新人教版八年级下册18.2.3正方形的判定(比赛课件)

5种判 定方法
一个角是直角且一组邻边相等
正方形的判定方法1： 定义:一组邻边相等且有一个角是直角的
平行四边形是正方形
已知:四边形ABCD是平行四边形,∠A=900.AB=BC 求证:四边形ABCD是正方形.
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,∠A=900, ∴四边形ABCD是矩形. A 又∵AB=BC, ∴四边形ABCD是正方形.
例3：如图，已知Rt△ABC中，∠C=900，∠A、 ∠B的角平分线相交于点D，DE⊥BC于点E， DF⊥AC于点F， 求证：四边形AEDF是正方形。
A
D
M
F
C B E
例4：已知:正方形ABCD中,点E、F、G 、H分 别在AB 、BC 、CD 、DA上,且AE=BF=CG=DH, 试判断四边形EFGH是正方形吗?为什么?
B C
D
正方形的判定方法2：
有一个组邻边相等的矩形是正方形
已知:四边形ABCD是矩形,AB=BC. 求证:四边形ABCD是正方形. A
D
证明:
∵四边形ABCD是矩形, 又∵AB=BC,∴AB=BC=CD=AD ∴四边形ABCD是正方形.
B C
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC,AB=CD.
⑷若OA=OB，则四边形ABCD是（ 矩形 ）
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⑸若AB=BC，且AC=BD，则四边形ABCD是
（ 正方形 ）
例1、直角三角形ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，
DE⊥AC，DF⊥AB。求证：四边形CEDF是正方形。
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB ∴ ∠DEC=90°， ∠DFC=90° F 而∠ACB=90° ∴ 四边形ABCD为矩形( ∵ CD平分∠ACB DE⊥AC， DF⊥BC ∴ DE=DF(角平分线的定理 )
A
E P F B
O
D
C
思考题： 如图正方形ABCD的对角线相交于点O，O 又是另一个正方形OEFG的一个顶点，若正方形 OEFG绕点O旋转，在旋转的过程中.
探究1:两个正方形重叠部分的面积是否会发生变化？ 探究2:若正方形OEFG与正方形ABCD两边分别相交于M N，试判断 线段AM于BN之间的关系. 探究3:若正方形ABCD的边长为1，则阴影部分面积BMON为多少？
A O B C D
正方形的6种判定方法 归纳：
1、定义:四条边都相等，四个角都是直角的
四边形是正方形 2、有一个组邻边相等的矩形是正方形 3、有一个角是直角的菱形是正方形.
4、对角线互相垂直的矩形是正方形. 5、对角线相等的菱形是正方形.
6、一组邻边相等且有一个角是直角的平
行四边形是正方形
证明：∵ 四边形ABCD是正方形 ∴ ∠A= ∠ B= ∠ C=∠D=90°，AB=AD=DC=BC 又∵ AE=BF=CG=DH ∴AB-AE=AD-DH=DC-CG=BC-BF 即BE=AH=DG=CF ∴ △AEH≌△BFE≌ △CGF ≌ △DHG． ∴ EH=EF=GF=HG 3 ∵ ∠1=∠3． 2 又 ∠3+∠2=90° 1 ∠1+∠2=90° ∴ ∠EFH=90 ° ∴ 四边形EFGH是正方形 (有一个角是直角的菱形是正方形）
①求证：四边形ADCE是矩形。 ②当△ABC满足什么条件时，四边形 ADCE是正方形，说明理由。 M
A
E N
B
D
C
3、如图B、C、E是同一直线上的三个点， 四边形ABCD与CEFG是正方形，连接 BG、DE （1）观察、猜想BG与DE之间的大小关 系，并说明理由。 （2）正方形CEFG在绕点C旋转过程中， BG与DE之间的关系是否仍然成立。
A
G B C
D
F E
A
D G
F
B C E
4、如图，M为正方形ABCD边AB的中点， E是AB延长线上一点，MN⊥DM，且交 ∠CBE的平分线于点N。 （1）求证：MD=MN （2）若将上述条件中的“M是AB的中点” 改为“M为AB上任意一点”，其它条件不 变，问结论MD=MN是否仍然成立。
D F
●
已知:正方形ABCD中,点E、F、G 、H分别是 AB 、BC 、CD 、DA的中点,试判断四边形 EFGH是正方形吗?为什么?
Ａ Ｈ
Ｄ
Ｅ
Ｇ
Ｂ
Ｆ
Ｃ
设计花坛
在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路 使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的 四部分(不考虑道路的宽度).你有几种方法？



1、在正方形ABCD中，AC=10，P是 AB上任意一点，PE⊥AC于点E， PF⊥BD于点F，求PE+PF的值。
C N M B
D P
●
C N
A
E A
M B
E
5、在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,
DF⊥AC,垂足分别是E,F. 1)试说明:DE=DF 2)只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.
请你至少写出两种不同的添加方法.(选择其中 A 一种进行证明)
E
F D C
B
正方形的判定方法3
有一个角是直角的菱形是正方形.
已知:四边形ABCD是菱形,∠A=900. 求证:四边形ABCD是正方形. 分析:要证明四边形ABCD是正方形,可 转化为证明有一组邻边相等的矩形即可. 证明: ∵四边形ABCD是菱形,∠A=900, ∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900.
例5、如图，点M是矩形ABCD边AD的中点，2AB＝AD， 点P是边BC上一动点，PE⊥MC，PF⊥MB，垂足分别为 E、F，求点P运动到什么位置时，四边形PEMF为正方形？
A F B M E C D
P
2、已知，如图在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC， 垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线， CE⊥AN垂足为点E，
18.2.3
正方形 第2课时
你觉得什么样的四边形是 正方形呢?( 判断一个四边形 是正方形有哪些方法？）
正方形的判定方法：
(可从平行四边形、矩形、菱形为基础）
1、
平行四边形 一内角是直角
一组邻边相等
正方形
2、
一内角是直角
菱形
对角线相等
正方形
3、
矩形
一组邻边相等
对角线互相垂直
正方形
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
判断题:
(2)如果一个菱形的对角线相等，那么它一定 是正方形 （ √ ） (3)如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它
一定是正方形 （ √
）
(4)四条边相等，且有一个角是直角的四边形 ( (
× ×
是正方形（ √ ） (5)四个角都相等的四边形是正方形 (6)四条边都相等的四边形是正方形
×
(1)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（
∴∠A=∠B=∠C=900. ∴四边形ABCD是矩形. ∵AB=BC, ∴四边形ABCD是正方形.
A
D
B
C
正方形的判定方法4 对角线互相垂直的矩形是正方形.
已知:四边形ABCD是矩形,且AC⊥BD. 求证:四边形ABCD是正方形. 证明: ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠ABC=900,四边形ABCD是平行四边形A . ∵AC⊥BD, ∴四边形ABCD是菱形. B ∵∠ABC=900. ∴四边形ABCD是正方形.
4 ．四个内角都相等，四条边也都相等的四 边形一定是：（ A ） A．正方形 C．矩形 B．菱形 D．平行四边形
5、已知四边形ABCD是平行四边形，对角线 AC、BD相交于点O。
⑴若AB=BC，则四边形ABCD是（ 菱形 ）
⑵若AC=BD，则四边形ABCD是（ 矩形 ）
⑶若∠BCD=900，则四边形ABCD是（ 矩形 ）
）
) )
选择题:
1、下列命题正确的是（ D ）
A、四个角都相等的四边形是正方形
B、四条边都相等的四边形是正方形
C、对角线相等的平行四边形是正方形 D、对角线互相垂直的矩形是正方形
2．四个内角都相等的四边形一定是（C ）
A、正方形 B、菱形 C、矩形 D、平行四边形 3．在四边形ABCD中，O是对角线的交点， 能判定这个四边形是正 方形的是：（ A ） A．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD B．AD∥BC ∠A＝∠C C．AO＝CO BO＝DO AB＝BC D．AC＝BD
D O C
正方形的判定方法5
对角线相等的菱形是正方形.
已知:四边形ABCD是菱形,且对角线AC=BD. 求证:四边形ABCD是正方形. 证明: ∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC,四边形ABCD是平行四边形. ∵AC=BD, ∴四边形ABCD是矩形. ∵AB=BC, ∴四边形ABCD是正方形.
B
D
)
A
有三个角是直角的四边形是矩形
∴四边形ABCD是正方形（
有一组邻边相等的矩形是正方形 )
例2、已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线上
一点，CE⊥AF于E，交AD于M，求证：∠MFD＝45°
证明：
∵CE⊥AF 四边形ABCD是正方形 ∴∠ADC＝∠AEM＝90° 又∵∠CMD＝∠AME （对顶角） ∴∠1＝∠2 又∵AD＝CD，∠ADF＝∠MDC=90° ∴Rt△ADF≌Rt△CDM ∴DM=DF (ASA) ∴∠MFD＝45°