初中数学最值问题

最值问题

“最值”问题大都归于两类基本模型： Ⅰ、归于函数模型：

即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值 Ⅱ、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：

（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这

一模型。

（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一

模型。

一、利用函数模型求最值

例1、如图，一边靠学校院墙，其它三边用40米长的篱笆围成一个矩形花圃ABCD ，设AB=x 米，由于实际需要矩形的宽只能在4m 和7m 之间。设花圃面积为y 平方米．求y 与x 之间的函数关系式和y 的最值。

例2、如图（1），平行四边形ABCD 中，AB=4,BC=3,∠BAD=120°，E 为BC 上一动点（不与B 重合），作EF ⊥AB 于F ，设BE=x ，△DEF 的面积为S 当E 运动到何处时，S 有最大值，最大值为多少？

二、利用几何模型求最值

例3、如图所示，已知AB 是⊙O 中一条长为4的弦，P 是⊙O 上一动点，且cos ∠APB ＝3

1

，求△APB 的面积的最大值？

例4、如图，已知Rt △ABC ≌Rt △DEF ，∠C=∠F=30°，AB=DE=a 。当两三角形沿着直线FC 移动时，求图中阴影部分的面积的最大值。

A

B

C

E

F

A

O

x

y

D

C

B 三、归入“两点之间的连线中，线段最短”

思路：不管在什么背景下，有关线段之和最短问题，总是化归到“两点之间的所有连线中，线段最短”，例5、(1)如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD+PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A.23 B.26 C.3 D.6 (2)如图，AB 、CD 是半径为5的⊙O 的两条弦，AB=8，CD=6，MN 是直径，AB ⊥MN 于点E ，CD ⊥MN 于点F ，P 为EF 上的任意一点，则PA+PC 的最小值为___________．

例6、几何模型：

条件：如下左图，A 、B 是直线l 同旁的两个定点． 问题：在直线l 上确定一点P ，使PA PB +的值最小．

方法：作点A 关于直线l 的对称点A '，连结A B '交l 于点P ，则PA PB A B '+=的值最小（不必证明）． 模型应用：

（1）如图1，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点．连结BD ，由正方形对称性可知，B 与D 关于直线AC 对称．连结ED 交AC 于P ，则PB PE +的最小值是___________．

（2）如图2，O ⊙的半径为2，点A B C 、、在O ⊙上，OA OB ⊥，60AOC ∠=°，P 是OB 上一动点，求PA PC +的最小值___________．

（3）如图3，45AOB ∠=°，P 是AOB ∠内一点，10PO =，Q R 、分别是OA OB 、上的动点，求PQR △周长的最小值___________． 例7、如图，锐角△ABC 的边AB=42，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是___________． 例8、如图（1），直线23+-=x y 与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，点A 为y 轴正半轴上的一点，⊙A 经过点B 和点O ，直线BC 交⊙A 于点D 。 （1）求点D 的坐标；

（2）过O ，C ，D 三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使线段PO 与PD 之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点P 的坐标。若不存在，请说明理由。

A

B

A '

P l

O

A B

P

R

Q 图3

O A

B

C

图2

A

B

E

C

P

D

图1

P

五、路径最短问题(两点间连线中，直线段最短)

1.如图，圆柱形的桶外，有一只蚂蚁从桶外的A 点爬到桶内的B 点处寻找食物，已知点A 到桶口的距离AC 为12cm ，点B 到桶口的距离BD 为8cm ，CD 的长为15cm ，那么蚂蚁爬行的最短路程是___________．

2.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm ，3cm 和1cm ，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是___________．

3.如图是一块长、宽、高分别是4cm 、2cm 和1cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从顶点A 出发，沿长方体的表面爬到C 1处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是___________．

4.如图所示，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m 的正三角形ABC ，粮堆母线AC 的中点P 处有一只老鼠正在偷吃粮食．此时，小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是___________米（结果不取近似值）

六、综合提高

1.如图，（1），在△ABC 中，AC=BC=2,∠ACB=90°，P 为BC 边上一定点，（不与点B ，C 重合），Q 为AB 边上一动点，设BP 的长为a （0＜a ＜2），请写出CQ+PQ 最小值，并说明理由。

2.如图（1）所示，在一笔直的公路MN 的同一旁有两个新开发区A 、B ，已知AB=10千米，直线AB 与公

路MN 的夹角∠AON=30°新开发区B 到公路MN 的距离BC=3千米。 （1）求新开发区A 到公路MN 的距离，

（2）现从MN 上某点P 处向新开发区A 、B 修两条公路PA 、PB ，使点P 到新开发区A 、B 距离

之和最短，请用尺规作图在图中找出点P 的位置（不用证明，不写作法，保留作图痕迹），并求出此时PA+PB 的值。

A

P

Q

A

B

C N

O

M