线段最值问题

由此派生：
③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；
④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短；
⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）；
⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短；
⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。

举例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。

，P是⊙O上一点，求AP
简析：E是定点，F'是动点，要确定F'点的运动路径。

先确定线段A'B'的运动轨迹是
，内圆半径为AB边上的高，F'是A'B'上任意一点，因此F
到圆环的最短和最长路径。

E到圆环的最短距离为
=EC+CF=3+6=9，其差为
简析：动线段（或定点）应居于动点轨迹的两侧，本题的三条动线段在OA、OB的内侧。

所以本题的关键是
动线段PM、MN、PN转化为连接两点之间的路径
折得P1、P2，△PMN的周长转化为
点P1、P2之间的路径，从而转化为求
小值为线段P1P2＝OP＝6。

例5.如图，在锐角△ABC中，AB
N分别是AD和AB上的动点，则
简析：本题的问题也在于动线段BM、MN居于动点轨迹AD的同侧，同样把点N沿AD翻折至AC上，BM+MN＝BM+MN'，转化为求点B到直线AC的最短路径，即BN'⊥AC 时，最小值为2√2。

【平移变换类】典型问题：“造桥选址”。

例6.如图，m、n是小河两岸，河宽20米，A、B是河旁两个村庄，要在河上造一座桥，要使A、B之间的路径最短应该如何选址（桥须与河岸垂直）？
简析：桥长为定值，可以想像把河岸m向下平移与n重合，同时把点A向下平移河宽，此时转化成n上的一点到A、B的路径之和最短，即转化为定点A'到定点B的最短路径。

如下图：
思路是把动线AM平移至A'M，A'N+BN即转化为求定点A'与定点B之间的最路径。

本题的关键是定长线段MN把动线段分隔，此时须通过平移把动线段A'N、BN变为连续路径，也可以把点B向上平移20米与点A连接。

例7.如图，CD是直线y=x上的一条定长的动线段，且CD=2，点A（4，0），连接AC、AD，设C点横坐标为m，求m为何值时，△ACD的周长最小，并求出这个最小值。

简析：两条动线段AC、AD居于动点所在直线的两侧，不符合基本图形中定形（点线圆）应在动点轨迹的两侧。

首先把AC沿直线CD翻折至另一侧，如下图：
现在把周长转化为A'C+CD+AD，还需解决一个问题：动线段A'C与AD之间被定长线段CD阻断，动线段必须转化成连续的路径。

同上题的道理，把A'C沿CD方向平移CD的长度即可，如下图。

现在已经转化为A''D+AD的最短路径问题，属定点到定点，当A''D与AD共线时A''D+AD最短，即为线段AA''的长。

【旋转变换类】典型问题：“费马点”。

【三角变换类】典型问题：“胡不归”。

例9.如图，A地在公路BC旁的沙漠里，A到BC的距离AH＝2√3，AB＝2√19，在公路BC上行进的速度是在沙漠里行
驶速度的2倍。

某人在B地工作，A地家中父亲病危，他急着沿直线BA赶路，谁知最终没能见到父亲最后一面，其父离世之时思念儿子，连连问：“胡不归，胡不归……！”（怎么还不回来），这真是一个悲伤的故事，也是因为不懂数学而导致的。

那么，从B至A怎样行进才能最快到达？
简析：BP段行驶速度是AP段的2倍，要求时间最短即求BP/2+AP最小，从而考虑BP/2如何转化，可以构造含30°角利用三角函数关系把BP/2转化为另一条线段。

如下图，作∠CBD=30°，PQ⊥BD，得PQ=1/2BP，由“垂线段最短”知当A、P、Q共线时AP+PQ＝AQ'最小。

【相似变换类】典型问题：“阿氏圆”。

“阿氏圆”：知平面上两点A、B，则所有满足PA/PB=k且不等于1的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆，如下图所示，其中PO：BO＝AO：PO＝PA：PB＝k。

例10.已知A(-4，-4)、B(0,4)、C(0,-6)、D(0,-1)，AB与x轴交于点E，以点E为圆心，ED长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求1/2AM+CM的最小值。

简析：本题的主要问题在于如何转化1/2AM，注意到由条件知在M的运动过程中，EM：AE＝1：2保持不变，从而想到构造相似三角形，使之与△AEM的相似比为1：2，这样便可实现1/2AM的转化，如下图取EN：EM＝1：2，即可得△EMN∽△EAM，再得MN=1/2AM，显然，MN+CM的最小值就是定点N、C之间的最短路径。

之后便是常规方法先求N点坐标，再求CN的长。

【过手练习】
2.菱形ABCD中，∠BAC=60°，P是AC
如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx(a>0)，经过点A
轴上的点B，连接OA、OM、AB，AO=OB=2，∠AOB=120°.
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)连接OM，求∠AOM的大小；
(3)过点M作ME⊥OB，垂足为E，点P为y轴上动点，若以O、M、P为顶点的三角形与。