第四章 不确定情况下的选择理论

A．在不确定性下选择的5条公理
公理1. 可比性（完全性） 设∀X、Y则个人必须具有以下三个判断之 一： x ≻ y（x优于y）, x ≺ y， x~y ,x与y无差异 公理2 传递性（一致性） 如果x ≻y，及y ≻z，则x ≻ z 公理3 强独立性，如果x~y ，则 G(x, z,α) ~ G( y, z,α) 如果一博奕，以概率α 得到x，以概率1- α得到 z，则记为G(x,z; α) （或一张彩票： α x + (1−α) z）
≻
2
or
α1 = α2 ⇒ y ~ u
B. Developing Utility functions
效用函数的发展
利用五条公理建立效用函数有效性（ 利用五条公理建立效用函数有效性（期 望效用函数用以表示在不确定的情况下 的偏好关系） 的偏好关系）
效用函数的性质：
保序性
u(x) > u( y) ⇔ x ≻ y
博奕的精算价值（actuarial value of the gamble）：100×0.1＋0 ×0.9＝10
定义：
如果U[E(W)]>E[U(W)]，风险回避者 如果U[E(W)]=E[U(W)]，风险中性 如果U[E(W)]<E[U(W)]，喜爱风险
U(w)
如果效用函数是严格向下凸，则是风 险喜好者。 U[E(W)]<E[U(W)]
C．Establishing a Definition of Risk Aversion 风险厌恶（ Risk Aversion ）的定 义
≻ G（100元，0：10%）10元 喜欢风险者（risk lover） G（100元，0：10%）~10元 风险中性（risk neutral） G（100元，0：10%）10元 ≺ 风险回避者（risk averter）
U(b)
U(a) a (b) w
Figure 2.6 Three utility functions with positive marginal utility: (a)risk lover; (b)risk neutral; (c) risk averter.
U(w) U(b)
如果效用函数是严格向上凸的，则 是风险厌恶者。 U[E(W)]>E[U(W)]
注意
对于一风险厌恶者的风险酬金 总是正的，而博奕成本可能是 正、负、零。
考虑一个博奕
~ 它以概率p有一正的回报h1 ,以概率1-p Z 有一负回报h2 公平博奕：一个被赋予精算价值为 美元的博奕 称为公平的，如果它的期 望收益为0:
~ E[Z] = 0
问题：我们应当在博弈活动中加入多大数 额的风险溢酬π才能令他认为该博弈活动与 博弈活动的精算价值是无差异的？
期Hale Waihona Puke 效用性U[G(x, y :α)] = αu(x) + (1−α)u( y)
一般，财富的期望效用可表示为： 一般，财富的期望效用可表示为：
E[U(w)] = ∑PU(W ) i i
i
效用函数的具体构造
问题：面对一博弈：以概率α 赢1000元，以概率1α 损失1000元,假设损失1000元的效用为-10，那 么我们可以得到怎样的一个概率 α , 使该博弈与 确定性的0之间无差异? 即 0~G(1000,-1000: α) 或 U(0)= αU(1000)+(1- α)U(-1000)
α α
设 为了0与该博弈之间无差异，赢1000 元概率必定 赢 1000元概率必定 为 0.6 。 假 设 0 的 效 用 为 0 ， 将 U(-1000)=-10 ， α=0.6到上式，解得：
U (1000)
(1−α ) U ( −1000) = (1− 0.6)( −10) = 6.7 =
α
0.6
(a)
oranges
End of period. C1
-(1+r) (b) Beginning of period. C0 Figure 4.1 Indifference curves for various types of choices: (a) Choice between consunption goods under certainty;(b) choice between consumption and investment under certainty; (c) choice between risk and return
U(b)
U(a) a Figure 2.6 Three utility functions with positive marginal utility: (a)risk lover; (b)risk neutral; (c) risk averter. (a) b w
U(w)
如果效用函数是线性的，则是风险中 性者。 U[E(W)]=E[U(W)]
第四章 资产组合理论与 资本资产定价模型
第一节 不确定下的选择理论
风险度量 偏好与期望效用函数 方差协方差矩阵方法
风险和收益选择
由于消费的对象具有不确定的结果（股票 与债券） 类似的效用函数或无差异曲线 类似的预算集或资本市场线。
Apples
Figure 4.1 Indifference curves for various types of choices: (a) Choice between consunption goods under certainty;(b) choice between consumption and investment under certainty; (c) choice between risk and return
20
30 b
w
步骤：
确 定 等 量 财 富 数 额 （ certainty equivalent wealth） W*，由 E[U(W)]=U(W*)解出 风险酬金(risk premium ): π=E(W)W* 博奕的成本: C=W0-W*, W0为初始财富
例2：一风险厌恶者有效用函数： U(W)=lnW，初始财富W0=10元，现提供 一个博奕：10%的机会赢10元，90%赢100 元。从而,博弈活动的精算价值为： E（W）=0.10（20）+0.9（110）=101 ①求W*： ： 由E[U(W)]=0.1×U(20)+0.9×U(110) =0.1×ln(20)+0.9×ln(110)=ln(w*) 解得：w*=92.76 ②风险酬金： 风险酬金： π=E(W)-W*=101-92.76=8.24元>0 博奕成本： ③博奕成本： C=10-92.76= -82.76元
结论：
由（4.1）可知，该博弈活动的效用等于由博 弈活动本身提供的财富效用的期望，即财富 效用的期望值： E[U(W)]=.8U($5)+.2U($30) =.8(1.61)+.2(3.40)=1.97 显然： U[E(W)]> E[U(W)],风险回避者。
等额财富数额
如果令：U W* =1.97 = ln W* ⇒W* = 7.17 E[U(10)]= U(7.17)=1.97， 7.17 称 为 G 的 确 定 等 量 财 富 数 额 （ certainty equivalent wealth）。 另一方面，如果他愿意参加博奕，得期望收 入为：E(W)=.8($5)+.2($30)=$10。因此， 对于给定的对数效用函数，为了避免一个 博奕，愿意支付： E(W)-W*=10-7.17元；将此称为Makowitz risk premium（风险酬金）。
≺
公理4 可测性（连续性） 如果 x ≻ y≻z or x≻y ≻ z 则存在唯一的 α y ~ G(x, z :α)
， 使得
如果 α1 > α2 ⇒ y ≻ u
公理5 排序性 如果 x≻y≻z x≻ ≻z ；那么当 u y ~ G(x, z :α1 ) 和 u ~ G(x, z :α ) 时，则
~ 风险酬金是W和 Z 的函数，满足如下方程：
~ ~ ~ E[U(W + Z )] = U[W + E(Z ) −π (W, Z )]
两边用Taylor‘s展开： 右边= U[W −π ] = U(W) −πU′(W) + 高阶项
1~ ~ ~ ′(W) + Z 2U′′(W) +高 项] 阶 左边= E U W + Z = E[U(W) + ZU 2
Return
(c) Risk Figure 4.1 Indifference curves for various types of choices: (a) Choice between consunption goods under certainty;(b) choice between consumption and investment under certainty; (c) choice between risk and return
U(a) w
a
Figure 2.6 Three utility functions with positive marginal utility: (a)risk lover; (b)risk neutral; (c) risk averter.
(c)
b
为了避免一个博奕，此人愿 意放弃的财富的最大数值， 被 称 为 风 险 酬 金 （ risk premium ） 或 者 称 为 风 险 溢 价．
( )
思考
如果通过保险避免博奕，在什么 情况下愿意购买保险？
U(W)=lnW 3.4=U($30)
w U(w)
1 5 10 20 30 0 1.61 2.30 3.00 3.40
3.0 2.30=U[E(w)] 1.97=E[U(w)] 1.61=U(S5) 1.0