北京四中---二次函数解析式的确定及应用

二次函数解析式的确定及应用

编稿老师：郭伦审稿老师：董嵩责编:张杨

本周学习内容：

二次函数解析式的确定，用函数的观点看一元二次方程，二次函数的应用题

学习要求：

1．经历用三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会联系与不同的特点，利用不同条件，确定

二次函数的解析式.

2．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会二次函数与一元二次方程之间的联系．

3．通过经历探索最大利润问题、拱形桥等问题、透光最大面积等实际问题的过程，体会二次函数是一

类最优化问题的数学模型，感受数学的应用价值，提高用数学知识解决问题的能力．

内容分析：

1．二次函数的常用表示形式：

(1)一般式；

(2)顶点式；

(3)(当时)双根式，其中是的两根；

可通过不同的已知条件列方程组求出待定系数，从而确定二次函数解析式.

2．函数的观点看一元二次方程

一般的，从二次函数的图象可知：

(1)如果抛物线与x轴有公共点，公共点的横坐标是，那么当

时，函数的值为

O，因此就是方程的一个根．

(2)二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点．这对应着一

元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根．判别式

△=分别是小于O，等于0，大于O．

(3)当x=0时y=c．与y轴交点(0，c)．

利用上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根．由于作图观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的．由此可以看出二次函数与一元二次方程关系密切．比如，已知二次函数的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程

．反过来，解方程又可以看做已知二次函数)的值为0，求自变量的值．

补充例题：

1．己知抛物线经过A(1，0)，B(0，-3)，且对称轴x=2，求出函数解析式.

解：(1)用一般式

设所求的函数解析式为

抛物线经过点A(1，0)，B(0，-3)，且对称轴

解得

所以所求的函数解析式为；

(2)用顶点式

设所求的函数解析式为

因为抛物线经过A(1，0)，B(O，-3)，代入上式得

，所以函数解析式为，即；

(3)用双根式

抛物线经过点A(1，0)，且对称轴x=2，所以与x轴另一交点为C(3，0)

设所求的函数解析式为

因为抛物线经过B(O，-3)，代入上式得a=-1

所以函数解析式为即.

2．某玩具厂计划生产一种玩具熊，每日最高产量为40只，且每日生产的玩具熊全部售出，已知生产x只玩具熊的成本为R(元)，售价为每只P(元)，且R、P与之间的函数关系式分别为，.

(1)当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元?

(2)当日产量为多少时，每日获得的利润最大? 最大利润是多少?

解：设每日产量为x只，获得利润元，则，即，其中0≤≤40，且是整数．

(1)当y=1750时，，解得，(舍)

所以，当日产量为25只时，每日获得的利润为1750元；

(2)因为-2<0，所以当x=35时，利润y最大=1950(元)

当日产量为35只时，每日获得的利润最大，最大利润是1950元.

3．某旅行社有客房120间，每间客房的日租金为50元，每天都客满．装修后欲提高租金，经调查，一间客房的日租金每增加5元，则客房每天少租6间，不考虑其他因素，每间客房的日租金提高到多少元时，客房的日租金的总收入最高?比装修前的日租金的总收入增加多少元?

解：设日租金增加5x元，则收入y=(50+5x)(120-6x)，是非负整数．

即(是非负整数)．

当时，(元)．

即日租金提高到75元时，总收入最高，比装修前增加750元．

4.如图，从一张矩形纸较短的一边上找一点E，过这点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE，DE．要使剪下的两个正方形的面积和最小，点E应选在何处?为什么?

讨论：

不妨设矩形短边长为，AE为，则DE为．

设两个正方形面积的和为．

则有，即

即当时，有最小值；即当E为矩形短边的中点时，两个正方形面积的和最小.

5．一单杠高2.2米，两立柱之间的距离为1.6米，将一根绳子的两端拴于立柱与铁杠的结合处，绳子自然下垂成抛物线状．一身高为0.7米的小孩站在离立柱0.4米处，其头部正好触上绳子，求绳子最低点到地面的距离．

解：以铁杠中点为原点，如图建立坐标系．

设解析式为，

则由题可知当时，．

解得，即，其顶点为(0，-2)．

所以绳子最低点到地面的距离是(米)．

6．有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20米，如果水位上升3米时，水面CD的宽是10米．

(1)建立以抛物线顶点为原点的直角坐标系，求此抛物线的解析式；

(2)现有一辆载有救灾物质的货车从甲地经此桥到乙地，己知甲地到此桥280km(桥身忽略不计)．货车正以每小时40km/h的速度开往乙地，当行驶一小时时，忽然接到紧急通知，前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点时，禁止车辆通行)．问：货车以原来的速度行驶，能否安全通过此桥?若能，说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米?

解：如图，设AB、CD分别交y轴于E、F，抛物线顶点为O点．

(1)设解析式，根据题意，D(5，25a)，B(10，100a).

则EF=25a-100a=3，所以，即解析式为；

(2)由(1)可知，，

即水位距离桥顶还有1m，所以水位达到桥拱最高点还要(h)；

货车以原速行驶，可以行驶40×(4+1)=200km＜280km，说明不能通过此桥．

要想通过此桥，速度应超过(km／h)．

7.用18米长的木方做一个有一条横档的矩形窗子：

(1)若横档为2米，面积为多少平方米?

(2)若横档为4米，面积为多少平方米?

(3)为使透进的光线最多，则窗子的长、宽应各为多少米?

矩形是我们非常熟悉的图形，当其周长一定时，正方形面积最大．现在这个图形呢?请同学们先解决前面两个问题，第3问呢?

解：(1)横档为2米时，长为6米，面积为12平方米．

(2)横档为4米，长为3米，面积为12平方米．

(3)设每条水平窗框的长为x米，矩形窗户的面积为y平方米．

则有，其中且.

即

当时，y最大值为.