《2.9第九节 函数与方程》 教案

教学过程

一、课堂导入

前面我们复习了函数有关的性质及几种常的函数，也研究过方程有关的问题．那么，函数与方程之间有什么联系呢？今天我们就来研究这个话题

1.函数图像的作法

2.函数图像的变换

考点1函数的零点

(1)定义：

对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．

(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系：

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

(3)函数零点的判定(零点存在性定理)：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根

考点2二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系

考点3二分法的定义

对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

四、例题精析 【例题1】

【题干】 (1)在下列区间中，函数f (x )＝e －x －4x －3的零点所在的区间为( )

A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3

4，－12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1

2，－14 C.⎝ ⎛⎭

⎪⎫－14，0 D.⎝ ⎛

⎭

⎪⎫0，14 (2)已知[x ]表示不超过实数x 的最大整数，g (x )＝[x ]为取整函数，x 0是函数f (x )＝ln x －2

x 的零点，则g (x 0)等于________．

【答案】 (1)B (2)2

【解析】 (1) 易知函数f (x )在R 上是单调减函数．对于A ，注意到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝e 34－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－3＝e 34>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝e 1

2－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－3

＝e 1

2

－1>0，因此函数f (x )＝e －x

－4x －3的零点不在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，－12上；对于B ，注意到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝e 14－4×⎝ ⎛⎭

⎪⎫－14－3＝e 14

－2<41

4

－2<0，因此在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－14上函数f (x )＝e －x －4x －3一定存在零点；对于C ，注意到f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－14<0，f (0)＝－2<0，因此函数f (x )＝e －

x －4x

－3的零点不在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0上；对于D ，注意到f (0)＝－2<0，f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

14＝e 14-－4×14－3＝e 1

4-－4<0，因此函数f (x )＝e －x －4x －3的零点不

在区间⎝ ⎛

⎭

⎪⎫0，14上．

(2) ∵函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴函数f ′(x )＝1x ＋2

x 2>0，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．由f (2)＝ln 2－1<0，f (e)＝ln e －2

e >0，知x 0∈(2，e)，

∴g (x 0)＝[x 0]＝2.

【例题2】

【题干】已知符号函数sgn(x )＝⎩⎨⎧

1，x >0，

0，x ＝0，

－1，x <0，

则函数f (x )＝sgn(x －1)－ln x 的零点个数为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【答案】C

【解析】依题意得，当x－1>0，即x>1时，f(x)＝1－ln x，令f(x)＝0得x＝e>1；当x－1＝0，即x＝1时，f(x)＝0－ln 1＝0；当x

－1<0，即x<1时，f(x)＝－1－ln x，令f(x)＝0得x＝1

e<1.因此，函数f(x)的零点个数为3.

【例题3】

【题干】已知函数f(x)＝－x2＋2e x＋m－1，g(x)＝x＋e2

x(x>0)．

(1)若y＝g(x)－m有零点，求m的取值范围；

(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．

【解析】(1)法一：∵g (x )＝x ＋e 2x

≥2e 2＝2e ， 等号成立的条件是x ＝e ，

∴g (x )的值域是[2e ，＋∞)．

因而只需m ≥2e ，则y ＝g (x )－m 就有零点．

法二：作出g (x )＝x ＋e 2x (x >0)的大致图象如图：

可知若使y ＝g (x )－m 有零点，则只需m ≥2e.

(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，

作出g (x )＝x ＋e 2x

(x >0)的大致图象． ∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2.

∴其图象的对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2.

故当m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．

∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．

【例题4】

【题干】 (2012·福建高考)对于实数a 和b ，定义运算“*”：

a *

b ＝⎩⎨⎧ a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a >b .

设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是

________．