(完整word版)苏教版五年级数学下册公因数、公倍数讲义

公因数和公倍数

【知识要点】

1、一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数因数的个数是有限的。

一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。一个数倍数的个数是无限的。

一个数最大的因数等于这个数最小的倍数。

2、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，用符号[ ，]

表示。几个数的公倍数也是无限的。

3、两个数公有的因数，叫做这两个数的公因数，其中最大的一个，叫做这两个数的最大公因数，用符号

（，）。两个数的公因数也是有限的。

4、两个素数的积一定是合数。举例：3×5=15，15是合数。

5、两个数的最小公倍数一定是它们的最大公因数的倍数。举例：[6，8]=24，（6，8）=2，24是2的倍数。

6、求最大公因数和最小公倍数的方法：

倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。举例：15和5，[15，5]=15，（15，5）=5

素数关系的两个数，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。举例：[3，7]=21，（3，7）=1 一个素数和一个合数，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。[5，8]=40，（5，8）=1

相邻关系的两个数，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。[9，8]=72，（9，8）=1

特殊关系的数（两个都是合数，一个是奇数，一个是偶数，但他们之间只有一个公因数1），

比如4和9、4和15、10和21，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。

一般关系的两个数，求最大公因数用列举法或短除法，求最小公倍数用大数翻倍法或短除法。

【例题讲解】

例1、一张长方形纸，长60厘米，宽36厘米，要把它截成同样大小的长方形，并使它们的面积尽可能大，截完后又正好没有剩余，正方形的边长可以是多少厘米？能截多少正方形？

要使截成的正方形面积尽可能大，也就是说，正方形的边长要尽可能大，截完后又正好没有剩余，这样正方形边长一定是60和36的最大公约数。（36、60）＝12

（60÷12）×（36÷12）＝15个

例2、用96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束。如每个花束里的红玫瑰花的朵数相同，白玫瑰花的朵数也相同，最多可以做多少个花束？每个花束里至少要有几朵花？

要把96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束，每束花里的红白花朵数同样多，那么做成花束的的个数一定是96和72的公约数，又要求花束的个数要最多，所以花束的个数应是96和72的最大公约数。

1、最多可以做多少个花束（96、72）＝24

2、每个花束里有几朵红玫瑰花96÷24＝4朵

3、每个花束里有几朵白玫瑰花72÷24＝3朵

4、每个花束里最少有几朵花4+3＝7朵

例3、一个植树小组原计划在96米长的一段土地上每隔4米栽一棵树，并且已经挖好坑。后来改为每隔6米栽一棵树。求重新挖树坑时可以少挖几个？

解：这一段地全长96米，从一端每隔4米挖一个坑，一共要挖树坑：96÷4+1=25（个）后来，改为每隔6米栽一棵树，原来挖的坑有的正好赶在6米一棵的坑位上，可不重新挖。由于4和6的最小公倍数是12，所以从第一个坑开始，每隔12米的那个坑不必挖。

96÷12+1=9（个）

96米中有8个12米，有8个坑是已挖好的，再加上已挖好的第一个坑，一共有9个坑不必重新挖。

知识点：公因数和最大公因数

练习：1、写出下面每组数的最大公因数。

3和5 （） 4和8 （） 1和13 （） 13和26 （）

4和9 （） 17和51 （） 21和36（） 22和55 （）

2、m÷n=5（m、n都是非零的自然数），m和n的最大公因数是（）。

3、m和n是相邻的两个非零的自然数，m和n的最大公因数是（）。

4、把一张长18cm，宽12cm的长方形纸，分成同样大小的正方形且没有剩余，每个小正方形边长最大是（）厘米，最少可分成（）个。

5、两根钢管，甲管长36分米，乙管长40分米，把它们截成同样长的小段而且没有剩余，每小段最长（）分米，最少可截成（）段。

知识点：公倍数与最小公倍数

练习：1、写出下面每组数的最小公倍数。

3和5 （） 4和8 （） 1和13 （） 13和26 （）

4和9 （） 17和51 （） 21和36（） 22和55 （）、

2、m÷n=5（m、n都是非零的自然数），m和n的最小公倍数是（）。

3、m和n是相邻的两个非零的自然数，m和n的最小公倍数是（）。

4、一种长方形的地砖长8厘米，宽6厘米，用这种地砖铺成一块正方形，至少需要（）块地砖。正方形的面积最少是（）平方厘米。

5、暑假期间，小林和小军都去参加游泳训练。小林每6天去一次，小军每8天去一次。7月31日两人同时参加游泳训练，（）月（）日他们又再次相遇。

6、暑假期间，小林和小军都去参加游泳训练。小林每6天去一次，小军每8天去一次。8月1日两人同时参加游泳训练，（）月（）日他们又再次相遇。

7、3和7是21的（）①因数②公因数③倍数

8、8是24和64的（）①因数②最大公因数③倍数

【综合练习】

一、填空（共20分）

1、最小的素数是（），最小的合数是（）。

2、18的因数有（），24的因数有（），它们的公因数有（）。

3、在1～20的自然数中，既不是素数又不是合数的数有（），既是素数又是偶数的有（）。

4、自然数按因数个数的多少可以分成（）、（）和（）。

5、1082至少加上（）是3的倍数，至少减去（）才是5的倍数。

6、一个数的最大因数是13，这个数的最小倍数是（）。

7、两个自然数a、b的最大公因数是1，它们的最小公倍数是（）。

8、如果A＝2×2×3，B＝2×3×3，那么它们的最大公因数是（），最小公倍数是（）。

9、一个数是3的倍数，又是5的倍数，还有因数7。这个数最小是（）。

10、一个数既是30的因数、又是45的因数，最大的是（）。

11、用0、1、2三个数字排成的所有三位数中，同时是2、3、5的倍数的数有（）。

12、如果两个数的最大公因数是1，它们最小公倍数是91，那么这两个数的和最大是（）。

二、判断题（共5分）

1、两个连续自然数（0除外）它们的最大公因数是1。（）

2、在24的因数中，是素数的只有2和3。（）

3、5和7没有公因数，但5和7有公倍数。（）

4、所有的偶数都是合数。（）

5、两个数的公倍数一定比这两个数都大。（）

三、选择题（共5分）

1、任何两个奇数的和是（）。

A 奇数

B 合数

C 偶数

2、两个素数的积一定是（）。

A 素数

B 合数C奇数

3、任何两个自然数的（）的个数是无限的。

A 公倍数

B 公因数

C 倍数

4、A是B倍数，那么它们的最小公倍数是（）。