排队论之简单排队系统

5.2.4 无限源的简单排队系统

所谓无限源的简单排队系统是指顾客的来源是无限的，输入过程是简单流，服务时间是负指数分布的排队系统。本节我们讨论一些典型的简单排队系统。

1.//1/M M ∞排队系统

//1/M M ∞排队系统是单服务台等待制排队模型,可描述为：假设顾客以Poisson 过程（具有速率λ）到达单服务员服务台，即相继到达时间间隔为独立的指数型随机变量，具有均值1λ，若服务员空闲，则直接接受服务，否则，顾客排队等待，服务完毕则该顾客离开系统，下一个排队中的顾客（若有）接受服务。相继服务时间假定是独立的指数型随机变量，具有均值μ。两个M 指的是相继到达的间隔时间和服务时间服从负指数分布，1指的是系统中只有一个服务台，∞指的是容量为无穷大，而且到达过程与服务过程是彼此独立的。

为分析之，我们首先确定极限概率0,1,2,n p n •••=，，为此，假定有无穷多房间，标号为 0,1,2,•••，并假设我们指导某人进入房间n （当有n 个顾客在系统中），则其状态转移框图如图5.8所示。

图5.8 //1/M M ∞排队系统状态转移速率框图

由此，我们有

状态 离开速率＝进入速率

0 01p p λμ=

,1n n ≥ ()11n n n p p p λμλμ-++=+

解方程组，容易得到

00,1,2,i

i p p i λμ•••⎛⎫

== ⎪⎝⎭

，

再根据

001

1()1n n n n p p p λμ

λμ

∞

∞

===

==

-∑∑

得到：

01p λμ

=-

，

()(1),1n

n p n λλ

μ

μ

=-

≥ 令/ρλμ=，则ρ称为系统的交通强度（traffic intensity ）。值得注意的是这里要求

1ρ<，因为若1ρ>，则0n p =，且系统中的人数随着时间的推移逐渐增多直至无穷，因

此对大多数单服务排队系统，我们都假定1ρ<。

于是，在统计平衡的条件下（1ρ<），平均队长为

,1,1j j L jp λρ

ρμλ

ρ

∞

==

=

=

<--∑

（5-52）

由于a λλ=，根据式（5-2）、（5-3）以及上式，可得： 平均逗留时间为：

1

,1L

W ρλ

μλ

=

=

<- （5-53） 平均等待时间为：

1

[],1()(1)

Q W W E S W λρ

ρμ

μμλμρ=-=-

=

=<-- （5-54）

平均等待队长为：

22

,1()1Q Q L W λρλρμμλρ

===<-- （5-55）

另外，根据队长分布易知，01ρρ=-也是系统空闲的概率，而ρ正是系统繁忙的概率。显然，ρ越大，系统越繁忙。

队长()N t 由0变成1的时刻忙期即开始，此后()N t 第一次又变回0时忙期就结束。由简单流与负指数分布的性质，显见忙期的长度与忙期的起点无关。可以证明，闲期的期

望值为1λ，令忙期平均长度为b ， 则在统计平衡下，有：平均忙期：平均闲期＝(1)ρρ-：

，因此平均忙期长度为：

1

11b ρμλρ⎧<⎪

-=⎨⎪∞≥⎩

，， （5-56）

一个忙期中所服务的平均顾客数为

1

111b ρρ

μρ⎧<⎪

-⋅=⎨⎪∞≥⎩

，， （5-57） 不难看出，在忙期内相继输出的间隔时间是独立、同参数(0)μ>的随机变量，即为参数μ的Poisson 流。但是，当系统空闲后，从开始空闲时刻起，到下一个顾客服务完毕离去时之间的间隔时间显然不与服务时间同分布。

下面简要推导一下//1/M M ∞排队系统的输出过程特征。

令n T +表示第n 个顾客服务完毕的离去时刻，则1n n T T ++

+-表示离去的间隔时间，1n ≥，于是，对0t ≥，

11{}{0}{|0}n n n n n n P T T t P N P T T t N ++++++

++->==⋅->=

1{1}{|1}n n n n P N P T T t N ++++

++≥⋅->≥ 1!ˆ{0}{}n n n P N P S t τ+++==⋅+> 1{1}{},n n P N P S t +

++≥⋅>

其中1ˆn τ+表示剩余到达间隔时间，与1n S +（服务时间间隔）独立，而n N +

表示第n 个离去顾客服务完毕离开系统时的队长。

由于

11,lim {0}01,n n P N ρρρ+

→∞

-<⎧==⎨≥⎩

，

，

而1!ˆ{}n n P S t τ

+++>＝t t e e λμμλμλ

μλ

---

--（根据两独立随机变量和的分布计算公

式计算），所以

1{}(1)t t t n n P T T t e e e λμμμλρρμλμλ++

---+⎡⎤->=--+⎢⎥--⎣⎦

（5-58） 此式表示在统计平衡下，相继输出的间隔时间服从参数(0)λ>的负指数分布。

例5.5 某通信团电话维修站，有1个维修技师，每天工作10小时。待维修电话的到来服从Poisson 分布，每天平均有90部电话到来，维修时间服从指数分布，平均速率为10μ=部/小时。试求排队等待维修的平均电话数；等待维修电话的多于2部的概率；如果使等待

维修的电话数平均为2部，维修速率应提高多少？

解：这是一个//1/M M ∞模型