4.3功函数和接触电势差

j
ev
x
dn
v为电子运动速度， d n 为单位体积中速度在 v ~ v dv 之间的电子数。
j
ev
x
dn
电流密 度
dv 中电
子数
可到达金属表 面的电子数
1 2 mv x E0 2
d k 中电
子状态数
中电子 dv
状态数
分布函 数f(E)
dv 中电
子数
可到达金属表 面的电子数
4πm 3 ( kBT ) 2 e ( B eVB ) kBT IB h
当达到平衡时， I A I B ,
' '
Ａ＋eVA B＋eVB ,
接触电势差：
1 VA VB ( B A ) e
1 2 ( E F mv x ) k BT 2
dv x
4πem 2 kBT EF e 3 h
k BT


12
( 2 E0 m )
e
mv 2 x 2 k BT
v x dv x
4πem 2 kBT EF j e 3 h
k BT


12
( 2 E0 m )
e
mv 2 x 2 k BT
v x dv x


12
( 2 E0 m )
e
mv 2 x 2 k BT
v x dv x
2 k BT
1 2kBT mv 2 e x 2 m
2 E0
m
12
kBT E0 e m
k BT
( E0 EF ) 4πem k BT 2 j＝ ( kBT ) e 3 h
v ~ v dv
间的状态数：
VC m dv x dv y dv y 3 2π
3
v ~ v dv 间的电子状态数:
m 2VC dv x dv y dv y 2π
3
m 3 单位体积中在 v ~ v dv 间的电子状态数: 2( h ) dv
4 πm IＡ＝ 3 ( kBT ) 2 e A kBT h 4πm I B＝ 3 ( kBT ) 2 e B kBT h
若B> A，则VA>0, VB<0，两块金属中的电子分别具有附
加的静电势-eVA和-eVＢ，这时两块金属发射的电子数分别为：
4πm 3 ( kBT )2 e ( A eVA ) kBT IA h
AT e
2 kBT
---里查孙－德西曼公式
4.3.2 接触电势差
VA VB + + + -- + A + - Ｂ + + + + -- 接触电势差
０ EF
A
B
０ EF
金属的能级和功函数
由图可得电势差和功函数的关系式：
B A，VA VB
eVB ( eVA ) B A
1 VA VB ( B A ) e
上式说明两块金属的接触电势差来源于两块金属的脱出功 不同，而脱出功表示真空能级和金属费米能级之差，所以接触 电势差来源于两块金属的费米能级不一样高。
理论推导上式。
设两块金属的温度都是T，当他们接触时，每秒内从金属A 和金属B的单位表面积所溢出的电子数分别为：
j AT e
2 k BT
---里查孙－德西曼公式
根据实验数据作 ln(j / T 2 ) ~ 1 / T 图，则得到一条直线。由 此可确定金属的脱出功。
经典理论求电流密度。 电流密度：某点电流密度大小等于通过与该点场强方向垂
直的单位截面积的电流强度。 电流强度：等于单位时间内通过导体某一横截面的电量。
dI dq j d S d td S
S
v
vt
设金属中电子运动速度的平均值为 v 。单位体积内自由 电子数为n，电子电量为-e，可以证明电流密度：
j nev
选取横截面为S，长度为 vt 的小圆柱，
t时间内通过S截面的电量为：
S
v
q nevSt
电流密度
vt
j nev
按照索末菲自由电子论如何求热电子发射电流密度呢？
m 3 ( EF 2 mv 2 ) dn 2( ) e h
1
k BT
d v x dv y d v z
m dn 2( ) e h
j
1 ( E F mv 2 ) k BT 3 2
d v x dv y d v z
ev
x
dn
1 ( E F mv 2 ) k BT 2
m 3 e 2( ) v x e h
x方向的动能
dv x dv y dv z
设ox轴垂直金属表面，电子沿x方向离开金属，这就要求沿
１ 2 必须大于E0，而vy，vz的数值是任意的，因 mv x 2
此对vy，vz积分得：
m 3 mv 2 j e 2( ) e y h
2 k BT
dv y e


2 mv z 2 k BT
1 k 1 电子速度v ( k ) k E , E ( k ) mv 2 m 2 m m m kx vx ky vy kz vz
VC VC dk x dk y dk y d k k ~ k dk 间的状态数： 3 3 2π 2π
第三节
功函数和接触电势差
本节主要内容: 4.3.1 功函数 4.3.2 接触电势差
VA VB + + + -- + A + - Ｂ + + + + -- 接触电势差
接触电势:两块不同的金属A和Ｂ相接触，或用导 线连接起来，两块金属就会彼此带电产生不同的电势
VA和VB，这称为接触电势。
§4.3 功函数和接触电势差
dv z




1/ 2
( 2 E0 / m )
v xe
x2
1 ( E F mv 2
x
2
) k BT
dv x
利用公式


－
e
dx
π，得
e
mv 2 y 2 k BT
2kBT dv y π m




e
2 mv z 2 kBT
2kBT dv z π m
m 3 2kBTπ j e 2( ) v xe 1/ 2 ( 2 E0 / m ) h m
4.3.1 功函数
1.功函数
电子在深度为E0的势阱内， 要使费米面上的电子逃离金属， 至少使之获得=E0－ＥＦ的能 量，称为脱出功又称为功函

ＥＦ
E0
金属中电子的势阱和脱出功
数。脱出功越小，电子脱离金
属越容易。
2.里查孙－德西曼公式
热电子发射：电子从外界获得热能逸出金属的现象称为热 电子发射。 发射电流密度：
(2)单位体积
v ~ v dv
1 e
间的电子数
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m 3 dn 2( ) h
1 ( mv 2 E F ) k BT 2
dv x dv y dv z 1
(3)可到达金属表面的电子数
1 2 由于发射电子的能量 mv 必须满足： 2 1 2 mv E F E 0 E F 而>>kBT， 2