第4章 确定性决策——线性规划初步(1)解析

求总运费最低的运输方案。
运价 （元/吨） A1 A2 需求量（吨）
B1 2 4 10
B2 3 7 30
B3 5 8 20
供应量 （吨） 35 25 60 10吨
2 35吨 A1 4 25吨 A2 3 5
B1
B2 7 8 B3
30吨
20吨
运价 （元/吨） A1 A2 需求量（吨）
B1 2 4 10
这个问题的最优解为：x1=26.58, x2=31.57, x3=41.84，x4=0（公 斤）, 最低成本为z=9549.87元。 问题：如果某一种成分的含量既有下限，又有上限怎么办？
3. 背包问题（Knapsack Problem）
一只背包最大装载重量为50公斤。现有三种物品，每种 物品数量无限。每种物品每件的重量、价格如下表： 物品1 物品2 重量（公斤/件） 价值（元/件） 10 17 41 72 物品3 20 35
T1 Cr Mn Ni 3.21 2.04 5.82 T2 4.53 1.12 3.06 T3 2.19 3.57 4.27 T4 1.76 4.33 2.73 G 3.20 2.10 4.30
单价（元/公斤）
115
97
82
76
要求配100公斤不锈钢G，并假定在配制过程中没有损耗。 求使得总成本最低的配料方案。
目标函数
百度文库
约束条件 变量非负约束
这个问题的最优解为：x1=294.12件，x2=1500件，x3=0，x4=58.82件 最大利润为：z=12737.06元。 问题：三个约束条件可以改为等式吗？
2. 配料问题（Material Blending）
某工厂要用四种合金T1、T2、T3、T4为原料，经熔炼成 为新的不锈钢G。这四种原料含铬（Cr）、锰（Mn）和 镍（Ni）的含量（％），这四种原料的单价以及新的不 锈钢G所要求的Cr、Mn、Ni的最低含量（％）如下表：
B2 3 7 30
B3 5 8 20
供应量 （吨） 35 25 60
设从两个供应地到三个需求地的运量（吨）如下表：
B1 A1 A2 x11 x21 B2 x12 x22 B3 x13 x23
运价 （元/吨）
B1
B2
B3
供应量 （吨）
A1 A2
需求量（吨）
2 4
10
3 7
30
5 8
20
35 25
60
x1=1件，x2=0件，x3=2件，最高价值z=87元
4. 运输问题（Transportation）
某种物资从两个供应地A1，A2运往三个需求地B1，B2， B3。各供应地的供应量、各需求地的需求量、每个供应 地到每个需求地每吨物资的运输价格如下表：
运价（元/吨） A1 A2 需求量（吨） B1 2 4 10 B2 3 7 30 B3 5 8 20 供应量（吨） 35 25 60
T1
T2
T3
T4
G
Cr
Mn Ni
3.21
2.04 5.82
4.53
1.12 3.06
2.19
3.57 4.27
1.76
4.33 2.73
3.20
2.10 4.30
单价（元/公斤）
115
97
82
76
设四种原料分别选取x1，x2，x3，x4公斤，总成本为z。
min z=115x1+97x2+82x3+76x4 s.t. 0.0321x1+0.0453x2+0.0219x3+0.0176x4≥3.20 0.0204x1+0.0112x2+0.0357x3+0.0433x4≥2.10 0.0582x1+0.0306x2+0.0427x3+0.0273x4≥4.30 x1+x2+x3+x4=100 x1, x2, x3, x4≥0 Cr的含量下限约束 Mn的含量下限约束 Ni的含量下限约束 物料平衡约束
min z=2x11+3x12+5x13+4x21+7x22+8x23 s.t. x11+x12+x13 =35 x21+x22+x23 =25 x11 +x21 =10 x12 +x22 =30 x13 +x23 =20 x11, x12, x13, x21, x22, x23≥0
供应地A1 供应地A2 需求地B1 需求地B2 需求地B3
某工厂拥有A、B、C三种类型的设备，生产甲、乙、 丙、丁四种产品。每件产品在生产中需要占有的设备 机时数，每件产品可以获得的利润以及三种设备可利 用的时数如下表所示：
产品甲 产品乙 产品丙 产品丁 设备A 设备B 设备C 利润（元/件） 1.5 1.0 1.5 5.24 1.0 5.0 3.0 7.30 2.4 1.0 3.5 8.34 1.0 3.5 1.0 4.18 设备能力 （小时） 2000 8000 5000
求使得总利润最大的生产计划。
产品甲
产品乙
产品丙
产品丁
设备能力 （小时）
设备A
设备B 设备C
1.5
1.0 1.5
1.0
5.0 3.0
2.4
1.0 3.5
1.0
3.5 1.0
2000
8000 5000
利润（元/件）
5.24
7.30
8.34
4.18
设四种产品的产量分别为x1，x2，x3，x4，总利润为z，线性规划模型为： max z=5.24x1+7.30x2+8.34x3+4.18x4 s.t. 1.5x1+1.0x2+2.4x3+1.0x4≤2000 1.0x1+5.0x2+1.0x3+3.5x4≤8000 1.5x1+3.0x2+3.5x3+1.0x4≤5000 x1, x2, x3, x4≥0
第4章 确定性决策——线性规 划初步

线性规划问题 线性规划模型 线性规划的图解 可行域的性质 线性规划的基本概念 基础解、基础可行解 单纯形表 线性规划的矩阵表示
线性规划问题
生产计划问题
配料问题
背包问题
运输问题
指派问题
1. 生产计划问题（Production Planning）
求背包中装入每种物品各多少件，使背包中物品总价值 最高。
物品1
物品2
物品3
重量（公斤/件）
价值（元/件）
10
17
41
72
20
35
设三种物品的件数各为x1，x2，x3件，总价值为z。
max z=17x1+72x2+35x3
s.t. 10x1+41x2+20x3≤50 x1，x2，x3≥0 x1，x2，x3为整数 这是一个整数规划问题（Integer Programming）。这 个问题的最优解为：