抛物线焦点弦的弦长公式

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关于抛物线焦点弦的弦长公式

在高中教材第八章中有关于已知倾斜角的焦点弦,求焦点弦的弦长的问题,其中只介绍了开口向右时的焦点弦的长度计算问题:

(1)已知:抛物线的方程为px y 22

=)0(>p ,过焦点F 的弦AB 交抛物线于A B 两点,且弦AB 的倾斜角为θ,求弦AB 的长。

解:由题意可设直线AB 的方程为)2

(p

x k y -=)2

θ≠将其代入抛物线方程整理

得:

0)84(42

2

2

2

2

=+

+-k

p k x

k

x p p ,且θtan =k

设A,B 两点的坐标为),(),,(2211y x y x 则:k

k x x p

p 2

2

212+=+,4

2

21p x x =

当2

π

θ=

时,斜率不存在,1sin =θ,|AB|=2p.即为通径

而如果抛物线的焦点位置发生变化,则以上弦长公式成立吗这只能代表开口向右时的弦长计算公式,其他几种情况不尽相同。 现在我们来探讨这个问题。

(2)已知:抛物线的方程为)0(22

>=p py x ,过焦点的弦AB 交抛物线于A,B 两点,直线AB 倾斜角为θ,求弦AB 的长。

解:设A,B 的坐标为),(),,(2211y x y x ,斜率为k )tan (θ=k ,而焦点坐标为)2

,0(p ,故AB 的方程为kx p

y =-

2

,将其代入抛物线的方程整理得: ,022

2

=-

-p

x

pkx 从而p

x x x x pk 2

2121,2-

==+,

弦长为:)

(cos )(2

212

2

24211||θp

AB x x x x k

=

-+=+

p AB 2||,1cos ,0===θθ,即为通径。

而px y 22

-=与(1)的结果一样,py x 22

-=与(2)的结果一样,但是(1)

与(2)的两种表达式不一样,为了统一这两种不同的表达式,只须作很小的改动即可。现将改动陈述于下:

(3)已知:抛物线的方程为px y 22

=)0(>p ,过焦点F 的弦AB 交抛物线于A ,B 两点,且弦AB 与抛物线的对称轴的夹角为θ,求弦AB 的长。

解:由题意可设直线AB 的方程为)2

(p x k y -=)2

θ≠将其代入抛物线方

程整理得:

0)84(42

2

2

2

2

=+

+-k

p k x

k

x p p ,

若倾斜角2

π

α<

,则θαθαtan tan ,===k ;

若倾斜角,2

π

α>则)tan(tan ,θπαθπα-==-=k 。

设A,B 两点的坐标为),(),,(2211y x y x 则:k

k x x p

p 2

2

212+=

+,4

2

21p x x =

而αθπαθsin )sin(,sin sin =-=,故)

(sin 2

2||θp

AB =;

当2

π

θ=

时,1sin =θ,|AB|=2p.即为通径。

而px y 22

-=与(3)的结果一样

同理:(4)已知:抛物线的方程为)0(22

>=p py x ,过焦点的弦AB 交抛物线于A,B 两点,直线AB 与抛物线的对称轴的夹角为θ,求弦AB 的长。 解:设A,B 的坐标为),(),,(2211y x y x ,若倾斜角为α,斜率为k , 则αtan =k ,而焦点坐标为)2

,0(p , 故AB 的方程为kx p

y =-

2

,将其代入抛物线的方程整理得: ,022

2

=-

-p

x

pkx 从而p

x x x x pk 2

2121,2-

==+,

弦长为:)

(cos )(2

212

2

24211||αp

AB x x x x k

=

-+=+

当倾斜角2

π

α<

,则θθπ

αθπ

αsin )2

cos(cos ,2=-=-=

; 当倾斜角,2

π

α>则θθπ

αθπ

αsin )2

cos(cos ,2-=+=+= 所以)

(sin 2

2||θp

AB =恒成立。

当2

π

θ=

时,1sin =θ,|AB|=2p.即为通径。

而py x 22-=与(4)的结果一样。

故只要直线AB 与抛物线的对称轴的夹角为θ,那么不论抛物线的开口向上,向下,向左还是向右,过焦点的弦的弦长都可以用一个公式表示,即

)

(sin 2

2||θp

AB =

。这个公式包含了抛物线的四种开口形式,没有了因为开口

不同而导致的公式不同,便于记忆,便于应用,是一个很好的弦长公式,这里推荐给大家使用。

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