第1章 插值法

y L2 x
(x , y )
1 1
(x , y )
2 2
y f x
0
x
0
图3
x
1
x
115 L1 (115) 10 *
115 121 115 100 11* 10.714 100 121 121 100
15
仿上，用抛物插值公式（2.7）所求得的近似值为
（2.1）
（2.1）表明n个点 xi i 0,1, k 1, k 1,n都是n次多项式 lk (x) 的
零点，故可设
lk ( x) Ak ( x x0 )(x x1 )( x xk 1 )(x xk 1 )( x xn )
10
其中
Ak 为待定系数，由条件 lk ( x) 1 可得
（1.4）
由线性代数知，线性方程组的系数行列式（记为V）是n+1阶范德蒙 （Vandermonde）行列式，且
2 n 1 x0 x0 x0 n i 1 1 x1 x12 x1n V xi x j i 1 j 0
1
xn
2 xn
n xn
7
因 x0, x1, x n 是区间 a, b上的不同点，上式右端乘积中的 每一个因子 xi x j 0 ，于是 V 0 ，方程组（1.4）的解存在且 唯一。故有下面的结论：
'n1 ( xi ) ( xi x0 )( xi xi 1 )(xi xi 1 )( xi xn ) n1 ( x) lk ( x ) ( x xi ) 'n1 ( xi )
2.2 Lagrange插值多项式
利用插值基函数立即可以写出满足插值条件（1.3）的n次 插值多项式
y = f(x) 的近似，如图1。
5
Y
y f x
y Pn x
y0
y1
x1
图1
yn
0 a x0
xn b
X
6
1 .2 插值多项式存在唯一性
由插值条件（1.3）知，插值多项式 Pn x 的系数 ai i 0,1, n 满足线性方程组
n a0 a1 x0 a n x0 y 0 n a0 a1 x1 a n x1 y1 n a0 a1 x n a n x n y n
第一章 插值法
§1 引言 §2 Lagrange插值多项式 §3 Newton插值多项式 §4 Hermite插值多项式 §5 分段低次插值 §6 三次样条插值 §7 曲线拟合的最小二乘法
1
§1 引 言
一些函数无解析表达式，只是通过实测得出的一些离散点处的值，要预测 另外一些点处的值，需要进行插值；
2.1
插值基函数
先考虑一下简单的插值问题：对节点 x i 0,1, n 中任一 i lk (x) , 使它在该点上取值为1,而在其 点 xk 0 k n,作一n次多项式 余点xi i 0,1,, k 1, k 1,, n 上取值为零, 即
1 i k lk ( xi ) 0 i k
在多项式插值中，最常见、最基本的 问题是：求一次数不超过n的代数多项式
4

使
Pn x a0 a1 x an x (1.2)
n
Pn xi yi i 0,1, ,, n
(1.3)
其中 a0 , a1 ,, an 为实数。满足插值条件 (1.3)的多项式(1.2)，称为函数f(x) 在节点 处的n次插值多项式。 n次插值多项式 Pn x 的几何意义：过 曲线y = f(x) 上的n+1个点( xi , yi )(i 0,1,, n) 作一条n次代数曲线 y Pn (x) ，作为曲线
在近代，插值法仍然是数据处理和编制函数表的常用工具。
是数值积分、数值微分、非线性方程求根和微分方程数值解法的重要基础 ，许多求解计算公式都是以插值为基础导出的。
2
1. 1 有关概念
定义 设函数 y = f(x) 在区间 [a,b]上连续，
且在n+1个不同的点 a x0 , x1 ,, xn b 上分 别取值 y0 , y1 ,, yn ，在一个性质优良、
n
12
作为特例，令n=1，由（2.4）即得两点插值公式
x x0 x x1 L1 ( x) y0 y1 x0 x1 x1 x0
即
（2.5）
y1 y0 L1 ( x) y0 ( x x0 ) x1 x0
（2.6）
这是一个线性函数，用线性函数L1 ( x) 近似代替函数 f (x) ，在几何上就 是通过曲线 y f (x) 上两点 ( x0 , y0), ( x1 , y1) 作一直线 y L1 ( x) 近似代 替曲线 y f (x) (见图2)，故两点插值又名线性插值。 若令n=2，由（2.4）又可得常用的三点插值公式
例题：求做 f ( x) x 在 x0 100 的一次和二次Taylor多 项式，利用它们计算 115 的近似值并估计误差。（P14)
§2
Lagrange插值公式
在上一节里，我们不仅指出了插值多项式的存在唯一性，而且也 提供了它的一种求法，即通过解线性方程组（1.4）来确定其系数 a i ，但是，这种作法的计算工作量大，不便于实际应用，下面介绍几种 简便的求法。
定理1 若节点 x0, x1, x n互不相同，则满足插值条件（1.3） 的n次插值多项式（1.2）存在且唯一。
1.3 Taylor 插值
（1） Taylor多项式
f ''( x0 ) f ( n ) ( x0 ) 2 pn ( x) f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 ) n 2! n!
(2.2)
n1 ( x) ( x x0 )(x x1 )( x xn ) ( x xi )
i 0
n
对应于每一节点 xk 0 k n ，都能求出一个满足插值 条件（2.1）的n次插值多项式（2.2），这样，由（2.2）式可以求 出n+1个n次插插多项式 l0 ( x),l1 ( x),, ln ( x) 。容易看出，这组多 项式仅与节点的取法有关，称它们为在n+1个节点上的n次基本 11 插值多项式或n次插值基函数。
( x x1 )( x x2 ) ( x x0 )( x x2 ) y1 L2 ( x ) y0 ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) y ( x x0 )( x x1 ) 2 （2.7） ( x2 x0 )( x2 x1 ) 13
3
节点 x0 , x1 ,, xn 处的插值函数。求插值 函数 p(x) 的方法称为插值法。插值函数类 φ的取法不同，所求得的插值函数p(x)逼 近f(x)的效果就不同它的选择取决于使用
上的需要。常用的有代数多项式、三角多
项式和有理函数等。 当选用代数多项式作为插值函数时，
相应的插值问题就称为多项式插值。
便于计算的函数类φ 中，求一简单函数p(x) ， 使
Pxi yi i 0,1,n
(1.1)
而在其它点 x xi 上，作为 f (x) 的近似。 称区间为插值区间，点 x0 , x1 ,, xn为插值
节点，称（1.1）为 f(x)的插值条件，称函 数类φ 为插值函数类，称 p(x)为函数在
有的函数解析表达式过于复杂，不便直接使用；
早在6世纪，隋代的刘焯已在《皇极历》中将等距二次插值用于天文计算。 唐朝天文学家、数学家一行在其《大衍历》中发明了二次不等间距插值法 ，且一行还有意识地应用了三次内插法近似公式。 17世纪之后，牛顿，拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插值公式。
(115 121)(115 144) (115 100)(115 144) 11* (100 121)(100 144) (121 100)(121 144) (115 100)(115 121) 12 * 10.723 (144 100)(144 121) 115 L2 (115) 10 *
将所得结果与 115 的精确值10.7238…相比较，可以看出抛物插值 的精确度较好。 为了便于上机计算，我们常将拉格朗日插值多项式（2.4）改 写成公式（2.8）的对称形式
编程框图如图4，可用二重循环来完成 Ln (x)值的计算，先通过内 循环，即先固定k，令 j 从 0到 n ( j k ) ，累乘求得
y
y f x
(x , y )
0 0
(x , y )
y L1 x
1 1
0
x
0
x
1
x
图2
这是一个二次函数，用二次函数 L2 ( x)近似代替函数 f (x) ，在几何 上就是通过曲线 y f (x) 上的三点 ( x0 , y0 ), ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) ，作一抛物 线 y L2 ( x) 近似地代替曲线y f (x（图3），故三点插值又名二次 ) 插值或抛物插值。 例1 已知 100 10, 121 11, 144 12分别用线性插值和抛物插值 求 115 的值。
Ln x y0l0 ( x) y1l1 ( x) ynln ( x)
( x x0 )( x xk 1 )(x xk 1 ) ( x xn ) yk ( xk x0 )( xk xk 1 )(xk xk 1 )( xk xn ) （2.4) k 0
16
n x xj y Ln ( x) k j 0 xk x j k 0 jk
n
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（2.8）
输入xj, yj, n, x
y=0
j=0,1,…,n
P=1
k=0,1,…,n
k=j?
否
P=P*(x-xj)/(xk-xj)
14
解
因为115在100和121之间，故取节点x0=100，x1=121相应地有 y0=10，y1=11，于是，由线性插值公式（2.5）可得
L1 ( x) 10 *
x 121 x 100 11 * 100 121 121 100
故用线性插值求得的近似值为
y
(x , y )
0 0
pn ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x) ynln ( x) （2.3）
事实上，由于每个插值基函数 lk ( x)(k 0,1,, n) 都是n次 多项式，故其线性组合（2.3）必是不高于n次的多项式，同时， xi 根据条件（2.1）容易验证多项式（2.3）在节点 处的值 为 yi i 0,1,, n ，因此，它就是待求的n次插值多项式Pn x 。 形如(2.3)的插值多项式称为Lagrange插值多项式，记为
kn
kn
是
输出x,y
图4
y=y+P*yk
17
x xj lk ( x ) j 0 xk x j j k
Ak 1 ( xk x0 ) ( xk xk 1 )(xk xk 1 )( xk xn )
故
( x x0 ) ( x xk 1 )(x xk 1 ) ( x xn ) lk ( x) ( xk x0 )( xk xk 1 )(xk xk 1 ) ( xk xn )
8
（2) Taylor余项
f ( n1) ( ) f ( x) pn ( x) ( x x0 ) n1 , [a, b] (n 1)!
（3) Taylor插值 求做n次多项式 pn ( x) ，使满足
( pnk ) ( x0 ) f (k ) ( x0 ), k 0,1,, n