三矩阵的基本运算

第三节矩阵的基本运算
§3.1 加和减
§3.2矩阵乘法
§3.2.1 矩阵的普通乘法
§3.2.2 矩阵的Kronecker乘法
§3.3 矩阵除法
§3.4矩阵乘方
§3.5 矩阵的超越函数
§3.6数组运算
§3.6.1数组的加和减
§3.6.2数组的乘和除
§3.6.3 数组乘方
§3.7 矩阵函数
§3.7.1三角分解
§3.7.2正交变换
§3.7.3奇异值分解
§3.7.4 特征值分解
§3.7.5秩
§3.1 加和减
如矩阵A和B的维数相同，则A+B与A-B表示矩阵A与B的和与差．如果矩阵A和B的维数不匹配，Matlab会给出相应的错误提示信息．如：
A= B=
1 2 3 1 4 7
4 5 6 2 5 8
7 8 0 3 6 0
C =A+B返回：
C =
2 6 10
6 10 14
10 14 0
如果运算对象是个标量（即1×1矩阵），可和其它矩阵进行加减运算．例如：
x= -1 y=x-1= -2
0 -1
2 1
§3.2矩阵乘法
Matlab中的矩阵乘法有通常意义上的矩阵乘法，也有Kronecker乘法，以下分别介绍．
§3.2.1 矩阵的普通乘法
矩阵乘法用“ * ”符号表示，当A 矩阵列数与B 矩阵的行数相等时，二者可以进行乘法运算，否则是错误的．计算方法和线性代数中所介绍的完全相同．
如：A=[1 2 ; 3 4]; B=[5 6 ; 7 8]; C=A*B ，
结果为
C=×==
即Matlab 返回：
C =
19 22
43 50
如果A 或B 是标量，则A*B 返回标量A （或B ）乘上矩阵B （或A ）的每一个元素所得的矩阵．
§3.2.2 矩阵的Kronecker 乘法
对n ×m 阶矩阵A 和p ×q 阶矩阵B ，A 和B 的Kronecher 乘法运算可定义为：
由上面的式子可以看出，Kronecker 乘积A B 表示矩阵A 的所有元素与B 之间的乘积组合而成的较大的矩阵，B A 则完全类似．A B 和B A 均为np ×mq 矩阵，但一般情况下A B B A ．和普通矩阵的乘法不同，Kronecker 乘法并不要求两个被乘矩阵满足任何维数匹配方面的要求．Kronecker 乘法的Matlab 命令为C=kron(A,B)，例如给定两个矩阵A 和B ：
A= B=
则由以下命令可以求出A 和B 的Kronecker 乘积C ：
A=[1 2; 3 4]; B=[1 3 2; 2 4 6]; C=kron(A,B)
C =
1 3
2 2 6 4
2 4 6 4 8 12
3 9 6
4 12 8
6 12 18 8 16 24
作为比较，可以计算B 和A 的Kronecker 乘积D ，可以看出C 、D 是不同的：
A=[1 2; 3 4]; B=[1 3 2; 2 4 6]; D=kron(B,A)
D =
1 2 3 6 2 4
3 4 9 12 6 8
2 4 4 8 6 12
6 8 12 16 18 24
§3.3 矩阵除法
在Matlab 中有两种矩阵除法符号：“＼”即左除和“／”即右除．如果A 矩阵是非奇异方阵，则A\B 是A 的逆矩阵乘B ，即inv(A)*B ；而B/A 是B 乘A 的逆矩阵，即B*inv(A)．具体计算时可不用逆矩阵而直接计算．
通常：
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛8765⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯8463745382617251⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛50432219⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⊗=B a B a B a B a B a B a B a B a B a B A C nm n n m m (2122221)
11211 ⊗⊗⊗⊗⊗≠⊗1234⎛⎝ ⎫⎭⎪132246⎛⎝ ⎫⎭⎪
x=A\B就是A*x=B的解；
x=B/A就是x*A=B的解.
当B与A矩阵行数相等可进行左除．如果A是方阵，用高斯消元法分解因数．解方程：A*x(:, j)=B(:, j)，式中的(:, j)表示B矩阵的第j列，返回的结果x具有与B矩阵相同的阶数，如果A是奇异矩阵将给出警告信息．
如果A矩阵不是方阵，可由以列为基准的Householder正交分解法分解，这种分解法可以解决在最小二乘法中的欠定方程或超定方程，结果是m×n的x矩阵．m是A矩阵的列数，n是B矩阵的列数．每个矩阵的列向量最多有k个非零元素，k 是A的有效秩．右除B/A可由B/A=(A'\B')'左除来实现．
§3.4矩阵乘方
A^P意思是A的P次方．如果A是一个方阵，P是一个大于1的整数，则A^P表示A 的P次幂，即A自乘P次．如果P不是整数，计算涉及到特征值和特征向量的问题，如已经求得：[V,D]=eig(A)，则：
A^P=V*D.^P/V（注：这里的.^表示数组乘方，或点乘方，参见后面的有关介绍）
如果B是方阵，a是标量，a^B就是一个按特征值与特征向量的升幂排列的B次方程阵．如果a和B都是矩阵，则a^B是错误的．
§3.5 矩阵的超越函数
在Matlab中解释exp(A)和sqrt(A)时曾涉及到级数运算，此运算定义在A的单个元素上．Matlab可以计算矩阵的超越函数，如矩阵指数、矩阵对数等．
一个超越函数可以作为矩阵函数来解释，例如将“m”加在函数名的后边而成expm(A)和sqrtm(A)，当Matlab运行时，有下列三种函数定义：
expm 矩阵指数
logm 矩阵对数
sqrtm 矩阵开方
所列各项可以加在多种m文件中或使用funm．请见应用库中sqrtm.m，1ogm.m，funm.m 文件和命令手册．
§3.6数组运算
数组运算由线性代数的矩阵运算符“*”、“/”、“\”、“^”前加一点来表示，即为“.*”、“./”、“.\”、“.^”．注意没有“.+”、“.-”运算．
§3.6.1数组的加和减
对于数组的加和减运算与矩阵运算相同，所以“+”、“-”既可被矩阵接受又可被数组接受．
§3.6.2数组的乘和除
数组的乘用符号.*表示，如果A与B矩阵具有相同阶数，则A.*B表示A和B单个元素之间的对应相乘．例如x=[1 2 3]; y=[ 4 5 6];
计算z=x.*y
结果z=4 10 18
数组的左除（.\）与数组的右除（./），由读者自行举例加以体会．
§3.6.3 数组乘方
数组乘方用符号.^表示．
例如：键入：
x=[ 1 2 3]
y=[ 4 5 6]
则z=x.^y=[1^4 2^5 3^6]=[1 32 729]
(1) 如指数是个标量，例如x.^2，x同上，则：
z=x.^2=[1^2 2^2 3^2]=[ 1 4 9]
(2) 如底是标量，例如2 .^[x y] ，x、y同上，则：
z=2 .^[x y]=[2^1 2^2 2^3 2^4 2^5 2^6]=[2 4 8 16 32 64] 从此例可以看出Matlab算法的微妙特性，虽然看上去与其它乘方没什么不同，但在2和“．”之间的空格很重要，如果不这样做，解释程序会把“．”看成是2的小数点．Matlab 看到符号“^”时，就会当做矩阵的幂来运算，这种情况就会出错，因为指数矩阵不是方阵．
§3.7 矩阵函数
Matlab的数学能力大部分是从它的矩阵函数派生出来的，其中一部分装入Matlab本身处理中，它从外部的Matlab建立的M文件库中得到，还有一些由个别的用户为其自己的特殊的用途加进去的．其它功能函数在求助程序或命令手册中都可找到．手册中备有为Matlab 提供数学基础的LINPACK和EISPACK软件包，提供了下面四种情况的分解函数或变换函数：
(1)三角分解；(2)正交变换；(3) 特征值变换；(4)奇异值分解．
§3.7.1三角分解
最基本的分解为“LU”分解，矩阵分解为两个基本三角矩阵形成的方阵，三角矩阵有上三角矩阵和下三角矩阵．计算算法用高斯变量消去法．
从lu函数中可以得到分解出的上三角与下三角矩阵，函数inv得到矩阵的逆矩阵，det 得到矩阵的行列式．解线性方程组的结果由方阵的“\”和“/”矩阵除法来得到．例如：
A=[ 1 2 3
4 5 6
7 8 0]
LU分解，用Matlab的多重赋值语句
[L,U]=lu(A)
得出
注：L
结果只需计算L*U即可．
求逆由下式给出：x=inv(A)
x =
从LU的值可由下式给出：d=det(A)
d =
27
直接由三角分解计算行列式：d=det(L)*det(U)
d =
27.0000
为什么两种d的显示格式不一样呢? 当Matlab做det(A)运算时，所有A的元素都是整数，所以结果为整数．但是用LU分解计算d时，L、U的元素是实数，所以Matlab产生的d也是实数．
例如：线性联立方程取b=[ 1
3
5]
解Ax=b方程，用Matlab矩阵除得到
x=A\b
结果x=
0.3333
0.3333
0.0000
由于A=L*U，所以x也可以有以下两个式子计算：y=L\b，x=U\y．得到相同的x值，中间值y为：
y =
5.0000
0.2857
0.0000
Matlab中与此相关的函数还有rcond、chol和rref．其基本算法与LU分解密切相关．chol 函数对正定矩阵进行Cholesky分解，产生一个上三角矩阵，以使R'*R=X．rref用具有部分主元的高斯－约当消去法产生矩阵A的化简梯形形式．虽然计算量很少，但它是很有趣的理论线性代数．为了教学的要求，也包括在Matlab中．
§3.7.2正交变换
“QR”分解用于矩阵的正交－三角分解．它将矩阵分解为实正交矩阵或复酉矩阵与上三角矩阵的积，对方阵和长方阵都很有用．
例如A=[ 1 2 3
4 5 6
7 8 9
10 11 12]
是一个降秩矩阵，中间列是其它二列的平均，我们对它进行QR分解：
[Q,R]=qr(A)
R的下三角都给出0，并且R(3,3)=0.0000，说明矩阵R与原来矩阵A都不是满秩的．
下面尝试利用QR分解来求超定和降秩的线性方程组的解．
例如：
b=[ 1
3
5
7]
讨论线性方程组Ax=b，我们可以知道方程组是超定的，采用最小二乘法的最好结果是计算x=A\b．
结果为：
Warning: Rank deficient, rank = 2 tol = 1.4594e-014
x =
0.5000
0.1667
我们得到了缺秩的警告．用QR分解法计算此方程组分二个步骤：
y=Q'*b
x=R\y
求出的y值为
x
Warning: Rank deficient, rank = 2 tol = 1.4594e-014
x =
0.5000
0.1667
用A*x来验证计算结果，我们会发现在允许的误差范围内结果等于b．这告诉我们虽然联立方程Ax=b是超定和降秩的，但两种求解方法的结果是一致的．显然x向量的解有无穷多个，而“QR”分解仅仅找出了其中之一．
§3.7.3奇异值分解
在Matlab中三重赋值语句
[U,S,V]=svd(A)
在奇异值分解中产生三个因数：
A=U*S*V '
U矩阵和V矩阵是正交矩阵，S矩阵是对角矩阵，svd(A)函数恰好返回S的对角元素，而且就是A的奇异值（其定义为：矩阵A'*A的特征值的算术平方根）．注意到A矩阵可以不是方的矩阵．
奇异值分解可被其它几种函数使用，包括广义逆矩阵pinv(A)、秩rank(A)、欧几里德矩阵范数norm(A,2)和条件数cond(A)．
§3.7.4 特征值分解
如果A是n×n矩阵，若λ满足Ax=λx，则称λ为A的特征值，x为相应的特征向量．函数eig(A)返回特征值列向量，如果A是实对称的，特征值为实数．特征值也可能为复数，例如：
A=[ 0 1
-1 0]
eig(A)
产生结果
ans =
0 + 1.0000i
0 - 1.0000i
如果还要求求出特征向量，则可以用eig(A)函数的第二个返回值得到：
[x,D]=eig(A)
D的对角元素是特征值．x的列是相应的特征向量，以使A*x=x*D．
计算特征值的中间结果有两种形式：
Hessenberg形式为hess(A)，Schur形式为schur(A)．
schur形式用来计算矩阵的超越函数，诸如sqrtm(A)和logm(A)．
如果A和B是方阵，函数eig(A,B)返回一个包含一般特征值的向量来解方程Ax= Bx
双赋值获得特征向量
[X,D]=eig(A,B)
产生特征值为对角矩阵D．满秩矩阵X的列相应于特征向量，使A*X=B*X*D，中间结果由qz(A,B)提供．
§3.7.5秩
Matlab计算矩阵A的秩的函数为rank(A)，与秩的计算相关的函数还有：rref(A)、orth(A)、null(A)和广义逆矩阵pinv(A)等．
利用rref(A)，A的秩为非0行的个数．rref方法是几个定秩算法中最快的一个，但结果上并不可靠和完善．pinv(A)是基于奇异值的算法．该算法消耗时间多，但比较可靠．其它函数的详细用法可利用Help求助．
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