第1章 插值法
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第1章插值
显然有 又由
(t) f (t) L1(t) k(x)(t t0 )(t t1) (x0 ) (x1) 0 (x) 0 说明函数有三个零点，不妨设 x0 x x1
分别在两个区间上应用洛尔定理：[x0 , x],[x, x1] ，可知导函数 (x) 在每个区间上至少有一个零点，不妨设为 1,2 ，即
且 要求插值函数的三个插值基函数，满足如下性质：
函数值 节点
函数
x0
l0(x)
1
l1(x)
0
l2(x)
0
x1
x2
0
0
1
0
0
1
注意：问题的关键是求出三个基函数。
分析：由于
l0(x0)=1 , l0(x1)=0 , l0(x2)=0 , l1(x0)=0 , l1(x1)=1 , l1(x2)=0 , l2(x0)=0 , l2(x1)=0 , l2(x2)=1 .
2!
2
你认为上面计算有问题吗？
内插与外插：一般内插的效果优于外插。 例：给定
sin11 0.190809 ,sin12 0.207912 ,sin13 0.224951 构造二次插值函数并计算 sin1130 ?
解：由
L2
(x)
y0
(x ( x0
x1)( x x2 ) x1)( x0 x2 )
R(x)
f
(x) L1(x)
1 2!
f ( )(x x0 )(x x1),
[a, b]
证明：令 R(x) f (x) L1(x) 因为 R(x0 ) 0, R(x1) 0,
说明x0 ，x1是 R(x) 的两个零点，所以可设
R(x) k(x)( x x0 )( x x1) 说对任何一个固定的点 x ，引进辅助函数
插值方法
就是对应点上的函数值。这种形式的插值称作为拉
格朗日（Lagrange）插值。
2.n=2
线 性 插 值 只 利 用 两 对 值 (x0,y0) 及 (x1,y1) 求 得
y=f(x)的近似值，误差较大。
p2(x0)=y0,p2(x1)=y1,p2(x2)=y2
p2(x)是x的二次函数，称为二次插值多项式。
第1章 插值方法
插值法是一种古老的数学方法。早在 1000多年前，我国历法上已经记载了应用一 次插值和二次插值的实例。 拉格朗日（Lagrange）、牛顿 （Newton）、埃特金（Aitken）分别给出了 不同的解决方法。
1.1 拉格朗日插值公式 1.2 牛顿插值公式 1.3 埃特金插值公式 1.4 存在惟一性定理 1.5 插值余项 1.6 分段三次埃尔米特插值 1.7 三次样条插值 1.8 应用实例
［a,b］,有与x有关的ξ(a<ξ<b)存在, 使得
其中ω(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn)。
［例５］ 设f(x)=lnx, 并假定已给出值表试近 似计算ln(0.6)的值，并指出精度。 值表 0.4 -0.916291
x lnx
0.5 -0.693147
0.7 -0.356675
0.8 -0.223144
(x∈［-5,5］)。
取等距节点xi=-5+i(i=0,1,…,10), 试建立插值多项式 L10(x), 并作图形, 观察L10(x)对f(x)的逼近效果。
图1-3 例6的图形
1.6 分段三次埃尔米特插值
为了避免 Runge现象的发生 , 我们很自 然地会想到把区间［-5, 5］等分为10个小区 间, 在每一个小区间内应用低次插值。但由 于每个小区间只有两个端点（插值节点） , 按照我们已知的方法, 得到的将是一个分段 线性插值函数。
格朗日（Lagrange）插值。
2.n=2
线 性 插 值 只 利 用 两 对 值 (x0,y0) 及 (x1,y1) 求 得
y=f(x)的近似值，误差较大。
p2(x0)=y0,p2(x1)=y1,p2(x2)=y2
p2(x)是x的二次函数，称为二次插值多项式。
第1章 插值方法
插值法是一种古老的数学方法。早在 1000多年前，我国历法上已经记载了应用一 次插值和二次插值的实例。 拉格朗日（Lagrange）、牛顿 （Newton）、埃特金（Aitken）分别给出了 不同的解决方法。
1.1 拉格朗日插值公式 1.2 牛顿插值公式 1.3 埃特金插值公式 1.4 存在惟一性定理 1.5 插值余项 1.6 分段三次埃尔米特插值 1.7 三次样条插值 1.8 应用实例
［a,b］,有与x有关的ξ(a<ξ<b)存在, 使得
其中ω(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn)。
［例５］ 设f(x)=lnx, 并假定已给出值表试近 似计算ln(0.6)的值，并指出精度。 值表 0.4 -0.916291
x lnx
0.5 -0.693147
0.7 -0.356675
0.8 -0.223144
(x∈［-5,5］)。
取等距节点xi=-5+i(i=0,1,…,10), 试建立插值多项式 L10(x), 并作图形, 观察L10(x)对f(x)的逼近效果。
图1-3 例6的图形
1.6 分段三次埃尔米特插值
为了避免 Runge现象的发生 , 我们很自 然地会想到把区间［-5, 5］等分为10个小区 间, 在每一个小区间内应用低次插值。但由 于每个小区间只有两个端点（插值节点） , 按照我们已知的方法, 得到的将是一个分段 线性插值函数。
第1章1-07分段插值分解
即在每个子段S3(x) 都是两点三次埃尔米特插值多项 式。
分段三次插值
求作具有分划 的分段一次式S3(x),使成立
S3(xi ) yi , S3' (xi ) yi ',i 0,1,..., n
在每个子段[xi,xi+1]上的两点三次埃尔米特多项式为：
S3( x)
yi0 ( x
xi hi
)
用连接相邻节点的折线逼近被插函数，这种 “化整为零”的处理方法称作分段插值法。
如果插值的范围比较小（在某个局部），则运 用低次插值往往就能奏效。
分段插值的概念
将被插值函数逐段多项式化。分两步： 1）将所考察的区间[a,b]作一分划：
: a x0 x1 ... xn b
并在每一个子段[xi,xi+1]上构造插值多项式； 2) 将每个子段上的插值多项式装配（拼接）在一起， 作为整个区间上的插值函数。得到一个分段多项式。
f
(x)
S1( x)
h2 8
max
a xb
f "( x)
h
max i
hi
几何意义：相邻两节点间的函数为一次线性函数, 图象为线段。
在整个区间[a，b]上为折线。
结论：设 f ( x)，C[由a,bT]aylor 展
开式有，
lim
hi 0
S1(
x)
f (x)，x [a，b]
即 S1(一x) 致收敛于 f。( x)
S1(xi ) f (xi ) yi ,i 0,1,..., n
在每个子段[xi,xi+1]上S1(x)都是一次式，且满足插值条件：
S1( xi ) yi , S1( xi1) yi1
故有分段线性插值函数：
分段三次插值
求作具有分划 的分段一次式S3(x),使成立
S3(xi ) yi , S3' (xi ) yi ',i 0,1,..., n
在每个子段[xi,xi+1]上的两点三次埃尔米特多项式为：
S3( x)
yi0 ( x
xi hi
)
用连接相邻节点的折线逼近被插函数，这种 “化整为零”的处理方法称作分段插值法。
如果插值的范围比较小（在某个局部），则运 用低次插值往往就能奏效。
分段插值的概念
将被插值函数逐段多项式化。分两步： 1）将所考察的区间[a,b]作一分划：
: a x0 x1 ... xn b
并在每一个子段[xi,xi+1]上构造插值多项式； 2) 将每个子段上的插值多项式装配（拼接）在一起， 作为整个区间上的插值函数。得到一个分段多项式。
f
(x)
S1( x)
h2 8
max
a xb
f "( x)
h
max i
hi
几何意义：相邻两节点间的函数为一次线性函数, 图象为线段。
在整个区间[a，b]上为折线。
结论：设 f ( x)，C[由a,bT]aylor 展
开式有，
lim
hi 0
S1(
x)
f (x)，x [a，b]
即 S1(一x) 致收敛于 f。( x)
S1(xi ) f (xi ) yi ,i 0,1,..., n
在每个子段[xi,xi+1]上S1(x)都是一次式，且满足插值条件：
S1( xi ) yi , S1( xi1) yi1
故有分段线性插值函数：
第一章多元插值
§1. 多元插值问题的提法设 D 是维s 欧氏空间sR 中的有界闭区域。
12,,,kx x x 是D 中k 个互不相同的点。
12(),(),,()kP x P x P x 是定义于D 上的k 个线性无关的s 元实值连续函数（通常取为多元多项式）。
()f x 是定义于D 上的s 元实值连续函数。
所谓多元插值问题，就是要找出实线性组合式1122()()()()kkP x c P x c P x c P x =+++ （1.1）使之满足差之条件()(),1,2,,iiP x f x i k == （1.2）这样求得的()P x 称为函数()f x 的广义插值多项式，()f x 称为被插函数，而插值逼近的误差()()()r x f x P x =- （1.3） 称为插值余项。
今后我们将插值条件（1.2）中所用的点组{}1k ii x =称为插值节点组，而把由12(),(),,()kP x P x P x 的所有实系数线性组合做成的线性空间P 称为插值空间。
若对于任何连续函数()f x ，上述问题（1.1）-（1.2）的解总是存在且唯一的，则说该问题为适定插值问题，并称结点组{}1k ii x =是空间P 的适定结点组。
大家知道，多元插值法在多元函数的列表、外形曲面的设计和有限元法中有着广泛的应用。
而其中经常应用的所谓多元多项式插值，即取上述的{}iP 为s 元的代数多项式的情形。
在本章中我们仅就二元多项式插值问题进行讨论。
其中许多方法和结论都不难推广到变元更多的多项式插值问题中去。
与一元多项式插值不同，二元（或多元）多项式插值的结点组是不能任意选的。
选得不好就会导致插值问题的不适定，从而就找不到所要求的插值多项式。
例如，在平面上任取直线上的三个点做二元一次插值，和取圆内接六边形的六个顶点做二元二次插值，都将出现插值问题不适定的情形。
因此，研究二元多项式插值必须首先解决插值的适定性问题。
为了解决这个问题，我们应该从代数曲线论中的Bezout 定理讲起。
Hermite_插值法
, x0]
lim
xi x0
f [x0, x1,
,
xn ]
1 n!
f
(n) ( x0 )
重节点Newton插值
在 Newton 插值公式中，令 xi x0 , i = 1, … , n, 则
Nn( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1]( x x0 )
f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 )
( x1 x0 )( x1 x2 )
三点三次Hermite 插值
余项公式
由于 x0 , x1 , x2 是 R(x) 的零点，且 x1 是二重零点，故可设 R( x) f ( x) P( x) k( x)( x x0 )( x x1 )2 ( x x2 )
与 Lagrange 插值余项公式的推导过程类似，可得
x
x0
)
x x0
x1 x1
2
1(
x)
(
x
x1
)
x x1
x0 x0
两点三次Hermite 插值
满足插值条件
P(x0) = f(x0) = y0，P’(x0) = f’(x0) = m0 P(x1) = f(x1) = y1，P’(x1) = f’(x1) = m1
的三次 Hermite 插值多项式为
三点三次Hermite 插值
三点三次 Hermite 插值
插值节点：x0 , x1 , x2
插值条件：P(xi) = f(xi)，i = 0, 1, 2，P’(x1) = f’(x1) 设 P( x) f ( x0 ) f [x0, x1]( x x0 )
f [ x0, x1, x2]( x x0 )( x x1) A( x x0 )( x x1 )( x x2 ) 将 P’(x1) = f’(x1) 代入可得 A f '( x1 ) f [ x0 , x1] f [ x0, x1, x2]( x1 x0 )
计算方法插值法-Lagrange插值
x0
b
a
x2
用 的值作为f(x)的近似值,不仅希望 能较好地逼近f(x)，而且还希望它计算简单 。
评论：
由于代数多项式具有数值计算和理论分析方便的优点。所以本章主要介绍利用代数多项式进行插值，即代数插值。
定义：若存在一个次数不超过n次的多项式
使得满足：
则称P(x)为f(x)的n次插值多项式。
因为 ，所以方程组有解唯一解：
系数矩阵
可用于求2次插值多项式
仿照线性插值,现在试图用基函数的方法确定2次插值多项式
显然 应该有以下的形式
由 确定系数
从而导出
求二次式 ,使满足条件：
01
02
类似地可以构造出插值多项式
于是确定了3个抛物插值的基函数：
x0
x2
x1
x
y
1
y=l0(x)
y=l1(x)
y=l2(x)
3个抛物插值的基函数
取已知数据 作为线性组合系数,将基函数 线性组合可得
容易看出,P(x)满足条件
即
一般形式的拉格朗日插值多项式
已知： 2个插值点可求出一次插值多项式,而 3个插值点可求出二次插值多项式。
…
…
插值点增加到n+1个时,可通过n+1个不同的已知点 来构造一个次数为n的代数多项式P(x)。先构造一个特殊n次多项式 的插值问题,使其在各节点 上满足
对于线性插值，误差公式：
01
对于抛物插值（2次插值），误差公式：
02
例2.8 已知x0 =100, x1 =121,用线性插值近似计算 的时候，估计在x=115时的截断误差.
解: 由插值余项公式知
得
b
a
x2
用 的值作为f(x)的近似值,不仅希望 能较好地逼近f(x)，而且还希望它计算简单 。
评论：
由于代数多项式具有数值计算和理论分析方便的优点。所以本章主要介绍利用代数多项式进行插值，即代数插值。
定义：若存在一个次数不超过n次的多项式
使得满足：
则称P(x)为f(x)的n次插值多项式。
因为 ，所以方程组有解唯一解：
系数矩阵
可用于求2次插值多项式
仿照线性插值,现在试图用基函数的方法确定2次插值多项式
显然 应该有以下的形式
由 确定系数
从而导出
求二次式 ,使满足条件：
01
02
类似地可以构造出插值多项式
于是确定了3个抛物插值的基函数：
x0
x2
x1
x
y
1
y=l0(x)
y=l1(x)
y=l2(x)
3个抛物插值的基函数
取已知数据 作为线性组合系数,将基函数 线性组合可得
容易看出,P(x)满足条件
即
一般形式的拉格朗日插值多项式
已知： 2个插值点可求出一次插值多项式,而 3个插值点可求出二次插值多项式。
…
…
插值点增加到n+1个时,可通过n+1个不同的已知点 来构造一个次数为n的代数多项式P(x)。先构造一个特殊n次多项式 的插值问题,使其在各节点 上满足
对于线性插值，误差公式：
01
对于抛物插值（2次插值），误差公式：
02
例2.8 已知x0 =100, x1 =121,用线性插值近似计算 的时候，估计在x=115时的截断误差.
解: 由插值余项公式知
得
数值分析与计算方法 第一章 插值法
同 理 ： (t) 至 少 有n 个 互 异 零 点；
(t) 至 少 有n 1 个 零 点 ；
(n1) (t ) 至 少 有 一 个 零 点 ； 即 (a ，b)，
(n1) (
)
R(n1) n
(
)
K ( x)n1(n1) (
)
R(n1) n
(
)
K ( x) (n
1)!
f (n1) ( ) K ( x) (n 1)! 0
x x0 x1 x2 xn ， y f ( x)？ y y0 y1 y2 yn
（1）有的函数没有表达式，只是一种表格函数，而我们需要的 函数值可能不在该表格中。
（2）如果函数表达式本身比较复杂，计算量会很大；
对于这两种情况，我们都需要寻找一个计算方便且表达简单
的函数 P x来近似代替 f ( x)，求 P x 的方法称为插值法。
Ln1( x)
为此我们考虑对Lagrange插值多项式进行改写； ——由唯一性，仅是形式上的变化
期望：Ln ( x) 的计算只需要对Ln1( x)作一个简单的修正.
考虑 h( x) Ln ( x) Ln1( x) h( x) 是次数 n 的多项式，且有
h( x j ) Ln ( x j ) Ln1( x j ) 0 ，j 0 ，1，2 ，L ，n 1 ；
)
3
)
1 2
(x
(
4
6
6
)( x
)(
4
3
)
3
)
1
(
x
6
)(
x
4
)
2
(
3
6
)(
3
4
)
3 2
第1节课 第一章 插值法 拉格朗日插值 分段插值
当选择代数多项式作为插值函数类时，称为代数多项 式插值问题: 代数多项式插值问题: 设函数y=f(x)在[a,b]有定义, 且已知在n+1个点 a≤x0<x1<……<xn≤b上的函数值y0, y1,……,yn.,要求一 个次数不高于n的多项式
Pn ( x) a0 a1 x a2 x2 an xn
L1 (x)的表达式：
点斜式:
L1( x)
y0
y1 x1
y0 x0
(x
x0 )
变换可得:
L1( x)
x x0 x1 x0
y1
x1 x x1 x0
y0
可以看到， L1 (x)是由两个线性函数
l0(x)
x1 x x1 x0
, l1( x)
x x0 x1 x0
的线性组合得到，其系数分别为y0， y1。即
l0(x)
x x1 x0 x1
,
l1( x)
x x0 x1 x0
.
y
1
l (x) 0
y
1
l (x) 1
O
x 0
x 1
x
Ox 0
xx 1
抛物插值
假定插值节点为x0, x1, x2 ，求二次插值多项 式 L2 (x)，使 L2(xj)=yj (j=0,1,2)
y= L2 (x)的几何意义就是过 (x0, y0)，(x1, y1) ， (x2, y2)三点的抛物线。 采用基函数方法，设
任意一天的日照时间？
日照时间的变化设为 y(x)=a0+ a1x + a2x2, 根据三组数据: (1, 13.21)， (31, 14.35)， (61, 14.66)
导出关于a0，a1，a2的线性方程组
数值分析 插值法
系数行列式（n+1阶范德蒙行列式）
1 1 1
x0 x1 xn
2 x0 2 x1
n x0 n x1
0 i j n
2 xn n xn
( x j xi ) 0
, an .
由克莱默法则知，方程组有唯一解 a0 , a1 ,
§2 Lagrange Polynomial
唯一性的另一证明 满足 P( xi ) yi , i 0, ... , n 的 n 阶插 值多项式是唯一存在的。
f (x)
(x0 ,y0)
(x1 ,y1)
P1(x)
x0
x1
可见 P1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。
§2 Lagrange Polynomial
y1 y0 直线方程为: y y0 x x ( x x0 ) 1 0
记 P 1 ( x) L 1 ( x) ，上式等价变形为:
化简得到
L2 ( x ) l0 ( x ) y0 l1 ( x ) y1 l2 ( x ) y2 l i ( x ) yi .
i 3
成立:
l 0 ( x0 ) 1 l ( x ) 0 0 1 l 0 ( x 2 ) 0
l1 ( x 0 ) 0 l ( x ) 1 1 1 l1 ( x 2 ) 0
l 2 ( x0 ) 0 l ( x ) 0 2 1 l 2 ( x 2 ) 1
将以上思路推广到n+1个节点情形，即可得到类似的 插值基函数和插值多项式表示形式。
§2 Lagrange Polynomial
2-3 Lagrange插值多项式
1 1 1
x0 x1 xn
2 x0 2 x1
n x0 n x1
0 i j n
2 xn n xn
( x j xi ) 0
, an .
由克莱默法则知，方程组有唯一解 a0 , a1 ,
§2 Lagrange Polynomial
唯一性的另一证明 满足 P( xi ) yi , i 0, ... , n 的 n 阶插 值多项式是唯一存在的。
f (x)
(x0 ,y0)
(x1 ,y1)
P1(x)
x0
x1
可见 P1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。
§2 Lagrange Polynomial
y1 y0 直线方程为: y y0 x x ( x x0 ) 1 0
记 P 1 ( x) L 1 ( x) ，上式等价变形为:
化简得到
L2 ( x ) l0 ( x ) y0 l1 ( x ) y1 l2 ( x ) y2 l i ( x ) yi .
i 3
成立:
l 0 ( x0 ) 1 l ( x ) 0 0 1 l 0 ( x 2 ) 0
l1 ( x 0 ) 0 l ( x ) 1 1 1 l1 ( x 2 ) 0
l 2 ( x0 ) 0 l ( x ) 0 2 1 l 2 ( x 2 ) 1
将以上思路推广到n+1个节点情形，即可得到类似的 插值基函数和插值多项式表示形式。
§2 Lagrange Polynomial
2-3 Lagrange插值多项式
数值分析 第1章 插值方法讲解
f (n1) ( )
(n 1)!
n k 0
(x
xk ),
ξ [a,b]
第1章 插值方法
例题1: 令x0=0, x1=1. 写出y=f(x)=e-x的一次插值多项式 P1(x), 并估计误差.
解: x0=0, y0=1; x1=1, y1=e-1.
P1(x) y0l0 (x) y1l1(x)
0, j k lk (x j ) 1, j k
lk (x)
n j 0
x xj xk x j
jk
插值基函数
Pn (x)
n k 0
yklk (x)
n k 0
n
yk (
j0
x xj ) xk x j
jk
第1章 插值方法
§3 插值余项
1.拉格朗日余项定理
l0 (x)
(x ( x0
x1)(x x2 ) x1)(x0 x2 )( x1
x0 )(x x2 ) x0 )(x1 x2 )
;
l2 (x)
(x ( x2
x0 )(x x1) x0 )(x2 x1)
.
插值基函数
第1章 插值方法
3.一般情形 问题的解(插值公式):
第1章 插值方法
f (x) Pn (x)
f
'
' (
2
)
(
x
x0
)(x
x1
)
1 e- (x 0)(x 1), ξ [0,1] 2
max
0 x1
f (x) Pn (x)
1 max e- 2 0x1
插值法
定理2.2: 设(n)(x)在[a,b]连续, (n+1)(x)在(a,b)内
存在,在节点 ax0<x1<…<xnb上,满足插值
条件 (2.2)的插值多项式 Ln(x),对任一
x[a,b],插值余项为
f ( n1) ( x ) Rn ( x) f ( x) Ln ( x) n1 ( x) (n 1)! (2.5)
已知 (xk)=yk (k=0,1,…,n),在函数类P中寻找一 函数 (x)作为 (x)的近似表达式,使满足 (xk)=(xk)=yk ,k=0,1,…,n (2.2)
称 y=(x)为被插值函数; 称x0 , x1 ,…,xn为插值节点;
称(x)为插值函数; 称式(2.2)为插值条件;
例3: 求 (x)关于节点 x0,x1,x2的二次 Lagrange插值多 项式.
解
对节点x0,x1,x2的Lagrange插值基函数为
( x x1 )( x x 2 ) l 0 ( x) ( x 0 x1 )( x 0 x 2 ) l 2 ( x) ( x x 0 )( x x1 ) ( x 2 x 0 )( x 2 x1 ) ( x x 0 )( x x 2 ) , l1 ( x) ( x1 x 0 )( x1 x 2 ) ,
( n 1)
( x ) 所以 Rn ( x) (n 1)! n 1 ( x) f
( n 1)
若|(n+1)(x)|在[a,b]有上界Mn+1,则Lagrange插值 余项也可写成
M n 1 Rn ( x) n 1 ( x) (n 1)!
例4 给定函数表
x 10 11 12 13
g(x) f(x)
第一章 插值方法
(100 121)(100 144)
(121 100) (121 144)
(115 100)(115 121) 12 (144 100)(144 121)
10.7228
例子插值精度分析
线性插值
(100,10), (121,11)得到
10.71428 误差-0.009525
(121,11),(144,12)
(x 121)(x 144) (100 121)(100 144)
10
(x 100)(x 144) (121 100) (121 144)
11
(x 100)(x 121) 12 (144 100)(144 121)
(115 121)(115 144) 10 (115 100)(115 144) 11
如何解决？
埃特金插值公式
埃 特 金 (Aitken) 插 值 公 式 的 构 造 是 基于这样的直观想象：平面上的两个点 可以连成一条直线, 对应一个线性函数； 把线性函数看作形式点, 经线性组合, 可构成二次函数；把二次函数再看作形 式点, 经线性组合, 可构成三次函数。
Aitken 插值表
x f(x)
点个不n次同插）值，多譬项如式选p取n(2x) (1x, )…。,由xn上,x述n+1定，理再，构我造们一有
f ( x) pn(1) ( x)
f (n1) (n
(1)
1)!
(
x
x0
)(
x
x1)(
x
xn
)
f ( x) pn(2) ( x)
f
( ( n 1) 2
(n 1)!
)
(
x
x1)(
x
近似值：p3(0.6)=-0.509975， 真 误 差 ： ln(0.6)-p3(0.6)=-0.000851 ，
第1章_插值
11 结束
与二次插值类似可得 li ( x)
j 0 j i
n
x xj xi x j
(i 0,1,2,, n)
计 算 方 法 课 件
其中 li ( x)
(i 0,1,2,, n) 均为拉格朗日n次插值基函数,
于是拉格朗日n次插值多项式
n x xj Pn ( x) li ( x) yi yi i 0 i 0 j 0 xi x j j i
其中 li ( x)
(i 0,1,2) 均为二次多项式,且满足
0 li ( x j ) ij 1
ji ji
(i , j 0,1,2)
7
结束
用待定系数法可确定 li ( x)
(i 0,1,2) 。
计 算 方 法 课 件
例如为确定二次多项式 l0 ( x ) ,∵ l0 ( x1 ) l0 ( x2 ) 0 l0 ( x) ( x x1 )( x x2 ) ∴ 可令 l0 ( x0 ) 1 又∵ ∴
f ( ) R2 ( x) ( x x0 )( x x1 )( x x2 ) 3!
14 结束
对于n次插值,其误差为(1.3)式。
1.2.5
Lagrange插值的算法
%输入插值点，要求函数值的点x；输出x 处函数近似值y
计 算 方 法 课 件
第1章
§1.1
计 算 方 法 课 件
插
值
插值的概念
实际中，函数 f(x)多样、复杂，通常只能观测到一些离散 数据；或者 f(x)过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函 数 g(x)来逼近 f(x) 。 自然地，希望 g(x)通过所有的离散点
与二次插值类似可得 li ( x)
j 0 j i
n
x xj xi x j
(i 0,1,2,, n)
计 算 方 法 课 件
其中 li ( x)
(i 0,1,2,, n) 均为拉格朗日n次插值基函数,
于是拉格朗日n次插值多项式
n x xj Pn ( x) li ( x) yi yi i 0 i 0 j 0 xi x j j i
其中 li ( x)
(i 0,1,2) 均为二次多项式,且满足
0 li ( x j ) ij 1
ji ji
(i , j 0,1,2)
7
结束
用待定系数法可确定 li ( x)
(i 0,1,2) 。
计 算 方 法 课 件
例如为确定二次多项式 l0 ( x ) ,∵ l0 ( x1 ) l0 ( x2 ) 0 l0 ( x) ( x x1 )( x x2 ) ∴ 可令 l0 ( x0 ) 1 又∵ ∴
f ( ) R2 ( x) ( x x0 )( x x1 )( x x2 ) 3!
14 结束
对于n次插值,其误差为(1.3)式。
1.2.5
Lagrange插值的算法
%输入插值点，要求函数值的点x；输出x 处函数近似值y
计 算 方 法 课 件
第1章
§1.1
计 算 方 法 课 件
插
值
插值的概念
实际中，函数 f(x)多样、复杂，通常只能观测到一些离散 数据；或者 f(x)过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函 数 g(x)来逼近 f(x) 。 自然地，希望 g(x)通过所有的离散点
第1章 插值方法
计 算 方 法
第一章 插值方法 本章介绍主要内容：
Lagrange插值 Neville插值 Newton插值 Hermite插值 分段插值 样条插值
1.1 插值问题的提出 1.1.1 什么是插值
计 算 方 法
在初等微积分中，我们用函数 y=f(x) 来描述一个平 面曲线，但在实际问题中，函数 y=f(x) 往往是通过实 验观测得到的一组数据来给出的，即在某个区间 [a,b]
x x x x 1 0 ( x ) , ( x ) 0 1 x x x x 0 1 1 0
因此有 L (x ) (x )y (x )y 1 0 0 1 1 xx xx 1 0 y y 0 1 x x x x 0 1 1 0
即多项式pn(x)的系数a0,a1,a2,· · · ,an满足方程组：
2 n a a x a x a x y 0 1 0 2 0 n 0 0 2 n a a x a x a x y 0 1 1 2 1 n 1 1 2 n a a x a x a x y 0 1 n 2 n n n n
计 算 方 法
(3)
上述方程组系数行列式为n+1阶Vandermond行列式：
1 x x x 0 0 0
2 n 2 n x x n 1 n 1 x x x 1 1 1 V ( x x ) 0 (4) j i 0 j i 1 i
i j
2 n 1 x x x n n n
计 算 方 法
L1(x0)= 0(x0) y0 + 1(x0) y1 = y0 L1(x1)= 0(x1) y0 + 1(x1) y1 = y1 令0(x)和1(x)满足如下的条件：
第一章 插值方法 本章介绍主要内容：
Lagrange插值 Neville插值 Newton插值 Hermite插值 分段插值 样条插值
1.1 插值问题的提出 1.1.1 什么是插值
计 算 方 法
在初等微积分中，我们用函数 y=f(x) 来描述一个平 面曲线，但在实际问题中，函数 y=f(x) 往往是通过实 验观测得到的一组数据来给出的，即在某个区间 [a,b]
x x x x 1 0 ( x ) , ( x ) 0 1 x x x x 0 1 1 0
因此有 L (x ) (x )y (x )y 1 0 0 1 1 xx xx 1 0 y y 0 1 x x x x 0 1 1 0
即多项式pn(x)的系数a0,a1,a2,· · · ,an满足方程组：
2 n a a x a x a x y 0 1 0 2 0 n 0 0 2 n a a x a x a x y 0 1 1 2 1 n 1 1 2 n a a x a x a x y 0 1 n 2 n n n n
计 算 方 法
(3)
上述方程组系数行列式为n+1阶Vandermond行列式：
1 x x x 0 0 0
2 n 2 n x x n 1 n 1 x x x 1 1 1 V ( x x ) 0 (4) j i 0 j i 1 i
i j
2 n 1 x x x n n n
计 算 方 法
L1(x0)= 0(x0) y0 + 1(x0) y1 = y0 L1(x1)= 0(x1) y0 + 1(x1) y1 = y1 令0(x)和1(x)满足如下的条件：
第一章插值方法(3-4学时)
问题
l 求作二次式1 ( x )
，使满足条件
p2 ( x0 ) = y0 , p2 ( x1 ) = y1 , p2 ( x2 ) = y 2
二次插值的几何解释是用通过三个点 ( x0 , y0 ),( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) 的抛物线 y = p2 ( x ) 插值，令
l0 ( x ) l0 ( x0 ) = 1, l0 ( x1 ) = l0 ( x2 ) = 0
问题
≤ 求作次数 n
pn ( x ) 多项式
Байду номын сангаас，使满足条件
这就是所谓的拉格朗日（Lagrange）插值。点 xi （它们互不相同） 拉格朗日（Lagrange）插值 拉格朗日 称为插值节点。 用几何语言来描述，就是，通过曲线y=f(x)上给定的n+1个点 ，求作一条n次代数曲线 作为 Y=f(x)的近似。
问题： 问题：
选取什么函数作为近似的函数 误差如何？
数值分析简明教程 2.<# >
f ( x )
，如何求得其具体表达式，
王能超 编著
插值问题
设函数f(x)在区间[a ，b]上有定义，且已知在一组互异 点 上的函数 值 ，寻求一个简单的函数p(x)，使满足 （1.1） 并用p(x)近似代替f(x)，上述问题称为插值问题 插值问题。 插值问题
类似的可以构造出
2.<# >
王能超 编著
拉格朗日插值的一般情形
≤n 仿照前述作法，对于求作次数 ，使满足条件
pn ( x ) 多项式
lk ( x ) , k = 0,1, 2,L , n
的问题，我们可构造插值基函数 ≤n ，它们都是次 数小于 这表明，除
数值分析课件-第02章插值法
数值分析课件-第02章插值法
目录
• 插值法基本概念与原理 • 拉格朗日插值法 • 牛顿插值法 • 分段插值法 • 样条插值法 • 多元函数插值法简介
01 插值法基本概念与原理
插值法定义及作用
插值法定义
插值法是一种数学方法，用于通过已知的一系列数据点，构造一个新的函数， 使得该函数在已知点上取值与给定数据点相符，并可以用来估计未知点的函数 值。
06 多元函数插值法简介
二元函数插值基本概念和方法
插值定义
通过已知离散数据点构造一个连 续函数，使得该函数在已知点处
取值与给定数据相符。
插值方法分类
根据构造插值函数的方式不同， 可分为多项式插值、分段插值、
样条插值等。
二元函数插值
针对二元函数，在平面上给定一 组离散点，构造一个二元函数通 过这些点，并满足一定的光滑性
差商性质分析
分析差商的性质，如差商 的对称性、差商的差分表 示等，以便更好地理解和 应用差商。
差商与导数关系
探讨差商与原函数导数之 间的关系，以及如何利用 差商近似计算导数。
牛顿插值法优缺点比较
构造简单
牛顿插值多项式构造过程相对简 单，易于理解和实现。
差商可重用
对于新增的插值节点，只需计算 新增节点处的差商，原有差商可 重用，节省了计算量。
要求。
多元函数插值方法举例
多项式插值
分段插值
样条插值
利用多项式作为插值函数，通 过已知点构造多项式，使得多 项式在已知点处取值与给定数 据相符。该方法简单直观，但 高阶多项式可能导致Runge现 象。
将整个定义域划分为若干个子 区间，在每个子区间上分别构 造插值函数。该方法可以避免 高阶多项式插值的Runge现象 ，但可能导致分段点处的不连 续性。
目录
• 插值法基本概念与原理 • 拉格朗日插值法 • 牛顿插值法 • 分段插值法 • 样条插值法 • 多元函数插值法简介
01 插值法基本概念与原理
插值法定义及作用
插值法定义
插值法是一种数学方法，用于通过已知的一系列数据点，构造一个新的函数， 使得该函数在已知点上取值与给定数据点相符，并可以用来估计未知点的函数 值。
06 多元函数插值法简介
二元函数插值基本概念和方法
插值定义
通过已知离散数据点构造一个连 续函数，使得该函数在已知点处
取值与给定数据相符。
插值方法分类
根据构造插值函数的方式不同， 可分为多项式插值、分段插值、
样条插值等。
二元函数插值
针对二元函数，在平面上给定一 组离散点，构造一个二元函数通 过这些点，并满足一定的光滑性
差商性质分析
分析差商的性质，如差商 的对称性、差商的差分表 示等，以便更好地理解和 应用差商。
差商与导数关系
探讨差商与原函数导数之 间的关系，以及如何利用 差商近似计算导数。
牛顿插值法优缺点比较
构造简单
牛顿插值多项式构造过程相对简 单，易于理解和实现。
差商可重用
对于新增的插值节点，只需计算 新增节点处的差商，原有差商可 重用，节省了计算量。
要求。
多元函数插值方法举例
多项式插值
分段插值
样条插值
利用多项式作为插值函数，通 过已知点构造多项式，使得多 项式在已知点处取值与给定数 据相符。该方法简单直观，但 高阶多项式可能导致Runge现 象。
将整个定义域划分为若干个子 区间，在每个子区间上分别构 造插值函数。该方法可以避免 高阶多项式插值的Runge现象 ，但可能导致分段点处的不连 续性。
计算方法_习题第一、二章答案
第一章 误差1 问3.142，3.141，722分别作为π的近似值各具有几位有效数字？分析 利用有效数字的概念可直接得出。
解 π=3.141 592 65…记x 1=3.142，x 2=3.141，x 3=722.由π- x 1=3.141 59…-3.142=-0.000 40…知3411110||1022x π--⨯<-≤⨯ 因而x 1具有4位有效数字。
由π- x 2=3.141 59…-3.141=-0.000 59…知2231021||1021--⨯≤-<⨯x π因而x 2具有3位有效数字。
由π-722=3.141 59 …-3.142 85…=-0.001 26…知231021|722|1021--⨯≤-<⨯π因而x 3具有3位有效数字。
2 已知近似数x*有两位有效数字，试求其相对误差限。
分析 本题显然应利用有效数字与相对误差的关系。
解 利用有效数字与相对误差的关系。
这里n=2,a 1是1到9之间的数字。
%5101211021|*||*||)(|1211*=⨯⨯≤⨯≤-=+-+-n ra x x x x ε3 已知近似数的相对误差限为0.3%，问x*至少有几位有效数字？分析 本题利用有效数字与相对误差的关系。
解 a 1是1到9间的数字。
1112*10)1(2110)19(21102110003%3.0)(--⨯+≤⨯+⨯=⨯<=a x r ε 设x*具有n 位有效数字，令-n+1=-1，则n=2，从而x*至少具有2位有效数字。
4 计算sin1.2，问要取几位有效数字才能保证相对误差限不大于0.01%。
分析 本题应利用有效数字与相对误差的关系。
解 设取n 位有效数字，由sin1.2=0.93…，故a 1=9。
411*10%01.01021|*||*||)(-+-=≤⨯≤-=n r a x x x x ε解不等式411101021-+-≤⨯n a 知取n=4即可满足要求。
第1章+插值法2
的一阶向前差分（简称差分） ；又称 k fi k 1 fi1 k 1 fi
n (k=1,2,…,n;i=0,1,…,n-k)为函数 f(x)在点{ xi }0 上的 k 阶向前差 n 分，这里约定{ xi }0 ;
(2) 称 fi fi fi1 (i=n,n-1,…,1)为函数 f(x)在点 fi fi fi1 上 的后差分；又称 k fi k 1 fi k 1 fi1 (k=1,2,…,n; i=n-k+1,…,2,1)
二阶差商是一阶差商的 差商 f [ x0，x1 ] f [ x1 , x2 ] f [ x0 , x1 , x2 ] x0 x2 一般地，二阶差商： f [ xi , x j ] f [ x j , xk ] xi xk n阶差商为： f [ x0 , x1 ,...xn 1 ] f [ x1 , x2 ,..., xn ] f [ x0 , x1 , x2 ,...xn 1 , xn ] x0 xn f [ xi , x j , xk ]
其中， i0 , i1, , in 是 0，1，…，n 的任意一种排列 性 质 3 若 f [ x, x0 , x1, , xk ] 是 x 的 m 次 多 项 式 ， 则
f [ x, x0 , x1, , xk , xk 1] 是 x 的 m-1 次多项式。
3.4.2 Newton插值公式
由差商定义
f ( x) f ( x0 ) f [ x, x0 ] x x0
f ( x) f ( x0 ) ( x x0 ) f [ x, x0 ]
(1)
f [ x, x0 ] f [ x0 , x1 ] f [ x, x0 , x1 ] x x1
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n
12
作为特例，令n=1，由（2.4）即得两点插值公式
x x0 x x1 L1 ( x) y0 y1 x0 x1 x1 x0
即
（2.5）
y1 y0 L1 ( x) y0 ( x x0 ) x1 x0
（2.6）
这是一个线性函数，用线性函数L1 ( x) 近似代替函数 f (x) ，在几何上就 是通过曲线 y f (x) 上两点 ( x0 , y0), ( x1 , y1) 作一直线 y L1 ( x) 近似代 替曲线 y f (x) (见图2)，故两点插值又名线性插值。 若令n=2，由（2.4）又可得常用的三点插值公式
y
y f x
(x , y )
0 0
(x , y )
y L1 x
1 1
0
x
0
x
1
x
图2
这是一个二次函数，用二次函数 L2 ( x)近似代替函数 f (x) ，在几何 上就是通过曲线 y f (x) 上的三点 ( x0 , y0 ), ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) ，作一抛物 线 y L2 ( x) 近似地代替曲线y f (x（图3），故三点插值又名二次 ) 插值或抛物插值。 例1 已知 100 10, 121 11, 144 12分别用线性插值和抛物插值 求 115 的值。
例题：求做 f ( x) x 在 x0 100 的一次和二次Taylor多 项式，利用它们计算 115 的近似值并估计误差。（P14)
§2
Lagrange插值公式
在上一节里，我们不仅指出了插值多项式的存在唯一性，而且也 提供了它的一种求法，即通过解线性方程组（1.4）来确定其系数 a i ，但是，这种作法的计算工作量大，不便于实际应用，下面介绍几种 简便的求法。
便于计算的函数类φ 中，求一简单函数p(x) ， 使
Pxi yi i 0,1,n
(1.1)
而在其它点 x xi 上，作为 f (x) 的近似。 称区间为插值区间，点 x0 , x1 ,, xn为插值
节点，称（1.1）为 f(x)的插值条件，称函 数类φ 为插值函数类，称 p(x)为函数在
kn
kn
是
输出x,y
图4
y=y+P*yk
17
x xj lk ( x ) j 0 xk x j j k
pn ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x) ynln ( x) （2.3）
事实上，由于每个插值基函数 lk ( x)(k 0,1,, n) 都是n次 多项式，故其线性组合（2.3）必是不高于n次的多项式，同时， xi 根据条件（2.1）容易验证多项式（2.3）在节点 处的值 为 yi i 0,1,, n ，因此，它就是待求的n次插值多项式Pn x 。 形如(2.3)的插值多项式称为Lagrange插值多项式，记为
（2.1）
（2.1）表明n个点 xi i 0,1, k 1, k 1,n都是n次多项式 lk (x) 的
零点，故可设
lk ( x) Ak ( x x0 )(x x1 )( x xk 1 )(x xk 1 )( x xn )
10
其中
Ak 为待定系数，由条件 lk ( x) 1 可得
将所得结果与 115 的精确值10.7238…相比较，可以看出抛物插值 的精确度较好。 为了便于上机计算，我们常将拉格朗日插值多项式（2.4）改 写成公式（2.8）的对称形式
编程框图如图4，可用二重循环来完成 Ln (x)值的计算，先通过内 循环，即先固定k，令 j 从 0到 n ( j k ) ，累乘求得
定理1 若节点 x0, x1, x n互不相同，则满足插值条件（1.3） 的n次插值多项式（1.2）存在且唯一。
1.3 Taylor 插值
（1） Taylor多项式
f ''( x0 ) f ( n ) ( x0 ) 2 pn ( x) f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 ) n 2! n!
(2.2)
n1 ( x) ( x x0 )(x x1 )( x xn ) ( x xi )
i 0
n
对应于每一节点 xk 0 k n ，都能求出一个满足插值 条件（2.1）的n次插值多项式（2.2），这样，由（2.2）式可以求 出n+1个n次插插多项式 l0 ( x),l1 ( x),, ln ( x) 。容易看出，这组多 项式仅与节点的取法有关，称它们为在n+1个节点上的n次基本 11 插值多项式或n次插值基函数。
16
n x xj y Ln ( x) k j 0 xk x j k 0 jk
n
（2.8）
输入xj, yj, n, x
y=0
j=0,1,…,n
P=1
k=0,1,…,n
k=j?
否
P=P*(x-xj)/(xk-xj)
2.1
插值基函数
先考虑一下简单的插值问题：对节点 x i 0,1, n 中任一 i lk (x) , 使它在该点上取值为1,而在其 点 xk 0 k n,作一n次多项式 余点xi i 0,1,, k 1, k 1,, n 上取值为零, 即
1 i k lk ( xi ) 0 i k
在近代，插值法仍然是数据处理和编制函数表的常用工具。
是数值积分、数值微分、非线性方程求根和微分方程数值解法的重要基础 ，许多求解计算公式都是以插值为基础导出的。
2
1. 1 有关概念
定义 设函数 y = f(x) 在区间 [a,b]上连续，
且在n+1个不同的点 a x0 , x1 ,, xn b 上分 别取值 y0 , y1 ,, yn ，在一个性质优良、
y = f(x) 的近似，如图1。
5
Y
y f x
y Pn x
y0
y1
x1
图1
yn
0 a x0
xn b
X
6
1 .2 插值多项式存在唯一性
由插值条件（1.3）知，插值多项式 Pn x 的系数 ai i 0,1, n 满足线性方程组
n a0 a1 x0 a n x0 y 0 n a0 a1 x1 a n x1 y1 n a0 a1 x n a n x n y n
有的函数解析表达式过于复杂，不便直接使用；
早在6世纪，隋代的刘焯已在《皇极历》中将等距二次插值用于天文计算。 唐朝天文学家、数学家一行在其《大衍历》中发明了二次不等间距插值法 ，且一行还有意识地应用了三次内插法近似公式。 17世纪之后，牛顿，拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插值公式。
Ln x y0l0 ( x) y1l1 ( x) ynln ( x)
( x x0 )( x xk 1 )(x xk 1 ) ( x xn ) yk ( xk x0 )( xk xk 1 )(xk xk 1 )( xk xn ) （2.4) k 0
8
（2) Taylor余项
f ( n1) ( ) f ( x) pn ( x) ( x x0 ) n1 , [a, b] (n 1)!
（3) Taylor插值 求做n次多项式 pn ( x) ，使满足
( pnk ) ( x0 ) f (k ) ( x0 ), k 0,1,, n
在多项式插值中，最常见、最基本的 问题是：求一次数不超过n的代数多项式
4
使
Pn x a0 a1 x an x (1.2)
n
Pn xi yi i 0,1, ,, n
(1.3)
其中 a0 , a1 ,, an 为实数。满足插值条件 (1.3)的多项式(1.2)，称为函数f(x) 在节点 处的n次插值多项式。 n次插值多项式 Pn x 的几何意义：过 曲线y = f(x) 上的n+1个点( xi , yi )(i 0,1,, n) 作一条n次代数曲线 y Pn (x) ，作为曲线
'n1 ( xi ) ( xi x0 )( xi xi 1 )(xi xi 1 )( xi xn ) n1 ( x) lk ( x ) ( x xi ) 'n1 ( xi )
2.2 Lagrange插值多项式
利用插值基函数立即可以写出满足插值条件（1.3）的n次 插值多项式
14
解
因为115在100和121之间，故取节点x0=100，x1=121相应地有 y0=10，y1=11，于是，由线性插值公式（2.5）可得
L1 ( x) 10 *
x 121 x 100 11 * 100 121 121 100
故用线性插值求得的近似值为
y
(x , y )
0 0
( x x1 )( x x2 ) ( x x0 )( x x2 ) y1 L2 ( x ) y0 ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) y ( x x0 )( x x1 ) 2 （2.7） ( x2 x0 )( x2 x1 ) 13
y L2 x
(x , y )
1 1
(x , y )
2 2
Hale Waihona Puke y f x 0x
0
图3
x
1
x
115 L1 (115) 10 *
115 121 115 100 11* 10.714 100 121 121 100
12
作为特例，令n=1，由（2.4）即得两点插值公式
x x0 x x1 L1 ( x) y0 y1 x0 x1 x1 x0
即
（2.5）
y1 y0 L1 ( x) y0 ( x x0 ) x1 x0
（2.6）
这是一个线性函数，用线性函数L1 ( x) 近似代替函数 f (x) ，在几何上就 是通过曲线 y f (x) 上两点 ( x0 , y0), ( x1 , y1) 作一直线 y L1 ( x) 近似代 替曲线 y f (x) (见图2)，故两点插值又名线性插值。 若令n=2，由（2.4）又可得常用的三点插值公式
y
y f x
(x , y )
0 0
(x , y )
y L1 x
1 1
0
x
0
x
1
x
图2
这是一个二次函数，用二次函数 L2 ( x)近似代替函数 f (x) ，在几何 上就是通过曲线 y f (x) 上的三点 ( x0 , y0 ), ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) ，作一抛物 线 y L2 ( x) 近似地代替曲线y f (x（图3），故三点插值又名二次 ) 插值或抛物插值。 例1 已知 100 10, 121 11, 144 12分别用线性插值和抛物插值 求 115 的值。
例题：求做 f ( x) x 在 x0 100 的一次和二次Taylor多 项式，利用它们计算 115 的近似值并估计误差。（P14)
§2
Lagrange插值公式
在上一节里，我们不仅指出了插值多项式的存在唯一性，而且也 提供了它的一种求法，即通过解线性方程组（1.4）来确定其系数 a i ，但是，这种作法的计算工作量大，不便于实际应用，下面介绍几种 简便的求法。
便于计算的函数类φ 中，求一简单函数p(x) ， 使
Pxi yi i 0,1,n
(1.1)
而在其它点 x xi 上，作为 f (x) 的近似。 称区间为插值区间，点 x0 , x1 ,, xn为插值
节点，称（1.1）为 f(x)的插值条件，称函 数类φ 为插值函数类，称 p(x)为函数在
kn
kn
是
输出x,y
图4
y=y+P*yk
17
x xj lk ( x ) j 0 xk x j j k
pn ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x) ynln ( x) （2.3）
事实上，由于每个插值基函数 lk ( x)(k 0,1,, n) 都是n次 多项式，故其线性组合（2.3）必是不高于n次的多项式，同时， xi 根据条件（2.1）容易验证多项式（2.3）在节点 处的值 为 yi i 0,1,, n ，因此，它就是待求的n次插值多项式Pn x 。 形如(2.3)的插值多项式称为Lagrange插值多项式，记为
（2.1）
（2.1）表明n个点 xi i 0,1, k 1, k 1,n都是n次多项式 lk (x) 的
零点，故可设
lk ( x) Ak ( x x0 )(x x1 )( x xk 1 )(x xk 1 )( x xn )
10
其中
Ak 为待定系数，由条件 lk ( x) 1 可得
将所得结果与 115 的精确值10.7238…相比较，可以看出抛物插值 的精确度较好。 为了便于上机计算，我们常将拉格朗日插值多项式（2.4）改 写成公式（2.8）的对称形式
编程框图如图4，可用二重循环来完成 Ln (x)值的计算，先通过内 循环，即先固定k，令 j 从 0到 n ( j k ) ，累乘求得
定理1 若节点 x0, x1, x n互不相同，则满足插值条件（1.3） 的n次插值多项式（1.2）存在且唯一。
1.3 Taylor 插值
（1） Taylor多项式
f ''( x0 ) f ( n ) ( x0 ) 2 pn ( x) f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 ) n 2! n!
(2.2)
n1 ( x) ( x x0 )(x x1 )( x xn ) ( x xi )
i 0
n
对应于每一节点 xk 0 k n ，都能求出一个满足插值 条件（2.1）的n次插值多项式（2.2），这样，由（2.2）式可以求 出n+1个n次插插多项式 l0 ( x),l1 ( x),, ln ( x) 。容易看出，这组多 项式仅与节点的取法有关，称它们为在n+1个节点上的n次基本 11 插值多项式或n次插值基函数。
16
n x xj y Ln ( x) k j 0 xk x j k 0 jk
n
（2.8）
输入xj, yj, n, x
y=0
j=0,1,…,n
P=1
k=0,1,…,n
k=j?
否
P=P*(x-xj)/(xk-xj)
2.1
插值基函数
先考虑一下简单的插值问题：对节点 x i 0,1, n 中任一 i lk (x) , 使它在该点上取值为1,而在其 点 xk 0 k n,作一n次多项式 余点xi i 0,1,, k 1, k 1,, n 上取值为零, 即
1 i k lk ( xi ) 0 i k
在近代，插值法仍然是数据处理和编制函数表的常用工具。
是数值积分、数值微分、非线性方程求根和微分方程数值解法的重要基础 ，许多求解计算公式都是以插值为基础导出的。
2
1. 1 有关概念
定义 设函数 y = f(x) 在区间 [a,b]上连续，
且在n+1个不同的点 a x0 , x1 ,, xn b 上分 别取值 y0 , y1 ,, yn ，在一个性质优良、
y = f(x) 的近似，如图1。
5
Y
y f x
y Pn x
y0
y1
x1
图1
yn
0 a x0
xn b
X
6
1 .2 插值多项式存在唯一性
由插值条件（1.3）知，插值多项式 Pn x 的系数 ai i 0,1, n 满足线性方程组
n a0 a1 x0 a n x0 y 0 n a0 a1 x1 a n x1 y1 n a0 a1 x n a n x n y n
有的函数解析表达式过于复杂，不便直接使用；
早在6世纪，隋代的刘焯已在《皇极历》中将等距二次插值用于天文计算。 唐朝天文学家、数学家一行在其《大衍历》中发明了二次不等间距插值法 ，且一行还有意识地应用了三次内插法近似公式。 17世纪之后，牛顿，拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插值公式。
Ln x y0l0 ( x) y1l1 ( x) ynln ( x)
( x x0 )( x xk 1 )(x xk 1 ) ( x xn ) yk ( xk x0 )( xk xk 1 )(xk xk 1 )( xk xn ) （2.4) k 0
8
（2) Taylor余项
f ( n1) ( ) f ( x) pn ( x) ( x x0 ) n1 , [a, b] (n 1)!
（3) Taylor插值 求做n次多项式 pn ( x) ，使满足
( pnk ) ( x0 ) f (k ) ( x0 ), k 0,1,, n
在多项式插值中，最常见、最基本的 问题是：求一次数不超过n的代数多项式
4
使
Pn x a0 a1 x an x (1.2)
n
Pn xi yi i 0,1, ,, n
(1.3)
其中 a0 , a1 ,, an 为实数。满足插值条件 (1.3)的多项式(1.2)，称为函数f(x) 在节点 处的n次插值多项式。 n次插值多项式 Pn x 的几何意义：过 曲线y = f(x) 上的n+1个点( xi , yi )(i 0,1,, n) 作一条n次代数曲线 y Pn (x) ，作为曲线
'n1 ( xi ) ( xi x0 )( xi xi 1 )(xi xi 1 )( xi xn ) n1 ( x) lk ( x ) ( x xi ) 'n1 ( xi )
2.2 Lagrange插值多项式
利用插值基函数立即可以写出满足插值条件（1.3）的n次 插值多项式
14
解
因为115在100和121之间，故取节点x0=100，x1=121相应地有 y0=10，y1=11，于是，由线性插值公式（2.5）可得
L1 ( x) 10 *
x 121 x 100 11 * 100 121 121 100
故用线性插值求得的近似值为
y
(x , y )
0 0
( x x1 )( x x2 ) ( x x0 )( x x2 ) y1 L2 ( x ) y0 ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) y ( x x0 )( x x1 ) 2 （2.7） ( x2 x0 )( x2 x1 ) 13
y L2 x
(x , y )
1 1
(x , y )
2 2
Hale Waihona Puke y f x 0x
0
图3
x
1
x
115 L1 (115) 10 *
115 121 115 100 11* 10.714 100 121 121 100