高等数学课件科学出版社版本第一章1.1

只有有限个元素的集合称为有限集； 不含任何元素的集合我们将它称为空集，记为 . 既不是有限集，又不是空集的集合称为无限集 .
二、 集合之间的关系及运算 定义2 . 设有集合 A , B , 若 x A 必有 x B , 则称 A 是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 A B .
四、区间和邻域 区间 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点. a, b R, 且a b.
{x a x b}
称为开区间, 记作 (a, b)
o
a
b
x
{x a x b}
o
a
称为闭区间, 记作[a, b]
b
x
{x a x b}称为左闭右开区间,记作 [a , b) {x a x b} 称为左开右闭区间,记作 ( a , b] 有限区间 [a, ) {x a x} ( , b) {x x b} 无限区间
ai 自然数集 N 0 , 1 , 2 , , n , n 正自然数集 N 1 , 2 , , n ,
n i 1
(2) 描述法： x x 所具有的特征 M 例:

大于 2 的实数可以表示为 A x | x 2 p 有理数集 Q p, q Ζ, q 0, p 与 q 互质 q 实数集合 R x x 为有理数或无理数
sup E
类似可以定义数集E的下确界，E 的下确界记为
inf E
确界的例子 1 1 1 1. E 1, , ,, , n 2 3
sup E 1, inf E 0.
2. E1 (0,1); E2 [0,1]
3. E = x | x 2 2, x Q
o
a x
o
b
x
( , ) x | x R
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
邻域: 设 a， , 且 0. 集合 {x x a }
称为Leabharlann Baidu 的δ邻域.
其中a 称为该邻域的中心，δ称为邻域的半径，
记为 U (a; ) (a , a ) {x a x a }.
C
5. A A A,
A A A,
A A,
A .
三、数集的演进
NZQR
在引进了数轴后，实数集就与数轴上的点一一对应了. 实数集不仅对加减乘除运算封闭，对开方运算封闭， 而且以后会看到实数对极限运算也封闭。 实数的这个性质称为“完备性” . 实数中的集合通常称为数集.

a

a
a
x
点a的去心的 邻域, 记为 U (a; ).
U (a; ) (a , a ) (a, a ) {x 0 x a }.
五、实数的完备性 定义4 设 E是一个非空数集，如果存在常数 K
(或k ),使得对一切 x E ,有 x K (或 k x ), 则称数集E 有上界（或下界）.而实数K(或 k）称为 数集E 的一个上界（或下界）. 否则就称E 没有上界（或下界）. 当数集E 既有上界，又有下界时，称 E 是有界的. 否则就称E 无界.
第一章
基础知识
第一节 实数与实数集 第二节 函 数
第一节 实数与实数集
一、集合 二、集合的运算 三、数集的演进 四、区间和邻域
五、实数的完备性
一、 集合 定义1 集合是具有某种特征的事物或对象的全体， 构成集合的事物或对象称为集合的元素。 如果 a 是集合 A 的元素,称 a 属于 A ,记为 a A. 否则就称 a 不属于 A ,记为 a A. 集合表示法： (1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 . 例: 有限集合 A a1 , a2 , , an
sup E1 sup E2 1, inf E1 inf E2 0.
在实数集 R中有上确界 2 ，下确界 2， 在有理数集中却没有上确界和下确界. 确界原理 非空有上界的数集一定有上确界，非空有 下界的数集一定有下确界.
A \ B ( 其中B A )
直积
A B ( x , y) x A , y B
记
Ac BA
B
y
B A B A
特例: R R
R
2
为平面上的全体点集
O
x
集合运算的规律
1. 交换律 A B B A,
A B B A.
2. 结合律 ( A B) C A ( B C ),
若 例如, 且 , 则称 A 与 B 相等, 记作 A B . ,
显然有下列关系 :

定义 3 . 给定两个集合 A, B, 定义下列运算: 并集 A B x
交集 A B x 差集 余集 或

A B
B A
A\ B
A B
且
且 x B
A \ B x
c BA
数集E 有界等价于 存在常数 k , K R ,使得对一切 x E ,有
k x K;
还等价于 存在常数 M 0, 使得对一切 x E , 有
| x | M
上下确界 定义5 设E 是非空数集，如果存在常数 R. , 满足: (1)β是E 的上界，即对一切 x E , 有 x ; (2) 一切小于β 的实数都不是E 的上界，即若 ,一定存在 x E, 使得 x , 则称β 是数集 E 的上确界（即最小的上界）.记为
( A B ) C A ( B C ).
3. 分配率 A ( B C ) ( A B) ( A C )
A ( B C ) ( A B ) ( A C ).
4. 对偶率 A B A B ,
C C C
A B AC BC