静定梁

MG
1 2 q(l 2 x) M B x qx 2 2
ql 2 解得： M B 12 3 3 6 l
解得： x
30
MB=ql2/12
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A G B C D E F
l/2 MG=ql2/12
ql2/24
9
三. 叠加法(superposition method)作弯矩图
1）简支梁情况
↓ ↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓ ↓ ↓ ↓↓↓
MA
q
MB
MA
MB M' q MB
几点注意：
MA
弯 矩 图 叠 加 ， 是 指 竖 标相加，而不是指图形 的拼合，竖标 M ° ，如 同 M 、 M′ 一样垂直杆轴 AB，而不是垂直虚线。
无荷载区段 均布荷载区段
↓↓↓↓↓↓
返回
集中力偶作用处
集中力作用处 发生突变
Q图
平行轴线
＋
－
＋
P
无变化
－
发生突变 m 两直线平行
M图
斜直线
二次抛物线 凸向即q指向
出现尖点
尖点指向即P的指向
Q=0区段M图 平行于轴线
Q=0处，M 达到极值
集中力作用截 面剪力无定义
集中力偶作用面 弯矩无定义
q 、M q Q、 、Q M 、M q 、q Q 、 、 Q M 、 在自由端、铰支杆端、铰结杆端无集中力偶作用，截面弯矩 零、平、斜、抛 等于零，有集中力偶作用，截面弯矩等于集中力偶的值。切入点
＋
↓ ↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓ ↓ ↓ ↓↓↓
M°
MA
M M'
M°
MB
10
几点注意：
为了顺利的利用叠加法绘制弯矩图，应该牢记简支梁常 见的在跨间荷载作用下的弯矩图。
q
FP
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ql /8 l
2
m/2 m m/2 l l
Mmax=FPab/l a l b
当 a=b=l/2 时，Mmax=FPl/4
ΔN=－PX ΔQ=－Py
qy
Q N m
M
Px Py
Q+ΔQ
N+ΔN M+ΔM
ΔM=m
增量关系说明了内力图的突变特征 由微分关系可得 右端剪力等于左端剪力减去 3） 积分关系： 该段qy的合力； QB=QA－∫qydx 右端弯矩等于左端弯矩加上 MB＝MA+∫Qdx 该段剪力图的面积。
7
内力图形状特征
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A G B C D E F q
l/2
l
x
q(l 2 x) M 2
B
↓↓↓↓↓↓
q(l 2 x) 2
l q
x
l
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q(l 2 x) 2
ql 2 M B MB MG可按叠加法求得：M G 8 2
q(l 2 x) x qx 2 ql 2 代入上式： 2 2 12
24
多跨静定梁是主从结构，其受力特点是：力作用在基本部 分时附属部分不受力，力作用在附属部分时附属部分和基本部 分都受力。 多跨静定梁可由平衡条件求出全部反力和内力， 但为了避免解联立方程，应先算附属部分，再算基本部分。 q qa qa
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
a
a
a
2a
a
a
a
qa 2qa
qa
qa
qa
MA QA
↓ ↓ ↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓ ↓ ↓ ↓
QB
q
MA
YA°
MA M' M°
YB °
MB
13
注意：
1. 弯矩图叠加，是指竖标相加，而不是指图形的简单 拼合，竖标M °，如同M、M′一样垂直杆轴AB，而不是垂 直虚线。
2.利用叠加法绘制弯矩图可以少求一些控制截面的弯矩 值，少求甚至不求支座反力。而且对以后利用图乘法求位移， 也提供了把复杂图形分解为简单图形的方法。 3.对于任意直杆段，不论其内力是静定的还是超静定 的；不论是等截面杆或是变截面杆；不论该杆段内各相 邻截面间是连续的、还是定向联结的、还是铰联结的， 弯矩叠加法均适用。
(由基本部分及附属部分组成)
A
B
C
D
↓↓↓↓↓↓↓↓↓
G
H
E
F H
A
B
C
D
E
F ↓↓↓↓↓↓↓↓↓
G
将各段梁之间的约束解除仍能平衡其上外力的称为基本部分, 不能独立平衡其上外力的称为附属部分，ABC，DEFG是基本部 分，CD，GH是附属部分。（几何构成） 附属部分是支承在基本部分的，要分清构造层次图。 （力的传递路线）
静定梁：3-1 3-3 3-8 3-11
5m
45° 141kN
125kN.m
5m
Q1= 50 +5×5－141×0.707 =－25kN M1=125 +141×0.707×10－50×5 －5/2×5² =812.5kNm (下拉）
6
二.
荷载与内力之间的关系
1 ） 微分关系 Q ↓↓↓↓↓↓↓ Q+d dN/dx= － q x qx N+d N Q dQ/dx=－qy ， qy向下为正 →→→→→ N x M+d dM/dx=Q M M 微分关系给出了内力图的形状特征 dx y 2） 增量关系
举例
↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓
↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓
15
1）分段。选定外力不连续点（如集中力作用点、集 中力偶作用点、分布荷载的起点和终点）为分段点（控 制截面）。 2）定形。根据每段内的荷载情况，判定出弯矩图的 形状。 3）求值。由截面法或内力直接算式求出控制截面的 弯矩值。 4）作图。对无荷载区段，由两端控制截面的弯矩值， 作出直线弯矩图。对有荷载作用区段，用叠加法作出 弯矩图。
(a)阶梯式多跨静定梁
q
21
(b)悬跨式多跨静定梁
q
I I I I
22
(c)混合式多跨静定梁
q
1 . 5 m 1 . 5 m 1 . 5 m 1 . 5 m 1 m 1 m 图示为混合式多跨静定梁，即 CD 部 分为阶梯式，AB部分为悬跨式。
23
§3-2多跨静定梁(statically determinate multi-span beam)
x 26 4 M图（kN.m） 28 H
16
－
7 7 23
7
30
8 36.1 8 CE段中点D的弯矩MD=28+8= 36kN.m ，并不是梁中最大弯矩，梁中最大 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 8 4 弯矩在H点。Mmax=MH=36.1kN.m。 均布荷载区段的中点弯矩与该段内的 8 最大弯矩一般相差不大,故常用中点弯矩作为最大弯矩！！
80k N· m E 2m 2m 1m F
20k N/m
G 4m 2m H
50
40
20
40
40
40
20 M
40 (kN· m)
28
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓
qa2
qa
↓
2a
a
a
a
a
a
qa2
qa2
qa2/2 M图（kN.m）
29
例：确定图示三跨连续梁C、D铰的位置，使边跨的跨中弯矩 与支座处的弯矩的绝对值相等
ql A ql B
q D↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ E l/2 l F ql
16
l/2
ql
＋
－ Q图 ql
因为在集中力作用处，剪力图发生突变，如将正剪力画在基线上侧，突 变的方向即集中力的指向。当支座反力求出以后，可直接根据荷载和支座 反力的指向作静定梁的剪力图。 按这种作剪力图的方法若最后不能回到基线零点，说明计算过程中有 错误，因此这种方法能自动检验计算结果的正确性。
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
qa/2
qa/2
qa/2
-3qa/4
9qa/4
25
ql
(a)
q B l l C l D ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ E 2l l F G l
ql
H l
A
ql
(b)
ql
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ql ql2 ql
q
(c)
2ql
(d)
2
ql ql ql2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
3ql/4
19
斜梁的弯矩图也可用叠加法绘制，但叠加的是相应水平 简支梁的弯矩图，竖标要垂直轴线。
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ MB
MA
l
MB MA
ql2/8
20
§3-2多跨静定梁(statically determinate multi-span beam) 多跨静定梁可看作是由若干个单跨静定梁顺 序首尾铰接构成的静定结构。常见于桥梁、屋面 檩条等。 多跨静定梁有两种基本的形式，即阶梯 式和悬跨式
M N
M
N
Q
Q
图示均为正的轴力和剪力
3
2) 截面内力计算方法： 截面法：截开、代替、平衡。
举例1
内力的直接算式： 轴力=截面一边的所有外力沿轴切向投影代数和。 剪力=截面一边的所有外力沿轴法向投影代数和，如外力绕 截面形心顺时针转动，投影取正否则取负。 弯矩=截面一边的所有外力对截面形心的外力矩之和。弯矩 及外力矩产生相同的受拉边。
4kN· m
2kN· m
q
12
2）任意直杆段情况
↓ ↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓ ↓ ↓ ↓
A
NA
↓ ↓ ↓↓ ↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓
B NB MB
MB
1 、首先求出直杆 段的两杆端弯矩，连 一虚线； 2、然后以该虚 线为基线，叠加上简 支梁在跨间荷载作用 下的弯矩图。
3 、最后的图线 与轴线间所围成的 图形就是实际的弯 矩图。
举例
4kN· m
4kN
8kN· m
2kN/m
3m
3m
3m
3m
2m
（1）集中荷载作用下
（1）悬臂段分布荷载作用下
4kN· m 2kN· m
6kN· m
（2）集中力偶作用下
4kN· m 2kN· m
（2）跨中集中力偶作用下
4kN· m
4kN· m
（3）叠加得弯矩图
4kN· m
（3）叠加得弯矩图
6kN· m 4kN· m
例：求截面1、截面2的内力 N2=50 －141×cos45o
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
5kN/m
1
5
=－50kN Q2= －141×sin45°＝－100kN
1 2 2
50kN
M2＝ 50×5 －125－141×0.707×5 ＝－375kN.m + M2＝375kN.m （左拉） N1=141×0.707=100kN
1



基本要求：
掌握结构的支座反力的计算，结构的 剪力和轴力计算的两种方法，内 力图的形状特征和绘制内力图的 叠加法。 熟练掌握绘制弯矩图各种技巧，能迅 速绘制弯矩图。 理解恰当选取分离体和平衡方程计算 静定结构内力的方法与技巧。会 根据几何组成寻找求解途径。
弯 矩 图 对 误 判 别
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
qa
a
2qa
qa
a
a 3qa/4
＋
2a qa qa/2
－
a 9qa/4
＋
a
a
qa/2
qa/4
qa
－
qa/2 7qa/4
－
qa/2
qa2
Q图（kN）
qa
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
qa2/2
qa
qa2/2
qa2
qa2/2
M图（kN.m）
27
40k N
A 2m B 2m C 2m D 1m
17
10kN/m
↓↓↓↓↓↓↓
2m 2m
60kN.m
15kN
2m
2m
55
30 20 30 5 m/2 m m/2 M 图 (kN.m) 30
8kN
A
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
源自文库
4kN/m
C D
2m 2m
18
16kN.m
G E
1m
B
1m RA=17kN 17 ＋ 1m
F
1m
RB=7kN 9 Q图（kN）
q
ql2/2
ql/2 ql/2
ql2/2
ql/2
9ql/4 ql2/2 ql2/2 q ql /2 + 9ql/4
2 2
ql
(e)
ql ql
(f)
2
FQ 图
ql － ql /2
M图
ql －
+ ql/4 2ql
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
－ 3ql/4 7ql/4
ql
ql/2
M图 图 Q
图 3.11
26
qa
不 求 或 少 求 反 力 画 弯 矩 图
静 定 刚 架 内 力 图
多 跨 静 定 梁 内 力 图
叠 加 法 绘 制 弯 矩 图
内 力 图 的 形 状 特 征
截 面 内 力 计 算
2
§3.1 单跨静定梁截面内力(inteernal forces)计算
一.截面内力(inteernal forces)计算 1)平面杆件的截面内力分量及正负规定 轴力N (normal force) 截面应力(stresses)沿轴线切向的 合力，以拉力为正，压力为负。 剪力Q (shearing force) 截面上应力沿轴线法向的合力， 以绕隔离体顺时针转为正。 弯矩M (bending moment) 截面上应力对截面中性轴的 力矩。不规定正负，但弯矩图画在拉侧。