二次函数与相似三角形综合题(供参考)

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二次函数与相似三角形综合题

黄陂区实验中学 邓静

教学目标：

1、会求二次函数解析式；

2、根据条件寻找或构造相似三角形，在二次函数的综合题中利用其性质求出线段的长度，从而得出点的坐标。

教学重点：

1、求二次函数解析式；

2、相似三角形的判定与性质在二次函数综合题中的运用。

教学难点：

根据条件构造相似三角形解决问题。

情感与态度：

1、培养学生积极参与教学学习活动的兴趣，增强数学学习的好奇心和求知欲。

2、使学生感受在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼学生克服困难的意志，建立自信心。

3、培养学生科学探索的精神。

教学过程：

一、复习巩固

如图，抛物线y=ax 2+b x －2与x 轴交于点A （－1，0），B （m ，0）两点，与y 轴交于C 点，且∠ACB=90°，求抛物线的解析式.

分析：OC 2=OA·OB ∴4=1×m ，m=4 ∴B （4，0）

设抛物线解析式为y=a(x+1)(x －4)

代入C 点（0，－2）

∴抛物线解析式为213222

y x x =--.

二、新授

例题、如图，直线y =－x+3与x 轴、y 轴分别相交于B 、C ，经过B 、C 两点的抛物线y=ax 2+bx+c

与x 轴另一交点为A ，顶点为P ，且对称轴是直线x=2，

（1）求抛物线解析式；

（2）连结AC ，请问在x 轴上是否存在点Q ，使得以点P 、B 、Q 为顶点的三角形与△ACB 相似，若存在，请求出Q 点坐标；若不存在，说明理由.

（3）D 点为第四象限的抛物线上一点，过点D 作DE ⊥x 轴，交CB 于E ，垂足于H ，过D 作DF ⊥CB ，垂足为F ，交x 轴于G ，试问是否存在这样的点D ，使得△DEF 的周长恰好被x 轴平分？若能，请求出D 点坐标；若不能，请说明理由.

[解] （1）直线3y x =-+与x 轴相交于点B ， ∴当0y =时，3x =，

∴点B 的坐标为(30)，． 又抛物线过x 轴上的A B ，两点，且对称轴为2x =，

根据抛物线的对称性， ∴点A 的坐标为(10)，． 3y x =-+过点C ，易知(03)C ，，

3c ∴=． 又抛物线2

y ax bx c =++过点(10)(30)A B ，，，， ∴(1)(3)y a x x =--，经过C 点(0,3)

243y x x ∴=-+．

（2）连结PB ，由22

43(2)1y x x x =-+=--，得(21)P -，，

设抛物线的对称轴交x 轴于点M ，在Rt PBM △中，1PM MB ==，

45PBM PB ∴==，∠

由点(30)(03)B C ，，，易得3OB OC ==，在等腰直角三角形OBC 中，

45ABC =∠，

由勾股定理，得BC =

假设在x 轴上存在点Q ，使得以点P B Q ，，为顶点的三角形与ABC △相似． ①当BQ PB BC AB

=，45PBQ ABC ==∠∠时，PBQ ABC △∽△．

2=，3BQ ∴=， 又

3BO =，∴点Q 与点O 重合，1Q ∴的坐标是(00)，． ②当QB PB AB BC

=，45QBP ABC ==∠∠时，QBP ABC △∽△．

即2QB =，23QB ∴=．

x

2

1P 273333

OB OQ OB QB =∴=-=-

=，， 2Q ∴的坐标是703⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 180********PBx BAC PBx BAC =-=<∴≠，，∠∠∠∠．

∴点Q 不可能在B 点右侧的x 轴上．

综上所述，在x 轴上存在两点127(00)03Q Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，，

，，能使得以点P B Q ，，为顶点的三角形与ABC △相似．

（3）设D （a ，a 2－4a+3），则E （a ，－a+3）

△DFE ∽△BOC

∴DE ：BC=L △DEF ：L △BOC 232632

DFE ∆+ ∴L △DEF 21)×(－a 2

+3a) ∴DH+DG=

12DFE L ∆= 21)DH = 221)(43)a a -+- = 12

21)×(－a 2+3a) ∴243a a -+-=21(3)2

a a -+ ∴a 1=2，a 2=3(舍)

∴D （2，－1）

应用变式：

1、在此抛物线上是否存在P 点？使得∠1+∠2=45°，若存在，请求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.

分析：

（1）延长CP 与x 轴交于E 点，∠1+∠2=45°=∠ABC=∠E+∠2

∴∠1=∠E ，

E x E N x 又∵∠COA 公共

∴△OCA ∽△OEC

∴OC 2=O A ·OE

OC 2=9=1×OE ∴OE=9

∴E （9，0）

∴ 直线解析式133y x =-

+ 联立直线与抛物线

∴ P 的坐标为（113，169

） （2）P 点与A 点重合，P （1，0），

∴ 综上所述，P 的坐标为（1116,39

），（1，0）.

2、在上题抛物线中，P 为抛物线上一点，PE ⊥BC 于E ，且CE=3PE ，求P 点坐标. 分析：连AC 、PC ，证△PEC ∽△OAC ，∠OCA=∠PCE ，∴∠PCA=45°.

延长CP 交x 轴于N ，△ACB ∽△ANC ，

AC 2=A B ·AN ，∴N （6，0），1:32CN y x =-+，联立抛物线，得P （75,24

）.

三、小结

点的坐标是综合题的立足点（求解析式），又是综合题的制高点（求满足条件的点的坐标或存在性探求），求点的坐标一般历经下面两个关键步骤：

（1）定位

（2）计算

四、作业练习

1、如图，抛物线2

2y x x x =--交轴于A 、B 两点（A 点在B 点左侧），交y 轴于C （0,－2），过A 、C 画直线，点M 在y 轴右侧的抛物线上，从M 为圆心的圆与直线AC 相切，切点为H ，且ΔCHM ∽ΔAOC,求M 点坐标.