一阶常微分方程解的存在唯一性

■ 注1 存在唯一性定理中参数h的几何意义。 注2 在实际使用中，Lipschitz条件较难检验，故常用f (x, y)在R上有对y的连续偏导数 来替代。
3.1.2 一阶隐式方程
分析:
F (x, y, y ) = 0
(3.7)
根据隐函数存在定理，只要F
在(x0,
y0,
y0)的某邻域内连续，且F
(x0,
设ϕ(x)和ψ(x)都 是 微 分 方 程(3.1)在I上 的 解。 记M = max |ϕ(x) − ψ(x)|， 根 x∈I
据Lipschitz条件，当x ∈ I时，有
|ϕ(x) − ψ(x)| ≤
x
|f (t, ϕ(t)) − f (t, ψ(t))|dt
x0 x
≤ L |ϕ(t) − ψ(t)|dt
=
lim
n→∞
ϕn(x)
=
y0
+
lim
n→∞
f (t, ϕn−1(t))dt = y0 +
x0
x0
lim
n→∞
f
(t,
ϕn−1
(t))dt
x
= y0 + f (t, ϕ(t))dt
x0
这就证明了ϕ(x)的确是积极分方程(3.2)定义在I 上的连续解。
3.1 PICARD存在唯一性定理
5
(3) 解的唯一性。
〖证明〗 在X中任取一点x0，并令
x1 = T x0, x2 = T x1, · · · , xn+1 = T xn, · · ·
x
|t − x0|dt
x0
=
LM 2!
|x
− x0|2
一般，假定已证 便可推出
|ϕn(x)
−
ϕn−1(x)|
≤
Ln−1M n!
|x
−
x0|n
x
|ϕn+1(x) − ϕn(x)| ≤
|f (t, ϕn(t)) − f (t, ϕn−1(t))|dt
x0
x
≤ L |ϕn(t) − ϕn−1(t)|dt
x0
7
定义 3.6 设X是一个完备的距离空间，ρ是X上的距离，T 是由X到X自身的映射，并
且∀x, y ∈ X，成立
ρ(T x, T y) ≤ θρ(x, y)
(3.11)
其中θ是满足0 ≤ θ < 1的定数。那么称T 为X上的压缩映射。
定理 3.3 (Banach压缩映像原理) 设X是一个完备的距离空间，T 是X上的一个压缩映 射。那么T 在X中存在唯一不动点，即存在唯一的x˜ ∈ X，使得T x˜ = x˜。
假定
lim
n→∞
ϕn(x)
=
ϕ(x)
∞
由于无穷级数ϕ0(x) + [ϕn+1(x) − ϕn(x)]的每一项都在I上连续，所以ϕ(x)也 n=0
在I 上连续。这样就证明了所构造的Picard逼近函数序列{ϕn (x)}一致收敛到连续
函 数ϕ(x)。更 进 一 步，还 可 以 证 明：ϕ(x)就 是 积 分 方 程(3.2)定 义 在I 上 的 连 续 解。
x
ϕ1(x) = y0 + f (t, ϕ0(t))dt
x0
3.1 PICARD存在唯一性定理
3
显然，ϕ1(x)也是连续函数。如果ϕ1(x) = ϕ0(x)，那么ϕ0(x)就是积分方程(3.2)的 解。否则，继续将y = ϕ1(x)代入积分方程(3.2)右端得到
x
ϕ2(x) = y0 + f (t, ϕ1(t))dt
具体证明如下：
根据Lipschitz条件
|f (x, ϕn(x)) − f (x, ϕ(x))| ≤ L|ϕn(x) − ϕ(x)|
以及{ϕn(x)}在I上一致收敛于ϕ(x)可知{f (x, ϕn(x))}在I也一致收敛到f (x, ϕ(x))。 因此可以对(3.4)两边关于n取极限，得到
x
x
ϕ(x)
x0
x0
因此，ϕ2(x)也是连续函数。如果ϕ2(x) = ϕ1(x)，那么ϕ1(x)就是积分方程(3.2)的 解。否则，继续这一步骤，一般可得到
x
ϕn(x) = y0 + f (t, ϕn−1(t))dt
x0
(3.4)
同样，利用数学归纳法我们可以验证当x ∈ I时，|ϕn(x) − y0| ≤ b(n > 1)。为此，假 设当n = k时成立
x0
因此，y = ϕ(x)是积分方程(3.2)的定义在I上的连续解。
反之，如果y = ϕ(x)(x ∈ I)是(3.2)的连续解，则有
x
ϕ(x) = y0 + f (t, ϕ(t))dt, x ∈ I
x0
上式两端关于x求导可得
dϕ(x) dx
=
f (x, ϕ(x))
同时，把x = x0代入(3.3)就得到
≤
LnM n!
x
|t − x0|ndt
x0
=
LnM (n + 1)!
|x
−
x0|n+1
特别，当|x − x0| ≤ h时，
|ϕn+1(x)
−
ϕn(x)|
≤
LnM (n + 1)!
hn+1
∞
由于正项级数
LnM (n+1)!
hn+1是
收
敛
的，
从
Байду номын сангаас
而
函
数
项
级
数ϕ0
(x)
+
∞
[ϕn+1(x) −
n=0
n=0
ϕn (x)]在I 上一致收敛。
其中f (x, y)为闭矩形区域
上的连续函数。
R : |x − x0| ≤ a, |y − y0| ≤ b
定义 3.1 如果存在常数L > 0，使得以下不等式
|f (x, y1) − f (x, y2)| ≤ L|y1 − y2|
对∀(x, y1), (x, y2) ∈ R都成立，则称函数f (x, y)在区域R内关于y满足Lipschitz条件，常 数L称为Lipschitz常数。
(1) 非负性： ρ(x, y) ≥ 0，且当且仅当x = y时，ρ(x, y) ≡ 0； (2) 对称性： ρ(x, y) = ρ(y, x)； (3) 三角不等式： ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y)，z ∈ X。 则称ρ为X上的距离，称X是以ρ为距离的距离空间。
定义 3.3 对于距离空间X中的点列{xn}，如果∀ε > 0，∃N > 0，使当m, n > N 时
x0
由于f (x, y)是闭矩形R上的连续函数，因此必须验证当|x−x0| ≤ h时，|ϕ1(x)−y0| ≤ b，否 则f (t, ϕ1(t))不 一 定 有 定 义，那 么 下 一 步 就 做 不 下 去 了。具 体 验 证 如 下： 当|x − x0| ≤ h时，
x
x
|ϕ1(x) − y0| = f (t, ϕ0(t))dt ≤ |f (t, ϕ0(t))|dt ≤ M |x − x0| ≤ M h ≤ b
y0,
y0)
=
0，而
∂F ∂y
=
0，则必可以把y 惟一地表示为x, y的函数
y = f (x, y)
(3.8)
而且，f (x, y)也在(x0, y0)的某一邻域内连续，且满足
y0 = f (x0, y0)
如果F 关于所有变元都有连续偏导数，那么f (x, y)对x, y也存在连续偏导数，并且
∂f ∂y
∂F
=
−
∂y ∂F
∂y
(3.9)
上式说明
∂f ∂y
在(x0,
y0)的某一邻域内有界。根据定理3.1，方程(3.8)的满足初始条件y(x0)
=
y0的解存在且唯一。
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第三章 一阶常微分方程解的存在唯一性
定理 3.2 如果在点(x0, y0, y0)的某一个邻域中， ˚1 F (x, y, y )对所有变元(x, y, y )连续，且存在连续偏导数；
˚2 F (x0, y0, y0) = 0；
˚3
∂F (x0, y0, y0) ∂y
=
0
则方程(3.7)存在惟一解
满足初始条件
y = y(x), |x − x0| ≤ h （h为足够小的正数）
y(x0) = y0,
y (x0) = y0
(3.10)
3.2 不动点定理与解的存在性
本节将给出微分方程解的存在唯一性的抽象形式——不动点理论。 定义 3.2 设X为一个非空集合，如果∀x, y ∈ X，都∃ρ(x, y) ∈ R与其对应且满足以下三个 条件：
定理 3.1 (Picard存在唯一性定理) 若函数f (x, y)在区域R = [x0 − a, x0 + a] × [y0 − b, y0 + b]上连续，而且关于y满足Lipschitz条件，那么常微分方程初值问题(3.1)在区 间I = [x0 − h, x0 + h]上存在唯一解，其中常数
(3.3)
ϕ(x0) = y0
因此，y = ϕ(x), x ∈ I是初值问题(3.1)的解，且满足连续可微。
(2) 用Picard逐次逼近法证明解的存在性。具体方法为：构造积分方程(3.2)的一组近似 解，证明近似解的极限满足积分方程(3.2)，从而证明解的存在性。
任取一个R上的连续函数y = ϕ0(x)代入积分方程(3.2)右端，就得到
第三章 一阶常微分方程解的存在唯一性
本章主要介绍和证明一阶微分方程解的Picard存在和唯一性定理，解的延拓，解对 初值的连续性和可微性等概念。
3.1 Picard存在唯一性定理
3.1.1 一阶显式微分方程
考虑一阶显式常微分方程的初值问题

dy dx
=
f (x, y)
y|x=x0 = y0
(3.1)
x0
≤ M L|x − x0|
(3.5) (3.6)
把不等式(3.6)代入不等式(3.5)的右端，可得
如此反复递推可得
|ϕ(x)
− ψ(x)|
≤
M (L|x − 2!
x0|)2
|ϕ(x)
−
ψ(x)|
≤
M (L|x − n!
x0|)n ,
x∈I
在上式中令n → ∞即可得到ϕ(x) = ψ(x)。这就证明了唯一性。
|ϕk(x) − y0| ≤ b, x ∈ I
那么，当n = k + 1时，
x
ϕk+1(x) = y0 + f (t, ϕk(t))dt,
x0
x∈I
于是，当x ∈ I时，
x
|ϕk+1(x) − y0| = f (t, ϕk(t))dt ≤
x0
这样，就有了一个连续函数的序列
x
|f (t, ϕk(t))|dt ≤ M |x − x0| ≤ M h ≤ b
定义 3.5 如果∀x ∈ X以及某一给定的x0 ∈ X，映射T 满足以下条件：∀ε > 0，∃δ > 0，使 得当ρ(x, x0) < δ时，有ρ(T x, T x0) < ε，则称映射T 在x0处连续。如果映射T 在X中的每一 点都连续，就称T 在X上连续或者称T 是连续映射。
3.2 不动点定理与解的存在性
x
f (t, ϕ0(t))dt ≤
x0
x
|f (t, ϕ0(t))|dt ≤ M |x − x0|
x0
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第三章 一阶常微分方程解的存在唯一性
x
|ϕ2(x) − ϕ1(x)| ≤
|f (x, ϕ1(t)) − f (x, ϕ0(t))|dt
x0
x
≤ L |ϕ1(t) − ϕ0(t)|dt
x0
≤ LM
由于ϕn(x) = ϕ0(x) + ϕ1(x) − ϕ0(x) + ϕ2(x) − ϕ1(x) + · · · + ϕn(x) − ϕn−1(x) ，
∞
故只需证明无穷级数ϕ0(x) + [ϕn+1(x) − ϕn(x)]在I上一致收敛即可。采用数学 n=0
归纳法来证明：
特别，取ϕ0(x) = y0，则 |ϕ1(x) − ϕ0(x)| =
如果y = ϕ(x)(x ∈ I)是方程(3.1)的解，就有
dϕ(x) dx
=
f (x, ϕ(x))
上式两边从x0到x取定积分可得
x
ϕ(x) − ϕ(x0) = f (t, ϕ(t))dt
x0
把定解问题(3.1)的初始条件
ϕ(x0) = y0
代入上式可得
x
ϕ(x) = y0 + f (t, ϕ(t))dt
ρ(xm, xn) < ε 则称{xn}为Cauchy点列或者基本点列。如果X中的任一基本点列必收敛于X中的某一点， 则称X为完备的距离空间。
定义 3.4 设X, Y都是距离空间，如果对于每一个x ∈ X，必有Y中唯一一点y与之对应， 则称这个对应关系是一个映射。常用记号T 来表示，即T x = y。
h = min
a,
b M
,
M = max |f (x, y)| (x,y)∈R
〖证明〗 证明过程分3步。
1
2
第三章 一阶常微分方程解的存在唯一性
(1) 首先证明微分方程初值问题(3.1)等价于积分方程
x
y(x) = y0 + f (t, y(t))dt
x0
(3.2)
即如果连续可微函数y(x)满足微分方程(3.1)，则它一定满足积分方程(3.2)；如果连 续函数y(x)满足积分方程(3.2)，则它一定连续可微，而且满足微分方程(3.1)。（一 般，一个函数作为微分方程的解被要求是连续可微的，而作为积分方程的解仅要 求连续。）具体证明如下：
x0
ϕ0(x), ϕ1(x), · · · , ϕn(x), · · ·
称为Picard序列。在生成该函数序列的时候，如果有ϕn+1(x) = ϕn(x)，那么ϕn(x)就 是积分方程(3.2)的解；否则可以证明：ϕn(x)(n = 1, 2, · · ·)当x ∈ I时一致收敛到某 一连续函数ϕ(x)。具体证明如下：