2020年高考平面向量常考题型总结

平面向量题型分类
题型一：向量模的求法 r r r _ r r r 【例1】设向量a, b 满足|a| 1,|a b| 73, a (a b) 0 ,求12a b| 【点评】公式 |a b । . (a b)2
\a
2ago b a 2 |a ||b | cos
r 2
一 ‘一 ，一.
b
2
是求向量的模常用的
公式，在利用该公式求解时，要先求出其它基本量，再代入公式
r r r r r r
【变式1】已知向量a,b 满足|a| 2,|b| 1,|a b| 2. (1)求a b 的值；(2)求|a b|的值.
【例2】已知向量a 2
4 r r ,、 (i)右a b ,求
(sin ,1),b (1,cos ),
2
,、r J ,一 一 ；(n)
求a b 的取大值.
【变式2
】已知直角梯形ABCD ，AD 〃BC ，ADC 900
，AD 2, BC 1,p 是腰DC 上的动点, urn uur
则PA 3PB 的最小值为.
方法二
利用公式cos ；X1X2 y1y2——求解.
/ 2 2/2 2
7x y1 y x2 y
使用情景一般有坐标背景.
解题步骤先求出a,b的坐标，再代入公式cos j x1'2yy——求解.
/ 2 2 J 2 2
V x1 y v x2 y2
方法一
r r
利用公式cos a,b
u
r
a
i
b
1
-求解.
使用情景一般没有坐标背景.
解题步骤
r r r r
先求a案, | a |,|b |,再代入公式cos
r r
a,b -
uu
r
ago
r r
a b
■求解.
rrru r r r r r r
【例1】已知x a b, y 2a b,且|a| |b| 1,a b.
r ir r u
(1)求| x |和| y | ；(2)求x, y夹角的余弦值.
r r r r r r r r r r r 【变式1】已知a, b都是非零向量，且a 3b与7a 5b垂直，a 4b与7a 2b垂直，求a与b的夹角.
r r _ r r _
【变式2】已知|a| 1,|b|邪,a b (邪,1),
r r r r r r
(1)试求|a b|; (2)a b与a b的夹角.
题型三：向量位置关系问题的解法
【例1】设两非零向量a和b不共线，如果AB=a + b,CD=3(a—b), BC 2a 8b, 求证：A、B、D三点共线.
【变式1】设5、b是两个不共线的非零向量(t R)
(1)记OA a,OB tb,OC La b),那么当实数t为何值时，A、B、C三点共线?
3
⑵ 若|a| |b| 1且Wb夹角为120 ,那么实数x为何值时|a xb|的值最小？
［例2］已知PQ过三角形OAB的重心G,且P、Q分别在OA、OB上，设
uur uuu uur uuu 1 1
OP mOA,OQ mOB, m、n R,则' '的值为. n m
【变式2】如图，在平行四边形 ABCD 中，M 、N 分别是AB 、AD 上的点，且
uuur 3 uuu uuir 2 uuur unr uuur AM -AB, AN —AD,连接AC 、MN 交于点P 点，若AP AC ,则 的值为（
）
4 3
方法二 利用两个向重平仃或垂直的充要条件(坐标背景)
使用情景 已知条件涉及坐标.
解题步骤
直接证明 x 1y 2 x 2 y l
0 或 x 1x 2 y 1y 2 0.
r
【例3】已知a (1,2), b ( 3,2)，当k 为何值时,
r r r r
(1) ka b 与 a 3b 垂直？
r r
(2) ka b 与a 3 b 平行？平行时它们是同向还是反向?
uuu uuu umr
【变式 3】已知向量 OA (3, 4),OB (6, 3),OC (5 m, (3 m)).
⑴若点A 、B 、C 不能构成三角形，求实数 m 应满足的条件；
(2)若ABC 为直角三角形，求实数 m 的值.
A.
6 17
B.
13
C . 3
7
D.
3
方4-
r r
坐标公式agb x1x2y1y2求解
使用情景已知中涉及了坐标或方便建立坐标系.
解题步骤
r r r r
先求出对应向量a,b的坐标，再代入公式agb x1x2y1y2计算.
方法二公式1 • b=| a|| b | cos 求解
使用情景一般没用坐标，也不方便建立直角坐标系^
解题步骤
r r r r r r
先分别计算出|a|,|b|,cos ,再代入公式a • b二|a|| b| cos求解.
【例1】已知正方形ABCD的边长为2,点E是AB边上的中点，则
uur uur
DE?DC的值为(
A. 1
B. 2
C. 4
D. 6
【变式1】在ABC中，AB AC
uur uur
AE AF =(
AB AC , AB 2 , AC 1 , E、F为BC的三等分点，则
A. 8
9
10
9
25
9
26
9 【例2】
uuur r uuu
等边ABC的边长为1,记BC a,CA
r uuu r
b, AB c,
r
a等【变式2】ABC的外接圆半径为1,圆心点为O,
uu
r
uu
r
AC
uuu
20A
urn uu
r
CB
A. 3
uuuu 1 uuu 2 uuu 【例3】若等边ABC的边长为2，3,平面内一点M满足CM -CB — CA ,则
6 3
uuir umr
MA MB ______________
uur uur 【变式3】如图，在边长为2的菱形ABCD中，BAD 600 , E为BC中点，则AE BD =()
A. - 3
B. 0
C. - 1
D. 1。