专题强化训练32

专题强化训练(三十二)

1．(2020·东北三校联考)设函数f (x )＝|x ＋2|＋|x －3|.

(1)求不等式f (x )>9的解集；

(2)若关于x 的不等式f (x )≤|3m －2|有解，求实数m 的取值范围．

[解] (1)f (x )＝????? －2x ＋1，x <－2，5，－2≤x <3，

2x －1，x ≥3，

当x <－2时，－2x ＋1>9，解得x <－4，所以x <－4；

当－2≤x <3时，5>9，无解；

当x ≥3时，2x －1>9，解得x >5，所以x >5.

综上，不等式f (x )>9的解集为{x |x >5或x <－4}．

(2)因为|x ＋2|＋|x －3|≥|x ＋2－(x －3)|＝5(当且仅当(x ＋2)(x －

3)≤0，即－2≤x ≤3时取等号)，

所以|3m －2|≥5，解得m ≤－1或m

≥73.

2．(2020·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|3x ＋1|－2|x －1|.

(1)画出y ＝f (x )的图像；

(2)求不等式f (x )>f (x ＋1)的解集．

[解] (1)由题设知f (x )＝????? －x －3，x ≤－

13，5x －1，－13

>1.

y ＝f (x )的图像如图所示．

(2)函数y ＝f (x )的图像向左平移1个单位长度后得到函数y ＝f (x ＋1)的图像．

y ＝f (x )的图像与y ＝f (x ＋1)的图像的交点坐标为? ??

??－76，－116. 由图像可知当且仅当x <－76时，y ＝f (x )的图像在y ＝f (x ＋1)的图像

上方．故不等式f (x )>f (x ＋1)的解集为? ??

??－∞，－76. 3．(2020·郑州质检)已知函数f (x )＝|3x －2a |＋|2x －2|(a ∈R )．

(1)当a ＝12时，解不等式f (x )>6；

(2)若对任意x ∈R ，不等式f (x )＋3x >4＋|2x －2|都成立，求a 的取值范围．

[解] (1)当a ＝12时，不等式f (x )>6可化为|3x －1|＋|2x －2|>6，

当x <13时，不等式即1－3x ＋2－2x >6，∴x <－35，

当13≤x ≤1时，不等式即3x －1＋2－2x >6，无解，

当x >1时，不等式即3x －1＋2x －2>6，∴x >95.

综上所述，不等式的解集为{x |x <－35或x >95}．

(2)不等式f (x )＋3x >4＋|2x －2|，

可化为|3x －2a |＋3x >4，

令g (x )＝|3x －2a |＋3x ＝????? 6x －2a ，x ≥2a 3，

2a ，x <2a 3，

∴函数g (x )的最小值为2a ，

根据题意可得2a >4，即a >2，∴a 的取值范围为(2，＋∞)．

4．(2020·内蒙古呼和浩特一模)已知函数f (x )＝|2x －a |＋2|x ＋1|.

(1)当a ＝1时，解关于x 的不等式f (x )≤6；

(2)已知g (x )＝|x －1|＋2，若对任意x 1∈R ，都存在x 2∈R 使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围．

[解] (1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －1|＋2|x ＋1|， 即f (x )＝????? －4x －1，x <－1，3，－1≤x ≤12

，4x ＋1，x >12.

当x <－1时，－4x －1≤6，得－74≤x <－1；

当－1≤x ≤12时，f (x )≤6恒成立；

当x >12时，4x ＋1≤6，解得12

则f (x )≤6的解集为{x ????

??－74≤x ≤54. (2)∵对任意x 1∈R ，都存在x 2∈R 使得f (x 1)＝g (x 2)成立， ∴{y |y ＝f (x )}?{y |y ＝g (x )}．

又f (x )＝|2x －a |＋2|x ＋1|≥|2x －a －(2x ＋2)|＝|a ＋2|，(当且仅当(2x －a )(x ＋1)≤0时取等号)

g (x )＝|x －1|＋2≥2，∴|a ＋2|≥2，

解得a ≤－4或a ≥0，

∴实数a 的取值范围是(－∞，－4]∪[0，＋∞)．

5．(2020·贵阳质检)已知函数f (x )＝|x －a |＋|x ＋2|.

(1)若a ＝1，解不等式f (x )≤x 2－1；

(2)若a >0，b >0，c >0，且f (x )的最小值为4－b －c ，求证：1a ＋b

＋1c ≥2.

[解] (1)当a ＝1时， f (x )＝????? －2x －1，x <－2，3，－2≤x ≤1，

2x ＋1，x >1.

①当x <－2时，由f (x )≤x 2－1得x 2＋2x ≥0，所以x <－2； ②当－2≤x ≤1时，由f (x )≤x 2－1得x 2≥4，所以x ＝－2； ③当x >1时，由f (x )≤x 2－1得x 2－2x －2≥0，所以x ≥1＋ 3. 综上可得不等式f (x )≤x 2－1的解集为{x |x ≤－2或x ≥1＋3}．

(2)证明：因为f (x )＝|x －a |＋|x ＋2|≥|(x －a )－(x ＋2)|＝a ＋2，

当－2≤x ≤a 时， f (x )取到最小值a ＋2，

所以a ＋2＝4－b －c ，即a ＋b ＋c ＝2，

所以1a ＋b ＋1c ＝? ?????1a ＋b ＋1c ? ?????a ＋b 2

＋c 2＝1＋c 2(a ＋b )＋a ＋b 2c ≥1＋2 c 2(a ＋b )·a ＋b 2c ＝2，当且仅当c 2(a ＋b )

＝a ＋b 2c ，即a ＋b ＝c ＝1时等号成立．

6．(2020·江西南昌一模)已知实数a ，b ，c 满足a >0，b >0，c >0，且abc ＝1.

(1)证明：(1＋a )(1＋b )(1＋c )≥8；

(2)证明：a ＋b ＋c ≤1a ＋1b ＋1c .

[证明] (1)∵1＋a ≥2a ，1＋b ≥2b ，1＋c ≥2c ，当且仅当a ＝1，b ＝1，c ＝1时，等号成立， ∴(1＋a )(1＋b )(1＋c )≥2a ·2b ·2c ＝8abc ，

∵abc ＝1，∴(1＋a )(1＋b )(1＋c )≥8.

(2)∵ab ＋bc ≥2ab 2c ＝2b ，

ab ＋ac ≥2a 2bc ＝2a ，

bc ＋ac ≥2abc 2＝2c ，

上面三式相加得，

2ab ＋2bc ＋2ca ≥2a ＋2b ＋2c ，

即ab ＋bc ＋ca ≥a ＋b ＋c .

又1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋ac ，

∴a ＋b ＋c ≤1a ＋1b ＋1c .