九类常见递推数列求通项定律方法

递推数列通项求解方法

类型一：1n n a pa q +=+（1p ≠）

思路1（递推法）：()123()n n n n a pa q p pa q q p p pa q q q ---⎡⎤=+=++=+++=⎣⎦

(12)

1(1n p a q p p -=++++…211)11n n q q

p a p p p

--⎛⎫+=+

⋅+ ⎪

--⎝⎭。 思路2（构造法）：设()1n n a p a μμ++=+，即()1p q μ-=得1

q

p μ=

-，数列{}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列，则1

111n n q q a a p p p -⎛⎫+

=+ ⎪--⎝⎭

，即1111n n q q

a a p p p -⎛⎫=++ ⎪

--⎝

⎭。 例1 已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：方法1（递推法）：

()123232(23)3222333n n n n a a a a ---⎡⎤=+=++=+++=⎣⎦

(12)

23(122n -=++++…211332)12232112n n n --+⎛

⎫+=+⋅+=- ⎪

--⎝⎭

。 方法2（构造法）：设()12n n a a μμ++=+，即3μ=，

∴数列{}3n a +是以134a +=为首项、2为公比的等比数列，则113422n n n a -++=⋅=，即1

23n n a +=-。

类型二：1()n n a a f n +=+

思路1（递推法）：

123(1)(2)(1)(3)(2)(1)n n n n a a f n a f n f n a f n f n f n ---=+-=+-+-=+-+-+-=

…1

11

()n i a f n -==+

∑。

思路2（叠加法）：1(1)n n a a f n --=-，依次类推有：12(2)n n a a f n ---=-、

23(3)n n a a f n ---=-、…、21(1)a a f -=，将各式叠加并整理得1

11

()n n i a a f n -=-=∑，即

1

11

()n n i a a f n -==+∑。

例2 已知11a =，1n n a a n -=+，求n a 。

解：方法1（递推法）：123(1)(2)(1)n n n n a a n a n n a n n n ---=+=+-+=+-+-+= ......1[23a =+++ (1)

(1)

(2)(1)]2

n

i n n n n n n =++-+-+=

=

∑。 方法2（叠加法）：1n n a a n --=，依次类推有：121n n a a n ---=-、232n n a a n ---=-、…、

212a a -=，将各式叠加并整理得12

n n i a a n =-=∑，12

1

(1)

2

n n

n i i n n a a n n ==+=+==

∑∑。

类型三：1()n n a f n a +=⋅

思路1（递推法）：

123(1)(1)(2)(1)(2)(3)n n n n a f n a f n f n a f n f n f n a ---=-⋅=-⋅-⋅=-⋅-⋅-⋅=…

(1)(2)(3)f f f =⋅⋅⋅…1(2)(1)f n f n a ⋅-⋅-⋅。

思路2（叠乘法）：

1(1)n n a f n a -=-，依次类推有：12(2)n n a f n a --=-、23

(3)n n a

f n a --=-、…、2

1(1)a f a =，将各式叠乘并整理得1(1)(2)(3)n a f f f a =⋅⋅⋅…(2)(1)f n f n ⋅-⋅-，即(1)(2)(3)n a f f f =⋅⋅⋅…1(2)(1)f n f n a ⋅-⋅-⋅。

例3 已知11a =，11

1n n n a a n --=

+，求n a 。 解：方法1（递推法）：123112123

1111

n n n n n n n n n n a a a a n n n n n n ---------==⋅=⋅⋅=+++-…

2

(1)

n n =

+。

方法2（叠乘法）：

111n n a n a n --=+，依次类推有：122n n a n a n ---=、2331n n a n a n ---=-、…、322

4

a a =、2113a a =，将各式叠乘并整理得112311n a n n n a n n n ---=⋅⋅⋅+- (21)

43

⋅⋅，即123

11

n n n n a n n n ---=

⋅⋅⋅+-…21243(1)n n ⋅⋅=+。

类型四：11n n n a pa qa +-=+

思路（特征根法）：为了方便，我们先假定1a m =、2a n =。递推式对应的特征方程

为2

x px q =+，当特征方程有两个相等实根时， ()1

2n n p a cn d -⎛⎫=+⋅ ⎪

⎝⎭

(c 、d 为待定系

数，可利用1a m =、2a n =求得)；当特征方程有两个不等实根时1x 、2x 时，

1112n n n a ex fx --=+(e 、f 为待定系数，可利用1a m =、2a n =求得)；当特征方程的根为

虚根时数列{}n a 的通项与上同理，此处暂不作讨论。

例4 已知12a =、23a =,116n n n a a a +-=-,求n a 。

解：递推式对应的特征方程为26x x =-+即2

60x x +-=，解得12x =、23x =-。设11

12n n n a ex fx --=+，而12a =、23a =，即

2233e f e f +=⎧⎨-=⎩，解得95

1

5e f ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

，即11912(3)55n n n

a --=⋅+⋅-。