谢寿才版概率统计第四章习题及其解答

习题四

求 , , .

答案：p =0.4 , E(X)=1 , E(2X -1) =1 ; 且已知 E(X) = 0.1 , E(X 2) = 0.9,求 p 1 , p 2, p 3. 【解】因R +p 2 +P 3 =1……①

又 E(X) =(-1)P 1P 2 1L B =P 3 - P =0.1 ……②,

E(X 2) =(_1)2[?1 +02|_巳 +12|_P3 = P + P3 =0.9 ……③

由①②③联立解得 p =0.4,P 2 =0.1,P 3 =0.5. 3.设随机变量X 的概率密度为 求 E(X) , D(X).

:: 1 2 【解]E(X)二 _xf (x)dx = °x dx 计 x(2 —x)dx

故

D(X)二 E (x 2) —[E(X)]

5.过单位圆上一点 P 作任意弦PA , PA 与直径PB 的夹角日服从区间——,—［上的均匀分布，求弦PA 的

< 2 2丿

4.设随机变量X 的概率密度为 求⑴c ； (2) E(X) ； ( 3) D(X).

[解] (1) c 2

dx 2=1 得 c = 2k . 2k

■be

-be

E(X) = ；xf(x)d(x) = 0 x_2k 2

-b©

-bo

由 _f(x)dx cxe

-k 2x 2

xe A x dx

k 2x 2

E(X 2

) =

_x 2

f (x)d(x)二

x 2

L2k 2

xe 0

1

Q.

2 2

1

D(X ^E(X)-

[E(X)]

Y

仕n 2

4 —

n 4k 2

长度的数学期望.

解：弦PA 的长为随机变量 X ，由任意二的密度函数为 6 •设X 服从柯西分布，其密度函数为 问E(X)是否存在？ 解：因为 所以EX 不存在。

7. 一汽车需要通过三个设置红绿灯路口的一段路， 每个路口出现什么信号灯是相互独立的， 且红绿两种信号显 示

时间相同，以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已经通过路口的个数，求

8•设随机变量 X 服从区间 -丄1上的均匀分布，求 Y=sin5X)的数学期

望与方差

I 2,2丿

1 解：EY= 2i Sin 二xdx =O,

"2

i

DY 二 EY 2 二 21sin 2「xdx =1/2。

~2

9. 一工厂生产某种设备的寿命

X (以年计)服从指数分布，其概率密度为

为确保消费者的利益，工厂规定岀售的设备若在一年内损坏可以调换 .若售岀一台设备，工厂获利

100元，而调

换一台则损失200元，试求工厂岀售一台设备赢利的数学期望 【解】厂方岀售一台设备净盈利

丫只有两个值：100元和？?200元

1/4

1/4

1/4

故 E(Y) =100 e (-200) (1 -e ) =300e -200 =33.64 (元).

10.设随机变量 X,Y,Z 相互独立，且 E(X) =5, E(Y) =11, E(Z) =8,求下列随机变量的数学期望 (1) U =2X 3丫-1 ;( 2) V 二YZ -4X . ［解］ (1) E(U) =42 ； (2) E(V) =68 11. 设随机变量(X ,Y)的概率密度为 试确定常数k ，并求E(XY).

::::

1

x

1

f (x,y)dxdy dx kdy k =1,故 k=2

【解］因

2

::::

1

x

E(XY) -

：： ：： xyf(x, y)dxdy 二 °xdx 0 2ydy = 0.25 .

12. 设X,Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为

答案:

67 96

-CO

求 E(XY).

【解】先求X 与丫的均值

由X 与丫的独立性，得 13.

袋中装有12个灯泡，其中9个好灯泡，3

个坏了的灯泡.电工在更换某个灯泡时，从袋中一个一个地 取岀(取岀后不放回)，设在取岀好灯泡之前已取岀的灯泡数为随机变量

X ，求E(X)和D(X).

【解】其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知

由此可得 E(X)=O 0.750 1 0.204 2 0.041 3 0.005 =0.301.

14. 设随机变量 X 的概率密度为

兀

2

对X 独立地重复观察 4次，用丫表示观察值大于 —的次数，求丫2的数学期望

3

1, X n ,

【解】令

丫二

3

(i = 1, 2,3,4)

0, X 乞；

I 3

4

则丫 = v Y j ~ B(4, p).因为

i ±

所以 E(YJ =

1

,D(YJ = 1 ,E(Y) =4

1 = 2,

2

4 2

D(Y)=4

1

1

=1 =E(Y 2

)-(EY)2

,

2 2

2 2 2

从而 E(Y )二 D(Y) [E(Y)]

=1

2 =5.

15.设随机变量X 的数学期望E(X)存在，对于任意x ，求函数f(x) =E[(X - x)2]的最小值，并说明其意 义.

P=P{X

p{x 及珂乂乞n=0

3 3

x /3 1

X

—cos- dx 2 2