勾股定理综合复习教案

勾股定理综合复习

知识梳理：

1．勾股定理：

如果直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,则有

2．勾股定理逆定理（直角三角形判定定理）：

如果三角形的三边长a,b,c满足，那么这个三角形是直角三角形. 3．常用勾股数：

① a=3 b=4 c=5

② a=5 b=12 c=13

③ a=7 b=24 c=25

④ a=9 b=40 c=41

3

⑤ a=1 b= c=2

⑥ a=1 b=1 c=2

4.勾股定理实际应用：

①已知直角三角形的两边，求第三边；

②利用三边关系来判定直角；

③用于证明含有平方关系的式子；

④借助勾股定理来构造方程，解决实际问题．

典例精讲：

考点一：利用勾股定理求边长

例1．①已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（）

A．5 B．25 C．7 D．5或7

②△ABC中,若AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC的周长是( )

A.42

B.32

C.42或32

D.37或33

例2．①在直角三角形中，自两锐角所引的两条中线长分别为5和210，则斜边长为（）A．10 B．410C．13D．213

②CD 是直角△ABC 斜边AB 上的高，若AB=1，AC ：BC=4：1，则CD 的长为（ ）

A 、

174 B 、173 C 、172 D 、17

1

例3．将一根长24 cm 的筷子，置于底面直径为5cm 、高为12cm 的圆柱形水杯中，设筷子露

在杯子外面的长为hcm ，则h 的取值范围是（ ）

A ．5≤h ≤12

B ．5≤h ≤24

C ．11≤h ≤12

D ．12≤h ≤24

考点二：利用勾股定理判断三角形形状

例1．①已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足a 2c 2

－b 2c 2

=a 4

－b 4

，则它的形状为（ ）

A ．直角三角形

B ．等腰三角形

C ．等腰直角三角形

D ．等腰三角形或直角三角形

②若△ABC 的三边a ，b ，c 满足(c-b)2

+︱a 2

-b 2

-c 2

︱=0，则△ABC 是（ ） （A ）等腰三角形

（B ）直角三角形

（C ）等腰直角三角形 （D ）等腰三角形或直角三角形 ③△ABC 的三边a,b,c 满足ac bc ab c b a ++=++2

2

2

则△ABC 是（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ． 直角三角形 D ．等腰直角三角形

例2．若等腰三角形的腰长为4，腰上的高为2，则此三角形的顶角为 ( )

A ．30°

B ．150° B ．30°或150°

D ．60°或120°

例3．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）

A.三内角之比为1∶2∶3

B.三边长的平方之比为1∶2∶3

C.三边长之比为3∶4∶5

D.三内角之比为3∶4∶5 考点三：勾股定理与折叠问题

例1．如图，在△ABC 中，∠C=900

，AC=3，BC=4，AB 的垂直平分线交AB 于E ，交BC 于D ，

求BD 的长。

例2． 把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．

若AB = 3 cm ，BC = 5 cm ， （1）重叠部分△DEF 的面积是多少cm 2

? （2）求EF 的长。

A

E

'

A （'

B ）

D

例3．如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 落在点E 处，BE 交AD 于点F ，

连结AE ．证明： （1）BF DF ． （2）AE BD ∥．

（3）若AB=6，BC=10，分别求AF 、BF 的长,

并求三角形FBD 的周长和面积。

例4．将矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落到点B ′的位置，AB ′与CD 交于点E.若AB=8，DE=3，P 为线段AC 上的任意一点，PG ⊥AE 于G ，PH ⊥EC 于H ，试求PG+PH 的值。 ∵

∠ADE=∠CB ′E=90°

，

∠AED=∠CEB ′

，AD=BC=CB ′ ，

∴ Rt △CEB ′ ≌ Rt △AED 。 （2）

∵ AB=8，DE=3， ∴ CE=8-3=5 ，

∵ Rt △CEB ′ ≌ Rt △AED ∴ AE=CE=5 ，

∵ Rt △AED 中 ，AE=5 ，DE=3 ， ∴ AD=4 ；

延长HP 交AB 于M ， ∵ 矩形ABCD ，

A

B

C

D

E

F

∴ PM ⊥AB ，MH=AD=4 ，

∵ ∠AGP=∠AMP=90° ，∠PAG=∠PAM ，AP=AP ， ∴ Rt △AGP ≌ Rt △AMP ， ∴PG=PM ．

∴PG+PH=PM+PH=MH=AD=4 考点四：勾股定理与面积问题

例1．若△ABC 的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c ，求△ABC 的面积。

例2．①如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方

形的边和长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2.

②如图，分别以直角三角形三边向外作三个半圆，若S 1=30，S 2=40，则S 3=_______．

③在直线l 上依次摆放着七个正方形。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4等于 。

例3．有一块土地形状如图所示，︒=∠=∠90D B ，AB=20米，BC=15米，CD=7米，请计

算这块土地的面积。

A

B

C

D

7cm

l

3

2

1

S 4

S 3

S 2

S 1