竞赛数学中几类不等式的解法

竞赛数学中几类不等式的解法

摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。 希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。

关键词：排序不等式；平均值不等式；柯西不等式；切比雪夫不等式

不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个著名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用.

1．排序不等式

定理1 设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤，则有

1211...n n n a b a b a b -+++ (倒序积和) 1212...n r r n r a b a b a b ≤+++（乱序积和）

1122 ...n n a b a b a b ≤+++（顺序积和）

其中1,2,...,n r r r 是实数组1,2,...,n b b b 一个排列，等式当且仅当12...n a a a ===或

12...n b b b ===时成立.

（说明： 本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和.） 证明：考察右边不等式，并记1212...n r r n r S a b a b a b =+++。

不等式 1212...n r r n r S a b a b a b ≤+++的意义：当121,2,...,n r r r n ===时，S 达到最大值

1122 ...n n a b a b a b +++.因此，首先证明n a 必须和n b 搭配，才能使S 达到最大值.也即，设n r n <且n b 和某个()k a k n <搭配时有

.n n k n n r k r n n a b a b a b a b +≤+ （1-1） 事实上，

()()()0n n n n n k r k n n r n r n k a b a b a b a b b b a a +-+=--≥

不等式（1-1）告诉我们当n r n <时，调换n b 和n r b 的位置（其余n-2项不变），会使和S 增加.同理，调整好n a 和n b 后，再调整1n a -和1n b -会使和增加.经过n 次调整后，和S 达

到

最

大

值

1122 ...n n

a b a b a b +++，这就证明了

1212...n r r n r a b a b a b +++1122 ...n n a b a b a b ≤+++.

再证不等式左端,

由1211...,...n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-及已证明的不等式右端， 得

1211(...)n n n a b a b a b --+++1212(...)n r r n r a b a b a b ≥-+++ 即 1211...n n n a b a b a b -+++1212...n r r n r a b a b a b ≤+++ .

例1 （美国第3届中学生数学竞赛题）设a,b,c 是正数，求证：3

()a b c

a b c

a b c abc ++≥.

思路分析：考虑两边取常用对数，再利用排序不等式证明. 证明：不妨设a b c ≥≥，则有lg lg lg a b c ≥≥ 根据排序不等式有：

lg lg lg lg lg lg a a b b c c a b b c c a ++≥++

lg lg lg lg lg lg a a b b c c a c b a c b ++≥++ 以上两式相加，两边再分别加上 lg lg lg a a b b c c ++ 有 3(lg lg lg )()(lg lg lg )a a b b c c a b c c a b ++≥++++

即 lg lg 3

a b c a b c

a b c abc ++≥

故 3

()a b c a b c

a b c abc ++≥ .

例2 设a,b,c R +

∈，求证：222222333

222a b b c c a a b c a b c c a b bc ca ab

+++++≤

++≤++. 思路分析：中间式子每项都是两个式子之和，将它们拆开，再用排序不等式证明.

证明：不妨设a b c ≥≥，则 222a b c ≥≥且111

c b a

≥≥

根据排序不等式，有

222222111a b c a b c c a b a b c

++≥++ 222222111

a b c a b c b c a a b c

++≥++

两式相加除以2，得

222222222a b b c c a a b c c a b

+++++≤++

再考虑333a b c ≥≥，并且111

bc ca ab

≥≥

利用排序不等式，

333333111 a b c a b c bc ca ab ca ab bc

++≥++ 333333111

a b c a b c bc ca ab ab bc ac

++≥++

两式相加并除以2，即得

222222333

222a b b c c a a b c c a b bc ca ab

+++++≤++ 综上所述，原不等式得证.

例3 设12120...,0...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤≤≤，而1,2,...,n i i i 与1,2,...,n j j j 是1,2,...,n 的两个排列.