三角形旋转存在性的判定与性质

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初二数学全等三角形旋转模型知识归纳总结及答案

初二数学全等三角形旋转模型知识归纳总结及答案一、全等三角形旋转模型1．ABC △和ADE 都是等腰直角三角形，CE 与BD 相交于点,M BD 交AC 于点,N CE 交AD 于点H .试确定线段BD CE 、的关系.并说明理由.解析：BD CE ⊥且BD CE =【分析】由已知条件可证明BAD CAE ≅△△，再根据全等三角形的性质，得到BD CE ∴= ADB AEC ∠=∠，在AEH △中90AEC AHE ∠+∠=︒，又AHE MHD ∠=∠，可得：90HMD ∠=︒，即可证明BD CE ⊥且BD CE =.【详解】解： ABC 和ADE 是直角三角形BAC DAE ∴∠=∠AB AC =AD AE =则BAC CAD DAE CAD ∠+∠=∠+∠即BAD CAE ∠=∠在BAD 与CAE 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩S )AS BAD CAE ∴≅（△△BD CE ∴= ADB AEC ∠=∠在AEH △中90AEC AHE ∠+∠=︒又AHE MHD ∠=∠90ADB MHD ∴∠+∠=︒则MHD 中90HMD ∠=︒，即，BD CE ⊥，综上所述，BD CE ⊥且BD CE =.【点睛】本题主要考查三角形全等的判定方法和性质定理和等腰直角三角形的性质，从复杂的图形中找到全等三角形和“8”字形三角形是解题的关键.2．（1）如图1，在OAB 和OCD 中，OA=OB ，OC=OD ，∠AOB=∠COD=40°，连接AC ，BD 交于点M ．求：①AC BD 的值； ②∠AMB 的度数．（2）如图2，在OAB 和OCD 中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC 交BD 的延长线于点M ．请判断AC BD的值及∠AMB 的度数，并说明理由；（3）在（2）的条件下，将OCD 点O 在平面内旋转，AC ，BD 所在直线交于点M ，若OD=2，OB=23，请直接写出当点C 与点M 重合时AC 的长．答案：A解析：（1）①1，②40°；（2）AC BD 3∠AMB=90°，见解析；（3）33【分析】（1）①根据已知条件证明△COA ≌△DOB ，即可证明AC=BD ；②根据△COA ≌△DOB 可得∠CAO=∠DBO ，根据已知条件可得∠OAB+∠ABO=140°，然后在△AMB 中，根据等角的转换即可得到答案；（2）根据已知条件证明△AOC ∽△BOD ，可得∠CAO=∠DBO ，进而可得∠MAB=∠OAB+∠DBO ，最后可得∠AMB=180°-（∠OAB+∠ABM+∠DBO ）=90°；（3）分两种情况讨论，根据题（2），同理可得OAC OBD △△，90AMB ∠=︒，3AC BD=，设BD=x ，则3AC x = 用x 表示出AM 、BM 的长，在Rt AMB 中，根据勾股定理222AM BM AB +=列出方程，求解即可．【详解】解：（1）①如图1，∵∠AOB=∠COD=40°，∴∠COA=∠DOB ，∵OC=OD ，OA=OB ，∴△COA ≌△DOB （SAS ），∴AC=BD ， ∴AC BD =1， ②∵△COA ≌△DOB ，∴∠CAO=∠DBO ，∵∠AOB=40°，∴∠OAB+∠ABO=140°，在△AMB 中，∠AMB=180°﹣（∠CAO+∠OAB+∠ABD ）=180°﹣（∠DBO+∠OAB+∠ABD ）=180°﹣140°=40°，（2）如图2，AC BD=3，∠AMB=90°，理由是：在Rt △COD 中，∠DCO=30°，∠DOC=90°，∴3tan 303OD OC =︒=，同理得：3tan 303OB OA =︒=， ∴OD OB OC OA=， ∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC=∠BOD ，∴△AOC ∽△BOD ，∴AC OC BD OD==3，∠CAO=∠DBO ，在△AMB 中，∠AMB=180°﹣（∠MAB+∠ABM ）=180°﹣（∠OAB+∠ABM+∠DBO ）=90°；（3）AC 的长为23或43．①如图，点C 与点M 重合，同理可得：OAC OBD △△，90AMB ∴∠=︒，3AC BD =设BD=x ，则3AC x =，在Rt ODC 中，30OCD ∠=︒，OD=2，4CD ∴=，在Rt AOB 中，30OAB ∠=︒，33AB ∴=，在Rt AMB 中，222AM BM AB +=，即222(3)(4)(43)x x ++=，解得：x=2或-4(舍)，323x =②如图，点C 与点M 重合，同理可得：90AMB ∠=︒，3AC BD =设BD=x ，则3x ，在Rt COD 中， 90OCD ∠=︒，OD=2，4CD ∴=，4BC x =-，在Rt AOB 中，30OAB ∠=︒，3OB =243AB OB ∴==，在Rt AMB 中，222AM BM AB +=，即222(3)(4)(43)x x +-=，解得：x=4或-2（舍）， 343x =综上所述，AC 的长为2343【点睛】本题主要考查三角形的综合运用，涉及全等三角形与相似三角形的性质和判定、勾股定理、解一元一次方程、图形旋转证明、特殊角的三角函数值等知识点，难度较大，第（1）题证明△COA ≌△DOB 是关键，第（2）题证明△AOC ∽△BOD 是关键，第（3）题要特别注意分情况讨论．3．定义：按螺旋式分别延长n 边形的n 条边至一点，若顺次连接这些点所得的图形与原多边形相似，则称它为原图形的螺旋相似图形．例如：如图1，分别延长多边形A 1A 2…A n 的边得A 1′，A 2′，…，A n ′，若多边形A 1′A 2′…A n ′与多边形A 1A 2…An 相似，则多边形A 1′A 2′…A n ′就是A 1A 2…A n 的螺旋相似图形．（1）如图2，已知△ABC 是等边三角形，作出△ABC 的一个螺旋相似图形，简述作法，并给以证明．（2）如图3，已知矩形ABCD ，请探索矩形ABCD 是否存在螺旋相似图形，若存在，求出此时AB 与BC 的比值；若不存在，说明理由．（3）如图4，△ABC 是等腰直角三角形，AC ＝BC ＝2，分别延长CA ，AB ，BC 至A′，B′，C′，使△A′B′C′是△ABC 的螺旋相似三角形．若AA′＝kAC ，请直接写出BB′，CC′的长（用含k 的代数式表示）答案：A解析：（1）见解析；（2）AB：BC＝1；（3）BB′＝2k，CC′＝k．【分析】（1）如图2中，延长AB到E，延长BC到F，延长CA到D，使得BE＝CF＝AD，连接EF，DF，DE．则△DEF是△ABC的一个螺旋相似图形，证明△DEF是等边三角形即可解决问题．（2）如图3中，假设存在．四边形EFGH是矩形ABCD的螺旋相似图形，设AB＝CD＝a，BC＝AD＝b，BE＝DG＝x，CF＝AH＝y．分两种情形，利用相似三角形的性质以及相似矩形的性质，构建关系式证明a＝b即可解决问题．（3）如图4中，作B′T⊥CB交CB的延长线于T．设TB＝TB′＝m，证明△A′CC′≌△A′TB′（ASA），推出A′C＝TC′，CC′＝TB′＝BT，构建关系式推出m＝k即可解决问题．【详解】解：（1）如图2中，延长AB到E，延长BC到F，延长CA到D，使得BE＝CF＝AD，连接EF，DF，DE．则△DEF是△ABC的一个螺旋相似图形．理由：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠CAB＝∠ABC＝∠ACB，∴∠DAE＝∠FCD＝∠EBF＝120°，∵BE＝CF＝AD，∴CD＝AE＝BF，∴△FCD≌△DAE≌△EBF（SAS），∴DF ＝DE ＝EF ，∴△DEF 是等边三角形，∴△DEF ∽△ABC ，∴△DEF 是△ABC 的一个螺旋相似图形．（2）如图3中，假设存在．四边形EFGH 是矩形ABCD 的螺旋相似图形，设AB ＝CD ＝a ，BC ＝AD ＝b ，BE ＝DG ＝x ，CF ＝AH ＝y ．由题意：△BEF ∽△AHE ， ∴EF EH ＝BE AH ＝BF AE， ∴x y ＝b y a x++，当EF HE ＝BC AB ＝b a 时，b a ＝x y ＝b y a x++， ∴x ＝b a•y ，ax +x 2＝by +y 2， ∴by +22b a•y 2＝by +y 2， ∴a 2＝b 2，∴a ＝b ，即AB ：BC ＝1．当EF EH ＝AB BC ＝a b 时．a b ＝x y ＝b y a x ++， ∴x ＝a b•y ，ax +x 2＝by +y 2， ∴2a b •y +22a b•y 2＝by +y 2， ∴22a b b -•y （1+y b）＝0， ∵y ≠0，1+y b≠0，∴a2＝b2，∴a＝b，即AB：BC＝1，综上所述，AB：BC＝1．（3）如图4中，作B′T⊥CB交CB的延长线于T．∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝∠CAB＝45°，∴∠TBB′＝∠ABC＝45°，∴∠TB′B＝∠TBB′＝45°，∴TB＝TB′，设TB＝TB′＝m，∵△A′B′C′是△ABC的螺旋相似三角形，∴A′C′＝B′C′，∠A′C′B′＝90°，∵∠A′C′C+∠B′C′＝90°，∠A′CC+∠C′A′C＝90°，∴∠C′A′C＝∠B′C′T，∵∠A′CC′＝∠T＝90°，∴△A′CC′≌△A′TB′（ASA），∴A′C＝TC′，CC′＝TB′＝BT，∴2+2k＝2+2m，∴m＝k，∴BB′2k，CC′＝k．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了等边三角形的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．4．已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B、C重合)．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．（1）如图1，当点D在线段BC上时，请直接写出线段BD与CF的数量关系：；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，若AC=2，CD=1，则CF= ；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系：；②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．答案：B解析：（1）BD=CF ；（2）221；（3）①CD=CF+BC ，②等腰三角形，见解析【分析】（1）△ABC 是等腰直角三角形，利用SAS 即可证明△BAD ≌△CAF ；（2）同（1）相同，利用SAS 即可证得△BAD ≌△CAF ，从而证得BD=CF ，即可得到CF=CD+BC ，然后求出答案；（3）中的①与（1）相同，可证明BD=CF ，又点D 、B 、C 共线，故：CD=BC+CF ； ②由（1）猜想并证明BD ⊥CF ，从而可知△FCD 为直角三角形，再由正方形的对角线的性质判定△AOC 三边的特点，再进一步判定其形状．【详解】解：（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵四边形ADEF 是正方形，∴AD=AF ，∠DAF=90°，∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°，∴∠BAD=∠CAF ，在△BAD 和△CAF 中，AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD ≌△CAF （SAS ），∴BD=CF ，（2）与（1）同理，证△BAD ≌△CAF ；∴BD=CF ，∴CF=BC+CD ，∵AC=AB=2，CD=1， ∴22222BC =+=∴CF=221；（3）①BC 、CD 与CF 的关系：CD=BC+CF理由：与（1）同法可证△BAD ≌△CAF ，从而可得：BD=CF ，即：CD=BC+CF②△AOC是等腰三角形理由：与（1）同法可证△BAD≌△CAF，可得：∠DBA=∠FCA，又∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°，则∠ABD=180°-45°=135°，∴∠ABD=∠FCA=135°∴∠DCF=135°-45°=90°∴△FCD为直角三角形．又∵四边形ADEF是正方形，对角线AE与DF相交于点O，∴OC=12DF，∴OC=OA∴△AOC是等腰三角形．【点睛】本题考查了等腰三角形、正方形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，一般情况下，要证明两条线段相等，就得证明这两条线段所在的两个三角形全等，关键是掌握图形特点挖掘题目所隐含的条件．5．如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝6，过点B作BD⊥AC交AC于点D，点E、F分别是线段AB、BC上两点，且BE＝BF，连接AF交BD于点Q，过点E作EH⊥AF交AF于点P，交AC于点H．（1）若BF＝4，求△ADQ的面积；（2）求证：CH＝2BQ；（3）如图2，BE＝3，连接EF，将△EBF绕点B在平面内任意旋转，取EF的中点M，连接AM，CM，将线段AM绕点A逆时针旋转90°得线段AN，连接MN、CN，过点N作NR⊥AC 交AC于点R．当线段NR的长最小时，直接写出△CMN的周长．答案：A解析：（1）1.8；（2）证明见解析；（3326335102．【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质求出12BD AD CD AC ====积相等和勾股定理分别求出AQ 和QD ，最后利用三角形面积公式即可求解；（2）如图，先作辅助线构造()AEH CFG ASA ∆∆≌，得到AH CG =，再通过转化得到2AH DQ =，最后利用AC ，得到一个相等关系，即()2AH HC BQ QD +=+，利用等式性质即可得到所求；（3）如图，通过做辅助线构造全等三角形确定出当HN ⊥AC ，且N 点位于H 、R 之间时，此时NR 的长最小，接着利用勾股定理和等腰直角三角形的性质，分别求出CM 、MN 、CN 的长，相加即可．【详解】解：6AB BC ==，°90ABC =∠，AC ==∴又∵AC BD ⊥∴BD 平分AC ，且BD 是∠ABC 的角平分线∴12BD AD CD AC ====Q 点到BA 和BC 边的距离相等； ∵4BF =， ∴6342ABQ BFQ S S ∆∆==， ∴32AQ FQ =，∵AF ===∴35AQ AF ==∴QD ===，∴1 1.825ADQ S ∆=⨯⨯=， ∴△ADQ 的面积为1.8．（2）如图，作CG ⊥AC ，垂足为C ，交AF 的延长线于点G ，∴°90ACG =∠∵°45ACB CAB ==∠∠，∴°45GCB CAB ==∠∠，∵EH ⊥AF ，∴°90EAP AEP +=∠∠,又∵°90EAP AFB +=∠∠∴AEP AFB =∠∠，∴AEP CFG =∠∠∵BE BF =，BA BC =∴AE CF =，在AEH ∆和CFG ∆中，AEH CFG AE CFEAH FCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()AEH CFG ASA ∆∆≌∴AH CG =；∵BD ⊥AC ，CG ⊥AC ，∴BD ∥CG ，∵D 点是AC 的中点，且BD ∥CG ，∴DQ 是ACG ∆的中位线， ∴12DQ CG =， ∴2DQ CG AH ==； ∵AC =2BD ，∴()2AH HC BQ QD +=+，∵2AH DQ =，∴CH ＝2BQ ．（3）如图①，作AH ⊥AB ,且AH =AB ，∴∠NAH +∠HAM =∠HAM +∠BAM =90°，∴∠BAM =∠NAH ，∵AB =AH ，AM =AN ，∴()ABM AHN SAS ∆∆≌，∴HN =BM ，∵BE =BF =3，∠EBF =90°， ∴EF ==∴由M 点是EF 的中点，可得122BM EF ==，∴2NH =，∴N 点在以H 点为圆心，2为半径的圆上，如图②，当HN ⊥AC ，且N 点位于H 、R 之间时，此时NR 的长最小，为2NR HR HN HR =-=-， ∵∠BAC =45°，∴∠HAC =45°，∴∠AHN =45°，HR =AR ，∵222HR AR AH +=，∴HR AR ===，∴22NR HR =-=， ∵AC == ∴CR AC AR =-=∴CN AN === ∵∠MAN =90°，AM =AN ，∴MN ==∴∠ABM =45°，∴∠EBM =45°，∴F 点在BA 上，E 点在CB 延长线上，如图，作MP ⊥EC ，垂足为P ，∴1322BP MP EB ===， ∴315622PC PB BC =+=+=，∴2MC ==∴MC MN CN ++=∴△CMN 的周长为3263351022++．【点睛】本题综合考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、圆等知识，要求学生熟练掌握相关概念并能灵活应用它们，本题的综合性较强，难点在于作辅助线构造全等三角形以及线段之间的关系转化等，考查了学生综合分析和推理论证以及计算的能力，本题属于压轴题，蕴含了数形结合和转化的思想方法等．6．如图．四边形ABCD 、BEFG 均为正方形．（1）如图1，连接AG 、CE ，请直接写出．．．．．AG 和CE 的数量和位置关系（不必证明）．（2）将正方形BEFG 绕点B 顺时针旋转β角（0180β︒︒＜＜），如图2，直线AG 、CE 相交于点M ．①AG 和CE 是否仍然满足（1）中的结论？如果是，请说明理由：如果不是，请举出反例：②连结MB ，求证：MB 平分AME ∠．（3）在（2）的条件下，过点A 作AN MB ⊥交MB 的延长线于点N ，请直接写出．．．．．线段CM 与BN 的数量关系．答案：A解析：（1）AG=EC ，AG ⊥EC ；（2）①满足，理由见解析；②见解析；（3）CM=2BN ．【分析】（1）由正方形BEFG 与正方形ABCD ，利用正方形的性质得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS 得出三角形ABG 与三角形CBE 全等，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等得到CE=AG ，∠BCE=∠BAG ，再利用同角的余角相等即可得证；（2）①利用SAS 得出△ABG ≌△CEB 即可解决问题；②过B 作BP ⊥EC ，BH ⊥AM ，由全等三角形的面积相等得到两三角形面积相等，而AG=EC ，可得出BP=BH ，利用到角两边距离相等的点在角的平分线上得到BM 为角平分线；（3）在AN 上截取NQ=NB ，可得出三角形BNQ 为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到BQ=2BN ，接下来证明BQ=CM ，即要证明三角形ABQ 与三角形BCM 全等，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由三角形ANM 为等腰直角三角形得到NA=NM ，利用等式的性质得到AQ=BM ，利用SAS 可得出全等，根据全等三角形的对应边相等即可得证．【详解】解：（1）AG=EC ，AG ⊥EC ，理由为：∵正方形BEFG ，正方形ABCD ，∴GB=BE ，∠ABG=90°，AB=BC ，∠ABC=90°，在△ABG 和△BEC 中，BG BE ABC EBC BA BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABG ≌△BEC （SAS ），∴CE=AG ，∠BCE=∠BAG ，延长CE 交AG 于点M ，∴∠BEC=∠AEM ，∴∠ABC=∠AME=90°，∴AG=EC ，AG ⊥EC ；（2）①满足，理由是：如图2中，设AM 交BC 于O ．∵∠EBG=∠ABC=90°，∴∠ABG=∠EBC ，在△ABG 和△CEB 中，AB BC ABG CBE BG EB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABG ≌△CEB （SAS ），∴AG=EC ，∠BAG=∠BCE ，∵∠BAG+∠AOB=90°，∠AOB=∠COM ，∴∠BCE+∠COM=90°，∴∠OMC=90°，∴AG ⊥EC ．②过B 作BP ⊥EC ，BH ⊥AM ，∵△ABG ≌△CEB ，∴S △ABG =S △EBC ，AG=EC ， ∴12EC•BP=12AG•BH ， ∴BP=BH ，∴MB 平分∠AME ；（3）2BN ，理由为：在NA 上截取NQ=NB ，连接BQ ，∴△BNQ 为等腰直角三角形，即2BN ，∵∠AMN=45°，∠N=90°，∴△AMN 为等腰直角三角形，即AN=MN ，∴MN-BN=AN-NQ ，即AQ=BM ，∵∠MBC+∠ABN=90°，∠BAN+∠ABN=90°，∴∠MBC=∠BAN ，在△ABQ 和△BCM 中，AQ BM BAN MBC AB BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABQ ≌△BCM （SAS ），∴CM=BQ ，则CM=2BN ．【点睛】此题考查了正方形，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的判定，熟练掌握正方形的性质是解本题的关键．7．如图1所示，矩形ABCD 中，点E ，F 分别为边AB ，AD 的中点，将△AEF 绕点A 逆时针旋转α（0°＜α≤360°），直线BE 、DF 相交于点P ．（1）若AB ＝AD ，将△AEF 绕点A 逆时针旋转至如图2所示的位置，则线段BE 与DF 的数量关系是．（2）若AD ＝nAB （n ≠1），将△AEF 绕点A 逆时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图3所示的情况加以证明，若不成立，请写出正确结论，并说明理由．（3）若AB ＝8，BC ＝12，将△AEF 旋转至AE ⊥BE ，请算出DP 的长．答案：B解析：（1）BE ＝DF ；（2）不成立，结论：DF ＝nBE ；理由见解析（3）634或634【分析】（1）如图2中，结论：BE＝DF，BE⊥DF．证明△ABE≌△ADF（SAS），利用全等三角形的性质可得结论；（2）结论：DF＝nBE，BE⊥DF，证明△ABE∽△ADF（SAS），利用相似三角形的性质可得结论；（3）分两种情形画出图形，利用相似三角形的性质以及勾股定理求解即可．【详解】解：（1）结论：BE=DF，BE⊥DF，理由：∵四边形ABCD是矩形，AB=AD，∴四边形ABCD是正方形，AE=12AB，AF=12AD，∴AE=AF，∵∠DAB=∠EAF=90°，∴∠BAE=∠DAF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴BE=DF，故答案为：BE=DF；（2）结论不成立，结论：DF=nBE，∵AE=12AB，AF=12AD，AD=nAB，∴AF=nAE，∴AF∶AE=AD∶AB，∴AF∶AE=AD∶AB，∵∠DAB=∠EAF=90°，∴∠BAE=∠DAF，∴△BAE∽△DAF，∴DF∶BE=AF∶AE=n，∠ABE=∠ADF，∴DF=nBE；（3）如图4-1中，当点P在BE的延长线上时，在Rt△AEB中，∵∠AEB=90°，AB=8，AE=12AB=4，∴BE=22AB AE -=43，∵△ABE ∽△ADF ，∴AB AD =BE DF ， ∴812=43DF， ∴DF=63，∵四边形AEPF 是矩形，∴AE=PF=4，∴PD=DF-PF=634-；如图4-2中，当点P 在线段BE 上时，同法可得DF=63，PF=AE=4，∴PD=DF ＋PF=634+，综上所述，满足条件的PD 的值为634-或634+．【点睛】此题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，注意应用分类思想解决问题，是一道较难的几何综合题．8．在平面直角坐标系中，点A 在y 轴正半轴上，点B 在x 轴负半轴上，BP 平分∠ABO ．（1）如图1，点T 在BA 延长线上，若AP 平分∠TAO ，求∠P 的度数；（2）如图2，点C 为x 轴正半轴上一点，∠ABC ＝2∠ACB ，且P 在AC 的垂直平分线上． ①求证：AP //BC ；②D 是AB 上一点，E 是x 轴正半轴上一点，连接AE 交DP 于H ．当∠DHE 与∠ABE 满足什么数量关系时，DP ＝AE ．给出结论并说明理由．答案：D解析：（1）45°；（2）①见解析；②∠DHE +∠ABE ＝180°，理由见解析【分析】（1）由三角形的外角性质和角平分线的性质可得∠AOB ＝2∠P ＝90°，可求解；（2）①过点P 作PE ⊥AB 交BA 延长线于E ，过点P 作PF ⊥BC 于F ，连接PC ，由角平分线的性质可得PE ＝PF ，由垂直平分线的性质可得PA ＝PC ，由“HL ”可证Rt △APE ≌Rt △CPF ，可得∠EPA ＝∠CPF ，由四边形内角和定理可得∠EBF +∠EPF ＝180°，由角的数量关系可证∠ACB ＝∠PAC ，由平行线的判定可证AP ∥BC ；②如图3，在OE 上截取ON ＝OB ，连接AN ，通过证明△ADP ≌△NEA ，可得DP ＝AE ．【详解】解：（1）∵BP 平分∠ABO ，AP 平分∠TAO ，∴∠PBT ＝12∠ABO ，∠TAP ＝12∠TAO ， ∵∠TAO ＝∠ABO+∠AOB ，∠TAP ＝∠P+∠ABP ，∴∠AOB ＝2∠P ＝90°，∴∠P ＝45°；（2）①如图2，过点P 作PE ⊥AB 交BA 延长线于E ，过点P 作PF ⊥BC 于F ，连接PC ，又∵PB 平分∠ABC ，∴PE ＝PF ，∵P 在AC 的垂直平分线上，∴PA ＝PC ，∴∠PAC ＝∠PCA ，在Rt △APE 和Rt △CPF 中，AP PC PE PF =⎧⎨=⎩， ∴Rt △APE ≌Rt △CPF （HL ），∴∠EPA ＝∠CPF ，∴∠EPF ＝∠APC ，在四边形BEPF 中，∠EBF+∠BEP+∠EPF+∠PFB ＝180°，∴∠EBF+∠EPF ＝180°，∴∠ABC+∠APC ＝180°，∵∠APC+∠PAC+∠PCA ＝180°，∴∠ABC ＝∠PAC+∠PCA ＝2∠PAC ，∵∠ABC ＝2∠ACB ，∴∠ACB ＝∠PAC ，∴AP ∥BC ；②当∠DHE+∠ABE ＝180°时，DP ＝AE ，理由如下：如图3，在OE 上截取ON ＝OB ，连接AN ，∵OB ＝ON ，AO ⊥BE ，∴AB ＝AN ，∴∠ABN ＝∠ANB ，∵AP ∥BE ，BP 平分∠ABE ，∴∠APB ＝∠PBE ＝∠ABP ，∠ABN+∠BAP ＝180°，∴AP ＝AB ，∴AP ＝AN ，∵∠ANB+∠ANE ＝180°，∴∠BAP ＝∠ANE ，∵∠DHE+∠ABE ＝180°，∠DHE+∠ABE+∠BDH+∠BEH ＝360°，∴∠BDH+∠BEH ＝180°，∵∠ADP+∠BDP ＝180°，∴∠ADP ＝∠AEN ，在△ADP 和△NEA 中，DAP ANE ADP AEN AP AN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADP ≌△NEA （AAS ），∴DP ＝AE ．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，四边形内角和定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 9．在等腰Rt ABC △中，AB AC =、90BAC ∠=︒．（1）如图1，D ，E 是等腰Rt ABC △斜边BC 上两动点，且45DAE ∠=︒，将ABE△绕点A 逆时针旋转90后，得到AFC △，连接DF ．①求证：AED AFD ≌．②当3BE =，9CE =时，求DE 的长．（2）如图2，点D 是等腰Rt ABC △斜边BC 所在直线上的一动点，连接AD ，以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △（E 点在直线BC 的上方），当3BD =，9BC =时，求DE 的长．答案：D解析：（1）①证明见解析；②5；（2）35或317【分析】（1）①证明∠DAE=∠DAF=45°即可利用SAS 证明全等；②由①中全等可得DE=DF ，再在Rt △FDC 中利用勾股定理计算即可；（2）连接BE ，根据共顶点等腰直角三角形证明全等，再利用勾股定理计算即可。

全等三角形旋转模型知识点总结附解析

全等三角形旋转模型知识点总结附解析一、全等三角形旋转模型1．（课题研究）旋转图形中对应线段所在直线的夹角（小于等于90°的角）与旋转角的关系．（问题初探）线段AB 绕点O 顺时针旋转得到线段CD ，其中点A 与点C 对应，点B 与点D 对应，旋转角的度数为α，且0°＜α＜180°．（1）如图①，当α＝60°时，线段AB 、CD 所在直线夹角（锐角）为；（2）如图②，当90°＜α＜180°时，直线AB 与直线CD 所夹锐角与旋转角α存在怎样的数量关系？请说明理由；（形成结论）旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的夹角与旋转角．（运用拓广）运用所形成的结论解决问题：（3）如图③，四边形ABCD 中，∠ABC ＝60°，∠ADC ＝30°，AB ＝BC ，CD ＝3，BD ＝19，求AD 的长．解析：（1）60°；（2）互补，理由见解析；【形成结论】相等或互补；（310【分析】（1）由旋转的性质可得AB CD =，OA OC =，BO DO =，可证()AOB COD SSS ，可得B D ∠=∠，由三角形内角和定理可求解；（2）由旋转的性质可得AB CD =，OA OC =，BO DO =，可证()AOBCOD SSS ，可得B D ∠=∠，由平角的定义和四边形内角和定理可求解；【形成结论】由（1）（2）可知对应线段所在直线的所夹锐角角与旋转角：相等或互补；【运用拓广】（3）将BCD ∆绕点B 顺时针旋转60︒，得到BAF ∆，连接FD ，由旋转的性质可得BF BD =，3AF CD ==，由三角形内角和定理可求90FAD ∠=︒，由勾股定理可求解．【详解】解：（1）如图1，延长DC 交AB 于F ，交BO 于E ，α=︒，60∴∠=︒，60BOD线段AB绕点O顺时针旋转得线段CD，=，AB CD=，BO DO∴=，OA OCAOB COD SSS，()B D∴∠=∠，∠=∠，OED BEF，B DBFE EOD，60故答案为：60︒；（2）直线AB与直线CD所夹锐角角与旋转角α互补，理由如下：如图2，延长AB，DC交于点E，线段AB绕点O顺时针旋转得线段CD，=，=，BO DO∴=，OA OCAB CDAOB COD SSS，()ABO D，ABO EBO，180D EBO，180360EBO E D BOD，E BOD，180∴直线AB与直线CD所夹锐角角与旋转角α互补．形成结论由（1）（2）（3）可知：旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的所夹锐角角与旋转角：相等或互补．故答案为：相等或互补．运用拓广（3）如图3，将BCD ∆绕点B 顺时针旋转60︒，得到BAF ∆，连接FD ，延长FA ，DC 交于点E ，∴旋转角60ABC ∠=︒，BCD BAF ，60AED ABC ∴∠=∠=︒，3AF CD ==，BD BF =，30ADC ∠=︒，90FAD AED ADC ，又60FBD ABC ，BF BD =， BFD ∴∆是等边三角形，BF BD DF ，∴在Rt DAF 中，2219910ADDF AF ．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是本题的关键．2．发现规律：（1）如图①，ABC 与ADE 都是等边三角形，直线,BD CE 交于点F ．直线BD ，AC 交于点H ．求BFC ∠的度数（2）已知：ABC 与ADE 的位置如图②所示，直线,BD CE 交于点F ．直线BD ，AC 交于点H ．若ABC ADE α∠=∠=，ACB AED β∠=∠=，求BFC ∠的度数应用结论：（3）如图③，在平面直角坐标系中，点O 的坐标为(0,0)，点M 的坐标为(3,0)，N 为y 轴上一动点，连接MN ．将线段MN 绕点M 逆时针旋转60得到线段MK ，连接NK ，OK ，求线段OK 长度的最小值答案：A解析：（1）BFC ∠的度数为60︒；（2）BFC ∠的度数为180αβ︒--；（3）线段OK 长度的最小值为32 【分析】（1）通过证明BAD CAE ≅△△可得ABD ACE ∠=∠，再由三角形内角和定理进行求解即可；（2）通过证明ABC ADE 可得BAC DAE ∠=∠，AB AC AD AE=，可证ABD ACE ，可得ABD ACE ∠=∠，由外角性质可得BFC BAC ∠=∠，再有三角形内角和定理进行求解即可；（3）由旋转的性质可得MNK △是等边三角形，可得MK MN NK ==，60NMK NKM KNM ∠=∠=∠=︒，如图③将MOK 绕点M 顺时针旋转60︒，得到MQN △，连接OQ ，可得60OMQ ∠=︒，OK =NQ ，MO =MQ ，则当NQ 为最小值时，OK 有最小值，由垂线段最短可得当QN y ⊥轴时，NQ 有最小值，由直角三角形的性质即可求解．【详解】（1）∵ABC 与ADE 是等边三角形∴AB=AC ，AD=AE ，60BAC DAE ABC ACB ∠=∠=∠=∠=︒∴BAD CAE ∠=∠∴()BAD CAE SAS ≅ ∴ABD ACE ∠=∠∵60ABD DBC ABC ∠+∠=∠=︒∴60ACE DBC ∠+∠=︒∴18060BFC DBC ACE ACB ∠=︒-∠-∠-∠=︒；（2）∵ABC ADE α∠=∠=，ACB AED β∠=∠=∴ABC ADE∴BAC DAE ∠=∠，AB AC AD AE= ∴BAD CAE ∠=∠，AB AD AC AE = ∴ABD ACE ∴ABD ACE ∠=∠ ∵BHC ABD BAC BFC ACE ∠=∠+∠=∠+∠ ∴BFC BAC ∠=∠ ∵180BAC ABC ACB ∠+∠+∠=︒ ∴180BFC αβ∠++=︒∴180BFC αβ∠=︒--；（3）∵将线段MN 绕点M 逆时针旋转60︒得到线段MK∴MN MK =，60NMK ∠=︒∴MNK △是等边三角形∴MK MN NK ==，60NMK NKM KNM ∠=∠=∠=︒如下图，将MOK 绕点M 顺时针旋转60︒，得到MQN △，连接OQ∴MOK MQN ≅，60OMQ ∠=︒∴OK =NQ ，MO =MQ∴MOQ △是等边三角形∴60QOM ∠=︒∴30NOQ ∠=︒∵OK =NQ∴当NQ 为最小值时，OK 有最小值，由垂线段最短可得当QN y ⊥轴时，NQ 有最小值 ∵点M 的坐标为(3,0)∴3OM OQ ==∵QN y ⊥轴，30NOQ ∠=︒∴1322NQ OQ == ∴线段OK 长度的最小值为32．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形内角和定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是解决本题的关键．3．如图1，在等腰Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝6，过点B 作BD ⊥AC 交AC 于点D ，点E 、F 分别是线段AB 、BC 上两点，且BE ＝BF ，连接AF 交BD 于点Q ，过点E 作EH ⊥AF 交AF 于点P ，交AC 于点H ．（1）若BF ＝4，求△ADQ 的面积；（2）求证：CH ＝2BQ ；（3）如图2，BE ＝3，连接EF ，将△EBF 绕点B 在平面内任意旋转，取EF 的中点M ，连接AM ，CM ，将线段AM 绕点A 逆时针旋转90°得线段AN ，连接MN 、CN ，过点N 作NR ⊥AC 交AC 于点R ．当线段NR 的长最小时，直接写出△CMN 的周长．答案：A解析：（1）1.8；（2）证明见解析；（3）3263351022+．【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质求出1322BD AD CD AC ====积相等和勾股定理分别求出AQ 和QD ，最后利用三角形面积公式即可求解；（2）如图，先作辅助线构造()AEH CFG ASA ∆∆≌，得到AH CG =，再通过转化得到2AH DQ =，最后利用AC ，得到一个相等关系，即()2AH HC BQ QD +=+，利用等式性质即可得到所求；（3）如图，通过做辅助线构造全等三角形确定出当HN ⊥AC ，且N 点位于H 、R 之间时，此时NR 的长最小，接着利用勾股定理和等腰直角三角形的性质，分别求出CM 、MN 、CN 的长，相加即可．【详解】解：6AB BC ==，°90ABC =∠，AC ==∴又∵AC BD ⊥∴BD 平分AC ，且BD 是∠ABC 的角平分线∴12BD AD CD AC ====Q 点到BA 和BC 边的距离相等； ∵4BF =， ∴6342ABQBFQ S S ∆∆==， ∴32AQ FQ =，∵AF ===∴35AQ AF ==∴5QD ===，∴1 1.825ADQ S ∆=⨯⨯=， ∴△ADQ 的面积为1.8．（2）如图，作CG ⊥AC ，垂足为C ，交AF 的延长线于点G ，∴°90ACG =∠∵°45ACB CAB ==∠∠，∴°45GCB CAB ==∠∠，∵EH ⊥AF ，∴°90EAP AEP +=∠∠,又∵°90EAP AFB +=∠∠∴AEP AFB =∠∠，∴AEP CFG =∠∠∵BE BF =，BA BC =∴AE CF =，在AEH ∆和CFG ∆中，AEH CFG AE CFEAH FCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()AEH CFG ASA ∆∆≌∴AH CG =；∵BD ⊥AC ，CG ⊥AC ，∴BD ∥CG ，∵D 点是AC 的中点，且BD ∥CG ，∴DQ 是ACG ∆的中位线， ∴12DQ CG =， ∴2DQ CG AH ==； ∵AC =2BD ，∴()2AH HC BQ QD +=+，∵2AH DQ =，∴CH ＝2BQ ．（3）如图①，作AH ⊥AB ,且AH =AB ，∴∠NAH +∠HAM =∠HAM +∠BAM =90°，∴∠BAM =∠NAH ，∵AB =AH ，AM =AN ，∴()ABM AHN SAS ∆∆≌， ∴HN =BM ，∵BE =BF =3，∠EBF =90°， ∴232EF BE ==∴由M 点是EF 的中点，可得1322BM EF == ∴322NH =， ∴N 点在以H 点为圆心，322为半径的圆上，如图②，当HN ⊥AC ，且N 点位于H 、R 之间时，此时NR 的长最小，为NR HR HN HR =-=-∵∠BAC =45°，∴∠HAC =45°，∴∠AHN =45°，HR =AR ，∵222HR AR AH +=，∴HR AR ===，∴22NR HR =-=， ∵AC == ∴CR AC AR =-=∴CN AN === ∵∠MAN =90°，AM =AN ，∴MN ==∴∠ABM =45°，∴∠EBM =45°，∴F 点在BA 上，E 点在CB 延长线上，如图，作MP ⊥EC ，垂足为P ，∴1322BP MP EB ===， ∴315622PC PB BC =+=+=，∴2MC ==∴MC MN CN ++=∴△CMN+．【点睛】本题综合考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、圆等知识，要求学生熟练掌握相关概念并能灵活应用它们，本题的综合性较强，难点在于作辅助线构造全等三角形以及线段之间的关系转化等，考查了学生综合分析和推理论证以及计算的能力，本题属于压轴题，蕴含了数形结合和转化的思想方法等． 4．如图，已知ABC 和ADE 均为等腰三角形，AC ＝BC ，DE ＝AE ，将这两个三角形放置在一起．（1）问题发现：如图①，当60ACB AED ∠∠︒＝＝时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，则CEB ∠＝ °，线段BD 、CE 之间的数量关系是；（2）拓展探究：如图②，当90ACB AED ∠∠︒＝＝时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，请判断CEB ∠的度数及线段BD 、CE 之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图③，90ACB AED ∠∠︒＝＝，25AC ＝，AE ＝2，连接CE 、BD ，在AED 绕点A 旋转的过程中，当DE BD ⊥时，请直接写出EC 的长．答案：C解析：（1）60BD CE ，＝；（2）452CEB BD CE ∠︒＝，＝，理由见解析；（3）CE 的长为2或2【分析】（1）证明ACE ABD ≌，得出CE ＝BD ，AEC ADB ∠=∠，即可得出结论；（2）证明ACE ABD ∽，得出AEC ADB ∠=∠，BD =，即可得出结论；（3）先判断出BD =，再求出AB =：①当点E 在点D 上方时，先判断出四边形APDE 是矩形，求出AP ＝DP ＝AE ＝2，再根据勾股定理求出，BP ＝6，得出BD ＝4；②当点E 在点D 下方时，同①的方法得，AP ＝DP ＝AE ＝1，BP ＝6，进而得出BD ＝BP +DP ＝8，即可得出结论．【详解】解：（1）ABC 为等腰三角形，60AC BC ACB ∠︒＝，＝，∴ABC 是等边三角形，同理可得ADE 是等边三角形6018012060BAD DAC DAC CAE BAD CAE AD AE AB ACEAC DAB ACE ABD SAS BD CEAEC ADB ADE AEC AED CEBCEB ∠+∠=∠+∠=︒∴∠=∠=⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩∴∴=∠=∠=︒-∠=︒∠=∠+∠∴∠=︒＝≌（）故答案为：60CEB BD CE ∠=︒=；．（2）45CEB BD ∠︒＝，，理由如下：在等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ，90ACB ∠︒＝，45AB CAB ∴∠︒，＝，同理，45AD ADE DAE ∠∠︒，＝＝， ∴AE AC AD AB =，DAE CAB ∠∠＝， EAC DAB ∴∠∠＝，ACE ABD ∴∽ ，∴BD AD CE AE==∴AEC ADB BD ∠∠＝，，点B 、D 、E 在同一条直线上:180135ADB ADE ∴∠︒-∠︒＝＝135AEC ∴∠︒＝45CEB AEC AED ∴∠∠-∠︒＝＝；（3）由（2）知，ACE ABD ∽， 2BD CE ∴＝，在Rt ABC 中，25AC ＝，2210AB AC ∴＝＝，①当点E 在点D 上方时，如图③，过点A 作AP BD ⊥交BD 的延长线于P ，DE BD ⊥，PDE AED APD ∴∠∠∠＝＝，∴四边形APDE 是矩形，AE DE ＝，∴矩形APDE 是正方形，2AP DP AE ∴＝＝＝，在Rt APB △中，根据勾股定理得，226BP AB AP -＝＝，4BD BP AP ∴-＝＝，1222CE BD ∴＝＝； ②当点E 在点D 下方时，如图④同①的方法得，AP ＝DP ＝AE ＝2，BP ＝6，∴BD ＝BP +DP ＝8，122CE BD ∴＝＝4，综上CE 的长为22或42．【点睛】本题是几何变换的综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质，判断出三角形ACE 和三角形ABD 相似是关键．5．如图，ABD △和ACE △都是等边三角形．（1）连接CD 、BE 交于点P ，求∠BPD ；（2）连接PA ，判断线段PA 、PB 、PD 之间的数量关系并证明；（3）如图，等腰ABC 中AB ＝AC ，∠BAC ＝α（0＜α＜90），在ABC 内有一点M ，连接MA 、MB 、MC ．当MA ＋MB ＋MC 最小时，∠ABM ＝（用含α的式子表示）答案：D解析：（1）60BPD ∠=︒（2）PD PB PA =+，证明见详解（3）1602α︒-【分析】（1）证明()DAC BAE SAS ≅，得ADC ABE ∠=∠，就可以证明60BPD DAB ∠=∠=︒；（2）在DP 上截取PF=PB ，连接BF ，证明()DBF ABP SAS ≅，得DF PA =，即可证明PD PB PA =+；（3）分别以AB 和AC 为边，向两边作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接BE 和CD ，交于点M ，连接AM ，此时MA MB MC ++最小，然后利用等腰三角形ADC ，求出ADC ∠的度数，即可得到ABM ∠的度数．【详解】解：（1）∵ABD △和ACE △是等边三角形，∴AD AB =，AC AE =，60DAB CAE ∠=∠=︒，∵DAB BAC CAE BAC ∠+∠=∠+∠，∴DAC BAE ∠=∠，在DAC △和BAE △中，AD AB DAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()DAC BAE SAS ≅，∴ADC ABE ∠=∠，∵ADC DAB ABE BPD ∠+∠=∠+∠，∴60BPD DAB ∠=∠=︒；（2）如图，在DP 上截取PF=PB ，连接BF ，∵60BPD ∠=︒，PF PB =，∴PFB △是等边三角形，∴BF BP =，60FBP ∠=︒，∴DBA FBP ∠=∠，∵DBA FBA FBP FBA ∠-∠=∠-∠，∴DBF ABP ∠=∠，在DBF 和ABP △中，DB AB DBF ABP BF BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()DBF ABP SAS ≅，∴DF PA =，∵PD PF FD =+，∴PD PB PA =+；（3）如图，分别以AB 和AC 为边，作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接BE 和CD ，交于点M ，连接AM ，此时MA MB MC ++最小，由（2）中的结论可得MD MA MB =+，则当D 、M 、C 三点共线时MA MB MC ++最小，即CD 的长，由（1）得ADC ABM ∠=∠，∵AD AB AC ==，60DAC α∠=︒+，∴()1806016022ADC αα︒-︒+∠==︒-， ∴1602ABM α∠=︒-，故答案是：1602α︒-．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，解题的关键是做辅助线构造全等三角形来进行证明求解．6．探究：（1）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若∠B＝28°，则∠ACD的度数是．拓展：（2）如图②，∠MCN＝90°，射线CP在∠MCN的内部，点A、B分别存CM、CN 上，分别过点A、B作AD⊥CP、BE⊥CP于点D、E，若AC＝CB，则AD、DE、BE三者间的数量关系为．请说明理由；应用：（3）如图③，点A、B分别在∠MCN的边CM、CN上，射线CP在∠MCN的内部，点D、E在射线CP上，连结AD、BE、AE，且使∠MCN＝∠ADP＝∠BEP．当AC＝BC 时，△≌△；此时如果CD＝2DE，且S△CBE＝6，则△ACE的面积是．答案：D解析：（1）28°（2）DE＝AD﹣BE；理由见解析（3）ACD；CBE；9【分析】（1）利用直角三角形的两锐角互余，即可得出结论；（2）利用同角的余角相等判断出∠CAD＝∠BCE，进而判断出△ACD≌△CBE，即可得出结论；（3）利用等式的性质判断出∠ADC＝∠CEB，进而判断出△ACD≌△CBE，得出S△ACD＝S△CBE，再求出S△ADE＝3，即可得出结论．【详解】解：探究：∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∵∠B＝28°，∴∠BCD＝90°﹣∠B＝68°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠BCD＝28°，故答案为：28°；拓展：(2)∵∠MCN＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∵AD⊥CP，BE⊥CP，∴∠ADC ＝∠BEC ＝90°，∴∠ACD+∠CAD ＝90°，∴∠CAD ＝∠BCE ，在△ACD 和△CBE 中，ADC CEB CAD BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE （AAS ），∴CD ＝BE ，AD ＝CE ，∴DE ＝CE ﹣CD ＝AD ﹣BE ，故答案为：DE ＝AD ﹣BE ；应用：(3)∵∠MCN ＝∠ACD+∠BCD ，∠MCN ＝∠ADP ，∴∠ADP ＝∠ACD+∠BCD ，∵∠ADP ＝∠ACD+∠CAD ，∴∠CAD ＝∠BCE ，∵∠ADP ＝∠BEP ，∴∠ADC ＝∠CEB ，在△ACD 和△CBE 中，ADC CEB CAD BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE （AAS ），∴S △ACD ＝S △CBE ，∵S △CBE ＝6，∴S △ACD ＝6，∵CD ＝2DE ，∴S △ACD ＝2S △ADE ，∴S △ADE ＝12S △ACD ＝3， ∴S △ACE ＝S △ACD +S △ADE ＝9，故答案为：ACD ，CBE ，9．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了直角三角形的性质，同角的余角相等，等式的性质，全等三角形的判定和性质，判断出△ACD ≌△CBE 是解本题的关键．7．问题解决一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图①，点P 是等边ABC 内的一点，6PA =，8PB = ，10PC =．你能求出APB ∠的度数和等边ABC 的面积吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：如图①将BPC △绕点B 逆时针旋转60°，得到BPA △，连接PP '，可得BPP '是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得AP P '是直角三角形，从而使问题得到解决．（1）结合小明的思路完成填空：PP '=_____________，APP '∠=_______________，APB ∠=_____________ ，ABC S = ______________．（2）类比探究 Ⅰ如图②，若点P 是正方形ABCD 内一点，1PA = ，2PB =，3PC =，求APB ∠的度数和正方形的面积．Ⅱ如图③，若点P 是正方形ABCD 外一点，3PA = ，1PB =， 11PC =，求APB ∠的度数和正方形的面积．答案：B解析：（1）8，90˚，150˚，25336；（2）Ⅰ135APB ∠=︒，722ABCD S =+正方形；Ⅱ45APB ∠=︒， 1032ABCD S =-正方形【分析】（1）根据小明的思路，然后利用等腰三角形和直角三角形性质计算即可；（2）Ⅰ将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′，求出∠APB 的度数；先利用旋转求出∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，利用勾股定理求出PP'，进而判断出△APP'是直角三角形，得出∠APP'=90°，即可得出结论；过B 作BE ⊥AP 于点E ，然后利用勾股定理求出AB 的长度即可求出正方形面积；Ⅱ将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′，求出∠APB 的度数；先利用旋转求出∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，利用勾股定理求出PP'，进而判断出△APP'是直角三角形，得出∠APP'=90°，即可得出结论；过B 作BF ⊥AP 于点F ，然后利用勾股定理求出AB 的长度即可求出正方形面积；【详解】解:（1）由题易有P BP '∆是等边三角形，AP P '∆是直角三角形∴PP '=BP=8，90?APP '=∠，60?P PB '=∠，∴APB ∠=APP '∠+=P PB '∠150˚，如图1，过B 作BD ⊥AP 于点D∵APB ∠=150°∴30?BPD =∠在Rt △BPD 中，30?BPD =∠，BP=8∴BD=4，PD=43 ∴AD=6+43∴AB 2=AD 2+BD 2=100+483∴ABC S =234AB =25336+ （2）Ⅰ．如图2，将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′，∴△ABP'≌△CBP ，∴∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，在Rt △PBP'中，BP=BP'=2，∴∠BPP'=45°，根据勾股定理得，PP'=2BP=22，∵AP=1，∴AP 2+PP'2=1+8=9，∵AP'2=32=9，∴AP 2+PP'2=AP'2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'=90°，∴∠APB=∠APP'+∠BPP'=90°+45°=135°；过B 作BE ⊥AP 于点E ，∵∠APB=135°∴∠BPE=45°∴△BPE 是等腰直角三角形∴BE=BP=22BP =2 ∴AE=1+2∴AB 2=AE 2+BE 2=7+22 ∴2722ABCD S AB ==+正方形Ⅱ．如图3，将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′，∴△ABP'≌△CBP ，∴∠PBP'=90°，BP'=BP=1，AP'=CP=11，在Rt △PBP'中，BP=BP'=1，∴∠BPP'=45°，根据勾股定理得，PP'=2BP=2，∵AP=3，∴AP 2+PP'2=9+2=11，∵AP'2=（11）2=11，∴AP 2+PP'2=AP'2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'=90°，∴∠APB=∠APP'-∠BPP'=90°-45°=45°．过B 作BF ⊥AP 于点F∵∠APB=45°∴△BPF 为等腰直角三角形∴PF=BF=22BP =22 ∴2 ∴AB 2=AF 2+BF 2=1032-∴21032ABCD S AB ==-正方形【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．8．在等腰Rt ABC △中，AB AC =、90BAC ∠=︒．（1）如图1，D ，E 是等腰Rt ABC △斜边BC 上两动点，且45DAE ∠=︒，将ABE △绕点A 逆时针旋转90后，得到AFC △，连接DF ．①求证：AED AFD ≌．②当3BE =，9CE =时，求DE 的长．（2）如图2，点D 是等腰Rt ABC △斜边BC 所在直线上的一动点，连接AD ，以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △（E 点在直线BC 的上方），当3BD =，9BC =时，求DE 的长．答案：D解析：（1）①证明见解析；②5；（2）35或317【分析】（1）①证明∠DAE=∠DAF=45°即可利用SAS 证明全等；②由①中全等可得DE=DF ，再在Rt △FDC 中利用勾股定理计算即可；（2）连接BE ，根据共顶点等腰直角三角形证明全等，再利用勾股定理计算即可。

三角形的外心与旋转的关系

三角形的外心与旋转的关系三角形的外心是指三角形的三条垂直平分线的交点，也就是三角形内接圆的圆心。

旋转是指围绕某一点旋转一个物体，使其在平面上成为一个新的位置。

三角形的外心与旋转之间存在着一定的关系。

首先，我们来看一个等边三角形。

一个等边三角形的外心恰好是它的顶点之间的垂直平分线的交点。

如果我们绕着这个外心点进行旋转，等边三角形也会跟着一起旋转。

无论旋转多少度，等边三角形的形状不会改变，因为每个角度的对称轴都通过外心点，保持了等边三角形的对称性。

其次，我们来看一个不等边三角形。

不等边三角形的外心不在三角形内部，而是在垂直平分线的延长线上。

如果我们选择以外心为中心进行旋转，不等边三角形会绕着外心点进行旋转。

不同于等边三角形，不等边三角形在旋转过程中会发生形状的变化。

旋转角度的不同，会使得不等边三角形的形状发生变化，但仍然保持了对称性。

在旋转过程中，如果我们选择以外心为中心旋转，三角形的顶点将在旋转过程中保持相对稳定的位置。

这是因为外心具有特殊的几何属性，它与三角形的顶点和垂直平分线之间存在着一定的关系。

这种关系使得在旋转过程中，三角形的顶点相对于外心点的位置基本保持不变。

我们还可以观察到一个有趣的现象：当我们以外心为中心旋转三角形时，三角形的角度大小保持不变。

这是因为旋转不会改变三角形内部的角度关系。

虽然形状会发生变化，但三角形的内部角度大小仍然保持不变，即使在整个旋转过程中。

综上所述，三角形的外心与旋转之间存在着一定的关系。

在旋转过程中，等边三角形的外心处于旋转中心的位置，保持了对称性，并且形状保持不变；不等边三角形的外心不在三角形内部，而是在垂直平分线的延长线上，三角形会绕着外心点进行旋转，并且形状会发生变化，但仍然保持了对称性。

无论是等边三角形还是不等边三角形，外心都具有特殊的几何属性，使得在旋转过程中三角形的顶点相对于外心点的位置基本保持不变。

旋转过程中，三角形的角度大小保持不变，保持了三角形内部角度关系的稳定性。

[直角三角形的性质及判定]三角形的定义性质

[直角三角形的性质及判定]三角形的定义性质篇一: 三角形的定义性质定义由三条边首尾相接组成的内角和为180°的封闭图形叫做三角形三角形的内角和三角形的内角和为180度；三角形的一个外角等于另外两个内角的和；三角形的一个外角大于其他两内角中的任一个角。

：⑴直角三角形两个锐角互余；⑵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；⑶在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.；⑷在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°；c.钝角三角形：有一个角大于90度。

d.证明全等时可用HL方法按角分a.锐角三角形：三个角都小于90度。

b.直角三角形：有一个角等于90度。

c.钝角三角形：有一个角大于90度。

按边分不等腰三角形；等腰三角形。

解直角三角形：勾股定理，只适用于直角三角形a+b=c, 其中a和b分别为直角三角形两直角边，c为斜边。

勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。

比如：3，4，5。

他们分别是3，4和5的倍数。

常见的勾股弦数有：3，4，5；6，8，10；5,12,13;10,24,26;等等三角形的性质1.三角形的任何两边的和一定大于第三边，由此亦可证明得三角形的任意两边的差一定小于第三边。

[］2.三角形内角和等于180度3.等腰三角形的顶角平分线，底边的中线，底边的高重合，即三线合一。

4.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方--勾股定理。

直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

5.三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。

6.一个三角形最少有2个锐角。

7.三角形的角平分线:三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段。

8.等腰三角形中，等腰三角形顶角的平分线平分底边并垂直于底边。

9.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有下面关系那么这个三角形就一定是直角三角形。

三角形旋转解题技巧初中

三角形旋转解题技巧初中篇一：三角形旋转是一种重要的几何变换，可以在解题过程中发挥重要作用。

在初中数学中，三角形旋转通常用于解决角度问题和面积问题。

以下是一些初中三角形旋转的解题技巧:1. 了解三角形旋转的性质：三角形旋转后，其顶点的位置不会改变，而边的长度会发生变化。

同时，三角形的面积也可以通过旋转来变化。

2. 利用旋转角求解角度问题：在初中数学中，常常需要求解三角形中的某个角度。

可以利用三角形旋转的性质，将求解的问题转化为已知角度的问题，然后再通过旋转来解决。

3. 利用旋转来解决面积问题：在解决面积问题时，可以利用三角形旋转的性质，将原来的问题转化为面积相等的三角形，然后再通过旋转来解决。

4. 熟悉三角形旋转的基本公式：三角形旋转的基本公式为:旋转角度=原角度 - 旋转角度，旋转角度=旋转角度 + 原角度。

这些公式可以帮助更好地理解和解决三角形旋转的问题。

三角形旋转在初中数学中是一种常见的几何变换，可以帮助我们更好地理解和解决一些问题。

通过不断练习和积累，可以逐渐掌握三角形旋转的解题技巧，提高解题能力。

篇二：三角形旋转是一种重要的几何变换，可以在解题过程中发挥重要作用。

在初中阶段，三角形旋转通常作为求解几何问题的一种技巧来介绍。

下面是一些常见的三角形旋转解题技巧:1. 了解三角形旋转的基本性质：三角形旋转是一个沿固定轴旋转的变换，可以保持不变的性质有面积、周长、对称中心、对称轴等;可以改变的性质有方向、位置、形状等。

2. 利用旋转变换求解几何问题：在初中阶段，常见的利用三角形旋转求解的几何问题有：求解对称轴、对称中心、重心等;将复杂的几何问题转化为简单的代数问题，从而实现化繁为简、化难为易的目的。

3. 掌握常见的旋转变换公式：在三角形旋转中，存在一些常用的旋转公式，如旋转角度、旋转角度与旋转中心的关系、旋转前后面积的变化等。

熟悉这些公式可以更好地理解和解决旋转问题。

4. 实践三角形旋转的技巧：在初中阶段，可以通过一些简单的例子来实践三角形旋转的技巧，如求解三角形的重心、对称中心、对称轴等。

旋转的证明与计算(等边三角形)

旋转的证明与计算模块一：旋转应用之等边旋转类型二：正方形中的旋转例题1.正方形ABCD 内一点到三顶点距离分别是1，2，3，则正方形的面积等于考点：旋转的性质；正方形的性质分析：把△PAB 绕A 点逆时针旋转90°得△EAD ，把△CPB 绕C 点顺时针旋转90°得△CFD ，连PE ，PF ，则∠1=∠2，∠3=∠4，得到∠2+∠4=90°，∠EDF=180°，即E ，D ，F 共线，且ED=PB=2，DF=PB=2，△APE ，△CPF 均为等腰直角三角形，所以211121=⨯⨯=∆APE S ；293321=⨯⨯=∆CPF S ，再在△PEF 中，PE=2，PF=23，EF=4，利用勾股定理的逆定理得到△PEF 为直角三角形，∠PEF=90°，则22422121=⨯⨯=⨯⨯=∆EF EP S PEF 最后利用S 正方形A B C D =S 五边形A P C F E =S △P E F +S △A P E +S △C P F ，即可得到答案．跟踪训练：2，PC=4，则∠APC的大小是多1、如图点P是等边三角形ABC内部一点，且PA=2，PB=3少度？考点：旋转的性质；勾股定理的逆定理分析：由于△ABC为等边三角形，所以将△ABP绕A点逆时针旋转60°得△ACP′，根据旋转的性质得到AB与AC重合，∠PAP′=60°，2AP′=AP=2，P′C=PB=3，则△APP′是等边三角形，得到PP′=2；在△PPC中，利用勾股定理的逆定理可得到∠PP′C=90°，同时得到∠P′CP=30°，因此∠P′PC=60°，即可得APC=∠APP′+∠P′PC．2、把两块边长为4的等边三角板ABC和DEF先如图1放置，使三角板DEF的顶点D与三角板ABC的AC边的中点重合，DF经过点B，射线DE与射线AB相交于点M，接着把三角形板ABC 固定不动，将三角形板DEF由图11-1所示的位置绕点D按逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中0°＜α＜90°，射线DF与线段BC相交于点N（如图2示）．（1）当0°＜α＜60°时，求AM•CN的值；（2）当0°＜α＜60°时，设AM=x，两块三角形板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式并求定义域；（3）当BM=2时，求两块三角形板重叠部分的面积．考点：相似三角形的判定与性质；三角形的面积；等边三角形的性质；旋转的性质分析：（1）根据等边三角形的性质得到∠A=∠C=∠EDF=60°，则∠AMD+∠ADM=120°，∠ADM+∠NDC=120°，可得∠AMD=∠NDC ，根据相似三角形的判定定理得到△AMD ∽△CDN ，有相似的性质得到AM ：DC=AD ：CN ，即AM •CN=DC •AD ，然后把DC=AD=2代入计算即可；（2）分别过D 点作DP ⊥AB 于P ，DQ ⊥BC 于Q ，连DB ，根据等边三角形的性质得∠A=∠C=60°，而DA=DC=2，根据含30°的直角三角形三边的关系得到AP=CQ=1，DP=DQ=3，由AM=x ，得CN=x 4，MB=4-x ，BN=x44 ，两块三角形板重叠部分为四边形DMBN ，则y=S △D B M +S △D B N ，然后根据三角形的面积公式计算即可，易得到当0°＜α＜60°时，x 的取值范围为1＜x ＜4；（3）当M 在线段AB 上，BM=2时，x=4-2=2，把x=2代入（2）的关系式中计算即可．当M 点在线段AB 的延长线上，过D 作DH ∥BC 交AB 于H ，BP=21DH=1，由△AMD ∽△CDN ，则AM ：DC=AD ：CN ，即AM •CN=DC •AD ，可计算出CN ，然后根据三角形的面积公式可计算出S △D P N ，即两块三角形板重叠部分的面积．3、如图，已知△ABC为等边三角形，M为三角形外任意一点．（1）请你借助旋转知识说明AM≤BM+CM；（2）线段AM是否存在最大值？若存在，请指出存在的条件；若不存在，请说明理由．考点：旋转的性质；三角形三边关系；等边三角形的性质．分析：（1）应把AM和BM所在的三角形旋转，与AM组成三角形，将△BMC绕B点逆时针方向旋转，使C点与A点重合，得△BM′A，易得△BMM′为正三角形，根据三角形三边关系即可证明．（2）由（1）得线段AM存在最大值，M′在AM上时4、如图，P是正△ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5，将线段PA以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AP1，连结P1C．（1）判断△APB与△AP1C是否全等，请说明理由；（2）求∠APB的度数；（3）求△APB 与△APC的面积之和；（4）直接写出△BPC的面积，不需要说理．考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理．分析：（1）根据正三角形的性质求出AB=AC，∠BAC=60°，再根据旋转的性质可得AP1=AP，然后求出∠CAP1=∠BAP，再利用“边角边”证明△APB与△AP1C全等即可；（2）连结PP1，求出△PAP1是等边三角形，根据等边三角形的性质可得PP1=AP=3，∠AP1P=60°，再利用勾股定理逆定理求出∠CP1P=90°，然后计算即可得解；（3）根据全等三角形的面积相等求出△APB与△APC的面积之和等于四边形APCP1的面积，然后根据等边三角形的面积与直角三角形的面积列式计算即可得解；（4）同理求出△ABP和△BPC的面积的和，△APC和△BPC的面积的和，从而求出△ABC的面积，然后根据△BPC的面积=△ABC的面积-△APB与△APC的面积的和计算即可得解．参考答案：1、解：四边形ABCD为正方形，PA=1，PB=2，PC=3，把△PAB绕A点逆时针旋转90°得△EAD，把△CPB绕C点顺时针旋转90°得△CFD，连PE，PF，如图，∴∠1=∠2，∠3=∠4，而∠1+∠3=90°，∴∠2+∠4=90°，而∠ADC=90°，∴∠EDF=180°，即E，D，F共线；由旋转的性质得到△APE，△CPF均为等腰直角三角形，并且ED=PB=2，DF=PB=2，2、3、解答：（1）∵△ABC和△DEF都是边长为4的等边三角形，∴∠A=∠C=∠EDF=60°，∴∠AMD+∠ADM=120°，∠ADM+∠NDC=120°，∴∠AMD=∠NDC，∴△AMD∽△CDN，∴AM：DC=AD：CN，即AM•CN=DC•AD，而D点为AC的中点，∴DC=AD=2，∴AM•CN=4；（2）分别过D点作DP⊥AB于P，DQ⊥BC于Q，连DB，如图∵∠A=∠C=60°，DA=DC=2，∴AP=CQ=1，∴DP=DQ=3，∵BD为等边三角形的高，∴点D到EF的距离为DB，∴两块三角形板重叠部分为四边形DMBN，在图（1）中，AM=1，∴当0°＜α＜60°时，x的取值范围为1＜x＜4；（3）当M 在线段AB 上，BM=2时，x=4-2=2，当M 点在线段AB 的延长线上，如图（备用图），过D 作DH ∥BC 交AB 于H ，∴DH=21BC=2，BH=2， ∵BM=2，∴BP=21DH=1，与①一样可证得△AMD ∽△CDN ， ∴AM ：DC=AD ：CN ，即AM •CN=DC •AD ，4、解答：（1）将△BMC 绕B 点逆时针方向旋转，使C 点与A 点重合，得△BM ′A ， ∵∠MBM ′=60°，BM=BM ′，AM ′=MC ．∴△BMM ′为正三角形．∴MM ′=BM ．①若M ′在AM 上，则AM=AM ′+MM ′=BM+MC ，②若M ′不在AM 上，连接AM ′、MM ′，在△AMM ′中，根据三角形三边关系可知：AM ＜AM ′+MM ′，∴AM ＜BM+MC ，综上所述：AM ≤BM+CM ；（2）线段AM 有最大值．当且仅当M ′在AM 上时，AM=BM+MC ；存在的条件是：∠BMC=120°．5、解答：解：（1）∵△ABC 是正三角形，∴AB=AC ，∠BAC=60°，∵线段AP 以点A 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AP 1，∴AP=AP 1，∠PAP 1=60°，∵∠BAP+∠PAC=∠BAC=60°，∠CAP 1+∠PAC=∠PAP 1=60°，∴∠BAP=∠CAP 1，∵在△APB 与△AP 1C 中，∴△APB≌△AP1C（SAS）；（2）连结PP1，∴AP=AP1，∠PAP1=60°，∴△PAP1是等边三角形，∴PP1=AP=3，∠AP1P=60°，∵△APB≌△AP1C，∴CP1=BP=4，∵CP=5，∴PP12+CP12=CP2，∴△CP1P是直角三角形，∠CP1P=90°，∴∠APB=∠AP1P+∠CP1P=60°+90°=150°；。

旋转中的三种全等模型(手拉手、半角、对角互补模型)—2023-2024学年九年级数学上册(解析版)

旋转中的三类全等模型（手拉手、半角、对角互补模型）本专题重点分析旋转中的三类全等模型（手拉手、半角、对角互补模型），结合各类模型展示旋转中的变与不变，并结合经典例题和专项训练深度分析基本图形和归纳主要步骤，同时规范了解题步骤，提高数学的综合解题能力。

模型1.手拉手模型【模型解读】将两个三角形（或多边形）绕着公共顶点旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等。

其中：公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。

手拉模型解题思路：SAS型全等（核心在于导角，即等角加（减）公共角）。

1）双等边三角形型条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。

结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。

2）双等腰直角三角形型条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。

结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BFD。

3）双等腰三角形型条件：△ABC和△DCE均为等腰三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。

结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ACM=∠BFM；④CF平分∠BFD。

4）双正方形形型条件：△ABCFD和△CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。

结论：①△△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。

【答案】(1)40；(2)60；(3)【分析】（1）证明△COD是等边三角形，得到∠ODC=60°，即可得到答案；∠=∠ADC-∠ODC求出答案；（3）由△BOC≌△ADC，推出∠ADC=∠BOC=150°，AD=OB=8，根据（2）利用ODA△COD 是等边三角形，得到∠ODC=60°，OD=4OC =，证得△AOD 是直角三角形，利用勾股定理求出．【详解】（1）解：∵CO=CD ，∠OCD=60°，∴△COD 是等边三角形；∴∠ODC=60°，∵∠ADC=∠BOC=100α=︒，∴ODA ∠=∠ADC -∠ODC=40°，故答案为：40；（2）∵∠ADC=∠BOC=120α=︒，∴ODA ∠=∠ADC -∠ODC=60°，故答案为：60；（3）解：当150α=︒，即∠BOC=150°，∴△AOD 是直角三角形．∵△BOC ≌△ADC ，∴∠ADC=∠BOC=150°，AD=OB=8，又∵△COD 是等边三角形，∴∠ODC=60°，OD=4OC =，∴∠ADO=90°，即△AOD 是直角三角形，∴OA =故答案为：【点睛】本题以“空间与图形”中的核心知识（如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等）为载体，内容由浅入深，层层递进．试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法（如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等），能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力．备用图【答案】(1)△BEF 是等边三角形(2)证明见解析(3)131−【分析】（1）根据旋转即可证明△BEF 是等边三角形；（2）由△EBF 是等边三角形，可得FB=EB ，再证明∠FBA=∠EBC ，又因为AB=BC ，所以可证明△FBA ≌△EBC ，进而可得AF=CE ；（3）当点D ，E ，F 在同一直线上时，过B 作BM ⊥EF 于M ，再在Rt △BMD 中利用勾股定理列方程求解即可．（1）∵将线段EB 绕点E 顺时针旋转60°得到线段EF ，∴EB=EF ，60FEB =︒∠∴△BEF 是等边三角形（2）∵等边△ABC 和△BEF ∴BF=BE ，AB=BC ，60EBF ABC ∠=∠=︒∴EBF ABE ABC ABE ∠+∠=∠+∠即∠FBA=∠EBC∴△FBA ≌△EBC （SAS ）∴AF=CE（3）图形如图所示：过B 作BM ⊥EF 于M ，∵△BEF 是等边三角形∴2BE EM =，BM =∵点D 是AB 的中点，∴142BD AB == 在Rt △BMD 中，222BM DM BD +=∵DE=2∴222)(2)4EM ++=解得EM 或EM =（舍去）∴21BE EM == 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，解一元二次方程，利用手拉手模型构造全等三角形是解题的关键．例3．（2022·吉林·九年级期末）如图①，在ABC 中，90C ∠=︒，AC BC ==点D ，E 分别在边AC ，BC 上，且CD CE =AD BE =，AD BE ⊥成立．（1）将CDE △绕点C 逆时针旋转90︒时，在图②中补充图形，并直接写出BE 的长度；（2）当CDE △绕点C 逆时针旋转一周的过程中，AD 与BE 的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请你利用图③证明，若不成立请说明理由；（3）将CDE △绕点C 逆时针旋转一周的过程中，当A ，D ，E 三点在同一条直线上时，请直接写出AD 的长度．【答案】（1）补充图形见解析；BE =（2）AD BE =，AD BE ⊥仍然成立，证明见解析；（3）1AD或1=AD ．【分析】（1）根据旋转作图的方法作图，再根据勾股定理求出BE 的长即可；（2）根据SAS 证明E ACD BC ≅∆∆得AD=BE ，∠1=∠2，再根据∠1+∠3+∠4=90°得∠2∠3+∠4=90°，从而可得出结论；（3）分两种情况，运用勾股定理求解即可．【详解】解：（1）如图所示，根据题意得，点D 在BC 上，∴BCE ∆是直角三角形，且由勾股定理得，BE ==（2）AD BE =，AD BE ⊥仍然成立. 证明：延长AD 交BE 于点H ，∵90ACB DCE ∠=∠=︒，ACD ACB BCD ∠=∠−∠，BCE DCE BCD ∠=∠−∠，∴ACD BCE ∠=∠，又∵CD CE =，AC BC =，∴ACD BCE ≅△△，∴AD BE =，12∠=∠，在Rt ABC 中，13490∠+∠+∠=︒，∴23490∠+∠+∠=︒，∴90AHB ∠=︒，∴AD BE ⊥.（3）①当点D 在AC 上方时，如图1所示，同（2）可得ACD BCE ≅△△∴AD=BE 同理可证BE AE ⊥在Rt △CDE 中，CD CE =2=在Rt △ACB 中，AC BC =AB ==设AD=BE=x ，在Rt △ABE 中，222BE AE AB +=∴222(2)x x ++=解得,1x ∴ 1AD =②当点D 在AC 下方时，如图2所示，同（2）可得ACD BCE ≅△△∴AD=BE 同理可证BE AE ⊥在Rt △CDE 中，CD CE =2=在Rt △ACB 中，AC BC =AB ==设AD=BE=x ，在Rt △ABE 中，222BE AE AB +=∴222(2)x x +−=解得,x = ∴ 1AD .所以,AD 1【点睛】本题考查了旋转的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理等知识，熟练解答本题的关键．例4．（2022·黑龙江·虎林市九年级期末）已知Rt △ABC 中，AC =BC ，∠ACB ＝90°，F 为AB 边的中点，且DF =EF ，∠DFE ＝90°，D 是BC 上一个动点．如图1，当D 与C 重合时，易证：CD 2＋DB 2＝2DF 2；（1）当D 不与C 、B ，CD 、DB 、DF 有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．（2）当D 在BC 的延长线上时，如图3，CD 、DB 、DF 有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明．【答案】（1）CD2+DB2=2DF2 ；（2）CD2+DB2=2DF2，证明见解析【分析】（1）由已知得222DE DF =，连接CF ，BE ，证明CDF BEF ∆≅∆得CD=BE ，再证明BDE ∆为直角三角形，由勾股定理可得结论；（2）连接CF ，BE ，证明CDF BEF ∆≅∆得CD=BE ，再证明BDE ∆为直角三角形，由勾股定理可得结论．【详解】解：（1）CD2+DB2=2DF2证明：∵DF=EF ，∠DFE ＝90°，∴222DF EF DE += ∴222DE DF =连接CF ，BE ，如图∵△ABC 是等腰直角三角形，F 为斜边AB 的中点∴CF BF =， CF AB ⊥，即90CFB ∠=︒ ∴45FCB FBC ∠=∠=︒，90CFD DFB ∠+∠=︒又90DFB EFB ∠+∠=︒ ∴CFD EFB ∠=∠在CFD ∆和BFE ∆中CF BF CFD BFE DF EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴CFD ∆≅BFE ∆∴CD BE =，45EBF FCB ∠=∠=︒ ∴454590DBF EBF ∠+∠=︒+︒=︒ ∴222DB BE DE +=∵CD BE =，222DE DF =∴CD2+DB2=2DF2 ；（2）CD2+DB2=2DF2 证明：连接BE∵CF=BF ，DF=EF 又∵∠DFC+∠CFE=∠EFB+∠CFB=90°∴∠DFC=∠EFB ∴△DFC ≌△EFB ∴CD=BE ，∠DCF=∠EBF=135°∵∠EBD=∠EBF －∠FBD=135°－45°=90° 在Rt △DBE 中，BE2+DB2=DE2∵ DE2=2DF2 ∴ CD2+DB2=2DF2【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、证明三角形全等是解决问题的关键，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．例5．（2022·山西大同·九年级期中）综合与实践：已知ABC 是等腰三角形，AB AC =．（1）特殊情形：如图1，当DE ∥BC 时，DB ______EC ．（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）发现结论：若将图1中的ADE 绕点A 顺时针旋转α（0180α︒<<︒）到图2所示的位置，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（3）拓展运用：某学习小组在解答问题：“如图3，点P 是等腰直角三角形ABC 内一点，90BAC ∠=︒，且1BP =，2AP =，3CP =，求BPA ∠的度数”时，小明发现可以利用旋转的知识，将BAP △绕点A 顺时针旋转90°得到CAE V ，连接PE ，构造新图形解决问题．请你根据小明的发现直接写出BPA ∠的度数．【答案】（1）=；（2）成立，理由见解析；（3）∠BPA=135°．【分析】（1）由DE ∥BC ，得到∠ADE=∠B ，∠AED=∠C ，结合AB=AC ，得到DB=EC ；（2）由旋转得到的结论判断出△DAB ≌△EAC ，得到DB=CE ；（3）由旋转构造出△APB ≌△AEC ，再用勾股定理计算出PE ，然后用勾股定理逆定理判断出△PEC 是直角三角形，在简单计算即可．【详解】解：（1）∵DE ∥BC ，∴∠ADE=∠B ，∠AED=∠C ，∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∴∠ADE=∠AED AD=AE ，∴DB=EC ，故答案为：=；（2）成立．证明：由①易知AD=AE ，∴由旋转性质可知∠DAB=∠EAC ，在△DAB 和△EAC 中AD AE DAB EAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAB ≌△EAC （SAS ），∴DB=CE ；（3）如图，将△APB 绕点A 旋转90°得△AEC ，连接PE ，∴△APB ≌△AEC ，∴AE=AP=2，EC=BP=1，∠PAE=90°，∴∠AEP=∠APE=45°，在Rt △PAE 中，由勾股定理可得，在△PEC 中，PE2=（2=8，CE2=12=1，PC2=32=9，∵PE2+CE2=PA2，∴△PEC 是直角三角形，∴∠PEC=90°，∴∠AEC=135°，又∵△APB ≌△AEC ，∴∠BPA=∠CEA=135°．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理及其逆定理，解本题的关键是构造全等三角形，也是本题的难点．【答案】（1）见解析；（2）48；（3）15︒【分析】（1）通过边角边判定三角形全等；（2）连接,BD GE ，设,BG DE 交于点O ，,DE CG 交于点M ，先证明DE BG ⊥，由勾股定理可得2222DG BE DB GE +=+；（3）作CK GE ⊥于点K ，则122CK GE ==，且1452GCK GCE ∠=∠=︒，由含30度角的直角三角形的性质求解．【详解】（1）四边形ABCE 与CEFG 为正方形，CG CE =，90BCG DCE ∠=∠=︒，90BCG α=∠︒+，90DCE α∠=︒+，BCG DCE ∴∠=∠，在BCG 和DCE △中，BC DC BCG DCECG CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩BCG DCE ∴≌ (SAS)，（2）连接,BD GE ，设,BG DE 交于点O ，,DE CG 交于点M ，90BCG α=∠︒+，90DCE α∠=︒+，BCG DCE ∴∠=∠，在△BCG 和DCE △中，BC DC BCG DCE CG CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS BCG DCE ∴△≌，BGC DEC ∠=∠，GMO EMC ∠=∠，18090GOM GMO BGC EMC DEC GCE ∴∠=︒−∠−∠=︒−∠−∠=∠=︒DE BG ∴⊥，由勾股定理得222DG DO GO =+，222BE OB OE =+，22222222DG BE DO GO OB OE DB GE ∴+=+++=+，4,AB CG ==，BD ∴==4GE ==，2222(448DG BE ++∴==，(3)作CK GE ⊥于点K ，如图，△CEG 为等腰直角三角形，122CK GE ==，且1452GCK GCE ∠=∠=︒，在Rt CDK 中，12CK CD =，30CDK ∴∠=︒，903060DCK ∴∠=︒−︒=︒， 604515DCG DCK GCK =∠−∠=︒−︒=︒∠．∴15α=︒．【点睛】本题考查四边形与三角形的综合问题，解题关键是熟练掌握正方形与直角三角形的性质，通过添加辅助线求解．模型2.半角模型【模型解读】半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半思想方法：通过旋转构造全等三角形，实现线段的转化1）正方形半角模型条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④∆AEF的周长=2AB；⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。

直角三角形的性质与定理

直角三角形的性质与定理直角三角形是指一个三角形中有一个内角为90度的三角形。

在数学中，直角三角形有许多独特的性质与定理。

本文将介绍直角三角形的一些重要性质与定理。

1. 勾股定理直角三角形的最著名与最基本的定理是勾股定理。

它描述了直角三角形的三条边之间的关系。

勾股定理表述如下：在一个直角三角形中，设直角边（斜边边角的对边）的长度为a，另外两条非直角边的长度分别为b和c，那么有以下的关系：a² = b² + c²这个定理可以用来求解直角三角形的边长，也是解决许多几何问题的关键。

2. 正弦定理正弦定理是另一个重要的直角三角形的定理，它描述了直角三角形中角度与边长之间的关系。

正弦定理可以用于求解直角三角形中的角度以及边长的比例。

正弦定理可以表述如下：在一个直角三角形中，设直角边（斜边边角的对边）的长度为a，另外两条非直角边的长度分别为b和c，那么有以下的关系：sinA = b / csinB = a / csinC = a / b其中A、B、C为直角三角形的三个角度。

3. 余弦定理余弦定理也是直角三角形的一个重要定理，它描述了直角三角形中角度与边长之间的关系。

余弦定理可以用于求解直角三角形中的角度以及边长的比例。

余弦定理可以表述如下：在一个直角三角形中，设直角边（斜边边角的对边）的长度为a，另外两条非直角边的长度分别为b和c，那么有以下的关系：cosA = b / ccosB = a / ccosC = a / b同样，A、B、C为直角三角形的三个角度。

4. 直角三角形的旋转对称性直角三角形具有旋转对称性，即围绕直角边旋转90度后，仍然得到一个与原直角三角形相似的三角形。

这个性质可以用来证明许多相关的定理以及进行相关的几何推导。

以上是直角三角形的一些重要性质与定理。

通过了解和应用这些定理，我们能够更好地理解和解决与直角三角形相关的问题。

直角三角形作为几何学中的基础形状，在数学和实际应用中具有广泛的应用价值。

三角形旋转 (2)讲解

如图，△ABC 内接于⊙O，点 D 在半径 OB 的延长线上，∠BCD=∠A=30°。

若⊙O 的半径长为 1，求由弧 BC、线段 CD 和 BD 所围成的阴影部分面积【结果保留 π 和根号】。

连接 OB ∵∠A=30° ∴∠BOC=60° ∵OB=OC ∴∠OBC=60° ∵∠BCD=30° ∴∠D=30° ∴∠OCD=180°-60°-30°=90° ∴CD 与⊙O 相切阴影的面积=S△OCD-扇形 OCB 的面积 ∵∠D=30° ∴ DC=√3 S△OCD=1X√3X1/2=√3/2 扇形 OCB 的面积=1/6S⊙O=1/6π ∴阴影的面积=√3/2-1/6π（ 2013 •毕节地区）四边形 ABCD 是正方形， E 、 F 分别是 DC 和 CB 的延长线上的点，且 DE=BF ，连接 AE 、 AF 、 EF ．（ 1 ）求证： △ ADE ≌ △ ABF ；（ 2 ）填空： △ ABF 可以由 △ ADE 绕旋转中心点，按顺时针方向旋转（3）若 BC=8，DE=6，求△AEF 的面积．(1)证明:∵AD=AB,DE=BF,∠ABF=∠ADE,∴△ADE≌△ABF；(SAS) (2)△ABF 可以由△ADE 绕旋转中心点 A，按顺时针方向旋转 90 度得到； (3)AD=BC=8,DE=6,∴AE=10(勾股数) ∵△ADE≌△ABF,∴AF=AE=10,∠DAE=∠BAF, ∴∠DAE+∠EAB=∠BAF+∠EAB=∠DAB=90° , ∴S△AEF=AF•AE/2=10×10/2=50等式的基本性质是什么？性质 1.“等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立” 性质 2.“等式两边同时乘或除以同一个数(除数不能为 0)，等式仍然成立” 性质的应用：去分母、移项的依据是等式的性质 1；系数化为一的依据是等式的性质 2；去括号的依据是乘法分配律合并同类项的依据是乘分配律的逆用【 1. 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。

八年级数学上册第二章等边三角形知识点与训练(含解析)苏科版(2021-2022学年)

等边三角形一．等边三角形的概念等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.等边三角形是一种特殊的等腰三角形.二.等边三角形的性质等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于．三．等边三角形的判定判定1:三个角都相等的三角形是等边三角形.判定2:有一个角是的等腰三角形是等边三角形.四.直角三角形性质定理在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．证明:,,延长至使，则有垂直平分，所以,因为，所以是等边三角形,所以,即.五．等边三角形与全等三角形综合等边三角形与全等三角形综合问题主要分两种类型:一是以等边三角形为载体来考察全等三角形的综合问题;二是利用全等三角形的性质和判定证明三角形是等边三角形．不管是哪种类型都要注意６0°角和边的等量关系的应用，尤其是后面学习旋转之后，会出现一些比较难的等边三角形和全等三角形结合的问题.一．考点:1.等边三角形的性质与判定; 2．直角三角形性质定理；3.等边三角形与全等三角形综合.60︒60︒30︒B'CBA90A C B ∠=︒30A ∠=︒BC 'B 'CB C B =AC 'BB 'A B A B =60B ∠=︒'A B B △'2A B B B B C ==12BC AB=二．重难点:１.等边三角形是特殊的等腰三角形,具有等腰三角形的所有性质.做题时常作为隐藏条件考察．２.等边三角形的判定用定义判断的不多,一般都是利用有一个角是的等腰三角形是等边三角形来判定,所以在构造全等是要注意同时兼顾边相等，并且可以推导出有一个角为60°．3．等边三角形的性质非常特殊，在证明或计算中要注意边角之间的转化，尤其是含30°角的直角三角形中边的关系．4．在解决建立在等边三角形基础上的全等综合问题时，关键是抓住边相等，角度都是特殊角.三.易错点:在利用直角三角形性质定理的过程中,需要注意两点:一是必须在直角三角形中才能运用,锐角三角形和钝角三角形均不存在上述关系；二是一定要注意是所对的直角边等于斜边的一半.题模一：等边三角形的性质例１.1。

沪教版八年级(上)数学秋季课程第18讲直角三角形的判定、性质和推论

直角三角形是特殊的三角形，本节主要讨论直角三角形全等的判定定理和性质，难点是直角三角形的性质及应用．综合性较强，会牵涉到辅助线的添加，连接中线，将散落的条件集中到直角三角形中进行求解．1、直角三角形全等的判定方法：（1）直角三角形是特殊的三角形，对于一般三角形全等的判定方法，直角三角形都适用；（2）直角三角形还有一个特殊的判定方法：有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等（简记“H．L”）．直角三角形的全等判定及性质知识结构模块一：直角三角形全等的判定知识精讲内容分析【例1】如图，∠D =∠C =90°，请添加一个条件，使得△ABC ≌△BAD ，并在括号内写出判定的依据。

（1）AD =__________()；（2）∠DAB =_________ ()．【例2】已知：如图，EF ⊥AD ，BC ⊥AD ，AG =DH ，AF =DC ，那么图中全等的三角形共有______对．【例3】下列命题中，正确的个数是()①两条边分别相等的两个直角三角形全等； ②斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等； ③斜边相等的两个等腰直角三角形全等． A ．3B ．2C ．1D ．0【例4】已知：如图，AC ⊥BC ，AD ⊥BD ，AD =BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F ，求证：CE =DF ．例题解析BACDABC DEFGOH EABCDF【例5】如图，已知：Rt△ABC中，∠ACB是直角，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB 的垂线交AC于E，求证：CD⊥BE．【例6】如图，△ABC中，AB⊥BC，AD平分∠BAC，DF⊥AC，ED=CD．求证：AC =AE+2BE．【例7】如图1，点A、E、F、C在一条直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC．若AB=CD，（1）BD与EF有什么关系?为什么?（2）若变为图2所示位置，结论是否仍然成立?请说明理由．ABCDEAB CDEFABC DE FGABCDEFG图2图1【例8】在直角△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，直线l 为经过点A 的任一直线，BD ⊥l于点D ，CE ⊥l 于点E ，若BD >CE ，试问：（1） AD 与CE 的大小关系如何?请说明理由；（2）线段BD 、DE 、CE 之间的数量关系如何?你能说明清楚吗?试一试．【例9】如图，在△ABC 中，AB =AC ，DE 是过点A 的直线，BD ⊥DE 于D ，CE ⊥DE 于E ．（1）若BC 在DE 的同侧（如图1），且AD =CE ，求证：AB ⊥AC ．（2）若BC 在DE 的两侧（如图2），其他的条件不变，问AB 与AC 仍垂直吗?若是，请予以证明，若不是，请说明理由．图1ABCDElABCDE图2ABCD E【例10】如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是斜边AB 上的高，在AB 上截取AE =AC ，过点E 作EF ∥CD 、交BC 边于点F ，EG 垂直BC 于点G ，求证：DE=EG ．2、两个性质：（1）直角三角形的两个锐角互余；（2）在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半．如果有直角三角形，作斜边的中线这条辅助线，可达到解决问题的目的．【例11】如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ：（1）若∠B =55°，则∠A =________；（2）若∠B ∠A =10°，则∠B =_________；（3）图中与∠A 互余的角有_________，与∠A 相等的角有_________．模块二：直角三角形的性质例题解析知识精讲ABCDEFGABCD【例12】如图，已知，四边形ABCD 中，∠ABC =∠ADC =90°，M 、N 分别是AC 、BD 中点．求证：MN ⊥BD ．【例13】如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB 的中垂线交AB 于E 、AC 于D ，BD 、CE交于F ，设∠A =y ，∠DFC =x ，（1）求证：∠CDB =∠CEB ；（2）用x 的代数式表示y ．【例14】如图ABC ∆中，AD 是BC 边上的高，CF 是AB 边的中线，BF =DC ，P 是CF 中点．求证：（1）DP FC ⊥；（2）2B BCF ∠=∠．【例15】如图，AB ，CD 交于点O ，且BD=BO ，CA =CO ，E 、F 、M 分别是OD 、OA 、BC 的中点，求证：ME MF =．ABC DE FO M AB C DMN A B CD EABCDP F【例16】如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，若∠B 与∠C 互余，则MN 与(BC -AD )的关系是什么?【例17】如图，已知在钝角∆ABC 中，AC 、BC 边上的高分别是BE 、AD ，BE 、AD 的延长线交于点H ，点F 、G 分别是BH 、AC 的中点．（1）求证：∠FDG =90°；（2）连结FG ，试问∆FDG 能否为等腰直角三角形?若能，试确定∠ABC 的度数，并写出你的推理过程；若不能，请简要说明理由．【例18】如图，等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AD 为腰CB 上的中线，CE ⊥AD交AB 于E ．求证：∠CDA ＝∠EDB ．【例19】如图，点A 、B 、C 在同一直线上，在直线AC 的同侧作△ABE 和△BCF ，连接AF 、CE ，取AF 、CE 的中点M 、N ，连接MB 、NB 、NM ．BE FHD AGCABC DE12ABCDMN（1）若△ABE 和△FBC 是等腰直角三角形，且∠ABE =∠FBC =90°，如图1所示，则△MBN 是_____________三角形；（2）若△ABE 和△FBC 中，BA =BE ，BC =BF ，且∠ABE =∠FBC =α，如图2所示，则△MBN 是_____________三角形，且∠MBN =_______；（3）若（2）中的△ABE 绕点B 旋转一定的角度，如图3，其他的条件不变那么（2）中的结论是否成立?若成立，给出你的证明，若不成立，写出正确的结论并给出证明．【例20】已知，如图，在△ABC 中，边AB 上的高CF 、边BC 上的高AD 与边CA 上的高BE 交于点H ，连接EF ，AH 和BC 的中点为N 、M ．求证：MN 是线段EF 的中垂线．A BCDE FNHMABC MEFN 图2ABCNEFM图1ABCEFNM图33、推论：（1）在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半；（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．【例21】（1）△ABC 中，AB =AC =6，∠B =30°，则BC 边上的高AD =________；（2）△ABC 中，AB =AC ，AB 上的高CD =12AB ，则顶角∠BAC =_______．【例22】如图，在矩形ABCD 中，AB =2BC ，在CD 上取一点E ，使AE =AB ，则∠EBC 的度数为__________．【例23】已知：如图，在△ABC 中，BA =BC ，∠B =120°，AB 的垂直平分线MN 交AC 于例题解析模块三：直角三角形性质的推论知识精讲ABCDEABCDMEDCBAD ，求证：12AD DC ．【例24】已知：如图，Rt △ABC 和Rt △ABD 中，DA =DB ，∠ADB =90°，BC =12AB ， ∠ACB =90°，DE ⊥AB ，联结DC ，求∠EDC 的大小．【例25】已知如图，在直角△ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，D 为AB 上一点，且BD =14AB ．求证：CD ⊥AB ．【例26】已知等边△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 上的点，且AE =CD ，AD 与BE 相交于点F ，过点B 作BG ⊥AD ，垂足为G ，（1）求FG ：BF 的值；（2）若D 、E 分别在BC 、CA 的延长线上，其他条件都不变，上述结论是否仍然成立，请说明理由．【例27】在△ABC 中，已知∠A =60°，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，点D 是BC 中点. （1）如果AB =AC ，求证△DEF 为等边三角形；（2）如果AB ≠AC ，试猜想△DEF 是不是等边三角形，若是，请加以证明，若不是，请说明理由；（3）如果CM =4，FM =5，求BE 的长度．ABCDEFGABCDA E FM【例28】已知∠MAN ，AC 平分∠MAN ，（1）在图1中，若∠MAN =120°，∠ABC =∠ADC =90°，求证：AB +AD =AC . （2）在图2中，若∠MAN =120°，∠ABC +∠ADC =180°，则(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【习题1】下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（）．A ．两条直角边对应相等B ．斜边一个锐角对应相等C ．一条直角边和一条斜边对应相等D ．一条边和一个角对应相等【习题2】如图在△ABC 中，∠ACB =90°，在AB 上截取AE =AC ，BD =BC ，则∠DCE =_________．【习题3】如图在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，∠A =30°，则AD =_____AB随堂检测ABCDABCD MNNABCD M【习题4】如图，在直角△ABC 在，∠ACB =90°，AB =8cm ，D 为AB 的中点，DE ⊥AC 于E ，∠A =30°，求BC 、CD 和DE 的长．【习题5】如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ,BE ⊥AC 于点E ，交AD 于点H ，且AD=BD ，AC=BH ，连接CH ．求证：∠ABC =∠BCH ．【习题6】如图，已知，在锐角三角形ABC 中，∠ABC =2∠C ，AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于点F ，求证：BF =BD ．【习题7】如图，在△ABC 中，BE ⊥AC 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，D 是边BC 的中点，连接DF 、EF 、DE ．（1）求证：ED =DF ；（2）若△DEF 是等边三角形，则△ABC 应满足什么条件?【习题8】如图，AD ∥BC ，且BD ⊥CD ，BD = CD ，AC = BC ．求证：AB = BO ．A BC DE ABCDEHAB CDEFAC BE FD【习题9】已知：如图在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，CE 是AB 上的中线，DC =BE ，DG ⊥CE ，垂足为点G ．求证：∠AEC =3∠DCE ．【习题10】如图，在等边三角形ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 上的一点，且AE =CD ，AD与BE 相交于点F ，CF ⊥BE . 求AF ：BF 的值．【习题11】如图，在直角三角形ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，以AB 为边向外作等边三角形ABD ，AE ⊥BD 于点E ，AE 交CD 于点M . （1）线段DM 与线段BC 有怎样的数量关系?并证明；（2）若△ABC 于△ABD 在AB 的同侧，CD 的延长线与AE 的延长线交于点M ，请在图2中画出△ABD 与点M ；线段DM 与BC 仍有（1）中的数量关系吗?并证明．ABCDE GABCDFE ABDMEABDOC课后作业【作业1】下列命题中，正确的有()个（1）腰长及底边上的高对应相等的两个等腰三角形全等（2）有一直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等（3）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等A．0B．1C．2D．3【作业2】（1）直角△ABC 中，∠C =90°，CD ⊥AB ，点E 是AB 的中点，∠ACD=25°，则∠ECB =__________；（2）直角△ABC 中，∠C =90°，CD ⊥AB ，点E 是AB 的中点，∠DCE=10°，则∠B =______________．【作业3】如图，ABC ∆中，AB AC =，DB DC =，DE AC ⊥，2AC AD =，8AB =，则AD =________，AE =____________．【作业4】（1）等腰三角形底角是75°，腰长为9，则此三角形的面积是_______；（2）等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角的度数是_____________．【作业5】已知：AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，点E 在BC 上，且AE =AD ，AB =BC ，求证：CE =CD ．D ABCEABCDE ABCDE【作业6】已知：如图，△ABC 中，∠B =40°，∠C =20°，DA ⊥CA ，求证：CD=2AB ．【作业7】如图，已知：△ABC 中，AB =AC ，∠A=60°，BD =CD ，BE ∥AC ，DE ⊥BE ，求证：4BE=AC .【作业8】在等腰直角△ABC 中，D 是斜边AB 的中点，E 、F 分别在直线AC 、BC 上，且AE =CF ，联结DE 、DF 、EF ，试判断△DEF 的形状，并加以证明．【作业9】已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =∠ADC =90°，AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别为AC 、BD 的中点．（1）求证：MN ⊥BD ；ABCDABCD EABCDEFADM（2）当∠BAC =15°，AC =10，OB =OM 时，求MN 的长【作业10】已知：等腰直角△ABC 中，O 是斜边AC 的中点，P 是斜边AC 上的一个动点，D 是线段BC 上的一点，且BP =PD ，过点D 作AC 边上的高DE ，求证：PE =BO ．【作业11】如图1，已知点D 在AC 上，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，点M 为EC 的中点．（1）求证：△BMD 为等腰直角三角形；（2）将△ADE 绕点A 逆时针旋转45°，如图2所示，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由；（3）将△ADE 绕点A 逆时针旋转135°，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由．ABCDPEO图1 ABCDEMA BCDE图2 MB。

共顶点等腰三角形旋转模型的基本做法与结论

共顶点等腰三角形旋转模型的基本做法与结论共顶点等腰三角形旋转模型是数学中常见的几何问题，它涉及到旋转、对称等概念与性质。

本文将以共顶点等腰三角形旋转模型为主题，探讨其基本做法与结论。

一、问题描述我们考虑一个共顶点等腰三角形ABC，其中AB=AC，以A为顶点作一条直线AD，且AD与BC相交于点D。

现在，我们将等腰三角形ABC绕点D进行旋转，旋转角度为θ，求旋转后的三角形A'B'C'的性质。

二、基本做法1. 确定旋转后的三角形根据旋转的定义，我们知道旋转是将一个图形绕着某个点旋转一定角度，得到一个新的图形。

在本题中，我们将等腰三角形ABC绕点D旋转，因此旋转后的三角形为A'B'C'。

2. 确定旋转角度旋转角度θ是一个关键的参数，它决定了旋转后的图形与原图形的关系。

在本题中，我们需要确定旋转角度θ的值。

3. 分析旋转后的三角形性质旋转后的三角形A'B'C'与原三角形ABC之间存在一些性质的关系，我们需要分析旋转后的三角形的各个性质，如边长、角度等。

三、结论通过对共顶点等腰三角形旋转模型的分析和计算，我们得出以下结论：1. 旋转后的三角形A'B'C'也是一个等腰三角形，即A'B' = A'C'；2. 旋转后的三角形A'B'C'与原三角形ABC共顶点A，即A'、B'、C'三点共线。

这些结论可以通过具体的计算和证明进行验证，但在本文中我们不做具体的推导和证明。

四、实际应用共顶点等腰三角形旋转模型在几何学中具有重要的应用价值。

例如，在建筑设计中，我们常常需要通过旋转来生成对称的图形，而共顶点等腰三角形旋转模型就是一种常用的方法。

通过对旋转后的图形进行分析，我们可以更好地理解建筑物的结构和形态，并进行合理的设计和规划。

在计算机图形学中，共顶点等腰三角形旋转模型也是一种常见的变换操作。

北师大版七年级数学下册第四章全等三角形的性质和判定的归纳总结 (无答案)

全等三角形的性质及判定运用知识清单全等三角形的认识与性质全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形．全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形．全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等．全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等．全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”．全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．考点扫描板块一全等三角形的认识【例1】 (四川遂宁)已知ABC ∆中，AB BC AC =≠，作与ABC ∆只有一条公共边，且与ABC ∆全等的三角形，这样的三角形一共能作出个．【例2】如图所示，ABD CDB ∆∆≌，下面四个结论中，不正确的是（）A.ABD ∆和CDB ∆的面积相等B.ABD ∆和CDB ∆的周长相等C.A ABD C CBD ∠+∠=∠+∠D.AD BC ∥，且AD BC =【拓展延伸1】已知ABC DEF ≌△△，DEF △的周长为32cm ，912DE cm EF cm ==，，则AB = ，BC = ，AC = ．板块二、三角形全等的判定与应用DCBA全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．判定三角形全等的基本思路：SAS HL SSS →⎧⎪→⎨⎪→⎩找夹角已知两边找直角找另一边ASA AAS SAS AAS ⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩边为角的对边→找任意一角→ 找这条边上的另一角→已知一边一角边就是角的一条边找这条边上的对角→ 找该角的另一边→ ASAAAS →⎧⎨→⎩找两角的夹边已知两角找任意一边全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式： ⑴ 平移全等型⑵ 对称全等型⑶ 旋转全等型由全等可得到的相关定理：⑴ 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．⑵ 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上．⑶ 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)． ⑷ 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合．⑸ 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)． ⑹ 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．⑺ 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．平移全等模型【例3】已知：如图，AB DE ∥，AC DF ∥，BE CF =．求证：AB DE =．【例4】如图，AC DE ∥，BC EF ∥，AC DE =．求证：AF BD =．【拓展延伸1】如图所示：AB CD ∥，AB CD =．求证：AD BC ∥．对称全等模型【例5】已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB DC =，BE CF =，B C ∠=∠．求证：OA OD =．【拓展延伸1】已知：如图，AD BC =，AC BD =，求证：C D ∠=∠．【拓展延伸2】已知，如图，AB AC =，CE AB ⊥，BF AC ⊥，求证：BF CE =．【例6】如图所示，已知AB DC =，AE DF =，CE BF =，证明：AF DE =．【拓展延伸1】在凸五边形中，B E ∠=∠，C D ∠=∠，BC DE =，M 为CD 中点．求证：AM CD ⊥．基本旋转全等模型【例7】（成都市高中阶段教育学校统一招生考试)如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 为CD 中点，连结AE 并延长AE 交BC 的延长线于点F ．求证：FC AD =．【例8】如图，AB CD ，相交于点O ，OA OB =，E 、F 为CD 上两点，AE BF ∥，CE DF =．求证：AC BD ∥．【例9】已知：BD CE 、是ABC ∆的高，点P 在BD 的延长线上，BP AC =，点Q 在CE 上，CQ AB =，求证：⑴AP AQ =；⑵AP AQ ⊥．F DC BAM EDC BAK 字型模型【例10】 E 、F 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 边上的点，且BE CF =．求证：AE BF ⊥．【拓展延伸】E 、F 、G 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点，GE EF ⊥，GE EF =．求证：BG CF BC +=．课后作业1、判定两个三角形全等的方法是：⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ ；⑸ ；⑹ ．全等三角形的性质是对应边、对应角、周长、面积都分别．2、不能确定两个三角形全等的条件是（）A ．三边对应相等B ．两边及其夹角相等C ．两角和任一边对应相等D ．三个角对应相等3、如图，ABC △中，90C AC BC AD ∠=︒=，，平分CAB ∠交BC 于D ，DE AB ⊥于E 且6AB cm =，则DEB △的周长为（）A ．40 cmB ．6 cmC ．8cmD ．10cmPDQCBEAEDCBA4、如图，△ABC ≌ΔADE ，若∠B ＝80°，∠C ＝30°，∠DAC ＝35°，则∠EAC 的度数为（） A ．40°B ．35°C ．30°D ．25°5、已知：如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是CD 的中点，BE 的延长线与AD 的延长线相交于点F ．求证：BCE FDE ∆∆≌．6、如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DAE ∠．7、如图所示，C 是AB 的中点，CD CE =，DCA ECB ∠=∠，求证DAE EBD ∠=∠．8、如图，AB AC =，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，AM CD ⊥于M ，AN BE ⊥于N ．求证：AM AN =．全等三角形与旋转问题知识清单把图形G 绕平面上的一个定点O 旋转一个角度θ，得到图形G '，这样的由图形G 到G '变换叫做旋转变换，点O 叫做旋转中心，θ叫做旋转角，G '叫做G 的象；G 叫做G '的原象，无论是什么图形，在旋转变换下，象与原象是全等形．很明显，旋转变换具有以下基本性质：①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等； ②对应直线的交角等于旋转角．旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中，以便于诸条件的综合与推演．考点扫描“拉手”模型【例1】已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．求证：AN BM =．【例2】如图，B ，C ，E 三点共线，且ABC ∆与DCE ∆是等边三角形，连结BD ，AE 分别交AC ，DC于M ，N 点．求证：CM CN =．【拓展延伸1】已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．求证：CF 平分AFB ∠．【拓展延伸2】如图，点为线段上一点，、是等边三角形，是中点，是中点，求证：是等边三角形．C AB ACM ∆CBN ∆D ANE BM CDE ∆等边三角形共顶点模型【例3】如图，等边三角形与等边共顶点于点．求证：．等腰直角三角形共顶点问题【例4】如图，等腰直角三角形中，，，为中点，．求证：为定值．【拓展延伸1】如图，正方形绕正方形中点旋转，其交点为、，求证：．正方形旋转模型【例5】、分别是正方形的边、上的点，且，，为垂足，求证：．ABC ∆DEC ∆C AE BD=ABC 90B =︒∠AB a =O AC EO OF ⊥BE BF+OGHK ABCD O E F AE CF AB +=E F ABCD BC CD 45EAF =︒∠AH EF ⊥H AH AB =【拓展延伸1】如图，正方形的边长为，点在线段上运动，平分交边于点．求证：．【例6】以△ ABC 的两边AB 、AC 为边向外作正方形ABDE 、ACFG ，求证：CE=BG ，且CE ⊥BG ．对角和180°模型【例7】如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120o 的等腰三角形，以D 为顶点作一个60o 的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．ABCD 1F CD AE BAF ∠BC E AF DF BE =+OGFEDCA【例8】 (1)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=∠BAD ．求证：EF ＝BE FD;(2) 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠ B+∠ D ＝，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠ EAF=∠ BAD ， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明．90︒12+FED CBA180︒12FEDB A课后作业1、如图，已知和都是等边三角形，、、在一条直线上，试说明与相等的理由．2、(湖北省黄冈市初中毕业生升学考试)已知：如图，点是正方形的边上任意一点，过点作交的延长线于点．求证：．3、已知：如图，点为线段上一点，、是等边三角形．、分别是、的高．求证：．4、在等腰直角中，，，是的中点，点从出发向运动，交于点，试说明的形状和面积将如何变化．5、如图，正方形中，．求证：．ABC ∆ADE ∆B C D CE AC CD+E ABCD AB D DF DE ⊥BC F DE DF=C AB ACM ∆CBN ∆CG CH ACN ∆MCB ∆CG CH=ABC ∆90ACB ∠=o AC BC =M AB P B C MQ MP ⊥AC Q MPQ∆ABCD FAD FAE ∠=∠BE DF AE +=6、等边和等边的边长均为1，是上异于的任意一点，是上一点，满足，当移动时，试判断的形状．全等三角形与中点问题知识清单三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合) 三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．中线中位线相关问题(涉及中点的问题)见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．考点扫描倍长中线模型【例1】在△ABC 中，9,5==AC AB ，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？【拓展延伸1】已知：ABC ∆中，AM 是中线．求证：1()2AM AB AC <+．ABD ∆CBD ∆E BE AD ⊥A D 、F CD 1AE CF +=E F 、BEF∆【例2】如图，ABC ∆中，<AB AC ，AD 是中线．求证：<DAC DAB ∠∠．【拓展延伸1】如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．【例3】如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．求证：EF ∥AB类倍长中线模型【例4】已知AD 为ABC ∆的中线，ADB ∠，ADC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．【拓展延伸1】在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且ED FD ⊥．以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？中位线的运用【例5】已知，如图四边形ABCD 中，AD BC =，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，AD 、EF 、BC的延长线分别交于M 、N 两点．求证：AME BNE ∠=∠．【例6】在四边形ABCD 中，设M ,N 分别为CD ,AB 的中点，求证()12MN AD BC +≤，当且仅当AD BC ∥时等号成立．【例7】如图，在五边形ABCDE 中，，BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：BF EF =．课后作业1、如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，过A 作AE DE ⊥，AF DF ⊥，且AE AF =．求证：EDB FDC ∠=∠．2、如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，AF 与EF 相等吗？为什么？3、如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交EF 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．全等三角形与角平分线问题知识清单与角平分线相关全等问题角平分线的两个性质：⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等； ⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性．角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3． OA OB =，这种对称的图形应用得也较为普遍，考点扫描角平分线基本性质与全等的关系【例1】已知ABC ∆中，AB AC =，BE 、CD 分别是ABC ∠及ACB ∠平分线．求证：CD BE =．【例2】如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DAE ∠．【拓展延伸1】如图，已知E 是AC 上的一点，又12∠=∠，34∠=∠．求证：ED EB =．【拓展延伸2】如图所示，OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，OA OC =，OB OD =．求证：AB CD =．两边作垂线问题【例3】如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，过C 作CE AB E ⊥于，并且1()2AE AB AD =+，则ABC ADC ∠+∠等于多少？【拓展延伸1】ABC ∆中，D 为BC 中点，DE BC ⊥交BAC ∠的平分线于点E ，EF AB ⊥于F EG AC⊥于G ．求证：BF CG =．作角平分线的垂线问题【例4】如图所示，在ABC ∆中，AC AB >，M 为BC 的中点，AD 是BAC ∠的平分线，若CF AD ⊥且交AD 的延长线于F ，求证()12MF AC AB =-．【例5】如图所示，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD AB =，CM AD ⊥于M ，求证2AB AC AM +=．取线段长度相等【例6】如图所示，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，A ∠的平分线AE 交DC 于E ，求证：当BE 是B ∠的平分线时，有AD BC AB +=．【例7】如图，在ABC ∆中，AB BD AC +=，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：2B C ∠=∠．课后作业1、在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AB BD AC +=．求:B C ∠∠的值．2、如图，ABC ∆中，AB AC =，BD 、CE 分别为两底角的外角平分线，AD BD ⊥于D ，AE CE ⊥于E ．求证：AD AE =．3、如图，已知在ABC ∆中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．4、如图，180A D ∠+∠=︒，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，点E 在AD 上．① 探讨线段AB 、CD 和BC 之间的等量关系． ② 探讨线段BE 与CE 之间的位置关系．全等三角形截长补短及方法总结知识清单常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．2) 遇到三角形的中点或中线，倍长中线或倍长类中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”.5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．考点扫描截长模型【例1】已知ABC ∆中，60A ∠=o ，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．【例2】如图所示，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，A ∠的平分线AE 交DC 于E ，求证：当BE 是B ∠的平分线时，有AD BC AB +=．“补短”模型【例3】已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE .【例4】点M ，N 在等边三角形ABC 的AB 边上运动，BD =DC ，∠BDC =120°，∠MDN =60°，求证MN =MB +NC ．补形法【例5】如图，在四边形ABCD 中，90A C ︒∠=∠=，AB AD =，若这个四边形的面积为16，则BC CD+=___________.对称法【例6】如图，ABC △中，由点A 作BC 边上的高线，垂足为D . 如果2C B ∠=∠，求证：AC CD BD +=.旋转法【例7】正方形ABCD 中，E 为上的一点，F 为CD 上的一点，BE DF EF +=，求EAF ∠的度数.【拓展延伸1】如图所示．正方形ABCD 中，在边CD 上任取一点Q ，连AQ ，过D 作DP AQ ⊥，交AQ 于R ，交BC 于P ，正方形对角线交点为O ，连OP OQ ，．求证：OP OQ ⊥．割补面积法【例8】如图P 为等腰三角形ABC 的底边AB 上的中点，PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥于点F ，AD BC⊥于点D ，，求证：PE PF AD +=．【拓展延伸1】如图，点P 为等腰三角形ABC 的底边BA 的延长线上的一点，PE CA ⊥的延长线于点E ，PF BC ⊥于点F ，AD BC ⊥于点D ．PE 、PF 、AD 之间存在着怎样的数量关系?【例9】如图，点P 为正三角形ABC 内任意一点，PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥于点F ，PG AB ⊥于点G ，AD ⊥BC 于点D ．PE 、PF 、PG 、AD 之间存在怎样的数量关系?。

旋转三角形知识点总结

旋转三角形知识点总结旋转三角形知识点总结:1. 旋转的基本概念在学习旋转三角形之前，首先需要了解旋转的基本概念。

所谓旋转，是指在平面内，以一个点为固定中心，逆时针或者顺时针方向旋转一个图形的操作。

旋转是一种刚体运动，旋转之后的图形与原图形相似，但位置不同。

2. 旋转的操作方法旋转可以通过不同的方式进行操作，包括绕点旋转、绕线旋转、绕角度旋转等。

在对三角形进行旋转时，常见的是绕点旋转和绕线旋转。

绕点旋转是指以一个点为中心，旋转一个图形。

绕线旋转是指绕着一条直线来进行旋转，这种旋转操作常常用于对称图形的旋转。

3. 旋转三角形的性质旋转三角形的性质是指在进行旋转操作时，三角形所具备的一些特点和规律。

例如，旋转操作不改变三角形的形状和大小，只是改变了其位置和方向。

通过旋转三角形，我们可以观察到三角形的对称性，了解其内角和外角的关系，探索中心对称和轴对称等性质。

4. 旋转对称图形在旋转三角形的研究中，我们经常会接触到对称图形。

对称图形是指经过旋转操作之后，图形与原图形完全一致的图形。

在三角形中，等边三角形、等腰三角形等都是常见的对称图形。

对称图形的研究不仅有助于理解旋转的概念，还可以帮助我们更好地理解三角形的特点和性质。

5. 旋转三角形的应用旋转三角形除了在数学和几何学中有广泛的应用之外，在现实生活中也有一些具体的应用。

例如，在建筑设计、工程测量、机械加工等领域，都会涉及到对图形的旋转操作，而三角形作为最基本的图形之一，在这些应用中也会得到相应的应用。

总的来说，通过对旋转三角形的研究，可以更深入地理解三角形的性质和特点，进而推导出一些有趣的结论和定理。

旋转三角形的知识点和应用不仅在学术研究中有着重要的价值，也在实际生活中有着广泛的应用。

因此，对旋转三角形的学习和理解具有重要的意义。

中考压轴专题(四)：旋转问题

中考压轴专题（四）：旋转问题考查三角形全等、相似、勾股定理、特殊三角形和四边形的性质与判定等。

旋转性质----对应线段、对应角的大小不变，对应线段的夹角等于旋转角。

注意旋转过程中三角形与整个图形的特殊位置。

一、直线的旋转1、(2009年浙江省嘉兴市)如图，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△（1）求x 的取值范围；（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值；（3）探究：△ABC 的最大面积？2、（2009年河南）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°, ∠B =60°，BC =2．点0是AC 的中点，过点0的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB 边于点D .过点C 作CE ∥AB 交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α.(1)①当α=________度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为_________；②当α=________度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为_________；(2)当α=90°时,判断四边形EDBC 是否为菱AB NM （第1题）形，并说明理由．3、（2009年北京市）在ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转90得到线段EF(如图1)（1）在图1中画图探究：①当P为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连结EP1绕点E逆时针旋转90得到线段EC1.判断直线FC1与直线CD的位置关系，并加以证明；②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点E 逆时针旋转90得到线段EC2.判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.（2）若AD=6,tanB=43,AE=1,在①的条件下，设CP1=x，S11P FC=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.分析：此题是综合开放题-------已知条件、问题结论、解题依据、解题方法这四个要素中缺少两个或两个以上，条件需要补充，结论需要探究，解题方法、思考方向有待搜寻。

三角形旋转问题

三角形旋转问题引言三角形旋转问题是一种在平面几何中常见的问题，常用于数学教学和解决图形相关的难题。

在这个问题中，我们将讨论如何旋转一个三角形，并分析旋转对于三角形的性质和属性的影响。

旋转的定义旋转是一种通过将一个图形围绕一个中心点进行转动来改变其位置和方向的变换操作。

对于三角形而言，旋转是将三角形的每个顶点绕着一个中心点旋转一定的角度，使得原来的三角形变换为一个新的位置和方向的三角形。

旋转的过程旋转的过程可以通过以下步骤来实现：1.选择一个中心点。

这个中心点可以是任意点，但在进行旋转前需要明确选择一个点作为中心。

2.计算旋转角度。

旋转角度可以通过数学计算或直接给定。

通常使用度数来表示角度。

3.将三角形的每个顶点绕中心点逆时针旋转指定的角度。

4.连接三个新的顶点，得到旋转后的三角形。

旋转的性质和属性旋转对于三角形的性质和属性有以下影响：1.位置和方向：旋转会改变三角形的位置和方向。

原来的三角形可能需要平移以使得旋转后的三角形位于期望的位置。

2.边长和面积：旋转不改变三角形的边长和面积。

这是因为旋转只改变了三角形的位置和方向，而未改变其内部结构。

3.内角和外角：旋转不改变三角形的内角和外角的大小。

三角形旋转后，内角和外角的度数保持不变。

4.对称性：旋转可以保持三角形的对称性。

如果三角形具有某种对称性，旋转后的三角形也会保持同样的对称性。

5.相似性：旋转不改变三角形的相似性。

如果一个三角形与另一个三角形相似，那么它们的旋转结果仍然是相似的。

应用举例三角形旋转问题在实际应用中有许多相关的场景和用途。

下面是一些常见的应用举例：1.机械制图：在机械制图中，需要将一个图形进行旋转来得到其在不同位置和方向上的视图。

这可以帮助工程师更好地理解和设计机械零件。

2.三维建模：在三维建模软件中，可以通过旋转来改变模型的角度和方向，以便进行更好的可视化和编辑。

3.游戏开发：在游戏开发中，经常需要对游戏中的物体进行旋转，以模拟真实世界中的物体运动和交互。

旋转型相似三角形

04
旋转型相似三角形的证明方法
旋转法
总结词
通过旋转三角形，将两个三角形置于同一平面内，利用角度相等和边长比例关系证明相似。
详细描述
首先，将两个三角形中的一个旋转一定角度，使两个三角形共面。然后，根据旋转的角度和边长比例关系，证明两个三角形对应角相等，从而得出相似结论。
构造法
总结词
通过构造辅助线，将两个三角形连接成一个整体，利用整体与部分的关系证明相似。
在解决实际问题中的应用
建筑设计
在建筑设计中，旋转型相似三角形可以帮助设计师确定建筑物的比例和角度，以实现美观和功能
性的平衡。
机械设计
在机械设计中，旋转型相似三角形可以用来确定机械部件的位置和角度，以确保机械的正常运转。
艺术创作
在艺术创作中，旋转型Hale Waihona Puke 似三角形可以帮助艺术家创造具有动态
感和立体感的作品。
详细描述
首先，通过构造辅助线将两个三角形连接成一个整体。然后，利用整体与部分的关系，证明两个三角形对应边成比例，对应角相等，从而得出相似结论。
代数法
总结词
通过建立代数方程，利用方程的性质证明相似。
详细描述
首先，根据题目条件建立代数方程。然后，利用代数方程的性质，如方程的解的性质和代数的运算性质，证明两个三角形对应边成比例，对应角相等，从而得出相似结论。
谢谢观看
05
特殊类型的旋转型相似三角形
等腰旋转型相似三角形
等腰旋转型相似三角形是旋转型相似三角形的一种特殊类型，其特点是两腰相等，且与底边形成相同的角度。
等腰旋转型相似三角形的性质还包括其高与底边的比例关系为1:√2，以及其面积与边长的关系为S=√2/4 * a^2。

三角形旋转后的一个性质及其应用与思考_刘华为

ＡＥ＝３
１０５
；②
显然
△ＥＨＦ
可以看作由
△ＡＨＣ
绕点
Ｈ旋转而得，根据性质可知点Ｇ在Ｒｔ△ＡＨＣ的外接
圆上，所以 ∠ＡＧＣ＝ ∠ＡＨＣ＝９０°．易猜想ＥＦ＝２ＧＨ，
欲证之，注意到 ∠ＥＧＦ＝ ∠ＥＨＦ＝９０°，故想到取ＥＦ
的中点Ｐ，连结ＧＰ、ＨＰ，则ＥＦ＝２ＧＰ＝２ＨＰ，下面只
图５图６图７
思路分析（１）略；（２）① 由ｔａｎ∠Ｃ＝３和ＢＣ＝４易求ＡＨ＝ＢＨ＝３、ＣＨ＝１．根据性质的证明可知， △ＡＨＥ ∽ △ＣＨＦ，所以 ∠ＨＡＥ＝ ∠Ｃ．在等腰 △ＡＨＥ中，由“等腰三角形三线合一” 和“ 勾股定理” 可得
△ＡＢＣ中，易求ＢＯ＝３、ＯＮ＝１，所以ＢＭ的最小值
为３－１，故本题选Ｄ．例２（２０１６年成都中考试题）如图５，△ＡＢＣ
中，∠ＡＢＣ＝４５°，ＡＨ ⊥ ＢＣ于点Ｈ，点Ｄ在ＡＨ上，且ＤＨ＝ＣＨ，连接ＢＤ．（１）求证：ＢＤ＝ＡＣ；
（２）将 △ＢＨＤ绕点Ｈ旋转，得到 △ＥＨＦ（点Ｂ、Ｄ分别与点Ｅ、Ｆ对应），连接ＡＥ，
Ｒｔ△ＢＣＦ，进而得ＡＡ１
＝２ＡＮ＝４
８５５
．
３反思
依据转化思想可知，数学问题一般是用所学过
的知识来求解的，因此，相关问题的知识源就是解决
某类问题突破口，而且知识源储备越多，解题思路也
就越宽，突破口也就越多．当然，知识源除了来自于
课本的定义、定理（含性质和判定）和公式外，师生
ＡＥ．易得 △ＡＢＤ ∽ △ＡＣＥ，所以 ∠ＡＢＤ＝ ∠ＡＣＥ．又