平均数与方差的变化规律揭秘

1 平均数与方差的变化规律揭秘

当一组数据的每一个数据都发生规律性的变化时，如同时扩大或缩小到原来到的n 倍，或同进增加或减少m ，它们的方差或平均数会做什么样的变化呢？

例 已知一组数据,,,21n x x x 的平均数为3，方差为3，把每个数据教乘以3，再减去2，得到一组新的数据,2-3,2-3,2-321n x x x 这两组数据的平均数相同吗？方差呢?

思路点拔：观察两组数据可知，第二组数据是第一组数据做规律变化后的结果，求第二组数据的方差或平均数时应借助于第一组数据的方差或平均数.

解：设第一组数据的平均数为-x ，则-x ＝

(1n )21n x x x +++ ， 方差为[]

222212)()()(1x x x x x x n S n -++-+-= 。 在新数据中，令.23,23,232211-=-=-=n n x y x y x y 所以)(121n y y y n

y +++=

＝[][]232)(31)23()23()23(12121-=-+++=-++-+-x n x x x n

x x x n n n ， 由此不难看出，当一组数据都扩大（缩小）a 倍时，平均数也会扩大（缩小）a 倍；都增加（减少）b 时，平均数也会增加（减少）b. 新数据的方差为[][]{+-=-++-+-=21212)(31)()()(1'x x n

y y y y y y n S n [][]}222)(3)(3x x x x n -++- []

2222219)()()(91S x x x x x x n n ⋅=-+-+-⋅⋅= 由此可知，当一组都扩大（缩小）a 倍时，方差会扩大（缩小）到原来的2a 倍，都增加（减小）b 时，方差不变.

综上所述，我们可以得到这样一个规律： 若数据,,,21n x x x 的平均数为-x ，方差为2S ，则新数据b ax b ax b ax n +++ ,,21的平均数为b x a +，方差为22S a ，所以我们由此作答，两组数据的平均数、方差均不同：新数据的平均数为3×3－2＝7，方差这27332=⨯.