分后，分母变为两个分 母的最小公倍数，分子进行相应的加 减运算。
分式的乘除法运算
分式的乘法
两个分式相乘，直接将分子相乘作为新的分子，分母相乘作为新的分母。
分子分母同号性质
分子分母同号，分式值为正
如果分子和分母同为正数或同为负数，则分式的值为正。
分子分母异号，分式值为负
如果分子和分母异号，则分式的值为负。
分子分母异号性质
分式值为负
当分子和分母异号时，分式的值一定是负数。
分子分母同号时，分式值为正
当分子和分母同号时，分式的值一定是正数。
分子分母同倍性质
05 分式在实际生活中的应用
分数在生活中的应用
日常生活中的分数
在日常生活中，我们经常遇到与 分数有关的问题。例如，在食品 包装上，我们经常看到分数的标 注，表示食品的营养成分或成分
比例。
金融领域中的分数
在金融领域中，分数的应用也非 常广泛。例如，在股票交易中， 我们经常听到“五五开”的说法 ，这实际上就是将股票分成五份
目录
• 分式的定义与分类 • 分式的基本性质 • 分式的约分与通分 • 分式的运算性质 • 分式在实际生活中的应用
01 分式的定义与分类
分式的定义
分数形式的表示
分式是形如A/B（其中A和B都是 整式，并且B中含有字母）的数学 表达式，表示为分数形式。
分数形式的特性
分式具有分数形式的特性，如分 子、分母、分数线等。
04 分式的运算性质
分式的加减法运算
相同分母分式的加减法
相同分母的分式可以直接进行加减运 算，分母不变，分子进行相应的加减 运算。
不同分母分式的加减法
不同分母的分式需要先通分，再进行 加减运算。通分后，分母变为两个分 母的最小公倍数，分子进行相应的加 减运算。
分式的乘除法运算
分式的乘法
两个分式相乘，直接将分子相乘作为新的分子，分母相乘作为新的分母。
分子分母同号性质
分子分母同号，分式值为正
如果分子和分母同为正数或同为负数，则分式的值为正。
分子分母异号，分式值为负
如果分子和分母异号，则分式的值为负。
分子分母异号性质
分式值为负
当分子和分母异号时，分式的值一定是负数。
分子分母同号时，分式值为正
当分子和分母同号时，分式的值一定是正数。
分子分母同倍性质
05 分式在实际生活中的应用
分数在生活中的应用
日常生活中的分数
在日常生活中，我们经常遇到与 分数有关的问题。例如，在食品 包装上，我们经常看到分数的标 注，表示食品的营养成分或成分
比例。
金融领域中的分数
在金融领域中，分数的应用也非 常广泛。例如，在股票交易中， 我们经常听到“五五开”的说法 ，这实际上就是将股票分成五份
《分式的基本性质》PPT课件
2x 1
范围是（ ）
【解析】选D.使分式 x有意义的条件是：2x-1≠0,
2x 1
解得 x 1 2
3.（淮安·中考）当x=
时,分式 1 无意义．
x3
【解析】当x=3时，分式的分母为0，分式无意义.
答案：3
（2）
x2 3x 1 x2 3x 1
.
2 x2
x2 2
【跟踪训练】
不改变分式的值，使下列分子与分母都不含“-”号:
(1)
2x 5y
,
(2)
3a 7b
,
(3)
10m 3n
解析:
(1)
2x 5y
,
(2)
3a 7b
,
(3)
10m 3n
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.分式的概念： 形如 A (A、B是整式,且B中含有字母,B≠0)的
B 式子，叫做分式.
2.分式的基本性质：
分式的分子与分母都乘（或除以)同一个不）若分式 1 有意义，则实数x的取值范围 x5
是_______．
解析：由于分式的分母不能为0，x－5在分母上，因此x－ 5≠0，解得x≠5． 答案： x≠5．
2.（东阳·中考）使分式 x 有意义，则x的取值
n
180
,
b ax
.
它们有什么共同特征？类似分数 ,分母中都有字母.
它们与整式有什么不同？ 整式的分母中不含有字母.
2.什么叫分式? 且B中如含果有把字除母法时算，式我A÷们B把写代成数AB式的形AB 叫式做，分其式中，A、其B中都A是叫整做式分,
式的分子，B叫做分式的分母.
【例 题】
例1 下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
范围是（ ）
【解析】选D.使分式 x有意义的条件是：2x-1≠0,
2x 1
解得 x 1 2
3.（淮安·中考）当x=
时,分式 1 无意义．
x3
【解析】当x=3时，分式的分母为0，分式无意义.
答案：3
（2）
x2 3x 1 x2 3x 1
.
2 x2
x2 2
【跟踪训练】
不改变分式的值，使下列分子与分母都不含“-”号:
(1)
2x 5y
,
(2)
3a 7b
,
(3)
10m 3n
解析:
(1)
2x 5y
,
(2)
3a 7b
,
(3)
10m 3n
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.分式的概念： 形如 A (A、B是整式,且B中含有字母,B≠0)的
B 式子，叫做分式.
2.分式的基本性质：
分式的分子与分母都乘（或除以)同一个不）若分式 1 有意义，则实数x的取值范围 x5
是_______．
解析：由于分式的分母不能为0，x－5在分母上，因此x－ 5≠0，解得x≠5． 答案： x≠5．
2.（东阳·中考）使分式 x 有意义，则x的取值
n
180
,
b ax
.
它们有什么共同特征？类似分数 ,分母中都有字母.
它们与整式有什么不同？ 整式的分母中不含有字母.
2.什么叫分式? 且B中如含果有把字除母法时算，式我A÷们B把写代成数AB式的形AB 叫式做，分其式中，A、其B中都A是叫整做式分,
式的分子，B叫做分式的分母.
【例 题】
例1 下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
【最新】华师大版八年级数学下册第十六章《分式的基本性质》优质公开课课件.ppt
解：a－b＝
a2－b2
，a－b＝ a2－b2
【综合运用】 21.(10 分)已知 x2＋4y2＝4xy，求x＋x2y的值．
解：由已知得(x－2y)2＝0，∵x＝2y，∴x＋x2y＝2
• 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2021/1/122021/1/12Tuesday, January 12, 2021
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
3．通分：把几个异分母的分式分别化为与原来的 分式相等的____同_分__母__的分式．通分的关键是确 定几个分式的____公__分__母__，通常取各分母所有因 式的最高次幂的积作为____公__分__母__(叫做最简公 分母)．
分式的基本性质
1.(4 分)根据分式的基本性质，在括号里填上适当的整式：
式的值( C )
A.不变
B.扩大为原来的 3 倍
C.缩小为原来的13 D.扩大为原来的 9 倍
13.下列分式中最简分式是( C )
a－b a3＋a A.b－a B. 4a2
分式ppt课件
一元二次分式方程的解法
定义
一元二次分式方程是只含有一个 未知数，且未知数的次数为2的
分式方程。
解法
通过去分母、移项、合并同类项 等步骤，将分式方程转化为整式
方程，然后求解。
注意事项
在去分母时，要注意分母不能为 0的情况。
多元一次分式方程的解法
定义
多元一次分式方程是含有多个未知数，且未知数的次数为1的分式 方程。
05
分式的注意事项与易错点
Chapter
约分时需要注意的事项
约分的前提
约分前需要确定分子和分母有公因式，且公因式不为0。
约分的步骤
先找出分子和分母的最大公因式，然后将其约去。
约分的注意事项
约分时要注意不要约去不合适的公因式，导致分式失去意义。
通分时需要注意的事项
通分的定义
通分是将两个或多个分数的分母统一的过程。
解法
通过消元法或代入法，将分式方程转化为整式方程，然后求解。
注意事项
在消元或代入过程中，要注意分母不能为0的情况。
04
分式在实际生活中的应用
Chapter
物理中的应用
速度与加速度
在物理中，速度和加速度的公式可以表示为分式 形式，用于描述物体的运动状态和变化。
热量传导
热量传导的公式中，时间、物体的质量和比热容 之间的关系也可以用分式表示。
约分
约分定义
将一个分数的分子和分母进行因 式分解，然后找出公共因子进行
约简。
约分步骤
1. 将分子和分母分别进行因式分解 ；2. 找出分子和分母的公共因子； 3. 约去公共因子得到最简分数。
注意事项
约分时要注意分子和分母的符号， 确保约简后的分数与原分数相等。
分式的基本性质课件
分式的加减乘除实例
例如，计算分式1/3 + 2/3、2/5 - 1/5、3/4 × 2/3、4/7 ÷ 2/5等。
分式的大小比较实例
例如，比较分式1/3和1/4的大小，或者比较 分式2/5和3/7的大小。
练习与评估
分式的基本题型练习
练习简化分式、计算分式的加减乘除、比较分式的大小等各种基本题型。
分式的思考题
分式的基本性质ppt课件
本课件介绍分式的基本性质，包括分式的定义、组成部分、分类以及约分与 通分、加减乘除法、倒数与相反数、比较大小等基本性质。
概述
分式的定义
分式是数学中的一种表示 形式，由分子和分母组成， 用于表示一种比值或比例 关系。
分式的组成部分
分式由分子和分母两个部 分组成，分子表示除号上 面的数，分母表示除号下 面的数。
分式在数学中的应用
分式在数学中有着广泛的应用， 包括比例问题、面积和体积计 算、金融数学等领域。
分式的分类
分式可以分为真分数、假 分数和带分数三种类型， 根据分子和分母的大小关 系进行分类。
分式的基本性质
1
分式的加减乘除法
2
分式可以进行加减乘除运算，按照运
算规则对分子和分母进行相应的操作。
3
分式的比较大小
4
可以通过通分和交叉相乘的方法比较 分式的大小关系，找出较大或较小的
分式。
分式的பைடு நூலகம்分与通分
思考分式在实际问题中的应用，如何利用分式解决实际生活中的计算和比较问题。
总结
分式的基本性质概述
通过本课件的学习，我们已经 了解了分式的基本定义、组成 部分、分类以及约分、通分、 加减乘除、倒数和相反数、比 较大小等基本性质。
《分式的基本性质》PPT教学课件
∴当v=30时，顺水而下所 ∴当v=30，s=600时，逆水
需时间为12小时.
而上所需时间为60小时
学以致用1
仿照例1求下列分式的值
(1) x 3 , 2x 3
其中 x 5
(2) x 3y , yx
其中 x 4, y 2
x 3 当
时,你还能求出分式 x 6 的值吗？为什么？
2x 6
回顾 ：一个分数在什么时候无意义？在什么时候有意义？
10.某班共a名学生参加植树活动，其中男生 b名．
如果只由男生完成，每人需植树5颗，那么由女生
完成时，女生每人需植树 棵。当a=44，b=24时，
女生每人需植树 棵.
根据题意会列分式
会求分式的值
三个 条件
分式无意义的条件 分式有意义的条件 分式的值为零的条件
分母等于零 分母不等于零
分子等于零且分母不等于零
达标检测
1、在下面四个有理式中,分式为( )
A.
2
x 7
5
1
B. 3x
x8
C. 8
D.
2.下列各式： 3
, 7 , a b， 1
x y x2 1
，
，
，是分式的有（
例1：在情景导航3中，如果 V=30 ，S=600，分别
求出客船顺水而下 600 与逆水而上 s 所需航行的
时间？
v 20
v 20
解：当v=30时，
当v=30，s=600时，
当
600 v 20
s v 20
抄
600 = 30 20
600 = 30 20
代
算
= 12（小时）
= 60（小时）
学以致用2
《分式的基本性质》课件
将结果验证为方程的解，
个无分式的方程。
程，找到未知变量的值。
确保它满足原始方程。
分式的简化与取消
1
简化
将分式的分子和分母的公因数约分，以最简形式表示。
2
取消
删除分式的分子和分母的公因式，以取消分式的形式表示。
3
例子
例如，将16/24简化为2/3，将4/8取消为1/2。
分式的加法与减法
1
共同分母
加减法只适用于具有相同分母的分式。
找到分式的公共分母
2
如果两个分式的分母不同，需要将它们转
果简化为最简形式。
分式的化简与约分
1
化简分式
2
约分分式
3
化简和约分的例子
通过将分子和分母简化为
通过将分式的分子和分母
例如，将8/12化简为2/3，
最简形式来化简分式。
除以它们的最大公约数来
将15/20约分为3/4。
约分分式。
解分式方程
1
步骤1
2
步骤2
3
步骤3
将方程中的分式转换为一
通过使用代数运算解决方
分式的总体数量。
3
分式的例子
例如：1/2、3/4、x/y等都是分式的例子。
分式的基本形式
1
基础形式
分式通常以a/b的形式表示，其中"a"是分子，"b"是分母。
2
整数形式
当分母为1时，分式可以简化为整数形式，例如：5/1可以简化为5。
3
带分数形式
当分子大于或等于分母时，分式可以表示为带分数形式，例如：7/4可以表示为1 3/4。
《分式的基本性质》PPT
课件
分式的基本性质ppt课件
解
x2 -2xy+ x2 - y2
y2
=(
x
( +
x- y)2 y)( x -
y)
=
xx+
y y
.
当x=5， y=3时，
x- y x+ y
=
5- 3 5+3
=
2 8
= 14.
练习
1. 填空：
(1)
1- x 6- x2
=
(
x -1 x2-6
)；
(2)
x y
=
(
2x2 y 2xy2
)；
(3)
2 x +1
分式
5x 经过约分后得到 x2 -3x
5 x-3
，其分
子与分母没有公因式.
像这样，分子与分母没有公因式的分式叫作 最简分式.
例4 约分：
（1） 24ab3 ； （2） a2 -2a .
4ab2
a2 -4a+4
分析 约分的前提是要先找出分子与分母的公因式.
解
（1）
24ab3 4ab2
= 4ab2· 6b 4ab 2
=
(
2(xx2--11))；
(4)
y2 2xy
=
(
y 2x
)；
( 5 ) (x+21x)+(x2-1)= (
2 x-1
)； ( 6 )
xx(2x--yy2)= (
x x+y
).
2. 约分：
(1)
18a 2b 3 12a 3b 2
；
3b 2a
(2)
8 x( 6 y(
xy-
y) x)
最新人教版初中数学八年级上册《15.1.2 分式的基本性质》精品教学课件
通分：
2c 3ac
(1) 与 2
bd 4b
8bc
4b 2 d
2 xy
x
(2)
与 2
2
( x y)
x y2
2 x 2 y 2 xy 2
( x y)2( x y)
3acd
2
4b d
x 2 xy
( x y)2( x y)
巩固练习
(3)
x 1
4
，
3x
2 x 2
，
x 1
4 x3
解：(3)最简公分母是 12x 3 .
x 1 （x 1） 6 x
6 x（x 1）
,
2
2
3
2 x
2 x 6 x
12 x
4
4 （ 4 x 2） 16 x 2
,
2
3
3x
3 x （ 4 x ） 12 x
x 1 （x 1）（ 3） （
3 x 1）
分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整
式，分式的值不变．
探究新知
追问1 如何用式子表示分式的基本性质？
A
A C A
A C
,
（C 0）
.
B
B C B
B C
其中A，B，C 是整式.
探究新知
追问2 应用分式的基本性质时需要注意什么？
(1)分子、分母应同时做乘、除法中的同一种运算；
；(3)
； (4)
．
2
y
2b
3n
5y
a
4m
x
（
1
《分式的基本性质》课件
2b
2y
3 x2
2a
练习4
用分式表示下列各式的商，并约分：
1 4a2b 6ab2 2 4m3n2 2m3nl 33x2 x x2 x 4 x 2 9 2x 2 6x
练习5
不改变分式的值 ，把下列各式的分子 与分母中各项的系数都化为整数.
x 1y
1
1
x
3
y
2
2 0.2a 0.5b
通分：把几个异分母的分式分别化为与本 来的分式相等的同分母的分式叫通分. 通分的关键：确定几个分式的公分母.
各分母的所有因式的最高次幂 的积.(最简公分母)
解
（1）
1 a2b
与
1 ab2
的最简公分母为a2b2，所以
1 a2b
＝ 1b a 2b b
＝
b a 2b 2
1＝
ab2
1 a ab2 a
＝
∴
x2 x2 x x 3xy 3xy x 3y
即填3y
（1）∵a≠0
∴
ab 3ab
a b 2a
3ab 2a
2a2 2ab 6a 2b
即填2a2+2ab
与分数类似，根据分式的基本性质，
可以对分式进行约分和通分.
例3 约分 （1）16x2 y3
20xy 4
（2） x2 4
x2 4x 4
（1）
a
ac
（2）
(c 0)
x3 x2
2b 2bc
xy y
解：（1）∵c≠0
∴ a a c ac 2b 2b c 2bc
解：（2）∵x≠0，
∴ x3 x3 x x2 xy xy x y
例2 填空：
（1）x2
分式的基本性质PPT优秀教学课件市公开课一等奖省优质课获奖课件
1 1•b b , a2b a2b • b a2b2
1 1• a a . ab 2 ab 2 • a a 2b 2
第8页
(2) 1 , 1 xy xy
解： 1 与 1 的最简公分母为(x y)(x y), xy xy
即x 2 y 2 , 所以
1 1 •（x y) x y , x y (x y)(x y) x 2 y 2
1、分式基本性质：
用式子表示是：
2、约分最终形式叫什么？
第2页
1、约分 ：
16x2 y3 (1) 20xy4
(2) x2 4 x2 4x 4
(3)
x
2
x2
xy
x (4) x2 2x
2x3y (5) 4x2 y2
a2 6a 9 (6)
a 3
第3页
计算： 1 3 5
246
各分母最小 公倍数12
分析： 对于三个分式分母中系数2,4,6,取其最
小公倍数12;对于三个分式分母字母,字母 x为底幂因式,取其最高次幂x³,字母y为底 幂因式,取其最高次幂y4，再取字母z.所以 三个分式公分母为12x³y4z.
第6页
(2)求分式
4x－1 2x²与
1 x²－4
最简公分母.
4x－2x²＝ 2x(2 －x) ＝－2x(x－2)
xx
＝___x_(x_x＋_³－_y_)x_(y_x²_－__y_) __,
xx－y
＝___x_(_x_＋x_³_－y_)(_xx_y－²__y_)__,
第10页
1、什么叫通分？
2、通分关键是什么？
第11页
1、以下各式能否从左边变形为右边？
a
(1)
与 a(a b)
1 1• a a . ab 2 ab 2 • a a 2b 2
第8页
(2) 1 , 1 xy xy
解： 1 与 1 的最简公分母为(x y)(x y), xy xy
即x 2 y 2 , 所以
1 1 •（x y) x y , x y (x y)(x y) x 2 y 2
1、分式基本性质：
用式子表示是：
2、约分最终形式叫什么？
第2页
1、约分 ：
16x2 y3 (1) 20xy4
(2) x2 4 x2 4x 4
(3)
x
2
x2
xy
x (4) x2 2x
2x3y (5) 4x2 y2
a2 6a 9 (6)
a 3
第3页
计算： 1 3 5
246
各分母最小 公倍数12
分析： 对于三个分式分母中系数2,4,6,取其最
小公倍数12;对于三个分式分母字母,字母 x为底幂因式,取其最高次幂x³,字母y为底 幂因式,取其最高次幂y4，再取字母z.所以 三个分式公分母为12x³y4z.
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(2)求分式
4x－1 2x²与
1 x²－4
最简公分母.
4x－2x²＝ 2x(2 －x) ＝－2x(x－2)
xx
＝___x_(x_x＋_³－_y_)x_(y_x²_－__y_) __,
xx－y
＝___x_(_x_＋x_³_－y_)(_xx_y－²__y_)__,
第10页
1、什么叫通分？
2、通分关键是什么？
第11页
1、以下各式能否从左边变形为右边？
a
(1)
与 a(a b)
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分式的通分
各分母的
1.通分: 3 ,
4
5, 2,
83
最小公倍数24
3 36 18 5 53 15 2 28 16 4 46 24 8 83 24 3 38 24
试说出分数通分的依据、通分的关键分别是什么？
2.回顾：填空
ab ab
(aa22 aabb) a2b
2a - b a2
(2aab2-bbb22（) b≠0）
y x
y
的
x
和y
都扩大两倍,则分式的值(
B
)
A．扩大两倍 B．不变 C．缩小两倍 D．缩小四倍
5xy 3. 在化简分式 20 x2 y 时，小颖和小明的做法出现了分歧：
小颖： 小明：
5xy 5x
20x2 y 20x2
5xy 20x2 y
5xy 4x 5xy
1 4x
你对他们俩的解法有何看法？说说看！
•一般约分要彻底, 使分子、分母没有公因式. •彻底约分后的分式叫最简分式.
4.
（1）约分:
16x2 y3 20 xy 4
;
解：
16x2 y3 20 xy 4
4 xy 3 4 xy 3
4x 4x ; 5y 5y
（2）通分：
x
5 -
2
,
(2
4 - x)2
小贴士：在分式的约分与通
解：最简公分母是(x-2)2
分母相同的分式，这种变形叫分式的通分.如分式 a b 与2a - b
ab
a2
分母分别是ab,a2,通分后分母都变成了a2b.
最简公分母 为通分先要确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式 的最高次幂的积作公分母，叫做最简公分母. 注意：确定最简公母是通分的关键.
想一想： 分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？这些做
法的根据是什么？
约分
通分
分数 分式 依据
找分子与分母的 最大公约数
找所有分母的 最小公倍数
找分子与分母的 公因式
找所有分母的 最简公分母
分数或分式的基本性质
当堂练习
1.下列各式中是最简分式的（ B ）
A. a b B. x2 y2 C. x2 4
ba
x y
x2
D. x y x2 y2
2.若把分式
想一想：
联想分数的通分，由例1你能想出如何对分式进行通分？
例3 通分：
(1) 3 与 a b ; 2a2b ab2c
解：（1）最简公分母是2a2b2c
(2) 2x 与 3x . x5 x5
（2）最简公分母是(x+5)(x-5)
3 2a2b
ab ab2c
3 bc 2a2b bc
(a b) 2a ab2c 2a
x y
因式约去，叫做分式的约分．经过约分后的分式
，其分子
2x
与分母没有公因式．
像这样分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式．
分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使 所得的结果成为最简分式或整式.
例2 约分:（1）1255aab2b2cc3 ； (公因式是5ac2)
分析：为约分要先找出分子和分母的公因式.
5 x-2
5(x - 2) (x - 2)2
5x -10 (x - 2)2
分中，通常碰到如下因式符 号变形：
4 (2 - x)2
4 (x - 2)2
(b-a)2=(a-b)2; b-a=-(a-b).
课堂 小结
内容
A A C , A A C（C 0）. B BC B BC
作用
分式进行约分
分式的基本性质
想一想：类比分数的基本性质，你能猜想分式有什么性质吗？
分式的基本性质： 分式的分子与分母乘以（或除以）同一个不等于0的整
式，分式的值不变.
上述性质可以用式表示为：
A A C , A A C（C 0）. B BC B BC
其中A,B,C是整式.
想一想：（1）中
为什么不给出x
3bc 2a2b2c
,
2a2 2ab 2a2b2c
.
2x 2x(x 5) 2x2 5x
x 5 (x 5)(x 5)
x2
, 25
3x x5
3x(x 5) (x 5)(x 5)
3x2 x2
5x . 25
分式的通分的定义
与分数的通分类似，根据分式的基本性质，使分子、分母同
乘适当的整式（即最简公分母），把分母不相同的分式变成
例1 空：
≠0,而（2）中却
给出了b ≠0?
（1）x3 xy
（ x2）， 3x2 3xy
y
6x2
x （
2x
y； ）
（2）1
（
a
），
2a
b
（
2ab
b2 ）（b
0）.
ab
a2b
a2
a2b
想一想: 运用分式的基本性质应注意什么? (1)“都” (2) “同一个” (3) “不为0”
分式的约分
x2 xy x2
第十五章 分 式 15.1.2 分式的基本性质
学习目标
1.理解并掌握分式的基本性质（重点） 2.会运用分式的基本性质进行分式的约分和通分．（难点）
导入 新课
1.下列分数的值是否相等？
2 ，4 ，8 ，16 ，32 ． 3 6 12 24 48
2.这些分数相等的依据是什么？
分数的 基本性质
分数的分子与分母同时乘以（或除以）一个不等于零的数， 分数的值不变.
（x
y
）
(x2 xy) x x2 x
x y x
x（ ）
x2 2x x 2
xx 1 (x2 2x) x x 2
想一想： 联想分数的约分，由例1你能想出如何对分式进行约分？
与分数约分类似，关键是要找出分式的分子与分母的最简公分母.
约分的定义
像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公
进行分式运算
分式的
和通分的依据 的 基 础
基本性质
(1)分子分母同时进行；
(2)分子分母只能同乘或同除， 注 意 不能进行同加或同减；
找公因式方法: （1）约去系数的最大公约数. （2）约去分子分母相同因式的最低次幂.
解：（1）25a2bc3
5abc 5ac2
5ac2 ；
15ab2c
5abc 3b
3b
例2
约分:
（2） x
2
x2
9 6x
． 9
分析：约分时,分子或分母若是多项式,能分解则必须先进行 因式分解.再找出分子和分母的公因式进行约分.
解： （2） x2 9 x2 6x 9
（x 3）（x 3) （x 3）2
x 3. x3
约分的基本步骤
（１）若分子﹑分母都是单项式，则约去系数的最大公约数， 并约去相同字母的最低次幂； （２）若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因式， 然后约去分子﹑分母所有的公因式． 注意事项： （1）约分前后分式的值要相等. （2）约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式. （3）约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体 和分母的整体都除以同一个因式.