解决空间几何问题的常用方法

D1
F
C1
A1 B1
D A
C B
8. O、P分别是正四棱柱ABCD A1B1C1D1底面中心.
E是AB的中点，AB=kAA1.
(1)求证：A1E//平面PBC
（2）当k 2时，求直线PA与平面PBC所成角的大小。
D1
C1
P
A1
B1
DO
C
A
E
B
三、旋转
9.已知一个三棱锥，其中有5条棱长均为1，求另一条棱
P的轨迹是______
D1
C1
A1
D A
B1 P C
B
14.正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，点M为棱AB上
一点，且AM 1，点P是平面ABCD上的动点，且动点 3
P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1， 则动点P的轨迹是（ ）
Ａ. 圆 Ｂ.抛物线 Ｃ．双曲线 Ｄ.直线
17.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q是对
角线A1C上的点，PQ=
a 2
,
则三棱锥P
BDQ的体积为
__
17.已知成角为两异面线段的长度分别为a和b，它们之
间的距离为d , 求线段四个端点组成的四面体的体积.
14.正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的 中点，设AA1 2，求三棱锥F A1ED1的体积.
O为AC的中点，OP 底面ABC.求直线PA与平面PBC 所成角的大小
P
D
A
O
C
B
13.在正四棱锥P ABCD中，过PC的中点M及BD作截面 （1）求证：PA//平面MBD （2）若AB=a，且相邻两侧所成的二面角为120o，求顶点
P到平面MBD的距离
P
M
D
C
A
B
五、空间问题平面化
（空间背景下的轨迹问题）
B1
C1
P A1
M
B
N
C
A
10.(2004湖南高考）把正方形ABCD沿对角线AC折起， 当以ABCD为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平 面ABC所成角的大小.
15.多面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的 正方形，AA1，BB1，CC1，DD1都垂直于底面ABCD，且 BB1 1，CC1 AA1 2，DD1 3，求多面体的体积.
的大小.
D1
C1
A1 D
A
B1 C
B
9.在直角梯形ABCD中，AB//CD，D=45o，AE CD于 E，把△ADE沿AE折起，使二面角C AE D为45o，这 时点D在平面ABCE的射影恰好落在点C，求二面角 B AD E的余弦值.
7.正方体ABCD A1B1C1D1中，F为D1C1中点，求A1B1与 平面A1CF所成角.
D1
C1
A1 B1
D
C
P
AM
B
六、开放探索性问题
15.在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为正方形，PD
底面ABCD，F是PB上任一点，G点在侧面PAD内及其
边界上运动，并保持GF BC.指出G点的轨迹，并证
明你的结论.
P
G A
D
F B
C
16.直三棱柱AC1中，AA1 AB=AC，AB AC，Ｍ是CC1 的中点，N是BC的中点，当P点在线段A1B1上运动时， 判断异面直线PN和AM所成角的大小变化，并证明你的 结论.
六、割补法（体积问题）
16.已知四面体ABCD对棱相等，棱长分别为 5、10、13 ，求此四面体的体积.
18.如图所示，异面直线AC与BD间的公垂线段AB 4， 又AC 2，BD 3，CD 4 2.
（1）设二面角C AB D为（0 ），求cos
（2）求点C到平面ABD的距离 （3）求异面直线AB与CD的距离
C
B
O
A
5（. 2006江西高考题）在三棱锥A BCD中，侧面ABD、
ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，AD= 3， BD=CD=1，另一个侧面是正三角形. （1）求证：AD BC （2）求二面角B-AC-D的大小 （3）在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30o 角，若存在，确定E的位置.若不存在，说明理由.
13.正方体ABCD A1B1C1D1中，P是侧面BCC1B1内一动 点，若P到直线BC与到直线C1D1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）
A.直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线
D1
C1
A1
D A
B1 P C
B
变式：把“P到直线BC与直线C1D1的距离相等”改为 “P到直线BC与到直线CD的距离直比为1:2? ,则动点
一、嵌入
1.已知点P在正方形ABCD所在平面外，PD 面ABCD， PD=AD，则PA与BD所成角的度数为_________
P
D A
C B
例：若正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面 成60o的角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是___
D
C
A F
B E
2（. 2006四川高考题）在三棱锥O ABC中，三条棱OA、 OB、OC两两垂直，且OA=OB=OC，M是AB边的中点， 求OM与平面ABC所成角的大小.
长的取值范围.
P
A
C
B
四、转移
11.(2005年福建卷）在直二面角D-AB-E中，四边形
ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，
且FB 平面ACE
D
C
（1）求证：AE 平面BCE
（2）求二面角B-AC-E的大小
（3）求点D到平面ACE的距离
A
B
E
百度文库
12.在三棱锥P ABC中，AB BC，AB=BC= 1 PA，点 2
A
B
D
3.三棱锥P ABC中，PA、PB、PC两两垂直，PA=1， PB=PC= 2.则空间一点O到点P、A、B、C等距离d的 值为________
A
B
P
C
4.从空间一点O出发的四条不共面的射线OA、OB、OC、
OD两两成角都是，则cos _______
A
B
D
C
二、延展
6.在正方体ABCD A1B1C1D1中，求二面角C1 D1B C