全同粒子体系解析

全同粒子

本讲介绍多粒子体系的量子力学基本原理。首先从全同粒子的基本概念出发，根据全同性原理，给出描述全同粒子体系的波函数；最后以氦原子为例讨论多粒子体系问题。

1. 全同粒子的基本概念

1.1 全同粒子：静质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子。例如，电子、

质子，中子等。

在经典力学中，粒子是用坐标和动量来描述，可以根据各自的运动轨迹来区分。而在 量子力学中，微观全同粒子的状态是用波函数来描述，每个粒子的波函数弥散于整个空 间，即处于同一区域各粒子波函数重迭，对粒子无法加以区分；另外，对全同粒子体系进 行测量时，关心的是在空间某点附近粒子出现的概率（或数目），而这个概率（或数目） 究竟属于体系中的哪几个，是无法确定的。即全同粒子具有不可区分性，这是微观粒子的 基本性质之一。

1.2 全同性原理：

由于全同粒子具有不可区分性，则在全同粒子体系中，任意两个全同粒子相互交换后并不会引起整个体系物理状态的改变，即不会出现任何可观测的物理效应，该论断称为量子力学中的全同性原理。这是量子力学基本原理之一。

1.3哈密顿算符∧

H 的交换对称性

考虑N 个全同粒子组成的体系，i q 表示第i 个粒子的空间坐标i r ϖ

与自旋变量i S ，)

,(t q u i 表示 第i 个粒子在外场中的能量，),(j i q q w 表示第i 、j 粒子的相互作用能量，则体系的哈密顿算符∧

H 写为

∑∑<++∇-=j

i j i i i i N j i q q w t q u t q q q q q H ),()],(2[),,,(ˆ2221μηΛΛΛ （1） 任何两个粒子（如第i 个与第j 个）相互交换后，∧

H 显然是不变的，记为

),,,(ˆ21t q q q q q H P N

j i ij ΛΛΛ∧

),,,(ˆ21t q q q q q H N

i j ΛΛΛ= ),,,(ˆ21t q q q q q H N

j i ΛΛΛ= （2） ij P ∧

称为交换算符，它同时交换两个粒子的坐标和自旋，哈密顿算符的这种交换对称性又可记为

0,=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡∧∧H P ij （3）

1.4 全同粒子波函数的交换对称性 （1）ij P ∧

对波函数的作用

设N 个全同粒子体系用波函数),,,,,(21t q q q q q N j i ΛΛΛΦ描述，则有

),,,,,(),,,,,(2121t q q q q q t q q q q q P N i j N j i ij ΛΛΛΛΛΛΦ=Φ∧

（4）

根据全同性原理，Φ∧

ij P 与Φ所描述的是同一量子态，而量子力学中描述同一量子态的波函数之间最多只能相差一个常数因子λ，即

Φ=Φ∧

λij P （5） 上式用ij P ∧

再作用一次，相当于Φ中的交换复原，即

Φ=Φ=Φ=Φ∧

∧

22λλij ij

P P （6）

由此得12=λ，所以交换算符的本征值为 1±=λ （7） （2）波函数的交换对称性

当λ＝+1时，则Φ=Φ∧

ij P ，表示交换两个粒子后波函数不变，这时的波函数称为

对称波函数，记为S Φ 。

当λ＝-1时，则Φ-=Φ∧

ij P ，表示交换两个粒子后波函数变号，这时的波函数称为

反对称波函数，记为A Φ 。

可见，描述全同粒子体系的波函数对于任何两个粒子的交换，或者是对称的，或者是反对称的。这一性质称为全同粒子波函数的交换对称性。不具有交换对称性的波函数是不能描述全同粒子体系的。

另外，由于0,=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡∧∧H P ij ，可见ij P ∧

是守恒量，即全同粒子体系波函数的交换对称性不隨

时间而变化。

1.5 全同粒子的分类

实验表明，全同粒子体系波函数的交换对称性，与粒子的自旋有确定的联系。 （1）凡是自旋为η整数倍的粒子),2,1,0(Λ=s 所组成的全同粒子体系，其波函数对于交换两个粒子总是对称的。例如，π介子)0(=s ，α粒子（S ＝0），基态的He(S=0)，光子（S ＝1）。它们在统计物理中遵从玻色(Bose)—爱因斯坦(Einstein)统计规律，称为玻色子。

（2）凡是自旋为η半奇数倍的粒子),2/3,2/1(Λ=s ，所组成的全同粒子体系，其波函数对于交换两个粒子总是反对称的。例如，电子、质子、中子等，S ＝1/2，它们在统计物理中遵从费米（Fermi ）—狄拉克(Dirac)统计规律，称为费米子。

2 全同粒子体系的波函数

介绍如何由单粒子波函数来组成全同粒子体系的具有交换对称性的波函数

2.1 两个全同粒子体系的波函数

假设两个全同粒子组成的体系，其中单个粒子的哈密顿算符为0

ˆH , 归一化本征函数为i ϕ, 本征值为i ε，则应有

)

()()()()()(ˆ22201

110q q q H q q q H j j j i i i ϕεϕϕεϕ==∧ （8）

对于全同粒子，)(),(ˆ2

010q H q H ∧

在形式上是完全相同的，不考虑两粒子的相互作用时，两个粒子体系的哈密顿算符为

)(ˆ)(ˆˆ2

010q H q H H += （9） 相应的本征方程

),(),(ˆ2

121q q E q q H Φ=Φ （10） 式中的),(21q q Φ可以分离成两个单粒子波函数的乘积（因为不考虑相互作用）。 当第一个粒子处于i 态，第二个粒子处于j 态时，波函数为 )()(),(2121q q q q j i ϕϕ=Φ （11） 它是满足（10）式的解， 对应的本征能量 j i E εε+= 。 当第一个粒子处于j 态，第二个粒子处于i 态时，波函数为 )()(),(2121q q q q i j ϕϕ=Φ （12）

它也是满足（10）式的解， 具有同样的本征能量 j i E εε+= 。（交换简并）

注意：),(21q q Φ是否具有交换对称性？

当j i =时，),(21q q Φ具有交换对称，对应玻色子

当j i ≠时，（11）与（12）虽是本征方程的解，但不具有交换对称性，不满足全同粒子波函数的条件。

（1）对于玻色子，波函数要求对于交换两个粒子是对称的，所以当j i ≠时，归一化的对称波函数构成如下

)]()()()([2

1),(122121q q q q q q j i j i S ϕϕϕϕ+=

Φ （13）

当j i =时 )()(),(2121q q q q i i S ϕϕ=Φ （14）

（2）对于费米子，波函数要求对于交换两个粒子是反对称的，归一化的反对称波函数构成如下