竞赛数学中几类不等式的解法

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基本不等式的所有公式及常用解法

基本不等式的所有公式及常用解法1.加减法不等式公式：若a>b，则a+/-c>b+/-c，其中c为任意实数。

2.乘法不等式公式：若a>b且c>0，则a*c>b*c；若a>b且c<0，则a*c<b*c。

3.幂次不等式公式：对任意非零实数a和b若a>b且n>0且n为正整数，则a^n>b^n；若a>b且0<n<1，则a^n<b^n。

4.倒数不等式公式：若a>b>0，则1/a<1/b。

5.奇偶性不等式公式：若a>0且n为正整数，则a^n>0。

若a<0且n为奇数整数，则a^n<0。

常用的解基本不等式的方法有：1.用数轴法解：将不等式绘制在数轴上，根据不等式的性质找出符合条件的x的取值范围。

2.用代数方法解：针对不等式上的加减法、乘法、幂次或倒数等，利用基本不等式公式进行运算，化简不等式，最终得到x的取值范围。

3.用平方差、立方差或更高次差法解：对于特定形式的不等式，如二次函数不等式（即含有二次项的不等式），可使用平方差公式将其转化为不等式的标准形式；同样，对于三次函数不等式（即含有三次项的不等式），可使用立方差公式将其转化为不等式的标准形式。

通常，对高次不等式的解法需要更高级的数学知识，此处不再详细介绍。

4.用函数图像解：对于一些特定函数，如一次函数、二次函数等，可通过绘制函数图像来判断不等式的解集。

5.用不等式链解：若能将一个不等式化为多个简单的不等式，即不等式的解集满足一系列条件，可通过每个条件对应的不等式求解解集。

以上是基本不等式的一些公式和常用解法。

对于不同的不等式，我们需要根据具体情况选择合适的解法。

希望以上内容对您有所帮助。

高中竞赛不等式公式大全

高中竞赛不等式公式大全摘要：一、引言二、高中竞赛中常见的不等式类型1.基本不等式2.柯西不等式3.排序不等式4.切比雪夫不等式5.其他不等式三、各类不等式的应用及解题技巧1.基本不等式的应用及解题技巧2.柯西不等式的应用及解题技巧3.排序不等式的应用及解题技巧4.切比雪夫不等式的应用及解题技巧5.其他不等式的应用及解题技巧四、高中竞赛不等式公式大全的总结正文：一、引言不等式作为数学中的一个重要部分，在高中竞赛中占据着举足轻重的地位。

熟练掌握各类不等式及其应用，对于提高竞赛成绩具有至关重要的作用。

本文将为您整理一份高中竞赛不等式公式大全，助您竞赛之路一臂之力。

二、高中竞赛中常见的不等式类型1.基本不等式基本不等式是最常见的不等式类型之一，主要包含算术平均数与几何平均数的不等式、调和平均数与几何平均数的不等式等。

2.柯西不等式柯西不等式是一种在向量空间中的重要不等式，它可以用于证明其他许多不等式，同时也是解决某些问题的重要工具。

3.排序不等式排序不等式是一种与排序相关的不等式，可以用于解决一些与排序有关的问题，如求解排序问题、证明排序的稳定性等。

4.切比雪夫不等式切比雪夫不等式是一种在概率论和统计学中常见的不等式，可以用于求解一些概率和方差的问题。

5.其他不等式除了以上常见的不等式类型，还有一些其他的不等式，如赫尔德不等式、闵可夫斯基不等式等。

三、各类不等式的应用及解题技巧1.基本不等式的应用及解题技巧基本不等式在求解一些最值问题、比较大小问题等方面有着广泛的应用。

解题时需要注意观察题目条件，灵活运用基本不等式。

2.柯西不等式的应用及解题技巧柯西不等式在求解一些向量空间中的最值问题、证明其他不等式等方面具有重要意义。

解题时应熟练掌握柯西不等式的形式，灵活运用。

3.排序不等式的应用及解题技巧排序不等式在解决排序问题、证明排序的稳定性等方面具有重要意义。

解题时需要注意排序不等式的适用范围，正确运用。

4.切比雪夫不等式的应用及解题技巧切比雪夫不等式在求解一些概率和方差的问题中具有重要作用。

不等式的解法和应用

不等式的解法和应用不等式的解法和应用是数学中的重要内容，尤其在奥数中更是常见。

以下是关于不等式解法和应用的一些知识点：不等式的解法1.图像法：通过绘制不等式所代表的图形，在数轴上表示出不等式的解集。

这种方法直观易懂，尤其适用于一元一次不等式。

2.代数法：通过代数运算，如移项、合并同类项、因式分解等，将不等式化为标准形式，然后确定解集。

这种方法适用于各种类型的不等式。

不等式的应用1.最值问题：不等式在求最值问题中有广泛应用。

例如，在给定条件下，求某个表达式的最大值或最小值。

这类问题通常涉及到基本不等式的应用，如均值不等式、柯西不等式等。

2.比较大小：不等式可以用于比较两个数或表达式的大小。

例如，在比较分数大小时，可以通过通分、化简等方法将问题转化为不等式求解。

3.实际应用：不等式在日常生活和实际应用中也有广泛的应用。

例如，在经济学中，可以用不等式来描述资源的分配问题；在物理学中，可以用不等式来描述物体的运动规律等。

常见的不等式类型1.一元一次不等式：形如ax + b > 0（或< 0）的不等式，其中a 和b 是常数，a ≠ 0。

2.绝对值不等式：形如|x| < a（或≤ a）的不等式，其中a 是常数。

3.分式不等式：形如(ax + b) / (cx + d) > 0（或< 0）的不等式，其中a、b、c、d 是常数，且c ≠ 0。

总之，不等式的解法和应用涉及的知识点非常广泛，需要系统学习和掌握。

在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的解法和方法。

不等式的解法

不等式的解法不等式，即数学中用来表示大小关系的符号，它与等式不同的地方在于，不等式可以有无数个解，而不像等式只有一个解。

解不等式的方法有很多种，接下来将介绍几种常见的解不等式的方法。

一、一元一次不等式一元一次不等式是最基本的不等式，它的形式通常为ax+b>0或ax+b<0，其中a和b为已知数，x为未知数。

解一元一次不等式的方法有两种：图解法和代数法。

1. 图解法图解法是通过在数轴上画出所给不等式的解集来解不等式。

首先，我们将不等式中的x系数作为直线的斜率，常数项作为直线的截距，画出不等式对应的直线。

然后，根据不等式符号的方向，涂色标记出不等式的解集。

例如，对于不等式3x+2>0，我们可以画出直线y=3x+2，并根据大于号的方向，将直线上大于0的部分涂色。

2. 代数法代数法是通过代数运算解不等式。

首先，根据不等式符号的方向，确定不等式的类型是大于、小于还是等于。

然后，根据不等式中的系数和常数项，进行加法、减法、乘法和除法运算，将未知数x的系数和常数项移到不等式的一侧，使得不等式变为0的形式。

最后，通过考察几个关键点的取值情况，确定不等式的解集。

二、一元二次不等式一元二次不等式是一元二次方程的不等式形式，它的形式通常为ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0，其中a、b、c为已知数，x为未知数。

解一元二次不等式的方法有两种：图解法和代数法。

1. 图解法图解法是通过在坐标平面上画出所给不等式的解集来解不等式。

首先，我们将不等式转化为对应的一元二次方程，找到方程的判别式，判断方程的根的情况。

根据根的位置，将坐标平面分为几个区域，并确定每个区域对应的不等式的正负。

然后，将不等式对应的曲线画在坐标平面上，并根据不等式符号的方向，将曲线上符合条件的部分涂色。

2. 代数法代数法是通过代数运算解一元二次不等式。

首先，根据不等式符号的方向，确定不等式的类型是大于、小于还是等于。

然后，根据不等式中的系数和常数项，进行移项、配方、因式分解等运算，将不等式变为一元二次方程的零点形式。

绝对值三角不等式在数学竞赛中的常见考点

绝对值三角不等式在数学竞赛中的常见考
点
绝对值三角不等式是数学竞赛中的一个常见考点。

这个不等式用于解决三角函数和绝对值函数的相关问题。

下面是一些在数学竞赛中常见的与绝对值三角不等式相关的考点。

1. 不等式的基本性质
绝对值三角不等式具有一些基本的性质，比如它可以用于求解函数的范围和确定函数的定义域。

竞赛中常常会考察学生对这些性质的理解和应用能力。

2. 不等式的证明
在数学竞赛中，常常会考察学生对绝对值三角不等式的证明能力。

学生需要熟练掌握绝对值的定义和三角函数的性质，以及推导不等式的方法和技巧。

3. 不等式的应用
绝对值三角不等式可以应用于各种函数的求解和极限问题。

在数学竞赛中，学生需要能够根据具体的题目情境，合理地运用绝对值三角不等式来解决问题。

4. 不等式的变形
绝对值三角不等式常常需要进行变形和简化，以使其更易处理和应用。

竞赛中可能会出现一些较为复杂的不等式，学生需要有能力将它们转化为更简单的形式，并利用相关的数学技巧进行求解。

绝对值三角不等式在数学竞赛中的考点是多样的，上述仅为其中的一些常见考点。

为了在竞赛中取得好成绩，学生需要对这些考点进行深入的学习和理解，并通过大量的练习来提高自己的解题能力。

数学竞赛中的常见题型与解题技巧

数学竞赛中的常见题型与解题技巧数学竞赛一直是对学生数学能力进行综合考察和锻炼的重要途径。

在竞赛中，常见的数学题型各有特点，掌握不同题型的解题技巧可以帮助我们更好地应对挑战。

本文将介绍数学竞赛中的常见题型及其解题技巧，希望对广大竞赛学子有所帮助。

Part 1：选择题选择题是数学竞赛中最常见的题型之一。

其特点是在给定的选项中选择正确答案。

1. 完全不等式的求解完全不等式的求解是选择题中常见的类型之一。

解决这类问题的关键在于找到不等式的解集。

Case 1：线性不等式对于形如ax + b > 0的线性不等式，我们可以通过移项和分析符号的方法求解。

一般来说，解集可以表示为x > k或x < k的形式，其中k 为常数。

Case 2：分式不等式对于分式不等式，我们可以通过通分、移项、分析符号等方法求解。

在求解的过程中，需要注意分母不等于0的条件。

2. 几何题几何题既是选择题中常见的题型，也是比较具有难度的题型。

其解决方法主要包括几何关系的分析和几何定理的运用。

Case 1：平面几何在平面几何中，我们需要熟悉常见的几何关系，如垂直、平行、共线等。

通过分析这些关系，可以找到题目的关键信息，进而解决问题。

Case 2：空间几何在空间几何中，问题相对复杂一些。

我们需要通过空间图形的投影、平行面的性质等来分析和求解问题。

Part 2：填空题填空题是数学竞赛中另一种常见的题型，要求填入适当的数字或代数式。

1. 数列问题数列问题是填空题中的常见类型，涉及等差数列、等比数列等。

解决这类问题的关键是找到数列的通项公式和求和公式。

Case 1：等差数列对于等差数列，我们可以通过观察数列的差值来找到通项公式。

一般来说，等差数列的通项公式可以表示为an = a1 + (n - 1)d。

Case 2：等比数列对于等比数列，我们可以通过观察数列的比值来找到通项公式。

一般来说，等比数列的通项公式可以表示为an = a1 * r^(n - 1)。

竞赛数学中柯西不等式的解法

Ｉｌ（＋＋…十＋）（ｘ２
ｘ２
＋
蔓＋＋
…
＋立２）
Ｘ
ｘ３
ｘｎ
∑
、
解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到柯西不等式．本文就将探讨柯西不等式的证明和它们的一
些应用．
≥（．
＋Ｘ２
．
ｋ ห้องสมุดไป่ตู้ｌ
３
，
同舸证，嘉５ ≥ ３
嘉３嘶
ｒ ●●● ●●● ● 、● ●●● ●●【
由
如
由（３－２）可知＞ ∑ ，从而
＜
以上ｉ式相加，（３－１）式得证，进而证得
柯
西
果
＞
志十＋南雌萼，
《
．
２
≥ 葺＋２＋… ＋一
例２已知实数ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ满足ａ＋ｂ＋Ｃ十ｄ＋ｅ＝８，口＋ｂ＋Ｃ＋ｄ＋ｅ＝１６，求ｅ
的取值范同．
时，等式成立．
证明：作关于Ｘ的二次函数
思路分析：由ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ联想到应用柯西不
∑
《
一
评述：柯西不
《何拆成两个因
∑
ａｉ和的积，可以说是应用此不等式的主要技巧∑ （上
、，
＞（１）：《，则取：＇ｋ＿。 ’ １＇２，．．． ’ ｎ，显然（３－２）Ｏ
＋．．．＋ｘ
．
＋．下Ｘｎ）＜～０ｘｎ４ｘ，

高中数学竞赛中不等式的解法

思路分析：考虑两边取常用对数，再利用排序不等式证明 .
证明：不妨设 a b c ，则有 lg a lg b lg c
根据排序不等式有：
a lg a b lg b c lg c alg b b lg c c lg a
a lg a blg b c lg c a lg c b lg a c lg b
以上两式相加，两边再分别加上
高中数学竞赛中不等式的解法
摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并
挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。
希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。
不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型
1 ( a1
a2
...
an )2
n
所以
a1 a2 ... an
a12 a22 ... an2 .
n
n
从上述证明知道，当且仅当 a1 a2 ... an 时，不等式取等号 .
下面证明 H (n) G (n)
对 n 个正数
11 1 , ,..., ，应用
G ( n)
H (n) ，得
a1 a2
an
1 1 ... 1
求证：
n
a b n ir js
r 1s1 r s
n n ar bs . r 1s 1r s
（1-2 ）
思路分析：已知条件中有两组有序实数，而式（ 1-2 ）具有“积和”形式，考虑使用排序不等式 .
证明：令 dr
b n js
（ r= 1,2,..., n ）
s1r s
显然 d1 d 2 ... dn

不等式的解法

不等式的解法不等式是数学中常见的问题，解不等式可以帮助我们找到满足特定条件的数值范围。

本文将介绍几种常用的不等式的解法。

一、一元一次一元一次不等式是形如ax+b>c或ax+b<c的不等式，其中a、b、c都是已知的实数，x是未知数。

1. 等价变形法通过对不等式进行等价变形，使得未知数x单独在一边，从而得到不等式的解。

例如，对于不等式3x+4>10，我们可以通过减4，并除以3来消去4和3，得到x>2。

所以x的取值范围为大于2的所有实数。

2. 符号法考虑不等式中的符号，根据不等式关系的性质确定解的范围。

例如，对于不等式5x-7≥8，我们观察到不等式中的符号是≥，根据≥的意义，我们知道等号成立时也是一个解。

所以我们可以解得5x-7=8，得到x=3。

因此，x的取值范围为大于等于3的所有实数。

二、一元二次一元二次不等式是形如ax^2+bx+c>d或ax^2+bx+c<d的不等式，其中a、b、c、d都是已知的实数，x是未知数。

1. 图像法将一元二次不等式转化为二次函数的图像，通过观察函数图像来确定不等式的解。

例如，对于不等式x^2-4x<3，我们可以将不等式转化为方程x^2-4x=3，并求得其根为x=1和x=3。

然后绘制出函数图像y=x^2-4x的图像，在图像上观察x轴上落在1和3之间的部分，即得到不等式的解为1<x<3。

2. 化简法将一元二次不等式进行化简，将不等式转化为一个或多个一元一次不等式，然后求解这些一元一次不等式的解。

例如，对于不等式x^2+2x-3>0，我们可以将不等式因式分解为(x-1)(x+3)>0。

然后我们考虑两个因式的正负情况，得到两个一元一次不等式x-1>0和x+3>0。

解这两个一元一次不等式，得到x>1和x>-3。

因此，x的取值范围为大于1和大于-3的所有实数。

三、多元多元不等式是包含两个或多个未知数的不等式，解多元不等式可以使用代入法、图像法或数学方法。

数学奥林匹克不等式的证明方法与技巧

数学奥林匹克不等式的证明方法与技巧我折腾了好久数学奥林匹克不等式的证明方法与技巧这件事，总算找到点门道。

一开始的时候，我真的是瞎摸索，完全找不到方向。

我最先想到的方法就是利用基本不等式，就像a + b ≥2√(ab)这种，在很多简单的不等式里它就特别有用。

比如说证明x²+ 1/x²≥2这个简单的例子，那就直接把x²看成a，1/x²看成b，用基本不等式一下子就出来了。

但是，这种方法肯定不是万能的。

我碰到过一些很复杂的不等式，用基本不等式来证咋整都卡壳。

就像有一次遇到这样一个不等式，好像是有好几个分式，然后还有根式混在一起的式子，那时候我就傻了眼。

我试了好久用基本不等式去凑，结果整得一塌糊涂。

后来我就开始尝试做变量代换。

这就好像给这个复杂的谜题换个包装一样。

有时候把x换成sinθ或者cosθ之类的三角函数，这个式子就突然变得容易理解多了。

比如说有个式子里面有√(1 - x²)，那我就会想到可以设x = sinθ，这样就把根式去掉了，式子一下就简单了。

但是，这个方法呢，也不是每次都能成功。

我经常会代换进一个死胡同里，换完之后发现式子变得更复杂奇怪了，还不知道咋再变回去或者继续往下证。

还有用放缩法的情况。

我刚开始放缩的时候特别没谱，经常缩放过度。

比如说要证明一个式子小于10，我一放缩就缩成大于10了，那就完蛋了。

我才知道放缩是个技术活，得拿捏好尺度。

你得看到式子的特点，找到合适的放缩途径。

有时候从分母下手，有时候从分子去考虑。

像有个式子分母是好几项相加，我发现可以通过缩小分母来放大整个式子，但是又不能缩得太狠。

我都是一步步去试，去小心调整这个放缩的程度。

函数单调性这一招有时候也特别好使。

把不等式的两边看成一个函数的部分，然后去分析这个函数在给定区间的单调性。

如果这个函数是单调递增，那么左边小于右边就可能取决于自变量的大小关系。

不过，找这个函数就不容易，有一次我找错了函数，得到了完全相反的结论，那才让我意识到一定要仔细分析函数的构造。

数学竞赛中经常用到的不等式整理,不包含三角不等式

（1）阿贝尔求和公式Abel’s Summation Formula若a1，a2，…，a n，b1，b2，…，b n分别是两个实数数列或复数数列，且S i = a1 + a2 + …+ a i，i = 1，2，…，n则（2）均值不等式AM-GM ( Arithmetic Mean - Geometric Mean ) Inequality 若a1，a2，…，a n是非负实数，则…当且仅当a1 = a2 = … = a n时等号取到，此不等式为幂均值不等式的一个特殊情况（3）均值不等式AM-HM ( Arithmetic Mean - Harmonic Mean ) Inequality 若a1，a2，…，a n是正实数，则当且仅当a1 = a2 = … = a n时等号取到，此不等式为幂均值不等式的一个特殊情况（4）伯努利不等式Bernoulli’s Inequality对任意实数x＞1和a＞1，都有( 1 + x )n＞1 + ax（5）柯西-施瓦兹不等式Cauchy - Schwarz’s Inequality对任意实数a1，a2，…，a n和b1，b2，，b n，有… … …当且仅当a i与b i都成比例时等号取到，其中i = 1，2，…，n（6）积分形式的柯西-施瓦兹不等式Cauchy - Schwarz’s Inequality for integrals 设a，b为实数且a＜b，且f，g为[a，b] →R的可积分函数，则（7）切比雪夫不等式Chebyshev’s Inequality设实数a1≤a2≤…≤a n，且b1，b2，…，b n为实数若b1≤b2≤…≤b n，则若b1≥b2≥…≥b n，则当且仅当a1 = a2 = … = a n，b1 = b2 = … = b n时等号取到（8）积分形式的切比雪夫不等式Chebyshev’s Inequality for integrals设实数a，b满足a＜b，函数f，g是[a，b] →R的可积分函数，且具有相同的单调性，则（9）琴生不等式Jensen’s Inequality若f ( x )是区间(a，b)上的上凸函数，则对任意的x1，x2，…，x n∈( a，b )，都有… …若f ( x )是区间(a，b)上的下凸函数（凹函数），则对任意的x1，x2，…，x n∈( a，b )，都有当且仅当x1 = x2 = … = x n时等号成立加权形式：若f ( x )是区间(a，b)上的上凸函数，则对任意的x1，x2，…，x n∈( a，b )，且a1 + a2 + … + a n = 1，有……（10）赫尔德不等式Holder’s Inequality设r，s为正实数，且满足1r+ 1s= 1则对任意正实数a1，a2，…，a n和b1，b2，，b n，都有（11）惠更斯不等式Huygens Inequality若p1，p2，…，p n和a1，a2，…，a n和b1，b2，，b n都是正实数，且p1 + p2 + … + p n = 1，则（12）麦克劳林不等式Mac Laurin’s Inequality对任意正实数x1，x2，…，x n，都有S1≥S2≥…≥S n其中…＜＜…＜αα + β（13）明考夫斯基不等式 Minkowski ’s Inequality 对任意实数a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n ，以及任意实数r ≥1，有≤（14）幂均值不等式 Power Mean Inequality设正实数a 1 + a 2 + … + a n = 1，则对于正数x 1，x 2，…，x n ，定义M -∞ = min{x 1，x 2，…，x n }M ∞ = max{x 1，x 2，…，x n }……其中t 是非0实数，则有M -∞≤M s ≤M t ≤M ∞其中s ≤t（15）均方根不等式 Root Mean Square Inequality设a 1，a 2，… ，a n 为非负实数，有… … 当且仅当a 1 = a 2 = … = a n ，b 1 = b 2 = … = b n 时等号取到均方根又称为平方平均数（16）舒尔不等式 Schur ’s Inequality对任意正数x ，y ，z 以及r ＞0，若存在关系x r ( x y ) ( x z ) + y r ( y z ) ( y x ) + z r ( z x ) ( z y )≥0 通常情况下为r = 1，则有以下结论成立x 3 + y 3 + z 3 + 3xyz ≥xy ( x + y ) + yz ( y + z ) + zx ( z + x ) xyz ≥ ( x + y z ) ( y + z x ) ( z + x y )若x + y + z = 1，则xy + yz + zx ≤1＋9xyz 4（17） Suranyi ’s Inequality对任意非负实数a 1，a 2，… ，a n ，都有（18） Turkevici ’s Inequality对任意正实数x ，y ，z ，t ，都有x 4+ y 4 + z 4 + 2xyzt ≥ x 2y 2 + y 2z 2 + z 2t 2 + t 2x 2 + x 2z 2 + y 2t 2（19）加权形式的均值不等式Weighted AM - GM Inequality 对任意非负实数a1，a2，…，a n，以及w1，w2，…，w n，且w1 + w2 + … + w n = 1 都有……当且仅当a1 = a2 = … = a n，b1 = b2 = … = b n时等号取到。

成都七中高一竞赛数学不等式讲义：4.排序不等式与切比雪夫不等式

成都七中高一竞赛数学不等式专题讲义 A4.排序不等式与切比雪夫不等式一、基础知识排序不等式：设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≤≤≤12,,,n j j j 是1,2,,n 的任意一个排列.则1111k nnnk n k k j k k k k k a ba b a b -+===≤≤∑∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.可简记为反序和≤乱序和≤同序和.切比雪夫不等式：设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≤≤≤则111()().n n ni i i i i i i a b n a b ===≤∑∑∑设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≥≥≥则111()().nnni i i i i i i a b n a b ===≥∑∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.二、典型例题与基本方法1.用排序不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,1,nii an=≤∑当且仅当12n a a a ===取等.2.用切比雪夫不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,则11,1nii ni ian na ==≥∑∑当且仅当12n a a a ===取等.3.已知,,0a b c >,证明：888333111.a b c a b c a b c ++++≤4.设,,a b c 是ABC ∆的三边长,证明：222()()()0.a b a b b c b c c a c a -+-+-≥5.设,,,0,a b c d >且22224,a b c d +++=证明：22224+.3a b c d b c d c d a d a b a b c ++≥++++++++6.设0(1,2,,),i a i n >=且11.ni i a ==∑求122313121111nnnn a a a S a a a a a a a a a -=+++++++++++++++的最小值.7.设,,1,a b c >且满足222111 1.111a b c ++=---证明：1111.111a b c ++≤+++8.设,,0,a b c >证明：2().a b b c c a a b c b c c a a b ab bc ca+++++++≤+++++B4.练习姓名：1.用切比雪夫不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,则1nii an=≤∑当且仅当12n a a a ===取等.2.设,,0,x y z >求证：2222220.z x x y y z x y y z z x---++≥+++3.设12,,,(2)n x x x n ≥都是正数,且11,n i i x ==∑求证：1ni =≥A4.排序不等式与切比雪夫不等式参考解答一、基础知识排序不等式：设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≤≤≤12,,,n j j j 是1,2,,n 的任意一个排列.则1111k nnnk n k k j k k k k k a ba b a b -+===≤≤∑∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.可简记为反序和≤乱序和≤同序和.证明：11111111()()(())()kk k i nnnnn kk kkj k k j n k j i j k k k k k k k i a b a ba b b a b b b b a a -+======-=-=-+--∑∑∑∑∑∑111111111111()()()()()0.k i i n nn k k n k kn k j i j k k i j k k k k k i i k i i a b b b b a a b b a a --++=========-+--=--≥∑∑∑∑∑∑∑∑11111111()()(())()kk k i n nn n n kk kkj k k j n k j i j k k k k k k k i a b a ba b b a b b b b a a -+======-=-=-+--∑∑∑∑∑∑.于是11.knnk j k k k k a ba b ==≤∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.111111111111()()(())()k k k i nn n n n kk n k k j k n k j n n k j n i j k k k k k k k i a ba b a b b a b b b b a a 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========-=-=-∑∑∑∑∑∑∑∑于是1111111112(()())()()()()0.n n n n n n nn ni iiiiijjji i j i j i i i i j i j i j na b a b a b b a bb a a b b =========-=-+-=--≥∑∑∑∑∑∑∑∑∑于是111()().n n niii ii i i a b n a b ===≥∑∑∑当且仅当12n aa a ===或12nb b b ===时取等.二、典型例题与基本方法1.用排序不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,1,nii an=≤∑当且仅当12n a a a ===取等.证明：由排序不等式知道12121112111111.nnn n nx x x x x x n x x x x x x -+++≥+++= 即1211.nn n x x x n x x x -+++≥令G =12112122,,,.nn na a a a a a x x x G GG ===于是1211221211211.nn n n nn a a a a a a GG G n a a a a a a a G G G --+++≥即12.na a a n G G G+++≥ 于是1.nii anG =≤∑1.nii an=≤∑当且仅当12n a a a ===取等.2.用切比雪夫不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,则11,1nii ni ian na ==≥∑∑当且仅当12n a a a ===取等.证明：不妨设120,n a a a ≥≥≥>则12111.na a a ≤≤≤由切比雪夫不等式知211111()().nn ni i i i i i in n a a a a ====⋅≤∑∑∑所以11.1ni i ni ia n n a ==≥∑∑当且仅当12n a a a ===取等.3.已知,,0a b c >,证明：888333111.a b c a b c a b c ++++≤证明：不妨设0,a b c ≥≥>则555333333111,,a b c bc ca ab b c c a a b ≥≥≤≤≥≥由排序不等式知 888555555222333333333333333333.a b c a b c a b c a b c a b c b c c a a b c a a b b c c a b++=++≥++=++ 又222333111,,a b c a b c≥≥≤≤于是再使用排序不等式得222222333333111.a b c a b c c a b a b c a b c ++≥++=++所以888333111.a b c a b c a b c ++++≤4.设,,a b c 是ABC ∆的三边长,证明：222()()()0.a b a b b c b c c a c a -+-+-≥证明：等价于证明333222222.a b b c c a a b b c c a ++≥++再等价于222.a b c ab bc cac a b c a b++≥++(*) 不妨设,a b c ≥≥则111.a b c≤≤ 又,,a b c 是ABC ∆的三边长,所以,a b c +>从而()()().a b a b c a b +-≥-即22.a bc b ac +≥+因为,b c a +>从而()()().b c b c a b c +-≥-即22.b ac c ab +≥+所以222.a bc b ac c ab +≥+≥+由排序不等式知222222.a bc b ac c ab a bc b ac c aba b c c a b++++++++≤++ 即222.bc ac ab a b c a b c c a b++≤++于是(*)得证.从而222()()()0.a b a b b c b c c a c a -+-+-≥5.设,,,0,a b c d >且22224,a b c d +++=证明：22224+.3a b c d b c d c d a d a b a b c ++≥++++++++ 证明：不妨设.a b c d ≥≥≥则22221111,.a b c d b c d c d a d a b a b c≥≥≥≥≥≥++++++++先切比雪夫不等式,再使用柯西不等式,最后使用平均值不等式得2222222211114(+)()(+)a b c d a b c d b c d c d a d a b a b c b c d c d a d a b a b c++≥+++++++++++++++++++++211114(1111)644(+)3()3()b c d c d a d a b a b c a b c d a b c d +++=++≥=++++++++++++++16.3≥=于是22224+.3a b c d b c d c d a d a b a b c ++≥++++++++6.设0(1,2,,),i a i n >=且11.ni i a ==∑求122313121111nnnn a a a S a a a a a a a a a -=+++++++++++++++的最小值.解：1212222nna a aS a a a =+++---. 不妨设1210,n a a a >≥≥≥>则121110.222na a a ≥≥≥>--- 使用切比雪夫不等式有12121211111111()()().222222n n nS a a a na a a n a a a ≥++++++=+++------ 在使用柯西不等式得2121211111(111)()().22222221n n n S n a a a n a a a n +++≥+++≥=----+-++-- 当且仅当121n a a a n ====等号成立.所以S 的最小值为.21nn -7.设,,1,a b c >且满足222111 1.111a b c ++=---证明：111 1.111a b c ++≤+++证明：因为2222222221113,111111a b c a b c a b c ++=++-------所以222222 4.111a b c a b c ++=--- 又22222222211144(),111111a b c a b c a b c ++==++------所以2222224440.111a b c a b c ---++=--- 不妨设,a b c ≥≥于是222222,.111111a b c a b c a b c a b c ---+++≥≥≤≤+++--- 这是因为23()111x f x x x -==-++在(1,)+∞单调递增,23()111x g x x x +==+--在(1,)+∞单调递减. 于是使用切比雪夫不等式得22222244412222220()().1113111111a b c a b c a b c a b c a b c a b c ------+++=++≤++++---+++--- 因为,,1,a b c >所以2220.111a b c a b c +++++>--- 于是2220.111a b c a b c ---++≥+++ 因为22213131311133()0.111111111a b c a b c a b c a b c a b c ---+-+-+-++=++=-++≥+++++++++ 所以1111.111a b c ++≤+++8.设,,0,a b c >证明：2().a b b c c a a b c b c c a a b ab bc ca+++++++≤+++++ 证明：即证2()()().a b b c c aab bc ca a b c b c c a a b+++++++≤+++++ 因为()()().a b a b bcab bc ca a a b b c b c ++++=++++ 同理()()().b c b c caab bc ca b b c c a c a++++=++++()()().c a c a abbc ca ab c c a a b a b++++=++++ 于是()()()()()()()()a b b c c a a b bc b c ca c a abab bc ca a a b b b c c c a b c c a a b b c c a a b++++++++++≤++++++++++++++ 222()()().a b bc b c ca c a aba b c ab bc ca b c c a a b+++=+++++++++++于是只须证明()()().a b bc b c ca c a abab bc ca b c c a a b+++++≤+++++(*)不妨设,a b c ≥≥于是111.a b c ≤≤从而111111.a b b c c a +≤+≤+即.a b c a b cab ca bc+++≤≤ 所以.ab ca bca b c a b c≥≥+++又.a b a c b c +≥+≥+ 使用排序不等式得()()()()()().a b bc b c ca c a ab ab ca bca b c a b c ab bc ca b c c a a b a b c a b c+++++≤+++++=++++++++于是(*)得证.从而2().a b b c c a a b c b c c a a b ab bc ca+++++++≤+++++B4.练习姓名：1.用切比雪夫不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,则1nii an=≤∑当且仅当12n a a a ===取等.证明：不妨设120.n a a a ≥≥≥>由切比雪夫不等式知2211111()()().nnnnnii i i i i i i i i i nan a a a a a ======⋅≤=∑∑∑∑∑所以1nii an=≤∑当且仅当12n a a a ===取等.2.设,,0,x y z >求证：2222220.z x x y y z x y y z z x---++≥+++ 证明：所证不等式等价于222222.z x y x y z x y y z x z x y y z z x++≥++++++++(*) 不妨设,x y z ≤≤则222111,.x y z x y x z y z≤≤≥≥+++ 使用排序不等式得(*). 所以原不等式成立.3.设12,,,(2)n x x x n ≥都是正数,且11,n i i x ==∑求证：1ni =≥证明：不妨设12,n x x x ≥≥≥11x ≥≥≥-使用切比雪夫不等式得1111()(nnn ni i i i x n ===≥=∑使用柯西不等式得1ni n=≤==于是1nni =≥≥。

竞赛数学中几类不等式的解法

竞赛数学中几类不等式的解法1．排序不等式定理1 设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤，则有1211...n n n a b a b a b -+++ (倒序积和)1212...n r r n r a b a b a b ≤+++（乱序积和）1122 ...n n a b a b a b ≤+++（顺序积和）其中1,2,...,n r r r 是实数组1,2,...,n b b b 一个排列，等式当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时成立.（说明：本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和.）证明：考察右边不等式，并记1212...n r r n r S a b a b a b =+++。

不等式 1212...n r r n r S a b a b a b ≤+++的意义：当121,2,...,n r r r n ===时，S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++.因此，首先证明n a 必需和n b 搭配，才能使S 达到最大值.也即，设n r n <且n b 和某个()k a k n <搭配时有.n n k n n r k r n n a b a b a b a b +≤+ （1-1）事实上，()()()0n n n n n k r k n n r n r n k a b a b a b a b b b a a +-+=--≥不等式（1-1）告知咱们当n r n <时，调换n b 和n r b 的位置（其余n-2项不变），会使和S 增加.同理，调整好n a 和n b 后，再调整1n a -和1n b -会使和增加.通过n 次调整后，和S 达到最大值1122 ...n na b a b a b +++，这就证明了1212...n r r n r a b a b a b +++1122 ...n n a b a b a b ≤+++.再证不等式左端,由1211...,...n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-及已证明的不等式右端，得1211(...)n n n a b a b a b --+++1212(...)n r r n r a b a b a b ≥-+++ 即 1211...n n n a b a b a b -+++1212...n r r n r a b a b a b ≤+++ .例1 （美国第3届中学生数学竞赛题）设a,b,c 是正数，求证：3()a b c a b ca b c abc ++≥.思路分析：考虑两边取常常利用对数，再利用排序不等式证明. 证明：不妨设a b c ≥≥，则有lg lg lg a b c ≥≥ 按照排序不等式有：lg lg lg lg lg lg a a b b c c a b b c c a ++≥++lg lg lg lg lg lg a a b b c c a c b a c b ++≥++ 以上两式相加，两边再别离加上 lg lg lg a a b b c c ++ 有 3(lg lg lg )()(lg lg lg )a a b b c c a b c c a b ++≥++++ 即 lg lg 3a b c a b ca b c abc ++≥故 3()a b c a b ca b c abc ++≥ .例2 设a,b,c R +∈，求证：222222333222a b b c c a a b c a b c c a b bc ca ab+++++≤++≤++. 思路分析：中间式子每项都是两个式子之和，将它们拆开，再用排序不等式证明.证明：不妨设a b c ≥≥，则 222a b c ≥≥且111c b a≥≥按照排序不等式，有222222111a b c a b c c a b a b c++≥++ 222222111a b c a b c b c a a b c++≥++两式相加除以2，得222222222a b b c c a a b c c a b+++++≤++再考虑333a b c ≥≥，而且111bc ca ab≥≥利用排序不等式，333333111 a b c a b c bc ca ab ca ab bc++≥++ 333333111a b c a b c bc ca ab ab bc ac++≥++两式相加并除以2，即得222222333222a b b c c a a b c c a b bc ca ab+++++≤++ 综上所述，原不等式得证.例3 设12120...,0...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤≤≤，而1,2,...,n i i i 与1,2,...,n j j j 是1,2,...,n 的两个排列. 求证：1111r s nnn ni j r sr s r s a b a b r sr s====≥++∑∑∑∑. （1-2）思路分析：已知条件中有两组有序实数，而式（1-2）具有“积和”形式，考虑利用排序不等式. 证明：令 1snj r s b d r s==+∑（r=1,2,...,n ）显然 12...n d d d ≥≥≥ 因为 12...n b b b ≤≤≤ ，且111...(1)1r n r n r ≤≤≤++-+ 由排序不等式 1nsr s b d r s=≤+∑又因为 12...n a a a ≤≤≤所以 11r n n r r i r r r a d a d ==≤∑∑且111n nnsr r r r s r b a a d r s ===≤+∑∑∑（注意到r a ≥0）故 11111r s sr nnn nni j j ir i r r s r s r a b b a a d r sr s=======++∑∑∑∑∑11111n n nn ns r s r r r r r s r s b a ba d a r s r s=====≥≥=++∑∑∑∑∑ 故原式得证.2.均值不等式定理2 设12,,...,n a a a 是n 个正数，则()()()()H n G n A n Q n ≤≤≤称为均值不等式. 其中，121()111...nH n a a a =+++，()G n =12...()na a a A n n+++=，()Q n =别离称为12,,...,n a a a 的调和平均数，几何平均数，算术平均数，均方根平均数. 证明：先证 ()()G n A n ≤. 记c = ii a b c=，则原不等式12...n b b b n ⇔+++≥ 其中 12121...(...)1n n nb b b a a ac == 取 12,,...,n x x x 使 11212123,,...,,n n n x x xb b b x x x --=== 则 1.n n x b x = 由排序不等式，易证111221......n n n n x x x b b b n x x x -+++=+++≥ 下证 ()()A n Q n ≤因为 222212121...[(...)n n a a a a a a n+++=+++22212131()()...()n a a a a a a +-+-++-2222232421()()...()...()n n n a a a a a a a a -+-+-++-++-]2121(...)n a a a n≥+++ 所以12...n a a a n +++≤从上述证明知道，当且仅当12...n a a a ===时，不等式取等号. 下面证明 ()()H n G n ≤ 对n 个正数12111,,...,na a a ，应用 ()()G n H n ≤，得12111...n a a a n +++≥即 ()()H n G n ≤（等号成立的条件是显然的）.例4已知2201,0a x y <<+=，求证：1log ()log 28x y a a a a +≤+.证明：由于 01a <<，0,0x y a a >>，有x y a a +≥=从而log ()log log 22x y a a a x ya a ++≤=+ 下证128x y +≤ ，即 14x y +≤。

不等式的解法

不等式的解法不等式是数学中常见的一种关系式，描述了数值之间的大小关系。

它是由不等号（例如>, <, ≥, ≤, ≠）连接的两个数或表达式组成的。

解不等式就是找出满足该不等式的所有数值。

在解不等式的过程中，需要考虑不等式中的未知数、常数以及可能存在的绝对值、平方根等特殊情况。

以下是几种常见的不等式解法方法：一、加减法解不等式若不等式中的未知数带有符号，并且仅涉及到加减法运算，则可以通过移项的方式解不等式。

具体步骤如下：1. 将所有含有未知数的项放在一边，将常数放在另一边，确保未知数的系数为正数；2. 合并同类项；3. 如果未知数系数为负数，将不等号反转；4. 如果不等式两侧都含有未知数，则根据大小关系进行筛选；5. 最后化简，得到不等式的解。

举例说明：解不等式2x + 5 < 7 - x。

1. 将所有含有未知数的项放在一边，将常数放在另一边，得到2x + x < 7 - 5；2. 合并同类项，得到3x < 2；3. 未知数系数为正数，不需要改变不等号；4. 进行筛选，得到x < 2/3；5. 最后化简，得到解集{x | x < 2/3}。

二、乘除法解不等式若不等式中的未知数带有符号，并且仅涉及到乘除法运算，则可以通过乘除法的逆运算解不等式。

具体步骤如下：1. 将不等式中的未知数项移动一侧，将常数项移动到另一侧；2. 如果是乘法，则将未知数系数为正数；3. 如果是除法，则需考虑被除数符号与除数符号的关系；4. 根据大小关系进行筛选；5. 最后化简，得到不等式的解。

举例说明：解不等式3x - 4 > 2x + 1。

1. 将未知数项移动到一侧，将常数项移动到另一侧，得到3x - 2x > 1 + 4；2. 未知数系数为正数，不需要改变不等号；3. 进行筛选，得到x > 5；4. 最后化简，得到解集{x | x > 5}。

三、绝对值不等式的解法对于含有绝对值的不等式，需要分情况进行讨论。

竞赛数学中几类不等式的解法

竞赛数学中几类不等式的解法1．排序不等式定理1 设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤，则有1211...n n n a b a b a b -+++ (倒序积和)1212...n r r n r a b a b a b ≤+++（乱序积和） 1122 ...n n a b a b a b ≤+++（顺序积和）其中1,2,...,n r r r 是实数组1,2,...,n b b b 一个排列，等式当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时成立.（说明：本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和.）证明：考察右边不等式，并记1212...n r r n r S a b a b a b =+++。

不等式 1212...n r r n r S a b a b a b ≤+++的意义：当121,2,...,n r r r n ===时，S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++.因此，首先证明n a 必须和n b 搭配，才能使S 达到最大值.也即，设n r n <且n b 和某个()k a k n <搭配时有.n n k n n r k r n n a b a b a b a b +≤+ （1-1）事实上，()()()0n n n n n k r k n n r n r n k a b a b a b a b b b a a +-+=--≥不等式（1-1）告诉我们当n r n <时，调换n b 和n r b 的位置（其余n-2项不变），会使和S 增加.同理，调整好n a 和n b 后，再调整1n a -和1n b -会使和增加.经过n 次调整后，和S 达到最大值1122 ...n na b a b a b +++，这就证明了1212...n r r n r a b a b a b +++1122 ...n n a b a b a b ≤+++. 再证不等式左端,由1211...,...n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-及已证明的不等式右端，得1211(...)n n n a b a b a b --+++1212(...)n r r n r a b a b a b ≥-+++ 即 1211...n n n a b a b a b -+++1212...n r r n r a b a b a b ≤+++ .例1 （美国第3届中学生数学竞赛题）设a,b,c 是正数，求证：3()a b c a b ca b c abc ++≥.思路分析：考虑两边取常用对数，再利用排序不等式证明. 证明：不妨设a b c ≥≥，则有lg lg lg a b c ≥≥ 根据排序不等式有：lg lg lg lg lg lg a a b b c c a b b c c a ++≥++lg lg lg lg lg lg a a b b c c a c b a c b ++≥++ 以上两式相加，两边再分别加上 lg lg lg a a b b c c ++ 有 3(lg lg lg )()(lg lg lg )a a b b c c a b c c a b ++≥++++ 即 lg lg 3a b c a b ca b c abc ++≥故 3()a b c a b ca b c abc ++≥ .例2 设a,b,c R +∈，求证：222222333222a b b c c a a b c a b c c a b bc ca ab+++++≤++≤++. 思路分析：中间式子每项都是两个式子之和，将它们拆开，再用排序不等式证明.证明：不妨设a b c ≥≥，则 222a b c ≥≥且111c b a≥≥根据排序不等式，有222222111a b c a b c c a b a b c++≥++ 222222111a b c a b c b c a a b c++≥++两式相加除以2，得222222222a b b c c a a b c c a b+++++≤++再考虑333a b c ≥≥，并且111bc ca ab≥≥ 利用排序不等式，333333111 a b c a b c bc ca ab ca ab bc++≥++ 333333111a b c a b c bc ca ab ab bc ac++≥++ 两式相加并除以2，即得222222333222a b b c c a a b c c a b bc ca ab+++++≤++ 综上所述，原不等式得证.例3 设12120...,0...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤≤≤，而1,2,...,n i i i 与1,2,...,n j j j 是1,2,...,n 的两个排列. 求证：1111r s nnnni j r sr s r s a b a b r sr s ====≥++∑∑∑∑. （1-2）思路分析：已知条件中有两组有序实数，而式（1-2）具有“积和”形式，考虑使用排序不等式. 证明：令 1snj r s b d r s==+∑（r=1,2,...,n ）显然 12...n d d d ≥≥≥ 因为 12...n b b b ≤≤≤ ，且 111...(1)1r n r n r ≤≤≤++-+ 由排序不等式 1nsr s b d r s=≤+∑又因为 12...n a a a ≤≤≤所以 11r n n r r i r r r a d a d ==≤∑∑且111n nnsr r r r s r b a a d r s ===≤+∑∑∑（注意到r a ≥0）故 11111r s sr n nn nni j j ir i r r s r s r a b b a a d r sr s=======++∑∑∑∑∑11111nnnn ns r s r r r r r s r s b a ba d a r s r s=====≥≥=++∑∑∑∑∑ 故原式得证.2.均值不等式定理2 设12,,...,n a a a 是n 个正数，则()()()()H n G n A n Q n ≤≤≤称为均值不等式. 其中，121()111...nH n a a a =+++，()G n =12...()na a a A n n+++=，()Q n =分别称为12,,...,n a a a 的调和平均数，几何平均数，算术平均数，均方根平均数. 证明：先证 ()()G n A n ≤. 记c = ii a b c=，则原不等式12...n b b b n ⇔+++≥ 其中 12121...(...)1n n nb b b a a ac == 取 12,,...,n x x x 使 11212123,,...,,n n n x x xb b b x x x --=== 则 1.n n x b x = 由排序不等式，易证111221......n n n n x x x b b b n x x x -+++=+++≥ 下证 ()()A n Q n ≤因为 222212121...[(...)n n a a a a a a n+++=+++22212131()()...()n a a a a a a +-+-++- 2222232421()()...()...()n n n a a a a a a a a -+-+-++-++-] 2121(...)n a a a n≥+++ 所以12...n a a a n +++≤从上述证明知道，当且仅当12...n a a a ===时，不等式取等号. 下面证明 ()()H n G n ≤ 对n 个正数12111,,...,na a a ，应用 ()()G n H n ≤，得12111...n a a a n +++≥即 ()()H n G n ≤（等号成立的条件是显然的）.例4已知2201,0a x y <<+=，求证：1log ()log 28x y a a a a +≤+.证明：由于 01a <<，0,0x y a a >>，有x y a a +≥=从而log ()log log 22x y a a a x ya a ++≤=+ 下证128x y +≤ ，即 14x y +≤。

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（1-
由 a1 a2 ... an , bn bn1 ... b1 及已证明的不等式右端，
得
即
(a1bn a2bn1 ... anb1) (a1br1 a2br2 ... anbrn )
a1bn a2bn1 ... anb1 a1br1 a2br2 ... anbrn .
a lg a b lg b c lg c a lg c b lg a c lg b
以上两式相加，两边再分别加上 a lg a b lg b c lg c
有
即
故
3(a lg a b lg b c lg c) (a b c)(lg c lg a lg b)
b1 b2 ... bn ，且
由排序不等式
又因为
n s 1
bs r
a1 a2 ... an
s

（r=1, 2,..., n ）
dr
2b
2b bc ca ab
1 1 ... 1
r n r (n 1)
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对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

数学竞赛技巧解不等式的方法与技巧

数学竞赛技巧解不等式的方法与技巧不等式是数学竞赛中常见的题型，解不等式是考察学生对数学知识的掌握和解题能力的重要手段。

下面将介绍一些解不等式的方法与技巧，希望对广大数学竞赛爱好者有所帮助。

一、拆分、合并法在解不等式时，我们有时可以通过拆分和合并的方法将复杂的不等式化简成简单的形式。

拆分法：针对复杂的不等式，我们可以将其拆分成若干个简单的不等式，然后分别求解。

例如，对于不等式2x + 3 > 5x - 1，我们可以将其拆分成两个不等式2x + 3 > 5x - 1和2x + 3 < 5x - 1，再分别求解。

合并法：针对简单的不等式，我们可以通过合并的方法将其化简成更简单的形式。

例如，对于不等式2x + 3 > 5x - 1，我们可以将其化简为3 > 3x，再求解。

二、绝对值法对于带有绝对值的不等式，我们可以通过绝对值法求解。

首先，我们需要将绝对值中的参数拆分成两种情况，正数和负数。

然后，分别解得各自情况下的不等式，并取交集。

例如，对于不等式|2x - 1| > 3，我们可以将其拆分成两个不等式2x - 1 > 3和2x - 1 < -3，再分别求解，然后取交集得到最终解。

三、二次函数法对于一些复杂的二次不等式，利用二次函数的性质可以有效地求解。

首先，我们需要将二次函数转化为标准形式，即形如f(x) = ax² + bx + c的形式。

然后，通过绘制函数图像，分析抛物线开口的方向和与坐标轴的交点情况，得出不等式的解集。

例如，对于不等式x² + x - 2 > 0，我们可以将其转化为f(x) = x² + x - 2 > 0的形式，然后绘制函数图像，分析得出x > 1或x < -2，最终解为{x｜x > 1或x < -2}。

四、倒置法倒置法是一种常用的解不等式的技巧。

它适用于那些具有对称性的不等式。

高中竞赛不等式公式大全

高中竞赛不等式公式大全（实用版）目录1.竞赛不等式的基本概念2.高中竞赛不等式的分类3.高中竞赛不等式的解题技巧4.高中竞赛不等式的应用实例正文【高中竞赛不等式公式大全】一、竞赛不等式的基本概念竞赛不等式是高中数学竞赛中经常出现的一类题型，它涉及到较深的数学知识，需要运用较高的数学技巧来解决。

竞赛不等式主要考察学生的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。

二、高中竞赛不等式的分类高中竞赛不等式主要分为以下几类：1.一元一次不等式：涉及一个未知数，未知数的次数是一次的。

2.一元二次不等式：涉及一个未知数，未知数的次数是二次的。

3.多元不等式：涉及多个未知数。

4.绝对值不等式：包含绝对值符号的不等式。

5.复合不等式：包含多个不等式的不等式。

三、高中竞赛不等式的解题技巧1.符号法则：根据不等式的符号，确定未知数的取值范围。

2.同向相乘，反向相加：将不等式中的乘法项同向相乘，加法项反向相加，使不等式变形，便于求解。

3.移项：将不等式中的项移到同一侧，使未知数的系数为 1。

4.分类讨论：根据不等式的特点，对未知数的取值范围进行分类讨论，求解不等式。

5.利用基本不等式：运用基本不等式求解复杂的不等式。

四、高中竞赛不等式的应用实例1.求解一元一次不等式：根据符号法则，同向相乘，反向相加，移项等技巧，求解一元一次不等式。

2.求解一元二次不等式：运用符号法则，同向相乘，反向相加，移项，分类讨论等技巧，求解一元二次不等式。

3.求解多元不等式：根据不等式的特点，运用分类讨论，符号法则等技巧，求解多元不等式。

4.求解绝对值不等式：利用绝对值不等式的性质，运用符号法则，同向相乘，反向相加等技巧，求解绝对值不等式。

5.求解复合不等式：根据不等式的特点，运用符号法则，同向相乘，反向相加，移项，分类讨论等技巧，求解复合不等式。