非寿险精算学
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非寿险精算学复习提纲
概论 风险与保险的基本关系
1、保险是将风险由被保险人向保险人的转移；
2、保险人也需要对其所承保的超额风险寻求保险保障；
3、风险集合包含的个体风险越多，其相对风险越少；
4、不同的保险人具有不同的风险水平；
5、在很多情况下，少数巨灾风险所造成的损失找到总损失的很大比重。
理赔次数0123456
保 单 数427536501500450100205
试分析索赔次数是否服从泊松分布（ ）。
解：第一步，计算理赔次数X的均值；
则有：
第二步，计算皮尔逊统计量
理赔次数ki)观测次数( )
理论次数( )
042754274.150.0002
136503633.030.0793
k=1, 2, …
几何分布的方差大于均值，均值为 ，方差为
二、损失（索赔）金额（强度）模型
1、指数分布
假设损失金额X服从参数为 的指数分布，则其分布函数和密度函数分别为：
其中， ，x>0
?指数分布的均值和方差分别为： 和
2、对数正态分布
假设损失金额X服从参数为 的对数正态分布，则其分布函数和密度函数分别为：
第一章非寿险和非寿险精算
非寿险是与寿险相对而言的，是指寿险以外的其它保险业务，主要包括财产保险、责任保险、健康保险和意外伤害保险等。
一、财产保险
财产保险是以有形的物质财富及相关利益为保险标的的一种保险。主要包括火灾保险、运输保险和工程保险等。
1、火灾保险
特点：首先，火灾保险的保险标的只能存放于固定场所并处于相对静止状态下的各种财产物资；其次，火灾保险承报财产的地址不能随意变动，如果被保险人确实需要变动保险财产的存放地点，必须征得保险人的同意。
2000020000.300.700.210
200020022000.300.200.060
2000200040000.300.060.018
200020000220000.300.040.012
200000200000.100.700.070
20000200202000.100.200.020
1、精算依据不同：寿险精算是以预定死亡率、利率和费用率为计算基础；非寿险精算主要以预期损失率和预定费用率作为保费的计算基础。但在非寿险精算责任准备金评估中，由于保险金的实际支付可能滞后很长时间，利率因素具有十分重要的作用。
2、成熟程度不同：寿险精算源远流长，理论体系比较完善，而非寿险精算起步较晚，目前许多方面还需进一步探索。
由 ，接受 ，火灾损失次数服从均值为0.853的泊松分布。
提示：记住 ，
第四章 非寿险费率厘定
非寿险费率由纯保费、费用附加和利润附加构成。非寿险费率厘定过程就是根据保险标的的经验损失数据和其它相关信息建立模型，并对未来保险成本进行预测的过程。
一、重要术语
1、风险单位
风险单位是费率厘定的基本单位，不同风险有不同的风险。例如，汽车保险的“车年”。为1辆汽车提供为期12个月的保险，即位1个“车年”的风险单位，为5辆汽车提供为期6个月的保险，即位2.5个“车年”的风险单位。
A、B保单损失金额及概率表
AB
损失金额 概率 损失金额 概率
0 0.60 0 0.70
2000 0.30 200 0.20
20000 0.10 2000 0.06
20000 0.04
试用卷积方法计算两份保单的累积损失分布。
汽车保险包括车身损失险和第三者责任保险（承保被保险人在汽车使用过程中对第三者造成的财产损失和人身伤亡依法应付的赔偿责任，在许多国家、包括我国属于强制险）。影响汽车保险的因素大体为两类：从人因素和从车因素。
船舶保险包括碰撞责任（与其它物体碰撞造成对方损失）和非碰撞责任（船舶本身）保险。影响船舶保费的因素为航行环境和船舶本身条件。
1、精算标准：分类变量的选择必须精确，这是市场机制和公平性的必然要求。在市场竞争中，越是能精确厘定保险费率的公司，其成功的可能性越大。假设保险公司承保A组的被保险人的成本是100元，承保B组的被保险人的成本是200元。如果某保险公司对这两组被保险人都收取150元，那么，A组的被保险人将会因为保费太高而退出这家保险公司，B组的被保险人因为保费便宜而保留在这家保险公司。最后的结果是保险公司因收取的保险费不足以弥补其实际成本，经营出现亏损。这是一个简单的逆选择示例。
3、职业责任保险：承保各种职业技术人员在本职工作中因疏忽和过失造成的财产损失和人身伤亡依法应付的赔偿责任。
4、顾主责任保险：承保雇员在受雇期间从事业务时因遭受意外伤害导致伤、残、死亡或其它职业病产生的赔偿。
三、非寿险精算
非寿险精算的主要内容包括产品定价、准备金评估和保费厘定几个方面。和寿险精算之间的主要不同表现在以下两个方面：
， 其中， ， ，x>0
?帕累托分布均值和方差为： ，
5、威布尔分布
假设损失金额X服从参数为 的威布尔分布，则其分布函数和密度函数分别为：
， 其中， ， ，x>0
?威布尔分布的均值为：
三、累积损失模型
累积损失指由损失次数和损失金额的联合分布。
例：假设某保险公司签发了A、B两份保单，每份保单可能发生的损失金额及概率表如下：
解：第一步：A、B两份保单累积损失及概率表；
AB
A B A+B A B A.B
0 0 0 0.6 0.70 0.420
0 200 200 0.60 0.20 0.120
0 2000 2000 0.600.060.036
020000200000.600.040.024
生效日期承保风险到期风险有效风险
20022003200220032003-01-01
2002-01-011.000.001.000.000.00
2002-04-011.000.000.750.251.00
2002-07-011.000.000.500.501.00
2002-10-011.000.000.250.751.00
215001544.041.2559
3450437.480.3585
410092.960.5325
52015.801.1141
652.243.4052
合计10000100006.7457
注：理论次数：
第三步，在 水平下，检验假设，
已知，自由度=样本总数-分布模型参数个数-1=7-1-1=5，
为标准正态分布的分布函数
其中 x>0
对数正态分布的均值和方差分别为：
3、伽玛分布
假设损失金额X服从参数为 的伽玛分布，则其密度函数分别为：
其中， ， ，x>0
?伽玛分布的均值和方差分别为： ，
4、帕累托分布
假设损失金额X服从参数为 的帕累托分布，则其分布函数和密度函数分别为：
2、经营标准：分类变量的选择必须考虑其现实可行性，至少能进行客观度量。例如，在汽车保险中，“责任心”、“成熟”等词汇可描述被保险人的风险状况，但很难客观度量，因此作为分类变量并不恰当，而只能使用一些易于度量的变量，如性别、年龄、婚姻状况。另外，有的变量可以精确度量且可以很好描述被保险人风险水平，如“行驶里程数”，但获得这一风险变量的费用或难度太高，很多保险公司并不使用这一变量。
3、保险期和配付期不同：寿险精算保险期限较长且保险金支付较快；非寿险精算保险期限一般为一年，保险金的实际支付可能滞后很长时间。
第二章风险分类
一、风险分类的作用
风险分类是将具有相同期望损失成本的个体归为（数量足够大的）一组，而后去厘定该组的费率，并假定厘定出的费率适用于该组的所有成员。风险分类将风险集合区分成相对同质的风险子集，因此，在那些个体风险数量庞大且近似特征较多的险种中十分有用，譬如汽车保险、家庭财产保险、小型企业保险。
一、损失（索赔）次数（频率）模型
1、泊松分布
假设损失次数N服从参数为 的泊松分布，则发生k次损失的概率为：
k=0, 1, 2 …
?泊松分布的均值和方差相等，都等于泊松分布的参数 ，即，
2、负二项分布
假设损失次数N服从参数为 和 的负二项分布，则发生k次损失的概率为：
k=1, 2, …
200000.0940.958
202000.0200.978
220000.0180.996
400000.0041.000
四、皮尔逊检验（非参数检验）
皮尔逊检验又称拟合优度的 （卡方）检验。设 为观测次数， 为理论分布次数，则统计量： 服从自由度为n-1的 分布。
例：某机动车辆损失险在某年度保单数为10,000份，理赔统计数据如下：
费率：影响火灾保险费率的因素有建筑结构及等级、占用性质、承保风险的种类、地理位置、被保险人防灾设备和措施等。
类别：火灾保险可分为团体火灾保险和普通家庭财产保险两种。团体火灾保险以企业及其它法人团体为保险对象，普通家庭财产保险则面向居民区家庭或个人。
2、运输保险
运输保险包括运输工具保险和和运输货物保险，其中运输工具保险又可分为汽车保险、船舶保险和航空保险。
?负二项分布的服从参数为m和q的负二项分布，则发生k次损失的概率为：
k=1, 2, …，m为整数，0<q<1
?二项分布的方差小于均值，均值为 ，方差为
4、几何分布
假设损失次数N服从参数为 的几何分布，则发生k次损失的概率为：
航空保险包括机身险、第三者责任险和旅客意外伤害险。
3、工程保险
工程保险主要包括建筑工程、安装工程、和科技工程保险三大类。保险责任主要包括物质损失和第三者责任。
二、责任保险
1、普通责任保险：承保被保险人在公共活动场所的过错行为致使他人财产损失或人身伤害所造成的损失。
2、产品责任保险：指以产品制造者、销售者、维修者的产品责任为承保责任的险种。
二、分类变量的选择
分类变量指风险集合的一些基本特征。根据这些特征，可以将风险集合区分成具有不同期望损失的风险子集。分类变量即可以是数量特征指标（数量标志），也可以是属性特征指标（质量标志）。如在人寿保险中根据被保险人性别、年龄分类，在汽车保险中，根据被保险人性别、驾驶年龄、行驶区域、车辆类型、使用性质、车龄等对被保险人进行分类。分类变量的选择标准如下：
3、社会标准：分类变量的设定需要考虑“个人隐私”和“被保险人是否可以控制”等因素。
4、法律标准：分类变量的选择不能违背有关法律、法规。譬如，在许多国家，保险人不能根据被保险人的种族厘定其保险费率，因为这会被认为是一种种族歧视行为。
第三章损失模型
当统计数据十分充足时，大多数问题可以通过经验分布得到解决。但通常情况是精算师很难得到如此丰富的统计数据，尤其是高额损失数据更是有限。因此，必须根据有限的统计数据拟合损失次数模型或损失金额模型。事实上，即使数据比较充分，理论分布也大有用武之地。因为理论分布有不少便于应用的性质，这些性质有助于简化实践问题的分析。另外，理论分布由一个或几个参数来确定，这使得我们不必和一列长长的观察数据打交道，从而减少许多琐碎的工作。
200002000220000.100.060.006
2000020000400000.100.040.004
第二步：A、B两份保单累积损失分布表：
累积损失概率累积概率
00.4200.042
2000.1200.540
20000.2460.786
22000.0600.846
40000.0180.864
合计4.000.002.501.503.00
2、索赔次数统计
索赔次数通常区分为事故日期和报告日期分别进行统计。报告日期指保险人受到索赔申请的日期。
风险单位描述了风险的总体规模，常用风险单位统计量有承保风险、到期风险和有效风险。
承保风险：指在一定时期内保险人已签定保险合同的风险单位数；
到期风险：指在一定时期内保险人实际承担保险责任的风险单位数；
有效风险：指在某一时点保险人正在承担保险责任的风险单位数；
例：现有4份保险期限均为12个月的汽车保险单，其风险单位统计量比较表如下，
概论 风险与保险的基本关系
1、保险是将风险由被保险人向保险人的转移；
2、保险人也需要对其所承保的超额风险寻求保险保障；
3、风险集合包含的个体风险越多，其相对风险越少；
4、不同的保险人具有不同的风险水平；
5、在很多情况下，少数巨灾风险所造成的损失找到总损失的很大比重。
理赔次数0123456
保 单 数427536501500450100205
试分析索赔次数是否服从泊松分布（ ）。
解：第一步，计算理赔次数X的均值；
则有：
第二步，计算皮尔逊统计量
理赔次数ki)观测次数( )
理论次数( )
042754274.150.0002
136503633.030.0793
k=1, 2, …
几何分布的方差大于均值，均值为 ，方差为
二、损失（索赔）金额（强度）模型
1、指数分布
假设损失金额X服从参数为 的指数分布，则其分布函数和密度函数分别为：
其中， ，x>0
?指数分布的均值和方差分别为： 和
2、对数正态分布
假设损失金额X服从参数为 的对数正态分布，则其分布函数和密度函数分别为：
第一章非寿险和非寿险精算
非寿险是与寿险相对而言的，是指寿险以外的其它保险业务，主要包括财产保险、责任保险、健康保险和意外伤害保险等。
一、财产保险
财产保险是以有形的物质财富及相关利益为保险标的的一种保险。主要包括火灾保险、运输保险和工程保险等。
1、火灾保险
特点：首先，火灾保险的保险标的只能存放于固定场所并处于相对静止状态下的各种财产物资；其次，火灾保险承报财产的地址不能随意变动，如果被保险人确实需要变动保险财产的存放地点，必须征得保险人的同意。
2000020000.300.700.210
200020022000.300.200.060
2000200040000.300.060.018
200020000220000.300.040.012
200000200000.100.700.070
20000200202000.100.200.020
1、精算依据不同：寿险精算是以预定死亡率、利率和费用率为计算基础；非寿险精算主要以预期损失率和预定费用率作为保费的计算基础。但在非寿险精算责任准备金评估中，由于保险金的实际支付可能滞后很长时间，利率因素具有十分重要的作用。
2、成熟程度不同：寿险精算源远流长，理论体系比较完善，而非寿险精算起步较晚，目前许多方面还需进一步探索。
由 ，接受 ，火灾损失次数服从均值为0.853的泊松分布。
提示：记住 ，
第四章 非寿险费率厘定
非寿险费率由纯保费、费用附加和利润附加构成。非寿险费率厘定过程就是根据保险标的的经验损失数据和其它相关信息建立模型，并对未来保险成本进行预测的过程。
一、重要术语
1、风险单位
风险单位是费率厘定的基本单位，不同风险有不同的风险。例如，汽车保险的“车年”。为1辆汽车提供为期12个月的保险，即位1个“车年”的风险单位，为5辆汽车提供为期6个月的保险，即位2.5个“车年”的风险单位。
A、B保单损失金额及概率表
AB
损失金额 概率 损失金额 概率
0 0.60 0 0.70
2000 0.30 200 0.20
20000 0.10 2000 0.06
20000 0.04
试用卷积方法计算两份保单的累积损失分布。
汽车保险包括车身损失险和第三者责任保险（承保被保险人在汽车使用过程中对第三者造成的财产损失和人身伤亡依法应付的赔偿责任，在许多国家、包括我国属于强制险）。影响汽车保险的因素大体为两类：从人因素和从车因素。
船舶保险包括碰撞责任（与其它物体碰撞造成对方损失）和非碰撞责任（船舶本身）保险。影响船舶保费的因素为航行环境和船舶本身条件。
1、精算标准：分类变量的选择必须精确，这是市场机制和公平性的必然要求。在市场竞争中，越是能精确厘定保险费率的公司，其成功的可能性越大。假设保险公司承保A组的被保险人的成本是100元，承保B组的被保险人的成本是200元。如果某保险公司对这两组被保险人都收取150元，那么，A组的被保险人将会因为保费太高而退出这家保险公司，B组的被保险人因为保费便宜而保留在这家保险公司。最后的结果是保险公司因收取的保险费不足以弥补其实际成本，经营出现亏损。这是一个简单的逆选择示例。
3、职业责任保险：承保各种职业技术人员在本职工作中因疏忽和过失造成的财产损失和人身伤亡依法应付的赔偿责任。
4、顾主责任保险：承保雇员在受雇期间从事业务时因遭受意外伤害导致伤、残、死亡或其它职业病产生的赔偿。
三、非寿险精算
非寿险精算的主要内容包括产品定价、准备金评估和保费厘定几个方面。和寿险精算之间的主要不同表现在以下两个方面：
， 其中， ， ，x>0
?帕累托分布均值和方差为： ，
5、威布尔分布
假设损失金额X服从参数为 的威布尔分布，则其分布函数和密度函数分别为：
， 其中， ， ，x>0
?威布尔分布的均值为：
三、累积损失模型
累积损失指由损失次数和损失金额的联合分布。
例：假设某保险公司签发了A、B两份保单，每份保单可能发生的损失金额及概率表如下：
解：第一步：A、B两份保单累积损失及概率表；
AB
A B A+B A B A.B
0 0 0 0.6 0.70 0.420
0 200 200 0.60 0.20 0.120
0 2000 2000 0.600.060.036
020000200000.600.040.024
生效日期承保风险到期风险有效风险
20022003200220032003-01-01
2002-01-011.000.001.000.000.00
2002-04-011.000.000.750.251.00
2002-07-011.000.000.500.501.00
2002-10-011.000.000.250.751.00
215001544.041.2559
3450437.480.3585
410092.960.5325
52015.801.1141
652.243.4052
合计10000100006.7457
注：理论次数：
第三步，在 水平下，检验假设，
已知，自由度=样本总数-分布模型参数个数-1=7-1-1=5，
为标准正态分布的分布函数
其中 x>0
对数正态分布的均值和方差分别为：
3、伽玛分布
假设损失金额X服从参数为 的伽玛分布，则其密度函数分别为：
其中， ， ，x>0
?伽玛分布的均值和方差分别为： ，
4、帕累托分布
假设损失金额X服从参数为 的帕累托分布，则其分布函数和密度函数分别为：
2、经营标准：分类变量的选择必须考虑其现实可行性，至少能进行客观度量。例如，在汽车保险中，“责任心”、“成熟”等词汇可描述被保险人的风险状况，但很难客观度量，因此作为分类变量并不恰当，而只能使用一些易于度量的变量，如性别、年龄、婚姻状况。另外，有的变量可以精确度量且可以很好描述被保险人风险水平，如“行驶里程数”，但获得这一风险变量的费用或难度太高，很多保险公司并不使用这一变量。
3、保险期和配付期不同：寿险精算保险期限较长且保险金支付较快；非寿险精算保险期限一般为一年，保险金的实际支付可能滞后很长时间。
第二章风险分类
一、风险分类的作用
风险分类是将具有相同期望损失成本的个体归为（数量足够大的）一组，而后去厘定该组的费率，并假定厘定出的费率适用于该组的所有成员。风险分类将风险集合区分成相对同质的风险子集，因此，在那些个体风险数量庞大且近似特征较多的险种中十分有用，譬如汽车保险、家庭财产保险、小型企业保险。
一、损失（索赔）次数（频率）模型
1、泊松分布
假设损失次数N服从参数为 的泊松分布，则发生k次损失的概率为：
k=0, 1, 2 …
?泊松分布的均值和方差相等，都等于泊松分布的参数 ，即，
2、负二项分布
假设损失次数N服从参数为 和 的负二项分布，则发生k次损失的概率为：
k=1, 2, …
200000.0940.958
202000.0200.978
220000.0180.996
400000.0041.000
四、皮尔逊检验（非参数检验）
皮尔逊检验又称拟合优度的 （卡方）检验。设 为观测次数， 为理论分布次数，则统计量： 服从自由度为n-1的 分布。
例：某机动车辆损失险在某年度保单数为10,000份，理赔统计数据如下：
费率：影响火灾保险费率的因素有建筑结构及等级、占用性质、承保风险的种类、地理位置、被保险人防灾设备和措施等。
类别：火灾保险可分为团体火灾保险和普通家庭财产保险两种。团体火灾保险以企业及其它法人团体为保险对象，普通家庭财产保险则面向居民区家庭或个人。
2、运输保险
运输保险包括运输工具保险和和运输货物保险，其中运输工具保险又可分为汽车保险、船舶保险和航空保险。
?负二项分布的服从参数为m和q的负二项分布，则发生k次损失的概率为：
k=1, 2, …，m为整数，0<q<1
?二项分布的方差小于均值，均值为 ，方差为
4、几何分布
假设损失次数N服从参数为 的几何分布，则发生k次损失的概率为：
航空保险包括机身险、第三者责任险和旅客意外伤害险。
3、工程保险
工程保险主要包括建筑工程、安装工程、和科技工程保险三大类。保险责任主要包括物质损失和第三者责任。
二、责任保险
1、普通责任保险：承保被保险人在公共活动场所的过错行为致使他人财产损失或人身伤害所造成的损失。
2、产品责任保险：指以产品制造者、销售者、维修者的产品责任为承保责任的险种。
二、分类变量的选择
分类变量指风险集合的一些基本特征。根据这些特征，可以将风险集合区分成具有不同期望损失的风险子集。分类变量即可以是数量特征指标（数量标志），也可以是属性特征指标（质量标志）。如在人寿保险中根据被保险人性别、年龄分类，在汽车保险中，根据被保险人性别、驾驶年龄、行驶区域、车辆类型、使用性质、车龄等对被保险人进行分类。分类变量的选择标准如下：
3、社会标准：分类变量的设定需要考虑“个人隐私”和“被保险人是否可以控制”等因素。
4、法律标准：分类变量的选择不能违背有关法律、法规。譬如，在许多国家，保险人不能根据被保险人的种族厘定其保险费率，因为这会被认为是一种种族歧视行为。
第三章损失模型
当统计数据十分充足时，大多数问题可以通过经验分布得到解决。但通常情况是精算师很难得到如此丰富的统计数据，尤其是高额损失数据更是有限。因此，必须根据有限的统计数据拟合损失次数模型或损失金额模型。事实上，即使数据比较充分，理论分布也大有用武之地。因为理论分布有不少便于应用的性质，这些性质有助于简化实践问题的分析。另外，理论分布由一个或几个参数来确定，这使得我们不必和一列长长的观察数据打交道，从而减少许多琐碎的工作。
200002000220000.100.060.006
2000020000400000.100.040.004
第二步：A、B两份保单累积损失分布表：
累积损失概率累积概率
00.4200.042
2000.1200.540
20000.2460.786
22000.0600.846
40000.0180.864
合计4.000.002.501.503.00
2、索赔次数统计
索赔次数通常区分为事故日期和报告日期分别进行统计。报告日期指保险人受到索赔申请的日期。
风险单位描述了风险的总体规模，常用风险单位统计量有承保风险、到期风险和有效风险。
承保风险：指在一定时期内保险人已签定保险合同的风险单位数；
到期风险：指在一定时期内保险人实际承担保险责任的风险单位数；
有效风险：指在某一时点保险人正在承担保险责任的风险单位数；
例：现有4份保险期限均为12个月的汽车保险单，其风险单位统计量比较表如下，