九年级数学下册《一元二次方程的根的判别式》教案(一) 新人教版
一元二次方程的根的判别式(一)教案人教版
五、总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一元二次方程的根的判别式的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对判别式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
七、课后拓展
1. 拓展内容：
- 阅读材料：《一元二次方程的应用案例解析》、《复数根在实际问题中的应用》等文章，帮助学生了解一元二次方程在实际生活中的应用和复数根的实用价值。
- 视频资源：《一元二次方程的根的判别式讲解》、《一元二次方程解法演示》等视频，为学生提供直观的教学演示和实ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ分析。
2. 拓展要求：
五、教学流程
一、导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《一元二次方程的根的判别式（一）》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要判断一元二次方程根的情况？”（举例说明）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一元二次方程根的判别式的奥秘。
二、新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程的根的判别式的基本概念。判别式是……（详细解释概念）。它能帮助我们判断一元二次方程的根的情况，即判断方程有几个实数根、几个虚数根或者无实数根。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了判别式在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
- 鼓励学生进行小组合作学习，共同探讨一元二次方程的应用案例和实际问题解决方案。学生可以分享自己的思路和方法，互相学习和借鉴。
人教版同步教参数学九年级-一元二次方程：根的判别式和根与系数的关系
一元二次方程第2节 根的判别式和根与系数的关系【知识梳理】1、一元二次方程根的判别式关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，用配方法可得222442a ac b a b x -=+）（ac b 42-=∆称为根的判别式0＞∆，则方程有两个不相等的实数根 0＜∆，则方程没有实数根0=∆，则方程有两个相等的实数根反过来也成立。
2、一元二次方程根与系数的关系如果21,x x 是方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根， 则acx x a b x x =-=+2121 【诊断自测】1．一元二次方程的两个根x 1、x 2和系数a 、b 、c 的关系：。
2．若方程3x 2−4x −4=0的两个实数根分别为x 1，x 2，则x 1+x 2=（ ） A ．−4B ．3C ．−43D ．433．已知x 1、x 2是一元二次方程x 2−4x+1=0的两个根，则x 1•x 2等于（ ） A ．−4B ．−1C ．1D ．44．已知x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6−2x 的两根，则x 1−x 1x 2+x 2的值是（ ）A ．B ．83C ．−83D 【考点突破】类型一：根的判别式常见题型1、已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）已知方程的一个根为x=0，求代数式（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5的值（要求先化简再求值）．答案：见解析。
解析：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．∴△=（2m+1）2﹣4m（m+1）=1＞0，∴方程总有两个不相等的实数根；（2）∵x=0是此方程的一个根，∴把x=0代入方程中得到m（m+1）=0，∴m=0或m=﹣1，∵（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5=4m2﹣4m+1+9﹣m2+7m﹣5=3m2+3m+5，把m=0代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=5；把m=﹣1代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=3×1﹣3+5=5．例2、已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0（1）求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC的一边长a=4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．答案：见解析解析：对于等腰三角形，需要讨论a是腰还是底边。
《一元二次方程》数学教案(优秀5篇)
《一元二次方程》数学教案(优秀5篇)元二次方程教案篇一一、素质教育目标（一）知识教学点：1．使学生了解一元二次方程及整式方程的意义；2．掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项．（二）能力训练点：1．通过一元二次方程的引入，培养学生分析问题和解决问题的能力；2．通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性．（三）德育渗透点：由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数列方程向学生渗透方程的思想方法，由此培养学生用数学的意识．二、教学重点、难点1．教学重点：一元二次方程的意义及一般形式．2．教学难点：正确识别一般式中的“项”及“系数”．三、教学步骤（一）明确目标1．用电脑演示下面的操作：一块长方形的薄钢片，在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，就成为一个无盖的长方体盒子，演示完毕，让学生拿出事先准备好的长方形纸片和剪刀，实际操作一下刚才演示的过程．学生的实际操作，为解决下面的问题奠定基础，同时培养学生手、脑、眼并用的能力．2．现有一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在每个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，那么应该怎样求出截去的小正方形的边长？教师启发学生设未知数、列方程，经整理得到方程x2-70x+825=0，此方程不会解，说明所学知识不够用，需要学习新的知识，学了本章的知识，就可以解这个方程，从而解决上述问题．板书：“第十二章一元二次方程”．教师恰当的语言，激发学生的求知欲和学习兴趣．（二）整体感知通过章前引例和节前引例，使学生真正认识到知识来源于实际，并且又为实际服务，学习了一元二次方程的知识，可以解决许多实际问题，真正体会学习数学的意义；产生用数学的意识，调动学生积极主动参与数学活动中．同时让学生感到一元二次方程的解法在本章中处于非常重要的地位．（三）重点、难点的学习及目标完成过程1．复习提问（1）什么叫做方程？曾学过哪些方程？（2）什么叫做一元一次方程？九年级数学《一元二次方程》教案篇二教学目标：知识与技能目标：经历探索一元二次方程概念的过程，理解一元二次方程中的二次项、一次项、常数项；了解一元二次方程的一般形式，并会将一元二次方程转化成一般形式。
一元二次方程根的判别式的应用教学案
1.2 二次根式的性质（1）【要点预习】1.二次根式的性质：(1)2____(0)a =≥；(2)(__0)____(__0).a a a a ⎧=⎨-⎩【课前热身】1.填空：2= . 答案：22. = . 答案：43. ________= .答案：1 1【讲练互动】【例1】计算：(1) 33 3.⎤+⎦；解：(1) 原式=)233333+-.(2) 原式=((22220=---=.【黑色陷阱】注意2的区别,2表示a 的算术平方根的平方, 其运算结果为a ；a 2的算术平方根, 其结果由a 的符号决定, 当a 为正数时结果为a ；当a 为负数时结果为-a . 【变式训练】 1. 计算：(1) 2（(2)2；(3)31.73-答案：(1) 4；(2)815；(3)19.【例2】(2008广州中考)如图，实数a、b在数轴上的位置，化简分析：根据图中数轴，可知-1<a<0<b<1，于是a a=-，b b=，a b b a-=-，于可化简原式.解：由题意得a<0<b, ∴原式=|a|-|b|-|a-b|=-a-b+(a-b)=-2b.号外面，可以先写成绝对值的形式，判断符号，然后化去绝对值.【变式训练】2. 2得…………………………………………………………( )A. 2B. -4x+4C. -2D. 4x-4答案：A【同步测控】基础自测1.下列算式错误的是…………………………………………………………………………( )6= B. 6- C. 2(6= D. 26=答案：D2.( )A.11 C.1±（ D.答案：B3.= a-，则实数a在数轴上的对应点一定在……………………………………（）A. 原点左侧 B. 原点右侧C. 原点或原点左侧D. 原点或原点右侧答案：C4. 当x＞2答案：x-25.则此直角三角形的斜边长为 . 答案：36. 计算：(1) 2（；(2) 2-(3) .答案：(1)-6；(2)0.3；能力提升7. π的值是…………………………………………………………………( )A. 3.14-2πB. 3.14C. -3.14D. 无法确定解析：由于3.14<π 3.14 3.14ππ=-=-，所以原式＝π-3.14-π=-3.14.答案：C8.已知0<a ，那么…………………………………………………………（ ）A. aB.a -C.a 3D.a 3-解析：由于a <0，故|a |=-a ，因此原式33a a ==-. 答案：D9.已知已知1x =＋1y =222x xy y -+的值是 .解析：原式=(x -y )2=((22112⎡⎤+-+==⎣⎦.答案：210. 若化简|1-x |2x -5，则x 的取值范围是 . 解析：由题意得, 原式=(x -1)+(x -4)=2x -5, 故可知1-x ≤0且x -4≥0, 解得x ≥4. 答案：x ≥411. 已知a 、b 、c 为△ABC 分析：根据“三角形两边之和大于第三边”可得a+b >c ，b+c >a ，于是a b c a b c =+-=+-a b c b c a =--=+-，故可化简原式.解：∵a 、b 、c 为△ABC 的三边长，∴a+b >c , b+c >a . ∴原式=(a+b-c )+(b+c-a )=2b . 12. 阅读下面的文字后，回答问题．小王和小李解答题目：“先化简下式，再求值：a ，其中a ＝7时，得出了不同的答案．小王的解答是：原式＝()11a a a +-=；小李的解答是：原式＝()12127113a a a a =+-=-=⨯-=．（1）_____的解答是错误的．（2）错误的解答错在未能正确运用二次根式的性质：___________．分析：由于a =7>111a a -=-，因此小王的解答错误.解：(1)小王；a . 创新应用13．先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a 、b ，使a+b=m ，n ab =，使得22m +=，n b a =⋅，=)(b a >7m =，12n =，由于4+3=7，4312⨯=.即227+=2+解：这里m=13，n =42. ∵7+6=13，7×6=42，∴2213+=a+b >c , b+c >a .1.2 二次根式的性质（2）【要点预习】1.二次根式的性质2：________(0,0);a b=≥≥__0,__0).a b【课前热身】1.）A. B. C. D.答案：B2. 当0x<=___________.答案：-x3. =；=.答案：11 5 34. =_________.【讲练互动】【例1】化简：解：(1)原式=12×5=60. (2)原式=.(3)原式. (4)原式【绿色通道】对二次根式化简结果的要求：一是根号内不再含有开得尽方的因式；二是根号内不再含有分母. 二次根式化简的步骤：一是预备阶段，包括分解质因数，化带分数为假分数，处理好被开方数的符号，根号内分数的分子、分母同乘一个数，使分母变成一个完全平方数等；二是运用二次根式的性质的秩序：先运用积和商的自述平方根性质，的性质.【变式训练】1.化简：；答案：(1)40；(2)45；；【例2】先化简，再求出下面算式的近似值.(精确到0.01).解：(1)原式2.45=.(2)原式1.06=≈.(3)原式22.45≈.【黑色陷阱】第(1)题注意应化为正数后再化简；第(3)题根号内不是积的形式，注意要先分解因式，化成积的形式后再化简.【变式训练】2.先化简，再求出下列算式的近似值：(1)(结果保留三个有效数字)；(2)(精确到0.01).答案：(1)0.110； 2.50.【例3】在44⨯的方格内画△ABC，使它的顶点都在格点上，三条边长分别为2，2的直角三角形CBA的斜边长；由于==因此可视作两条直角边长分别为3，1的直3，1的直角三角形的斜边长.解：化简后三角形的三边分别为ABC 如图所示. 【变式训练】3. 在44⨯的方格内画△ABC，使它的顶点都在格点上，三条边长分别为分析：由于===2，1的直角三3，2的直角三角形的斜边长.ABC 如图所示. 【同步测控】基础自测1.(2007潍坊中考)） A.10B.C.D.20答案：B2.的结果是………………………………………………………………（ ） A.0.6 B.0.06 C.6.0± D.06.0± 答案：A3. 下列化简正确的是 ………………………………………………………………………( )959=⨯=45B.=7+24=31CBA22⨯=3623答案：C4. 等腰直角三角形的腰长为4，则斜边上的高线长为……………………………………（）A.4 D.答案：B5.=a的取值范围是 .答案：a≥06. 化简：(1)162 ；(3) (4)答案：(1)(3)(4)6；7.直角三角形的两直角边长度的比为3∶2.解：设两直角边长分别为3x, 2x, 则由勾股定理得(3x)2+(2x)2=2, 13x2=520, x2=40.∵x>0, ∴x=∴两条直角边的长分别为能力提升8. (2007莱芜中考则x的取值范围是…………………………（）A. x≥0B. x>0C. x≥1D. x>1解析：根据二次根据成立的意义，必须满足x≥0且x-1≥0，可解得x≥1.答案：C9.若等边三角形的边长是6，则它的高为…………………………………………………( )A.3B.C.D.解析：由勾股定理，得等边三角形的高答案：C10.(2007乌鲁木齐中考)的被开方数相同的概率是.==4个中有33 4 .答案：3 411.先化简,再用计算器求出各算式的近似值(结果保留4个有效数字)：(1)(2)(3)答案：3.953；1.118；0.3953；0.3440.○12. 观察下列各式及其验证过程：验证：===.(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想(2)针对上述各式反映的规律，写出用n(n为任意自然数，且n≥2)表示的等式，并给出证明. 解：(1)，(2)创新应用13.在如图的4×4方格内画△ABC，使它的顶点都在格点上，且AB=BC=2，AC并求B点到AC的距离.DCBA分析：由于=2，2的直角三故可视作两条直角三角形边长分别为2，4的直角三角形的斜边长，因此△ABC可作出. 再利用面积法可求得B点到AC的距离.解：作BD⊥AC于D. AB=BC=2，AC=.∵S△ABC=12×2×2=2=12AC·BD, ∴BD=4AC===一元二次方程复习指南一、课程目标要求1．经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，了解一元二次方程及其相关概念．2．能灵活用直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法解简单的一元二次方程，并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想．3．会用一元二次方程模型解实际问题，并从中经历“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的过程，获得更多运用数学知识分析、解决实际问题的方法和经验，更好地体会数学的价值．二、知识脉络简图三、重点知识回顾1，含有一个未知数，并且未知数的最高指数是2的整式方程，叫做一元二次方程. 注意一元二次方程就必须满足：①整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2（未知数的指数为2，二次项的系数不为0）.2，一元二次方程的一般形式是ax 2+bx +c ＝0（a ≠0），其中ax 2是二次项，bx 是一次项，c 是常数项，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数.任何一个一元二次方程都可以通过整理转化成一般形式.由此，对于一个方程从形式上，应先将这个方程进行整理，看是否符合ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的一般形式.其中，尤其注意a ≠0的条件，有了a ≠0的条件，就能说明ax 2+bx +c ＝0是一元二次方程.若不能确定a ≠0，并且b ≠0，则需分类讨论：当a ≠0时，它是一元二次方程；当a ＝0时，它是一元一次方程.3，一元二次方程的根的定义可以当作性质定理使用，即若有实数m 是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根，则m 必然满足该方程，将m 代入该方程，便有am 2+bm +c ＝0（a ≠0）；定义也可以当作判定定理使用，即若有数m 能使am 2+bm +c ＝0（a ≠0）成立，则m 一定是ax 2+bx +c ＝0的根.我们经常用定义法来解一些常规方法难以解决的问题，能收到事半功倍的效果.4，一元二次方程的解法有：直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法.对于一般形式的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的求根公式：x ＝2b a -±b 2－4ac ≥0）. 注意一元二次方程如果有解，就有两个解（有时有两个相同的解）.5.四种一元二次方程解法的适用范围（1）开平方法和因式分解法都只适用于一些特殊的方程.当方程的左边是含有未知数的完全平方式，而右边是一个非负数的形式时,应用开平方法.（2）当方程一边是0，而另一边适于因式分解时，可用因式分解法.(3)配方法和公式法适于任何有实数根的一元二次方程.当二次项系数是1且一次项系数是2的倍数时，可用配方法；当二次项系数不是2的倍数且不易用因式分解法时，可考虑用公式法.（4）公式法虽是“万能”的，但它总是“下策”，只有在迫不得已时才使用，而因式分解才是首选方法.（5）因为一元二次方程通过配方法然后开方即得公式法，所以开平方是基础，配方法是关键，公式法是重点，而因式分解是最快捷有效的方法.6，列一元二次方程解简单的实际应用问题的方法和步骤与列一元一次方程解应用题基本相同.简单地可分为：设、找、列、解、检、答等六个步骤.具体地就是：（1）设 弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x )表示题目中的一个未知数；（2）找 找到能够表示应用题全部含义的一个相等的关系；（3）列 根据这个相等的数量关系式，列出所需的代数式，从而列出方程；（4）解 解这个所列的分式方程，求出未知数的值；（5）检 检验；（6）答 写出答案(包括单位名称).这六个步骤关键是“列”，难点是“找”.四、思想方法导读1转化思想：如将一元二次方程转化为一次方程，转化的策略是降次，降次的途径是配方、开方和因式分解.2建模思想：弄清问题的实际背景，找出实际问题中相关数量之间的相等关系，并把这种关系“翻译”为一元二次方程.常见的实际问题有：增长率问题、面积问题、利润问题等.2配方法：配方法不仅可以用来解一元二次方程，而且也是解决其它数学问题的方法，如学习二次函数就少不了配方法.五、典型例题解析考点一：一元二次方程的有关概念例1（09荆门）关于x 的方程ax 2－(a ＋2)x ＋2=0只有一解(相同解算一解)，则a 的值为( )(A)a =0． (B)a =2． (C)a =1． (D)a =0或a =2．解析：因为该方程的二次项系数为字母，根据已知条件：只有一解(相同解算一解)，考虑字母的适用范围，应将字母分0=a 和0≠a 两种情况分类讨论:解：（1）当0=a ，方程为一元一次方程 022=+-x 此时有实数根1=x ；（2）当0≠a ，方程为二次方程.由相同解算一解得：[]0)2(8)2(22=-=-+-=∆a a a ，解得2=a 此时方程有实数根1=x综合（1）、（2），选D评注：字母系数的取值范围问题是否要讨论，要看清题目的条件.一般设问方式有两种（1）前置式，即“二次方程”；（2）后置式，即“两实数根”。
数学一元二次方程根的判别式教案设计
数学一元二次方程根的判别式教案设计数学一元二次方程根的判别式教案设计一、教材分析1、教材所处的地位和作用：本课是阅读教材P39页的有关内容，虽然新课程标准没有要，教材上也作为阅读教材，但由于其内容太重要了，因而必须把它作为一堂课来上。
它的作用在于让学生能尽快判定一元二次方程根的情况。
2、教学内容：本课主要是引导学生通过对一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)配方后得到的（x+ ）2 = 2 的观察，分析，讨论，发现，最后得出结论：只有当 2b2－4ac≥ 0 时，才能直接开平方，进一步讨论分析得出根的判别式，从而运用它解决实际问题。
3、新课程标准的要求：由于根的判别式作为删去内容，虽然其内容重要，因而在处理这部分内容时，只能要求作了解性深入，练习尽可能简捷明确。
4、教学目标：（1）知识能力目标：通过本课的学习，让学生在知识上了解掌握根的判别式。
在能力上在求不解方程能判定一元二次方程根的情况；根据根的情况，探求所需的条件。
（2）情感目标：学生通过观察、分析、讨论、相互交流、培养与他人交流的能力，通过观察、分析、感受数学的变化美，激发学生的探求欲望。
5、数学思想：由感性认识到理性认识。
6、教学重点：（1）发现根的判别式。
（2）用根的判别式解决实际问题。
7、教学难点：根的'判别式的发现8、教法：启导、探究9、学法：合作学习与探究学习10、教学模式：引导——发现式二、教学过程（一）自习回顾，引入新课1、师生共同回顾：一元二次方程的解法2、解下列一元二次方程。
（1）x2 -1=0 （2）x2 -2x =-1（3）(x+1)2- 4=0 （4）x2 +2x+2=03、为什么会出现无解？（二）探索1、回顾：用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。
2、观察(x+ ) 2= 2 在什么情况下成立？3、学生分组讨论。
4、猜测？5、发现了什么？6、总结：2（先由学生完成，后由教师补充完整），通过观察分析发现，只有当b2－4ac≥ 0时，才能直接开平方，也就是说，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)只有当系数a，b，c都是b2－4ac≥ 0时，才有实数根。
2023最新-一元二次方程教案(优秀7篇)
一元二次方程教案（优秀7篇）作为一名默默奉献的教育工作者，时常会需要准备好教案，教案是备课向课堂教学转化的关节点。
优秀的教案都具备一些什么特点呢？牛牛范文为您带来了7篇一元二次方程教案，如果对您有一些参考与帮助，请分享给最好的朋友。
九年级数学《一元二次方程》教案篇一一、教材分析：1、本章的主要内容：（1）一元二次方程的有关概念；（2）一元二次方程的解法，根的判别式及根与系数的关系；（3）实际问题与一元二次方程。
2、本章知识结构图：3、教学目标：（1）以分析实际问题中的等量关系并求解其中的未知数为背景，认识一元二次方程及其有关概念；（2）根据化归的思想，抓住“降次”这一基本策略，掌握配方法、直接开平法、公式法和因式分解法等一元二次方程的基本解法；（3）经历分析和解决实际问题的过程，体会一元二次方程的数学模型作用，进一步提高在实际问题中运用方程这种重要数学工具的基本能力。
4、本章的重点与难点本章学习的重点：一元二次方程的解法及应用一元二次方程解决实际问题。
难点：（1）分析方程的特点并根据方程的特点选择合适的解法；（2）实际背景问题的等量分析，设元列一元二次方程解应用题。
即建立一元二次方程模型解决实际问题，尽管已经有了运用一次方程（组）解应用问题的经验，但由于实际问题涉及的内容广泛，有的背景学生不熟悉，有的问题数量关系复杂，不易找出等量关系。
同时，还要根据实际问题的意义检验求得的结果是否合理。
二、教学中应注意的问题：1、重视一元二次方程与实际的联系，再次体现数学建模思想。
方程是刻画现实世界的有效数学模型，因而方程教学关注方程的建模过程。
教科书的第1节就是想通过多种实际问题的分析，经历模型化的过程，并在此基础上抽象出数学概念。
当然，在教学中除教科书第1节、第5节提供了大量的实际问题外，教师还应根据学生生活实际和认知水平，创设更为丰富、贴近学生的现实情景，并引导学生分析其中的数量关系，建立方程模型。
在经历多次这样的数学活动，使学生感受到方程与实际问题的联系，领会数学建模思想，增强学生学习数学的兴趣和应用意识，培养学生分析问题、解决问题的能力。
一元二次方程的根的判别式教案人教版
1. 对根的判别式的性质的理解和应用。
2. 将实际问题转化为数学模型，利用根的判别式解决问题。
解决办法：
1. 对于重点内容，通过例题讲解和练习，让学生反复巩固，加强对判别式性质的理解。
2. 对于难点内容，可以通过小组讨论、教师引导的方式，帮助学生建立判别式与实际问题之间的联系，提高学生解决问题的能力。
（二）存在主要问题
1. 学生参与度不够：在课堂上，部分学生参与度不高，对于问题的讨论和解答不够积极。
2. 部分学生理解困难：有些学生在理解一元二次方程的根的判别式的性质时存在困难，对于如何应用判别式解决问题不够清晰。
3. 教学评价需要改进：现有的随堂测试和作业评价方式可能过于单一，不能全面反映学生的学习情况。
2. 课程平台：人教版数学教材、教学课件、练习题库。
3. 信息化资源：互联网、在线教育平台、数学教学视频。
4. 教学手段：讲解、示范、练习、讨论、小组合作、案例分析。
教学过程Hale Waihona Puke 计1. 导入新课（5分钟）
目标：引起学生对“一元二次方程的根的判别式”的兴趣，激发其探索欲望。
过程：
开场提问：“你们知道什么是一元二次方程的根的判别式吗？它与我们的生活有什么关系？”
展示一些关于一元二次方程的图片或视频片段，让学生初步感受数学的魅力或特点。
简短介绍一元二次方程的根的判别式的基本概念和重要性，为接下来的学习打下基础。
2. 一元二次方程基础知识讲解（10分钟）
目标：让学生了解一元二次方程的基本概念、组成部分和根的判别式的原理。
过程：
讲解一元二次方程的定义，包括其主要组成元素或结构。
4. 利用根的判别式判断一元二次方程的根的情况。
教学内容与学生已有知识的联系：
中考数学总复习 第十二章 一元二次方程 第9课时 根的判别式教案-人教版初中九年级全册数学教案
一元二次方程第9课时：一元二次方程的根的判别式（二）教学目标：1、熟练运用判别式判别一元二次方程根的情况．2、学会运用判别式求符合题意的字母的取值X围和进行有关的证明．3、通过例题教学，渗透分类的思想．教学重点：运用判别式求出符合题意的字母的取值X围．教学难点：教科书上的黑体字“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△=0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根”可看作一个定理，书上的“反过来也成立”，实际上是指它的逆命题也成立．对此的正确理解是本节课的难点．可以把这个逆命题作为逆定理．教学过程：上节课学习了一元二次方程根的判别式，得出结论：“一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△=0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根．”这个结论可以看作是一个定理．在这个判别方法中，包含了所有各种情况，所以反过来也成立，也就是说上述结论的逆命题是成立的，可作为定理用．本节课的目标就是利用其逆定理，求符合题意的字母的取值X围，以及进行有关的证明．本节课是上节课的延续和深化，主要是在“明确目标”中所提的逆定理的应用．通过本节课的内容的学习，更加深刻体会到“定理”与“逆定理”的灵活应用．不但不求根就可以知道根的情况，而且知道根的情况，还可以确定待定的未知数系数的取值，本节课内容对学生严密的逻辑思维及思维全面性进行恰如其分的训练．一、新课引入：（1）一元二次方程的一般形式？说出二次项系数，一次项系数及常数项．（2）一元二次方程的根的判别式是什么？用它怎样判别根的情况？二、新课讲解：将复习提问中的问题（2）的正确答案板书，反之，即此命题的逆命题也成立，即“一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果方程有两个不相等的实数根，则△＞0；如果方程有两个相等的实数根，则△=0；如果方程没有实数根，则△＜0．”即根据方程的根的情况，可以决定△值的符号，‘△’的符号，可以确定待定的字母的取值X围．请看下面的例题：例1 已知关于x的方程2x2-（4k+1）x+2k2-1＝0，k取什么值时（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（1）方程无实数根．解：∵ a＝2， b＝-4k-1，c＝2k2-1，∴ b2-4ac＝（-4k-1）2-4×2×（2k2-1）＝8k+9．方程有两个不相等的实数根．方程有两个相等的实数根．方程无实数根．本题应先算出“△”的值，再进行判别．注意书写步骤的简练清楚．练习1．已知关于x的方程x2＋（2t＋1）x＋（t-2）2＝0．t取什么值时，（1）方程有两个不相等的实数根？（2）方程有两个相等的实数根？（3）方程没有实数根？学生模仿例题步骤板书、笔答、体会．教师评价，纠正不精练的步骤．假设二项系数不是2，也不是1，而是k，还需考虑什么呢？如何作答？练习2．已知：关于x的一元二次方程：kx2+2（k+1）x+k=0有两个实数根，求k的取值X围．和学生一起审题（1）“关于x的一元二次方程”应考虑到k≠0．（2）“方程有两个实数根”应是有两个相等的实数根或有两个不相等的实数根，可得到△≥0．由k≠0且△≥0确定k的取值X围．解：∵△＝[2（k＋1）]2-4k2＝8k＋4．原方程有两个实数根．学生板书、笔答，教师点拨、评价．例求证：方程（m2＋1）x2-2mx＋（m2＋4）＝0没有实数根．分析：将△算出，论证△＜0即可得证．证明：△＝（-2m）2-4（m2+1）（m2+4）＝4m2-4m4-20m2-16＝-4（m4＋4m2＋4）＝-4（m2＋2）2．∵不论m为任何实数，（m2＋2）2＞0．∴ -4（m2＋2）2＜0，即△＜0．∴（m2＋1）x2-2mx＋（m2-4）＝0，没有实根．本题结论论证的依据是“当△＜0，方程无实数根”，在论证△＜0时，先将△恒等变形，得到判断．一般情况都是配方后变形为：a2，a2＋2，（a2＋2）2，-a2，-（a2＋2）2，-（a＋2）2，……从而得到判断．本题是一道代数证明题，和几何类似，一定要做到步步有据，推理严谨．此种题型的步骤可归纳如下：（1）计算△；（2）用配方法将△恒等变形；（3）判断△的符号；（4）结论．练习：证明（x-1）（x-2）=k2有两个不相等的实数根．提示：将括号打开，整理成一般形式．学生板书、笔答、评价、教师点拨．三、课堂小结：1．本节课的主要内容是教科书上黑体字的应用，求符合题意的字母的取值X围以及进行有关的证明．须注意以下几点：（1）要用b2-4ac，要特别注意二次项系数不为零这一条件．（2）认真审题，严格区分条件和结论，譬如是已知△＞0，还是要证明△＞0．（3）要证明△≥0或△＜0，需将△恒等变形为a2＋2，-（a＋2）2……从而得到判断．2．提高分析问题、解决问题的能力，提高推理严密性和思维全面性的能力．四、作业：1．教材P．29中B1，2，3．2．当方程x2+2（a+1）x+a2+4a-5=0有实数根时，求a的正整数解．参考题目：一、选择题（每题4分，共24分）将下列各题中唯一正确答案的序号填在题后括号内。
九年级数学《一元二次方程》教案(5篇)
九年级数学《一元二次方程》教案（5篇）元二次方程教案篇一教学目标掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系。
重点、难点：二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间关系的探索。
教学过程：一、情境创设一次函数y=x+2的图象与x轴的交点坐标问题1.任意一次函数的图象与x轴有几个交点？问题2.猜想二次函数图象与x轴可能会有几个交点？可以借助什么来研究？二、探索活动活动一观察在直角坐标系中任意取三点A、B、C，测出它们的纵坐标，分别记作a、b、c，以a、b、c为系数绘制二次函数y=ax2+bx+c的图象，观察它与x轴交点数量的情况；任意改变a、b、c值后，观察交点数量变化情况。
活动二观察与探索如图1，观察二次函数y=x2-x-6的图象，回答问题:（1)图象与x轴的交点的坐标为A（，），B(，）（2）当x=时，函数值y=0。
（3）求方程x2-x-6=0的解。
（4）方程x2-x-6=0的解和交点坐标有何关系？活动三猜想和归纳（1）你能说出函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数的其它情况吗？猜想交点个数和方程ax2+bx+c=0的根的个数有何关系。
（2）一元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数由什么来判断？这样我们可以把二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点、一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根和根的判别式三者联系起来。
三、例题分析例1.不画图象，判断下列函数与x轴交点情况。
(1)y=x2-10x+25(2)y=3x2-4x+2(3)y=-2x2+3x-1例2.已知二次函数y=mx2+x-1（1）当m为何值时，图象与x轴有两个交点（2）当m为何值时，图象与x轴有一个交点？（3）当m为何值时，图象与x轴无交点？四、拓展练习1、如图2，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B。
（1）请写出方程ax2+bx+c=0的根（2）列举一个二次函数，使其图象与x轴交于(1,0)和(4,0)，且适合这个图象。
初中数学教案【一元二次方程根的判别式】
a
a
即
(____________) 2＝___________
批 注（由
使用教师补充）
因为 a≠0，所以 4 a2＞0，当 b2－4 ac≥0 时，直接开平方，得
_____________________________.
所以
x＝_______________________
即
x＝_________________________
教学难点 难点：能根据一元二次方程根的情况求字母的值或确定字母的取值范围。
教学过程
教学内容及师生活动（由主备教师撰写）
导学流程：
（一）课前延伸：
1、用配方法解一元二次方程的步骤：
2、解方程：x2-2x+2=0
（二）课内探究：
1、自主学习：
自学课本 142—143 页，判断一元二次方程根的情况
2．合作探究：
年级 九年级 科目 数学 主备教师
备课时间
课题
一元二次方程根的判别式
总 1 课时 第 1 课时
1.理解什么是一元二次方程根的判别式；
教学目标 2.会熟练应用根的判别式判断一元二次方程根的情况．
3.能根据一元二次方程根的情况求字母的值或确定字母的取值范围。
教学重点 重点： 会熟练应用根的判别式判断一元二次方程根的情况
即△= b2-4ac.
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a ≠0)
当△>0 时有两个不相等的实根；
当△=0 时有两个相等的实根；
当△<0 时没有实根.
4、例题解析：
1.不解方程，判断下列方程根的情况：
（1）x2+3X=8 （2）5t2-2 t +3=0
一元二次方程根的判别式教案
（1）16x2+8x=-3 （2）9x2+6x+1=0
（3）2x2-9x+8=0 （4）x2-7x-18=0
分析：不解方程，判定根的情况，只需用b-4ac的值大于0、小于0、等于0 的情况进行分析即可．
解：（1）化为16x2+8x+3=0
这里a=16，b=8，c=3，b2-4ac=64-4
②教师在本课教学中起到的是“主导”作用而不是“指导”作用。
“主导”和“指导”，一字之差，但却体现了教学观念的根本变化。在本课的教学实施中，我起到的完全是“主导”作用，课堂的每个学习环节都是由我具体按排，学生只需要按部就班地学习。在课堂中缺少了让学生充分表述自我观点、意见、与同伴合作交流的机会。没能很好地体现“以生为本”的教学理念。
2、填空
1．已知方程x2+px+q=0有两个相等的实数，则p与q的关系是________．
2．不解方程，判定2x2-3=4x的根的情况是______ 3．已知b≠0，不解方程，试判定关于x的一元二次方程x2-（2a+b）x+（a+ab-2b2） =0的根的情况是________．
3．不解方程，试判定下列方程根的情况．
对于本课而言，学生对本课的知识掌握程度不错，中等层次的同学都能较好地完成练习题，似乎已较好地达到本课的教学目的。但是再仔细分析学生在课堂中的整个学习过程，我发现其实本课的教学仍存在以下的不足：
①本课的教学过多地注重了学生的模仿和记忆。
例如在环节三学习“如何用根的判别式解决实际问题。”时，我是先给出两道相应的例题说明，再让学生进行练习。在这个环节中，学生完全是在接受被动式的学习，所做的练习也只是对例题的重复模仿和记忆，并没能主动地参与到学习活动中。
人教版九年级数学21.2根的判别式的简单应用(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解根的判别式的基本概念。根的判别式Δ = b² - 4ac是判断一元二次方程ax² + bx + c = 0根的性质的重要工具。它是区分方程有实数根、无实数根或有两个相等实数根的关键。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析方程x² - 5x + 6 = 0的判别式Δ，我们会发现Δ = (-5)² - 4*1*6 = 25 - 24 = 1 > 0，因此方程有两个不相等的实数根。
-判别式的计算方法：熟练进行判别式的计算，包括对a、b、c的准确识别和代入。
-判别式与根的性质关系：明确Δ的值与方程根的数量及性质（实数或复数，相等或不相等）的对应关系。
举例：对于方程ax² + bx + c = 0，强调a、b、c系数与根的判别式Δ之间的关系，以及Δ值对根的实际情况的决定作用。
2.教学难点
人教版九年级数学21.2根的判别式的简单应用（教案）
一、教学内容
人教版九年级数学21.2根的判别式的简单应用。本节课我们将学习一元二次方程的根的判别式，包括判别式的计算方法及其应用。具体内容包括：
1.一元二次方程的根的判别式：Δ = b² - 4ac。
2.根据判别ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的值判断方程的根的情况：
-当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根；
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“根的判别式在实际数学问题中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考，如“判别式在解决哪些类型的问题时特别有用？”
【教育资料】人教版九年级数学21.2 根的判别式的简单应用 教学案学习专用
一元二次方程根的判别式【教学目标】1.熟练运用判别式判断一元二次方程根的情况;2.会根据方程的根的情况确定方程中一个字母系数的取值范围.【教学重难点】1.运用判别式求出符合题意的字母的取值范围;2.运用判别式判别一元二次方程根的情况.教学过程：新知探究：思考：一元二次方程的根的情况有哪几种？取决于 .当判别式 时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当判别式 时，一元二次方程有两个相等的实数根；当判别式 时，一元二次方程无实数根．任务一、不解一元二次方程,判断根的情况例题1. 不解方程，判断下列方程根的情况．（1）012222=+-x x （2）1352+=-x x x （3）x x 8172=+练习不解方程,判定下列方程的根的情况：(1)2x 2－3x －32＝0 (2)16x 2－24x ＋9＝0 (3)x 2－42x ＋9＝0 (4)3x 2＋10x ＝2x 2＋8x. 任务二、根据方程根的情况,确定待定系数的取值范围例题2：已知一元二次方程kx 2+(2k-1)x+k+2=0有两个不相等的实数根,求k 的取值范围.练习：（B ）已知关于x 的一元二次方程22x m x -= 有两个不相等的实数根，求m 的取值范围（C ）关于x 的一元二次方程mx 2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判别式为1,求m 的值及该方程的根;任务三、证明字母系数方程有无实数根例3：求证方程x 2-(m+2)x+2m-1=0有两个不相等的实数根.练习：（B ）不解方程判断关于x 的一元二次方程x 2-kx-2=0的根的情况．（C ）设关于x 的方程,x 2-2mx-2m-4=0证明:不论m 为何值,这个方程总有两个不相等的实数根.任务四、拓展延伸（C ）已知m 为非负整数,且关于x 的方程(m-2)x 2-(2m-3)x+m+2=0有两个实数根,求m 的值课堂小结：1.一元二次方程的求根公式是：2.根的判别式的用途是：1. .2. .课堂检测1.一元二次方程3x 2-2x+1=0的根的判别式的值为______ ,所以方程根的情况是_________2.若一元二次方程x 2-ax+1=0的两实根相等，则a 的值是（ ）A.a =0B.a =2或a =-2C.a =2D.a =2或a =03、已知方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中，a 和c 异号，此方程 实数根。
九年级数学教案《根的判别式与根与系数的关系》复习课说课稿
根的判别式与根与系数的关系复习课说课稿一、学习目标：1.判断一元二次方程的根的情况（两不等实根、两相等实根、无实根）；2.由根的情况，确定方程系数中字母的取值范围或取值；3.不解方程，求与方程两根有关代数式的值；4.根的判别式和根与系数的关系与其它知识的综合运用.并会灵活运用它们解决问题.二、重点和难点重点一元二次方程根的判别式和韦达定理基本运用.难点灵活运用根的判别式和韦达定理解决问题.三、学情分析本课前面学生学习的效果不是太理想，因此在课程结束之后，首先复习一下这块知识，顺带提高一下。
四、教学过程采取课前展示---认定目标----小组合作，交流讨论----发现问题----学生讲解，教师点拨----解决问题----拓展提高----课堂小结----当堂检测这一流程进行。
1、课前展示：课前几分钟学生将昨天布置的复习习题展示到黑板上。
目的：检测学生的复习效果及将学生的问题暴露出来，为下面的讨论环节做好准备。
2、认定目标：让学生明确指导本节课的重点在哪，自己要注意的什么知识，为自主学习做准备。
3、知识小结：把根的判别式及根与系数的关系都提出，这是解题的依据，并着重提醒学生记住。
4、小组合作、交流讨论：（1）小组长监控，学生分组就展示的题目交流讨论，以小组为单位，从解决问题用到的知识点以及解决问题要特别注意的地方两个方面交流讨论。
（2）教师巡视课堂，随时指导学生。
（3）注意时间的控制，提醒学生不要在无谓的争论上浪费时间。
目的：充分放手给学生，调动学生的积极性，让学生自己找出问题，加深理解。
充分体现学生的自主学习。
5、学生讲解、教师点拨：学生代表讲解题目的做法以及存在的问题，不足之处有其他成员补充。
教师及时给予肯定与评价，并适时追问与点拨、归纳。
此环节锻炼了学生的讲解能力，同时也是考验学生的听讲，看他们能否听出其中的错误并及时提出。
教师的鼓励与评价激励学生积极参与进来。
这样有利于调动学生的积极主动性，使各个层次的学生都积极参与，使每一位学生都能在自己的发展区域里，有不同的收获。
4.5《一元二次方程根的判别式》教案
《一元二次方程根的判别式》教案教学目标1.感悟一元二次方程的根的判别式的产生过程.2.能运用根的判别式判别方程根的情况和有关的推理论证.3.会运用根的判别式求一元二次方程中系数的范围.重点和难点重点:用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等；难点:弄懂为什么可以用判别式判别一元二次方程根的情况；突破难点的关键在于结合平方根的性质理解求根公式.教学准备教具准备：多媒体课件.学生准备：复习一元二次方程的解法，预习本节内容.教学过程一、创设情境，提出问题1.先用公式法解下列方程：(1)x2+4＝4x(2)x2+2x＝3(3)x2－x＋2＝0然后回答下列问题：你在求解过程中遇到什么问题？你是怎样处理所遇到的问题的？(待学生做完后，教师点评.(1)x1=x2=2；(2)x1=1，x2=-3；(3)无实数根.)2、发现问题观察上面三个方程的根的情况，你有什么发现？(学生观察得出：三个方程的根的情况是不同的，其中(1)有两个相等的实数根，(2)有两个不相等的实数根，(3)没有实数根)3、提出问题教师引导学生思考上述方程根的情况不同的原因，尝试提出下列问题：一般的，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，何时有两个相等的实数根？何时有两个不相等的实数根？它何时没有实数根？(板书课题，出示学习目标)二、探究新知1、一元二次方程的根的判别式活动1学生自学，初步感悟请学生带着下面的问题，自学课本，并注意分类讨论的思想方法的使用.一般的，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，它何时有两个相等的实数根？何时有两个不相等的实数根？何时没有实数根？为什么说方程根的情况是由b2-4ac决定的？教师巡视，并注意收集问题，为下一步集中释疑做准备.活动2合作交流，深入探究请学生结合自己的理解，就上述问题的答案在小组内进行讨论、探究，然后教师组织全班进行交流，关键让学生讲清每个结论的理由.活动3师生合作，归纳提升由上面的讨论可见，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况由b2-4ac来决定.因此，我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式.通常用符号“Δ”(希腊字母)来表示，读做“得尔塔”，即Δ=b2-4ac.2、一元二次方程的根的判别方法思考：你能说出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况具体有哪几种，又是如何判别的吗？学生思考，师生共同得出：结论1一般的，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)当Δ＞0时，有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，有两个相等的实数根；当Δ＜0时，没有实数根.这个结论告诉我们，只要算出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式的值，就可以由它的符号直接判别方程根的情况.活动4应用迁移，发展能力例1.不解方程，判断下列方程根的情况：（1）2x2+x-4=0；（2）4y2+9=12y；（3）5（t2+1）-6t=0.本例先让学生思考，分析解题思路，然后请学生口述第(1)小题的解法，教师板书，以进一步明确思路，强调解题方法及格式.请学生回顾上面的解题过程，总结判别一元二次方程的根的情况的步骤：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac是针对一般形式而言的，所以，不解方程，判别一元二次方程的根的情况的一般步骤为：一化(将一元二次方程化为一般形式)；。
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《一元二次方程的根的判别式》教案（一）
一、素质教育目标
（一）知识教学点：
1．了解根的判别式的概念．
2．能用判别式判别根的情况．
（二）能力训练点：
1．培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力．
2．进一步考察学生思维的全面性．
（三）德育渗透点：
1．通过了解知识之间的内在联系，培养学生的探索精神．
2．进一步渗透转化和分类的思想方法．
二、教学重点、难点、疑点及解决方法
1．教学重点：会用判别式判定根的情况．
2．教学难点：正确理解“当b2-4ac＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）无实数根．”
3．教学疑点：如何理解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0在实数范围内，当b2-4ac＜0时，无解．在高中讲复数时，会学习当b2-4ac＜0时，实系数的一元二次方程有两个虚数根．
三、教学步骤
（一）明确目标
在前一节的“公式法”部分已经涉及到了，当b2-4ac≥0时，可以求出两个实数根．那么b2-4ac＜0时，方程根的情况怎样呢？这就是本节课的目标．本节课将进一步研究b2-4ac ＞0，b2-4ac＝0，b2-4ac＜0三种情况下的一元二次方程根的情况．
（二）整体感知
在推导一元二次方程求根公式时，得到b2-4ac决定了一元二次方程的根的情况，称b2-4ac为根的判别式．一元二次方程根的判别式是比较重要的，用它可以判断一元二次方
程根的情况，有助于我们顺利地解一元二次方程，也有利于进一步学习函数的有关内容，并且可以解决许多其它问题．
在探索一元二次方程根的情况是由谁决定的过程中，要求学生从中体会转化的思想方法以及分类的思想方法，对学生思维全面性的考察起到了一个积极的渗透作用．（三）重点、难点的学习及目标完成过程
1．复习提问
（1）平方根的性质是什么？
（2）解下列方程：
①x2-3x＋2＝0；②x2-2x＋1＝0；③x2＋3＝0．
问题（1）为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用．问题（2）通过自己亲身感受的根的情况，对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作用．
2．任何一个一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）用配方法将
（1）当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根．
（3）当b2-4ac＜0时，方程没有实数根．
教师通过引导之后，提问：究竟谁决定了一元二次方程根的情况？
答：b2-4ac．
3．①定义：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用符号“△”表示．
②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．
当△＞0时，有两个不相等的实数根；
当△＝0时，有两个相等的实数根；
当△＜0时，没有实数根．
反之亦然．
注意以下几个问题：
（1）∵ a≠0，∴ 4a2＞0这一重要条件在这里起了“承上启下”的作用，即对上式开平方，随后有下面三种情况．正确得出三种情况的结论，需对平方根的概念有一个深刻的、正确的理解，所以，在课前进行了铺垫．在这里应向学生渗透转化和分类的思想方法．
（2）当b2-4ac＜0，说“方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根”比较好．有时，也说“方程无解”．这里的前提是“在实数范围内无解”，也就是方程无实数根”的意思．4．例1 不解方程，判别下列方程的根的情况：
（1）2x2＋3x-4＝0；（2）16y2＋9＝24y；
（3）5（x2＋1）-7x＝0．
解：
（1）∵△＝32-4×2×（-4）＝9＋32＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
（2）原方程可变形为
16y2-24y＋9＝0．
∵△＝（-24）2-4×16×9＝576-576＝0，
∴原方程有两个相等的实数根．
（3）原方程可变形为
5x2-7x+5=0．
∵△＝（-7）2-4×5×5＝49-100＜0，
∴原方程没有实数根．
学生口答，教师板书，引导学生总结步骤，（1）化方程为一般形式，确定a、b、c 的值；（2）计算b2-4ac的值；（3）判别根的情况．
强调两点：（1）只要能判别△值的符号就行，具体数值不必计算出．（2）判别根的情况，不必求出方程的根．
练习．不解方程，判别下列方程根的情况：
（1）3x2+4x-2=0；（2）2y2+5=6y；
（3）4p（p-1）-3＝0；（4）（x-2）2＋2（x-2）-8＝0；
学生板演、笔答、评价．
（4）题可去括号，化一般式进行判别，也可设y＝x-2，判别方程y2＋2y-8=0根的情况，由此判别原方程根的情况．
又∵不论k取何实数，△≥0，
∴原方程有两个实数根．
教师板书，引导学生回答．此题是含有字母系数的一元二次方程．注意字母的取值范围，从而确定b2-4ac的取值．
练习：不解方程，判别下列方程根的情况．
（1）a2x2-ax-1＝0（a≠0）；
（3）（2m2＋1）x2－2mx＋1=0．
学生板演、笔答、评价．教师渗透、点拨．
（3）解：△＝（-2m）2-4（2m2＋1）×1
＝4m2-8m2-4
＝-4m2-4．
∵不论m取何值，-4m2-4＜0，即△＜0．
∴方程无实数解．
由数字系数，过渡到字母系数，使学生体会到由具体到抽象，并且注意字母的取值．（四）总结、扩展
（1）判别式的意义及一元二次方程根的情况．
①定义：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式．用“△”表示
②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．
当△＞0时，有两个不相等的实数根；
当△＝0时，有两个相等的实数根；
当△＜0时，没有实数根．反之亦然．
（2）通过根的情况的研究过程，深刻体会转化的思想方法及分类的思想方法．
四、布置作业
教材P．27中 A 1、2
五、课后记
在推导一元二次方程求根公式时，得到b2-4ac决定了一元二次方程的根的情况，称b2-4ac为根的判别式．一元二次方程根的判别式是比较重要的，用它可以判断一元二次方程根的情况，有助于我们顺利地解一元二次方程，也有利于进一步学习函数的有关内容，并且可以解决许多其它问题．。