超静定梁
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第六章 简单的超静定问题
1.超静定问题及其解法
q
A
B
未知力个数等于独立的平衡方程数目,则仅
l
由平衡方程即可解出全部未知力,这类问题称
为静定问题,相应的结构称为静定结构.
未知力个数多于独立的平衡方程数目,则仅由平衡方程无法确定全部未知力,这 类问题称为超静定问题或静不定问题,相应的结构称为超静定结构或静不定结构.
RA RC F
RD
RB
A
B
C
D
求解超静定问题,需要综合考察结构的平衡,变形协调和物理等三个方面.
变形协调：由于杆件各部分的变形均与其所受的约束相适应，在这些变形之间必 定存在一定的制约，这种条件称为变形协调条件，它反应的是梁实际的变形情况。
4.简单超静定梁
q
A
EI Z
L
q
A
EI Z
L
q
A
EI Z
l
q
A
C
L2
B
L2
B2
B FB
如果能求出FB，则所有问题都迎刃而解
4.简单超静定梁
q
A
EI Z
L
q
A
EI Z
L
q
A
EI Z
l
A EI Z
l
例题 6.6
B
B
FB
B1 B2 0
mA
1 ql2 qL4 8 8EIZ
3FEBqLIZ3
A
FA
5 8
ql
L
5
ql
8
3 FB 8 ql
0
B
3 FB 8 ql
kN
B
1
B18
ql
2
3 ql 8
9 ql 2 128
kNm
B2 建立补充方程求解多余未知力
B FB
利用变形协调建立补充方程求解多余未知力， 然后解出其他反力内力，称为力法
例题 9 求图示梁的支反力,并绘梁的剪力图和弯矩图. 已知 EI = 5 103 kN.m3 .
20kN/m
A B
30kN
C
D
4m
3m
2m
若梁具有一个或更多的中间支座，称为连续梁。对于连 续梁选取中间支座截面上阻止截面相对转动的约束为多 余约束，所得静定体系为一系列简支梁。
所有超静定结构,都是在静定结构上再加一个或几个约束,这些约束对于特定的 工程要求是必要的,但对于保证结构平衡却是多余的,故称为多余约束.同时把与之 相应的支座反力称为多余未知力。
F
A
RA
F RC
RB
BA
B
C
多余未知力个数与平衡方程数之差,称为 超静定次数或静不定次数
比如上面两个例子称为1次超静定，下面 就是2次超静定。
A
C
C. 既有弯矩又有剪力；
L2
L2
D. 既无弯矩又无剪力；
例题 6.13 等直梁受载如图所示.若从截面C截开选取基本结
构,则__A___.
A. 多余约束力为FC，变形协调条件为ωC=0; B. 多余约束力为FC，变形协调条件为θC=0; C. 多余约束力为MC，变形协调条件为ωC=0; D. 多余约束力为MC，变形协调条件为θC=0;
解：这是一次超静定问题
取支座 B 截面上的相对 转动约束为多余约束.
A
基本静定系为在 B 支座 截面上安置绞的静定梁， 如图 所示. 多余反力为分别作用于 简支梁AB 和 BC 的 B端 处的一对弯矩 MB.
变形相容条件为，简支梁 A AB的 B 截面转角和 BC 梁 B 截面的转角相等.
B B
MB
42 5M B EI 3EI
A
B
B
B
30kN
C D
补充方程为:
A
1280 4M B 42 5MB 24EI 3EI EI 3EI
20kN/m
B 4m
30kN
C D
3m
2m
解得:
M B 31.80kN m
负号表示B截面弯矩 与假设相反.
20kN/m MB
30kN
A
C
B
B D
A EI Z
l
例题 6.6
B 左图为一次超静定梁
B
FB
以支座B为多余约束，设它反力为FB, 假想地解除这个约束，代之以反力FB， 此时受力状态和变形形态与原结构完
全一样，但从超静定结构变为静定结
构。称为超静定梁的基本结构。
B B1
对于基本结构来说，梁由两种荷载，一种 是原有的均布荷载q，另一种是未知力FB,
20kN/m
B 4m
30kN
C
D
3m
2m
20kN/m MB
30kN
C
B B
B D
4m
3m
2m
பைடு நூலகம்
由表中查得:
B
20 43 24EI
MB4 3EI
( 1280 4M B) 24EI 3EI
20kN/m
A B
4m
30kN
C D
3m
2m
B
30
3 2(5 6EI 5
2)
MB 3EI
5
20kN/m
内力和应力。
温度改变
1、对静定梁不产生温度应力 2、对超静定梁产生温度应力。
例题 6.10 当系统的温度升高时,下列结构中的__A__不会
产生温度应力.
A
B
C
D
例题 6.12 图示等直梁承受均布荷载q作用,C处用铰链连
接.在截面C上__D___.
A. 有弯矩，无剪力；
q
B
B. 有剪力，无弯矩；
B
由基本静定系的平衡方程 可求得其余反力
RA 32.05KN RB 66.35KN RC 11.6KN
在基本静定系上绘出剪力图 和弯矩图.
20kN/m
A B
4m
30kN
C D
3m
2m
32.05
+
1.603m
18.40
+
-
47.95 31.80
-
11.64
+
25.68
-
+
23.28
支座沉降
1、对静定梁只影响其外形 2、对超静定梁不只影响外形，同时影响其
1.超静定问题及其解法
q
A
B
未知力个数等于独立的平衡方程数目,则仅
l
由平衡方程即可解出全部未知力,这类问题称
为静定问题,相应的结构称为静定结构.
未知力个数多于独立的平衡方程数目,则仅由平衡方程无法确定全部未知力,这 类问题称为超静定问题或静不定问题,相应的结构称为超静定结构或静不定结构.
RA RC F
RD
RB
A
B
C
D
求解超静定问题,需要综合考察结构的平衡,变形协调和物理等三个方面.
变形协调：由于杆件各部分的变形均与其所受的约束相适应，在这些变形之间必 定存在一定的制约，这种条件称为变形协调条件，它反应的是梁实际的变形情况。
4.简单超静定梁
q
A
EI Z
L
q
A
EI Z
L
q
A
EI Z
l
q
A
C
L2
B
L2
B2
B FB
如果能求出FB，则所有问题都迎刃而解
4.简单超静定梁
q
A
EI Z
L
q
A
EI Z
L
q
A
EI Z
l
A EI Z
l
例题 6.6
B
B
FB
B1 B2 0
mA
1 ql2 qL4 8 8EIZ
3FEBqLIZ3
A
FA
5 8
ql
L
5
ql
8
3 FB 8 ql
0
B
3 FB 8 ql
kN
B
1
B18
ql
2
3 ql 8
9 ql 2 128
kNm
B2 建立补充方程求解多余未知力
B FB
利用变形协调建立补充方程求解多余未知力， 然后解出其他反力内力，称为力法
例题 9 求图示梁的支反力,并绘梁的剪力图和弯矩图. 已知 EI = 5 103 kN.m3 .
20kN/m
A B
30kN
C
D
4m
3m
2m
若梁具有一个或更多的中间支座，称为连续梁。对于连 续梁选取中间支座截面上阻止截面相对转动的约束为多 余约束，所得静定体系为一系列简支梁。
所有超静定结构,都是在静定结构上再加一个或几个约束,这些约束对于特定的 工程要求是必要的,但对于保证结构平衡却是多余的,故称为多余约束.同时把与之 相应的支座反力称为多余未知力。
F
A
RA
F RC
RB
BA
B
C
多余未知力个数与平衡方程数之差,称为 超静定次数或静不定次数
比如上面两个例子称为1次超静定，下面 就是2次超静定。
A
C
C. 既有弯矩又有剪力；
L2
L2
D. 既无弯矩又无剪力；
例题 6.13 等直梁受载如图所示.若从截面C截开选取基本结
构,则__A___.
A. 多余约束力为FC，变形协调条件为ωC=0; B. 多余约束力为FC，变形协调条件为θC=0; C. 多余约束力为MC，变形协调条件为ωC=0; D. 多余约束力为MC，变形协调条件为θC=0;
解：这是一次超静定问题
取支座 B 截面上的相对 转动约束为多余约束.
A
基本静定系为在 B 支座 截面上安置绞的静定梁， 如图 所示. 多余反力为分别作用于 简支梁AB 和 BC 的 B端 处的一对弯矩 MB.
变形相容条件为，简支梁 A AB的 B 截面转角和 BC 梁 B 截面的转角相等.
B B
MB
42 5M B EI 3EI
A
B
B
B
30kN
C D
补充方程为:
A
1280 4M B 42 5MB 24EI 3EI EI 3EI
20kN/m
B 4m
30kN
C D
3m
2m
解得:
M B 31.80kN m
负号表示B截面弯矩 与假设相反.
20kN/m MB
30kN
A
C
B
B D
A EI Z
l
例题 6.6
B 左图为一次超静定梁
B
FB
以支座B为多余约束，设它反力为FB, 假想地解除这个约束，代之以反力FB， 此时受力状态和变形形态与原结构完
全一样，但从超静定结构变为静定结
构。称为超静定梁的基本结构。
B B1
对于基本结构来说，梁由两种荷载，一种 是原有的均布荷载q，另一种是未知力FB,
20kN/m
B 4m
30kN
C
D
3m
2m
20kN/m MB
30kN
C
B B
B D
4m
3m
2m
பைடு நூலகம்
由表中查得:
B
20 43 24EI
MB4 3EI
( 1280 4M B) 24EI 3EI
20kN/m
A B
4m
30kN
C D
3m
2m
B
30
3 2(5 6EI 5
2)
MB 3EI
5
20kN/m
内力和应力。
温度改变
1、对静定梁不产生温度应力 2、对超静定梁产生温度应力。
例题 6.10 当系统的温度升高时,下列结构中的__A__不会
产生温度应力.
A
B
C
D
例题 6.12 图示等直梁承受均布荷载q作用,C处用铰链连
接.在截面C上__D___.
A. 有弯矩，无剪力；
q
B
B. 有剪力，无弯矩；
B
由基本静定系的平衡方程 可求得其余反力
RA 32.05KN RB 66.35KN RC 11.6KN
在基本静定系上绘出剪力图 和弯矩图.
20kN/m
A B
4m
30kN
C D
3m
2m
32.05
+
1.603m
18.40
+
-
47.95 31.80
-
11.64
+
25.68
-
+
23.28
支座沉降
1、对静定梁只影响其外形 2、对超静定梁不只影响外形，同时影响其