不等式的性质2教案

不等式的性质
教学目的：
1． 熟练掌握性质1，2，3、5的应用；
2． 掌握并会证明性质4、6、7、8、
3． 掌握反证法证明性质8
教学重点：性质4、6、8的证明
教学难点：几个性质的应用
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如：a>b ，c>d ，是同向不等式 异向不等式：两个不等号方向相反的不等式例如：a>b ，c<d ，是异向不等式
2．不等式的性质：
性质1：如果a>b ，那么b<a ，如果b<a ，那么a>b ．(对称性)
即：a>b ⇒b<a ；b<a ⇒a>b
性质2：如果a>b ，且b>c ，那么a>c ．(传递性)
即a>b ，b>c ⇒a>c
性质3：如果a>b ，那么a+c>b+c ．
即a>b ⇒a+c>b+c
性质5如果a>b ，且c>d ，那么a+c>b+d ．(相加法则)
即a>b ， c>d ⇒a+c>b+d ．
二、讲解新课：
性质4：如果a>b ，且c>0，那么ac>bc ；
如果a>b ，且c<0，那么ac<bc ．
证明：∵ac-bc ＝(a-b)c
∵a>b ∴a-b>0
当c>0时，(a-b)c>0即ac>bc ．
当c<0时，(a-b)c <0即ac<bc ．
类比定理3推论，设想同向不等式相乘，不等号方向是否改变？即如果a>b ，c>d 是否一定能得出ac>bd ？(举例说明)
能否加强条件得出ac>bd 呢?(引导学生探索，得出推论) ．
性质6 如果a>b >0，且c>d>0，那么ac>bd ．(相乘法则)
证明：,0a b c >>Q ac bc ∴> ①
又,0,c d b >>Q ∴bc bd > ②
由①、②可得ac bd >
说明：（1）上述证明是两次运用定理4，再用定理2证出的；
（2）所有的字母都表示正数，如果仅有,a b c d >>，就推不出ac bd >的结论
（3）这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘这就是
说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向
性质7 若0,(1)n n a b a b n N n >>>∈>则且
说明：（1）推论2是推论1的特殊情形；
（2）应强调学生注意n ∈N 1n >且的条件
如果a>b >0，那么a n >b n (n ∈N ，且n>1)
性质8
若0,1)a b n N n >>>∈>且
点拨：遇到困难时，可从问题的反面入手，即所谓的“正难则反” ．我们用反证法来证明定理5
，因为反面有两种情形，即
<
和=
，所以不能仅仅否定了<，就“归谬”了事，而必须进行“穷举” 证明：假定n a 不大于n b
<
n a =由推论2
和定理1
<a b <；当n n b a =时，显然有b a =
这些都同已知条件0a b >>矛盾
>点评：反证法证题思路是：反设结论→找出矛盾→肯定结论．
三、讲解范例：
例1 已知0>>b a 且d c <<0，求证：d
b c a > (相除法则) 证：∵0>>c d ∴⇒⎪⎭
⎪⎬⎫>>>>0011b a d c d b c a > 例2 已知a>b>0，c<0，求证：
b
c a c > 证明：∵0,a b >>两边同乘以正数得,1ab 11,b a
> 即 b a 11< ，又 c<0 ∴ b c a c > 例3 已知a ，b ，x ，y 是正数，且b
a 11>，x>y ．求证：
b y y a x x +>+ 证：∵
b
a 11>>0 ∴b>a>0, 又x>y>0 ∴xb>ay ∴xy+xb>xy+ay 即 x(y+b)>y(x+a) ∵a ，
b ，x ，y 是正数，∴y+b>0，x+a>0
∴b
y y a x x +>+ 例4 已知函数2()f x ax c =-, -4≤(1)f ≤-1, -1≤f (2)≤5, 求(3)f 的取值范围
分析： 利用(1)f 与(2)f 设法表示a 、c, 然后再代入(3)f 的表达式中，从而用(1)f 与(2)f 来表示(3)f , 最后运用已知条件确定(3)f 的取值范围
解： ∵ ⎩⎨⎧=+=-)2(4)1(f c a f c a 解得 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=-=)1(34)2(31)]1()2([31f f c f f a ∴ )1(3
5)2(389)3(f f c a f -=
-= ∵ -4≤f (1)≤1, 故 )3
5)(4()1()35()35)(1(--≤-≤--f (1) 又 -1≤f (2)≤5, 故 340)2(3838≤≤-f (2) 把(1)和(2)的各边分别相加，得：
-1≤)1(3
5)2(38f f -≤20 所以，-1≤f (3)≤20
点评：应当注意，下面的解法是错误的：
依题意，得：⎩
⎨⎧≤+≤--≤-≤-(2) 541(1) 14c a c a 由（1）（2）利用不等式的性质进行加减消元，得
0≤a ≤3， 1≤c ≤7 (3)
所以，由c a f -=9)3(可得，-7≤f (3)≤27
以上解法其错因在于，由（1）（2）得到不等式（3）是利用了不等式性质中的加法法则，而此性质是单向的，不具有可逆性，从而使得a 、c 的范围扩大，这样f (3)的范围也就随之扩大了
四、课堂练习：
1．已知0>>b a ，0<<d c ，0<e ，求证：d
b e
c a e ->- 证：⇒⎪⎭
⎪⎬⎫<-<-⇒>->-⇒⎭⎬⎫<<>>011000e d b c a d b c a d c b a d b e c a e ->-
2．如果0,0<<>>d c b a 求证：d b c a ->-ππααsin sin log log 证：∵1sin 0<<α π>1 ∴0log sin <πα
又∵0,0>->->>d c b a ∴d b c a ->- ∴d
b c a -<-11 ∴d b c a ->-ππααsin sin log log 3.判断下列各式是否正确？为什么？
（1）如果a >b ，那么a-c>b-c （2）如果a > b,那么a/c>b/c （3）如果ac<bc,那么a<b （4）如果ac 2> bc 2,那么a>b 真
假
假
真
4.π/4<x<y<π/2，求y-x ，y + x 的取值范围．
5.若-14< x < y< -6 ,求yx , y/x 的取值范围．0<y-x<π/4；π/2<y=x<π．
36<xy<196；3/7<y/x<7/3．
五、小结 ：本节学习了如下八个不等式性质
1.()
a b b a >⇔<性质对称性2.()
a b b c a c >>⇒>性质且传递性3. a b a c b c >⇒+>+性质（同加性）5 a b c d a c b d >>⇒+>+性质且（同向不等式的可加性）4. ()
0 0.
a b c ac bc a b c ac bc >>⇒>><⇒<性质同乘性且；
且
6 . 00a b c d ac bd >>>>⇒>性质（非负同向不等式的可乘性）且7. 0n n a b a b >>⇒>∈*性质（非负不等式乘方性质）
（其中n N
）
8. 01a b >>⇒>∈>*性质（非负不等式开方性质）
n N 且n ）
六、课后作业：
课本P 84 习题3.1
B 组 1、2、3。