第一章 Fourier变换
积分变换第一章
π
1
0 +∞
+∞ = ∫ ∫ ( f (τ )cos ωτ cos ωt + f (τ )sin ωτ sin ωt )dτ d ω −∞ π 0 τ的偶函数 τ的奇函数 2 +∞ +∞ = ∫ ∫ f (τ )sin ωτ sin ωt dτ d ω 0 π 0
+∞ f (τ )cos ω (t − τ )dτ d ω ∫−∞ ∫−∞
+∞
1 由f (t ) = 2π
可得 f (t ) =
(1.5)
π∫
1
+∞
0
+∞ f (τ )cos ω (t − τ )dτ d ω ∫−∞
(1.6)
此为Fourier积分公式的三角形式.
积分变换
引言:
所谓积分变换,就是通过积分运算,把一个函数 变成另一个函数的变换.
F (α ) = ∫ f (t ) K (t ,α )dt.
称为积分变换的核. 其中,K (t ,α )是一个确定的二元函数,
a
b
A中的函数f (t )
当 K (t , α ) = e − jω t时 当K (t ,α ) = e − st时
−
cos nω t d t = ∫ T sin nω t d t = 0 ( n = 1, 2, 3,L),
− 2 T 2
T 2
T ∫−T2 sin nω t d t = ∫−T2 cos nω t d t = 2 ( n = 1, 2, 3,L),
2 2
T 2
∫ ∫ ∫
T 2
T − 2 T 2 T 2
an + jbn 1 T2 而 c− n = = cn = ∫ T fT (t )e j nωt dt 2 T −2
Fourier变换
积分变换是应用性很强的数学工具，在数学和其它学科中均有应用． 积分变换是应用性很强的数学工具，在数学和其它学科中均有应用． 主要应用： ．求解线性微分方程(组 ； 线性微分方程 主要应用：a．求解线性微分方程 组)； b．信号处理． ．信号处理．
第一章
Fourier 变 换
§1.1 Four ier 积 分 为周期， 设 f T (t ) 以Ｔ为周期，在 [− 第一类间断点； 第一类间断点；
f (t ) 是 偶 函数 ， 有 f (t ) = 函数，
2
+∞ 0
π
+∞ f (τ )cos(ωτ ) dτ cos ω t dω ， （ Four ier 余弦积分公 ∫0
． 式） (5)
+ 上有定义， 级数中的奇延拓或偶延拓方法， 注：若 f (t ) 仅在 [0， ∞） 上有定义，可采用类似于 Fourier 级数中的奇延拓或偶延拓方法，
T T , ] 满足 Dirichlet 收敛条件， 即：10 连续或只有有限个 收敛条件， 连续或只有有限个 2 2
则在 [−
2 0 只有有限个极值点． 只有有限个极值点．
T T , ] 的连续点 t 处， 有 2 2
其中 ω =
a 0 +∞ f T (t ) = + ∑ (a n cosn ω t + b n sin nω t ) ， 2 n =1
(n = 1, 2, 3, L) ．
可合写成： 可合写成：cn =
+∞
1 T2 2nω , f T (t )e − j n ω t dt , ω n = nω = ∫−T 2 T T
(n ∈ Z)
．
代入(1)得 代入 得 ： 数形式． 数形式．
傅里叶变换
=
−∞ +∞
f (x − x0)e−iξxdx
=
−∞
f (τ )e−iξτ e−iξx0 dx.
类似地也可证明第二式成立. 证毕.
ˆ(ξ ) = F [f (x)] a = 0 为 常 3. 相 似 性 质 设 f 数, 则 1ˆ ξ F [f (ax)] = f ( ) a a 特别地， 若 取 a = −1, 则 可得翻转公式 ˆ(−ξ ) F [f (−x)] = f
+∞ +∞
1
∞
kπx
kπx
{
−∞ −∞
ˆ(ξ )e−iξx dx}f (ξ )eiξx dξ . f
+∞ −∞
ˆ(ξ ) = F [f (x)] = f
f (x)e−iξx dx .
ˆ(ξ ) 的 傅 里 叶 逆 变 换 记 作 f f (x) = F
−1
ˆ(ξ )] = [f
1 2π
+∞ −∞
ˆ(ξ )eiξx dξ . f
7
(a) lim δ (x − x0) =
→0+
+∞ 0
+∞
x = x0 x = x0
(b)
lim
→0+
δ (x − x0)dx = 1
−∞
定 理 (筛 选 性 质) 对 在 点 a < x0 < b 的 邻 域 内 连续的任 意函数 ϕ(x) 有
b
δ (x − x0)ϕ(x)dx = ϕ(x0)
sinat πt
的傅里叶变
4
ˆ(ξ ) = f F
−1
a −a
e
−iξt
dt = − 1 2π
积分变换-1 傅立叶变换
1-2 傅立叶变换
傅里叶正弦积分公式： 2 f (t ) f ( ) sin d sin td 0 0 傅里叶正弦变换式（正弦变换）：
Fs ( ) f (t ) sin tdt 0 傅里叶正弦逆变换式：
f (t )
a bn n a n cos n t bn sin n t a n2 bn2 cos n t sin n t a2 b2 a n2 bn2 n n
an a b
2 n 2 n
sin n
bn a b
2 n 2 n
cos n
[解]
sin x g ( x) 2 1 x
1-2 傅立叶变换
傅里叶变换的物理意义——频
谱 1 非正弦的周期函数的频谱 2 非周期函数的频谱
1-2 傅立叶变换
1非正弦的周期函数的频谱
a0 f T (t ) (a n cos n t bn sin n t ) 2 n 1
1-2 傅立叶变换
1, 0 t 1 [例5]求函数 f (t ) 0, t 1 的正弦变换和余
弦变换。 [解] Fs ( ) Fs [ f (t )] ˆ
0
f (t ) sin tdt |
1 0
sin tdt
0
1
cos t
1 cos
1-1 傅立叶积分公式
如果 f T (t ) 是以T为周期的周期函数，并且在 T T , 上满足狄利克雷（Dirichlet）条件： 2 2 T T 即函数在 2 , 2 上满足： 1、连续或至多只有有限个第一类间断点；2、 至多只有有限个极值点。 T T 那么 f T (t ) 在 2 , 2 上的连续点t处，可以展开 成傅里叶级数。若t是的间断点，则 1 f T (t ) [ f (t 0) f (t 0)] 2
复变函数第1节 傅氏积分,傅氏变换
解. 由Fourier变换的定义
F (w) F [ f (t)] f (t) e-iw td t -
1 e-iw t d t e-iwt 1 2sinw
-1
-iw -1
w
再求F(w)的Fourier逆变换即得 f(t)的积分表达式,
f (t) F -1[F (w)] 1 F (w) eiwtd w
1
1/2
t
二、单位脉冲函数及其傅氏变换
在物理学和工程技术中，除了连续分布量之外， 还有集中作用在一点的量. 例如，点电荷、点热源、 质点、单位脉冲等. 下面分析在原点处的单位脉冲.
设矩形电流脉冲：
(t
)
1
/
0
0t
其它
- (t)dt 1
(t)
1/
O
t
lim
0
(
t
)
0
t 0 t 0
引进狄拉克(Dirac)的函数,
i
-
f
( ) sin w(t
-
)d
dw
1
2p
-
-
f
(
)
cos w (t
-
)
d
d
w
(1.5)
由
f (t) 1
2p
-
-
f
(
)
cos w (t
-
)
d
d
w
(1.5)
可得
f (t) 1
p
0
-
f ( ) cosw(t
-
)
d
d
w
(1.6)
傅氏积分公式的三角形式
-
)
d
d
Fourier变换
f (t)
t
0, t 0 例1 求函数 f ( t ) t 的Fourier变换及其积 e , t 0
分表达式，其中β >0。这个f (t) 叫指指数衰减函数， 是工程技术上常碰到的一个函数。 解：根据公式, 有
2 jsin 解： F ( ) F [ f (t )] 1 2
由Fourier积分公式，有
0
sin sin t d. 2 1
1 f (t ) F [ F ( )] F ( )e j t d 2 1 2 jsin 1 2 (cos t jsin t )d 2 1 2sin sin t 1 2 d 2
f (t )e j t d t
F ( )e j t d
(1.9)
(1.10)
当 f (t) 为奇函数时，由上式可得
叫做 f (t)的Fourier正弦变换式(简称为正弦变换)，即 而 叫做 换)，即 的Fourier正弦逆变换式(简称为正弦逆变
F ( )
1 f (t ) 2
F ( ) F [ f (t )]
0
f (t ) e
j t
dt
e t e jt d t
1 j 2 2 j
e ( j ) t d t
0
0, t 0 例1 求函数 f ( t ) t 的Fourier变换及其积 e , t 0
0
sin sin t d. 2 1
复变函数与积分变换第1章Fourier解读
第一章Fourier变换§ 1.1 Fouriei•积分§ 1.2 Fourier变换的概念与性质§ 13 Fourier变换的应用主要内容Fourier变换是一种对连续时间函数的积分变换，通过特定形式的积分建立函数之间的对应关系•它既能简化计算（如解微分方程或化卷积为乘积等），又具有明确的物理意义（从频谱的角度来描述函数的特征），因而在许多领域被广泛地应用•离散和快速Fourier变换在计算机时代更是特别重要.§ 1.1 Fouriei•积分Recall:周期函数在一定条件下可以展开为Fourier级数;但全直线上的非周期函数不能有Fourier表示;引进类似于F ourier级数的Fourier积分（周期趋于无穷时的极限形式）1.1 Recall:在工程计算中，无论是电学还是力学，经常要和随时间而变的周期函数广应）打交道•例如：具有性质/ra+rW/G,其中卩称作周期，而1/T代表单位时◎动的次数，单位时间通常取秒，即每秒重复多少次，单匸疋赫兹（Herz,或Hz）.最常用的一种周期函数是三角函数。
人们发现，所有 的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的 线性组合来逼近••…Fourier 级数研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的情况，通常研究在闭区间［-T/2JV2］内函数 变化的情况.Dirichlet 条件:•心⑴连续或仅有有限个第一类间断点;⑴仅有有限个极值点贝呢⑴可展开为Fourier 级数，且在连续点f 处成立:Q0九⑴为T-周期函数,在上满足©叶鉴+ 工（色cos neat + b n sin ncot^n=\其中3=2兀「£ = ¥『;/(/) bn =討丁;/厂⑴sin 叱血(〃 =1,2,…) 在间断点f 处成立：M+ 0) +m - 0)七 +£ (a” COST +b n sin n^t)2n=\• incot—e2i级数化为:2 2令5 =等C” = 乎,d” = 屮，则c° =缶心 S £ J ；；齐⑴ 2°cosncotdt (H = 0,1,2,-・・)2 引进复数形式： 』net * ^ incot cos HCD Z = ------------------------ , sin neo t = ---- 2 Jn (dt . -in (dt / -in (x )t 、e 4-ef e —ean -------------- - ----------- + O’ ------------- --- ----------22i )'a n - ib n in(dt + % +比八^一和冋]7占dtfc /=: —flWsin 妁M = * J；；") 〃” =£ J；；加)[COSM/+i sin ncot]dt= ”：J ⑴^^n = l,2,・.)(j =耳)合并为：C 弓］T ：J T (”叫心=0,± 1, ±2,…)=ly Pf 72T 厶 J-r/2丄 M=—8」C n = F(nco^—f T (J )的离散频谱；|c”|—A ・(r)的离散振幅频谱； argc”一/^(f)的离散相位频谱；乙若以触/)描述某种信号，贝陀”可以刻画齐(/)的◎频率特征。
工程数学-积分变换-第四版-课后习题答案精选全文
可编辑修改精选全文完整版工程数学 积分变换（第四版 张元林 编）课后习题答案编辑者：余小龙第一章：Fourier 变换习题一解答1、证：利用Fourier 积分变换的复数形式，有⎰⎰+∞∞--+∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ωττπωωτd e d e f t f t j j )(21)( ⎰⎰∞+∞-∞+∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ωτωτωττπωd e d j f t j )sin )(cos (121[]⎰+∞∞-+-=ωωωωωd t j t jb a )sin (cos )()(21 由于)()(ωω-=a a ， )()(ωω--=b b ， 所以⎰⎰+∞∞-+∞∞-+=ωωωωωωtd b td a t f sin )(21cos )(21)(⎰⎰+∞+∞+=ωωωωωωtd b td a sin )(cos )(0。
注：本题也可以由Fourier 积分公式的三角形式得到证明。
2、解：（1）此题亦可写成⎩⎨⎧-=.0,1)(2t t f .1;1>≤t t 它是一个连续的偶函数，利用Euler 公式和分部积分法，由Fourier 积分公式的复数形式，有 ⎰⎰+∞∞-+∞∞--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ωττπωωτd e d e f t f t j j )(21)(⎰⎰+∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ωτωττπωd e d t j 102cos )1(1ωωωττωωτωωττωωτπωd e tj 1232sin sin 2cos 2sin 1⎰∞+∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--==ωωωωωπωd e t j ⎰+∞∞--3)cos (sin 21=⎰+∞∞-+-ωωωωωωωπd t j t )sin (cos cos sin 23ωωωωωωπtd cos cos sin 403⎰+∞-= （2）函数)(t f 为一连续函数，用类似于（1）的方法，有⎰⎰+∞∞-+∞∞--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ωττπωωτd e d e f t f t j j )(21)(⎰⎰+∞∞-+∞--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ωττπωωττd e d e e t j j 02sin 21 ⎰⎰+∞∞-+∞+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ωττπωτωd e d e t j j 0)1(2sin 21 {}()()⎰∞+∞-+∞+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++--+-=ωωττωπωτωd e j j e tj j 02)1(412cos 22sin )1(21 ⎰+∞∞-+-=ωωωπωd e j tj 252212[][]⎰∞+∞-+--+---=ωωωωωωωωωπd t j t j j j )sin (cos 2)5(2)5(2)5(1222⎰∞+∞-+---++-=ωωωωωωωωωωωπd tj t j t t 222224)5(cos 2sin )5(sin 2cos )5(1⎰∞+∞-+-+-=ωωωωωωωπd tt 432625sin 2cos )5(2(3)可以看出)(t f 为奇函数，且-1,0,1为其间断点。
1.2 Fourier变换解析
f ( 0) .
变 换
一般地，若 f (t ) 在 t t 0 点连续，则
d (t t0 ) f (t ) d t
P24
(2) 对称性质
d 函数为偶函数，即 d (t ) d (t ) .
19
§1.2 Fourier 变换
二、单位脉冲函数及其Fourier变换
0
[ f ( t )] e t e j t d t
0
f (t )
变 换
e ( j ) t d t
1
1 e( j ) t ( j ) 0
1 j 2 . 2 j
O
t
9
§1.2 Fourier 变换 解 (2) 振幅谱为 | F ( ) | 第 一 章 Fourier
f (t )
1
1
2 sgn t . j
t
12
§1.2 Fourier 变换
二、单位脉冲函数及其Fourier变换
第 1. 为什么要引入单位脉冲函数 一 理由 (1) 在数学、物理学以及工程技术中，一些常用的重要 章 函数，如常数函数、线性函数、符号函数以及单位 阶跃函数等等，都不能进行 Fourier 变换。 (2) 周期函数的 Fourier 级数与非周期函数的 Fourier 变 换都是用来对信号进行频谱分析的，它们之间能否 统一起来。 (3) 在工程实际问题中，有许多瞬时物理量不能用通常 的函数形式来描述，如冲击力、脉冲电压、质点的 质量等等。 13
§1.2 Fourier 变换
第 一 解 章 Fourier
f (t )
1
1 2 j t [ F ( )] e d 2π j
积分变换第一讲 Fourier积分
令 T ,
T
lim f T (t ) f (t )
8
Fourier 积分公式
下面考虑 Fourier 级数的复指数形式
f T (t )
a0 2
a0 2
( an cos n t bn sin n t )
n 1
( an
n 1
e in t e in t 2
反例2 无穷多 个极值点
4
函数的 Fourier 级数展开
函数 fT (t) 在连续点处，级数的三角形式为：
f T (t ) a0 2 ( an cos n t bn sin n t )
n 1
(1.1)
其中
2 , T
an bn T T 2 2
T 2 T 2
1
f (t )
2
1
f ( ) cos (t ) d d
0
1
f ( ) cos (t ) d d f ( ) cos (t ) d d
0
1
Fourier积分公式的 三角形式
1 T
T
fT (t )e int dt ( n 0, 1, 2, )
fT (t ) c0 (cn e in t c n e int )
n 1
n
cn e in t ,
其中
n n ( n 0, 1, 2, )
10
16
Fourier 积分定理及应用
积分变换第一章
变换域分析
从本章开始由时域转入变换域分析
频域分析：－－－傅里叶变换，自变量为j 复频域分析：－－－拉氏变换, 自变量为 S = +j Z域分析：－－－Z 变换，自变量为z
傅里叶变换
首先讨论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶 级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面 的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进 行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组 合。
单位时间振动的次数,单位是赫兹(Hz).
最常用的一种周期函数是三角函数
fT(t)=Asin(wt+j) 其中w=2p/T
t
而Asin(wt+j)又可以看作是两个周期函数 sinwt和coswt的线性组合 Asin(wt+j)=asinwt+bcoswt
实际上,所有的工程中使用的周期函数都可以用 一系列的三角函数的线性组合来逼近.
2
w 为 求 出 a n ,计 算 [ f T ,c o s n t ] ,即
T
2 T
f T ( t ) cos
2
nwtd t
T 2
a0
cos
2 T 2
nwtd t
T
am
2 cos
T
m w t cos
nwtd t
m 1
2
n
T
bm
2 sin
T
m w t cos
nwtd t
m 1
2
an
2 T
T
2 T
fT (t) cos nwt d t(n
1, 2,
2
)
bn
2 T
T
2 T
fT (t) sin nwt d t(n
1.1_傅立叶变换的概念
13
§1.1 Fourier 变换的概念 第 一、周期函数的 Fourier 级数 一 5. Fourier 级数的复指数形式 章 a0 (A) 傅 推导 已知 fT ( t ) 2 (an cos nω0 t bn sin nω0 t ) , n 1 里 P10 叶 j nω0t e cos nω0 t j sin nω0 t , ( j 1 ) 根据 Euler 公式 变 换 je jnω0t je jnω0t e jnω0t e jnω0t , sin nω0 t 可得 cos nω0 t 2 2 代入 (A) 式并整理得
即 cn 的模与辐角分别正好是振幅的二 分之一和相位。
定义 称 An 2 | cn |为振幅谱或频谱，记为 F ( nω0 )； 称 arg c n 为相位谱.
bn
2c n
17
§1.1 Fourier 变换的概念 第 一、周期函数的 Fourier 级数 一 6. 离散频谱与频谱图 章 频谱图 将振幅 An、相位 arg c n 与频率 nω0 的关系画成图形。 傅 F ( nω0 ) 里 叶 变 O 换 0 2 0 3 0 4 0
2
傅 O 2 里 叶 变 解 (3) f (t ) 的 Fourier 级数为 fT ( t ) π j e jnt . T 换 n n
n 0
t
(4) 振幅谱为 An F (n0 )
16
§1.1 Fourier 变换的概念 第 一、周期函数的 Fourier 级数 一 6. 离散频谱与频谱图 章 2c n a n jbn a0 a n jbn , , c n 由 c0 , c n 分析 傅 2 2 2 An 里 P11 bn A 1 2 2 叶 a n bn n ， 得 c0 A0 , | cn | | c n | 2 2 变 n an 换 O n arg cn arg c n θn , ( n 0) .
第一章Fourier变换
十八世纪，微积分学中，人们通过微分、积 分运算求解物体的运动方程。到了十九世纪， 英国著名的无线电工程师海维赛德 （Heaviside）为了求解电工学、物理学领域 中的线性微分方程，逐步形成了一种所谓的 符号法，后来就演变成了今天的积分变换法。 即通过积分运算把一个函数变成另一个函数。 同时，将函数的微积分运算转化为代数运算， 把复杂、耗时的运算简单、快速完成。
对可积（即积分
|
f
(t)|
dt
收敛），则有
f(t)1[ f ()ejd ]ejtd (1.2)
2
成立，而左端的 f (t) 在它的间断点处，应以
f(t0)f(t0) 来代替。
2
这个公式称为傅立叶积分公式。 若 f (t) 为奇函数，则有
f(t) 20 [ 0 f()si n d ]si n t d
例如点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技
术中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的
量那样, 以统一的方式加以解决. 29
0 t0
给
函数
序列
d
(t)
1
0t，
d(t)
1/
0 t
定
义
d
(t)
lim
0
d
(t)
0
t0。 t0
O
d (t) d t lim
0
d
(t) d t
lim
34
例4 求正弦函数f (t)=sin0t的傅氏变换。
F () F[ f (t)]
e
jt
sin
0t
d
t
e j0t e j0t e jtd t 1 (e j(0 )t e j(0t ) d t
数学物理方法2-1Fourier变换new
第二章
积分变换及其应用
第一节 Fourier变换
定理2.1.1 Fourier积分收敛定理 设 f ( x ) 在 ( , ) 上满足： 1°在任一有限区间满足 Dirichlet 条件；
2°绝对可积
f (t ) dt
1 -i w x iwt 则 f x dx dw ( ( )e )e 2 在 t 点连续 f ( t ), 1 ( f ( t 0) f ( t 0))， 其它 2 注:满足条件1°才能保证函数在任意有限区间上能展为 Fourier级数;满足条件2°才能保证T→+∞时极限存在。
T 则当T→+∞时，等价于△w → 0,从而
1 T -i wn x i wnt 2 ( ( )e ) e f (t ) lim f x dx w T T T 2 n 2 1 ( f ( x)e-i wxdx)ei wtdw 2
第二章
积分变换及其应用
第一节 Fourier变换
注:
1.
ˆ ( w ) | dw 收敛 | f ( x ) | dx 收敛保证，不一定保证 | f
2.能否扩大Fourier变换（逆变换）定义空间
1 ˆ 1 ˆ ˆ 3. f (t ) f ( w) F [ f ](t ) ， F [ f ](t )等于f (t )？ 1
第二章
积分变换及其应用
第一节 Fourier变换
1, t 1 例 1 求矩形脉冲函数 f (t ) 的Fourier积分。 0, t 1
1 e it it ˆ f ( w) f (t )e dt e dt 1 i it 1
复变函数
dt e
j t0
δ( t t 0 ) F
-1
1 j t0 j t [ F ] e e dt 2 π
j t0
可见, δ(t t0 ) 与 e j t0 构成了一个Fourier变换对.
即 δ(t t0 ) e
一、Fourier变换的概念 二、Fourier变换的意义
三、实例
0, q( t ) 1,
t0 t0
q(0 t ) q(0) 1 i (0) lim lim t 0 t 0 t t
如果我们形式地计算这个导数, 则得
he j he j j j
一、Fourier变换的概念
F ( ) he
二、Fourier变换的意义
h
三、实例
j t
dt
2h
sin .
o
t
三、实例 一、Fourier变换的概念 二、Fourier变换的意义 0, t 0 例1：求指数衰减函数 f (t ) t 的Fourier变换及积分表达式. e , t 0
4 -函数是单位阶跃函数的导数:
三、实例
t
δ( )d u( t ),
d u( t ) δ 称为单位阶跃函数. 1，t 0
2. -函数的Fourier变换
1
δ(t ) 的Fourier变换对
F ( ) F [δ(t )] δ(t )e j t d t e j t
(其中 0)
F ( ) F [ f (t )]
1 j 2 j 2
傅里叶积分
f (t 0) 2
f (t)
f (t
0)
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第第‹#6›页
2.Fourier级数的复指数表示形式
积分变换
在其连续点处，利用Euler公式：
cos
e j
e j
, sin
e j j
e j
2
2
f
(t)
a0 2
(an
n1
cos nt
bn
sin nt)
a0 2
an
（ f ）ej d
e j t
d
Fourier积分公式
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2. Fourier积分定理
积分变换
一个非周期函数在什么条件下,可以用 Fourier积分公式来表示,有下面的收敛定理.
定理:
若 f(t) 在(-, +)上满足下列条件: 1) f(t) 在任一有限区间上满足Dirichlet条件; 2)f(t) 在无限区间(-, +)上绝对可积.则有
（在(, )绝对可积即
|
f (t) | d t收敛）
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2. Fourier积分定理
积分变换
f
(t)
1 2π
f
(
)e j
d
e jt
d
成立.
F() f (t ) e jtdt
称为f的Fourier变换。
f (t) 1
F
(
)
e
jt
d
2
称为F的Fourier逆变换。
T 2 T 2
Fourier变换练习题(全,有答案)(可编辑修改word版)
0
eateit dt
0
R
0
= lim e(ai)t dt lim e(ai)t dt
R
=
lim
R
0
e(ai )t (a i)
R 0
R R
lim e(ai)t R a i
0 R
1 a i
1 a i
2a a2 2
;
F1[F ()]
1 2
F ()eitd=
1 2
2a a2 2
sin
td
2
0
1 0
1d
cos
sin td
2
0
1
cos
1 0
1 0
cos d
sin td
2
0
1
cos
sin
1 sintd 0
2
0
1
cos
sin
sin
td
2
sin
2
cos
sin td
0
3
0,
(2)
f
(t
)
1,
1,
0,
2
1 2i (cos sin )(cost i sin t)d
2
2 sin sin t cos sin t d
0
2
解法二：由于 f(t)为奇函数，故由课本 P12 页的(1.12)式可知，
f
(t)
2
0
0
f
(
) sin d
sin
td
2
0
1 0
sin d
(1)
f
(t
)
t, 0,
| t | 1
Fourier变换
第3章 Fourier 变换在第一章，我们学习了几种不同频率的信号可以合成一个信号，如“拍”的复杂信号。
反过来，能否从复杂的合成信号中分离出原来的信号呢？能，这就要用到我们本章要讲的Fourier 变换。
本章首先介绍Fourier 级数及Fourier 谱，然后介绍Fourier 变换的性质及快速Fourier 变换，最后介绍Fourier 变换在数字滤波方面的应用。
3.1 Fourier 级数与Fourier 变换在我们生活的世界里充满了各种各样的周期现象，如日常生活中常见的昼夜更替、四季循环、温度气压等气象因素的反复变化、河水水位的周期性涨落、地面植物的岁月枯荣以及科学技术中诸如太阳活动的十一年周期起伏、地磁场的日变化、重力仪上所反映的固体潮、交流电、电磁波和机械振动等无一不是周期现象。
描述周期现象的最简单的周期函数是物理学上所说的谐波函数，它由正弦或余弦函数来表示：()ϕω+=t A t y cos )( (3-1) 利用三角公式,上式可以写成：()t A t A t A t y ωϕωϕϕωsin sin cos cos cos )(-=+= （3-2） 由于ϕ是常数，令a =A cos ϕϕsin ,A b -=, 则可得：()t b t a t y ωωsin cos += （3-3） 这里22b a A +=,⎪⎭⎫⎝⎛-=a b arctg ϕ (3-4)由此可以看出：一个带初相位的余弦函数可以看成一个不带相位的正弦函数与一个不带相位的余弦函数的合成。
谐波函数是周期函数中最简单的函数，它描述的也是最简单的周期现象，在实际中所碰到的周期现象往往比它复杂得多。
但这些复杂函数均在一定近似程度上可分解为不同频率的正弦函数和余弦函数。
下面我们就介绍如何将一种复杂的函数分解为一系列不同频率的正弦函数和余弦函数的方法。
3.1.1 周期函数的Fourier 变换回想一下我们在数学中讲的Fourier 级数：如何将一个周期为2l 函数分解为Fourier 级数呢？我们已经学过的Fourier 级数展开式为 ：∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=10sin cos 2)(n n n l x n b l x n a a x f ππ (3-5)其中()()dx lxn x f l b dx l x n x f l a dx x f l a l l n l l n l l ππsin )(1,cos 1,10⎰⎰⎰---=== (3-6)如果f(x)是奇函数,积分上下限相互对称，则这时()lxn x f πcos 亦为奇函数，故a n 均为零，得到的Fourier 级数是正弦级数:()lxn b x f n n πsin1∑∞== (3-7) 其中，b n 的积分可简写为：()(),.....3,2,1sin 20==⎰n dx lxn x f l b l n π (3-8)如果f (x)是偶函数, 因积分上下限相互对称，并且()lxn x f πsin 为奇函数，故b n 均为零,得到的Fourier 级数是余弦级数：()lxn a a x f n n πcos210∑∞=+= (3-9) 其中a 0和a n 可简写为：()()(),......3,2,1c o s 2,2000===⎰⎰n dxlxn x f l a dx x f l a l n l π (3-10)3．1．2 离散Fourier 变换现在我们设法把上述公式不加证明地应用于离散Fourier 级数中。
第一章fourier变换
jwn t
(w n = nw )
当T
?
， Tlim f T ( t ) = f ( t )
f (t ) =
蝌 2p
1
+? - ?
轾 犏 犏 臌
f (t )e
- j wt
dt e
jwt
dw
三 Fourier 积分定理：
f (t )
在 (-
? ,
) 满足下列条件:
(1) f ( t ) 在 任 何 有 限 区 间 上 满 足 展 开 为 Fourier 级数的条件,即只存在有限个第一类间断 点和有限个极值点； (2)
F2 ( w ) = F [ f 2 ( t )] 则
F1 ( w ) = F [ f 1 ( t )]
，
F [ a f 1 ( t ) + b f 2 ( t )] = a F1 ( w ) + b F2 ( w ) = a F [ f 1 ( t )] + b F [ f 2 ( t )]
F
- 1
1 2
ò
0
ì f (t ) t 贡 1 ï ï sin w cos w t dw =ï 1 í ï w t= 1 ï ï 2 î
+
当 t = 0 时， ò0
sin w w
dw =
p 2
——Dirichlet 积分
§1.2 Fourier变换
一 Flourier 积分
f (t ) = 1 2p
+ ?
f
(n)
(0 )
-
+
由于 F ( w ) = F [ d ( t )] =
ò
d (t )e
-
第1章 傅立叶变换
1.3.3 微分性质
（1）象原函数的微分性质
-
(t)e- jwt dt
e- jw t
t
1 0
可见, t 与常数1构成了一个傅氏变换对,即
ℱ [ t ]=1, ℱ -1[1]= . t
t 1
t - t0 与 e- jwt0也构成了一个傅氏变换对,即 t - t0 e-jwt0
(1) (t -t0) 0 (t0 0)
(2)
-
(t -t0)dt
1
(t - t0 )
o
t0
t
1.2.3 函数的性质 （1）对任意的连续函数 f ( t ) ,都有
(t)f(t)dt=f0 -
- (t-t0)f(t)dtft0
则 (1.1)可 写 为
fT(t)c0 cnejwnt c-ne-jwnt cnejwnt(1.2)
n1
n-
对任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由某 个周期函数fT(t)当T时转化而来的.
作周期为T 的函数fT(t), 使其在[-T/2,T/2]之内等 于f(t), 在[-T/2,T/2]之外按周期T 延拓到整个数
f()e-jw
-
dejwt
dw
• 例1 计算 e-(jw)tdt -
(0为,w实常数）
•解
e dt 2 -(jw)t
e-( jw )t dt
0
-
-2jwe-(jw)t 02jw
• 我们可以证明
•
•
p e- t2co std t e- 2/(4 )
fT(t)a20
(ancosnwt
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1 f (t ) = 2π 1 = 2π
1 = 2π
∫
+∞
∞
[ ∫ f ( s )e
∞
+∞
j ωs
ds ]e dω
j ωt
∫ [∫ τ Ee
2 ∞ 2
+∞
+
τ
j ωs
ds]e dω
)e dω
j ωt
j ωt
∫
+∞
2E
∞
ω
sin(
ωτ
2
=
2E
π
∫
sin +∞
ωτ
2
cos ωt
0
ω
dω
1.2 Fourier变换 变换 1.2.1 Fourier变换的概念 变换的概念 在(1.2)式中，设
工程数学之
积分变换（第四版） 第四版）
东南大学数学系 张元林编 高等教育出版社
引言
在自然科学和工程技术中，为了把较复 杂的运算简单化，人们常常采用所谓的 变换的方法来达到目的。如十七世纪， 航海和天文学积累了大批观察数据，需 要对它们进行大量的乘除运算。在当时， 这是非常繁重的工作，为了克服这个困 难，1614年纳皮尔（Napier)发明了对数， 它将乘除运算转化为加减运算，通过两 次查表，便完成了这一艰巨的任务。
（2） f (t ) 在[ T , T ] 上只有有限个极值点。 2 2
[ T , T ] 上就可以展开成傅氏 在 2 2
级数，在 f (t ) 的连续点处，级数的三角形 式为：
a0 +∞ f (t ) = + ∑ (an cos nωt +bn sin nωt ) 2 n =1
(1.1)
其中，
2π 2 T2 ω= , an = ∫ T f (t ) cos nωtdt , (n = 0,1,2, L) T T 2 2 T2 bn = ∫ T f (t ) sin nωtdt , (n = 1,2, L) T 2
这就是傅立叶级数的复指数形式。
1.1.2 傅立叶积分定理 若 f (t ) 在 (∞,+∞) 上满足下列条件： （1） f (t ) 在任一有限区间上满足狄利克雷 条件；（2）f (t ) 在无限区间 (∞,+∞) 上绝 +∞ 对可积（即积分 ∫∞ | f (t ) | dt 收敛），则有 1 +∞ +∞ jωτ jω t f (t ) = ∫∞ [∫∞ f (τ )e dτ ]e dω (1.2) 2π 成立，而左端的 f (t ) 在它的间断点处，应以
的傅立叶逆变换 傅立叶逆变换，可记为 傅立叶逆变换 1 [ F (ω )] f (t ) =
f (t ) 叫做 F (ω ) 的象原函数 象原函数。 象原函数 当 f (t ) 为奇函数时，
Fs (ω ) = ∫
f (t ) = 2
+∞
0
f (t ) sin ωtdt
叫做 f (t ) 的傅立叶正弦变换 傅立叶正弦变换，而 傅立叶正弦变换 叫做 F (ω ) 的傅立叶正弦逆变换 傅立叶正弦逆变换。 傅立叶正弦逆变换
π∫
+∞ 0
Fs (ω ) sin ωtdω
当 f (t ) 为偶函数时，
Fc (ω ) = ∫
+∞ 0
f (t ) cos ωtdt
叫做 f (t ) 的傅立叶余弦变换 傅立叶余弦变换，而 傅立叶余弦变换
f (t ) =
叫做 F (ω ) 的傅立叶余弦逆变换 傅立叶余弦逆变换。 傅立叶余弦逆变换 注：若 f (t ) 仅在 (0,+∞)上有定义，且满足 Fourier积分存在定理的条件，也可采用奇延 拓或偶延拓的方法，得到 f (t ) 相应的Fourier 正弦积分展开式或余弦积分展开式。
π
∞
0
= =
当
∫ π ∫ π
2
1
+∞
sin ω
∞ +∞
ω
(cos ωt + j sin ωt )dω dω , (t ≠ ±1)
sin ω cos ωt
0
ω
t = ±1时，f (t ) 应以
f (±1 + 0) + f (±1 0) 1 = 2 2
代替。
τ E , | t |≤ ; 练习： 练习： 求矩形单脉冲函数 f (t ) = 2 0, 其它。 的傅里叶积分公式。
f (t + 0) + f (t 0) 来代替。 2
这个公式称为傅立叶积分公式。 若 f (t ) 为奇函数，则有 2 +∞ +∞ f (t ) = ∫ [ ∫ f (τ ) sin ωτdτ ] sin ωtdω π 0 0 若 f (t ) 为偶函数，则有 2 +∞ +∞ f (t ) = ∫ [ ∫ f (τ ) cos ωτdτ ] cos ωtdω π 0 0 它们分别称为傅立叶正弦积分公式和傅立叶 余弦积分公式。
十八世纪，微积分学中，人们通过微分、积 分运算求解物体的运动方程。到了十九世纪， 英国著名的无线电工程师海维赛德 （Heaviside）为了求解电工学、物理学领域 中的线性微分方程，逐步形成了一种所谓的 符号法，后来就演变成了今天的积分变换法。 即通过积分运算把一个函数变成另一个函数。 同时，将函数的微积分运算转化为代数运算， 把复杂、耗时的运算简单、快速完成。 积分变换的理论和方法不仅在数学的学多分 支中，而且在其它自然科学和各种工程技术 邻域中都有着广泛的应用。
2
2
2
5、积分性质 、 若 t → +∞ 时，g (t ) =
t
∫
t
∞
f (t )dt → 0
1 则 [ ∫∞ f (t )dt = [ f (t )] jω 运用傅立叶变换的线性性质、微分性质以 及积分性质，可以将线性常系数微分方程 （包括积分方程和微积分方程）转化为代 数方程，通过解代数方程与求傅立叶逆变 换，就可以得到相应的原方程的解。
τ
jω
τ
2
F1 (ω )
4、微分性质 、 如果 f (t ) 在 ( ∞ , +∞ )上连续或只有有限个可 去间断点，且当| t |→ +∞ 时，f (t ) → 0 ，则
[ ft)] = jω (
'
[ f (t )]
推论： 推论：若 f ( k ) (t ) 在 ( ∞ , +∞ ) 上连续或只有有 限个可去间断点，且
∞
+∞
jω t
dt
=∫ e e
0
+∞
β t j ωt
dt
=∫ e
0
+∞
( β + jω ) t
1 β jω dt = = 2 2 β + jω β + ω
故所求积分表达式为
1 +∞ jωt f (t ) = ∫∞ F (ω )e dω 2π 1 +∞ β jω jωt = e dω 2 2 2π ∫∞ β + ω 1 +∞ β cos ωt + ω sin ωt = dω 2 2 ∫∞ 2π β +ω
πf [ F (t )] = 2，(ω )
[ F (t )] = 2πf (ω )
3、位移性质 、 [ f (t ± t0 )] = e ± jω t [ f (t )] E ,0 < t < τ ; 的频谱 例1 求矩形单脉冲 f (t ) = 0, 其它 函数。
0
解一：由定义，有
F (ω ) = ∫ f (t )e
∞ +∞
卷积满足交换律和对加法的分配律：
f1 (t ) f 2 (t ) = f 2 (t ) f1 (t )
f1 (t ) [ f 2 (t ) + f 3 (t )] = f1 (t ) f 2 (t ) + f1 (t ) f 3 (t )
0, t < 0; 0, t < 0; 例1 若 f (t ) = f (t ) = t 1, t ≥ 0, e , t ≥ 0. 求 f1 (t ) 与 f 2 (t ) 的卷积。
若令 ωn = nω ， 1 T2 jnω t cn = ∫ T f (t )e dt , (n = 0,±1,±2,L) T 2 则(1.1)式可写成
f (t ) =
或
n = ∞
∑c e
n
+∞
jω n t
1 +∞ T2 f (t ) = ∑ ∫ T f (τ )e jωnτ dτ e jωnt T n = ∞ 2
ω 的偶函数，
1.3 Fourier变换的性质 变换的性质 1、线性性质 、
F )] 是常数， 设 F1 (ω ) = [ f1 (t )]，2 (ω ) = [ f 2 (t， α , β 则
[αf1 (t ) + β 2 f (t )] = αF1 (ω ) + βF2 (ω )
2、对称性质 、 若 F (ω ) = [ f (t )] ，则有
|t |→ +∞
lim f ( k ) (t ) = 0, k = 0,1,2, L, n 1
则有
[ f ( n ) (t )] = ( jω ) n
[ f (t )]
象函数的导数公式
dn F (ω ) = ( j ) n dω n
[t n f (t)]
0, t < 0, 例2 已知函数 f (t ) = β t ( β > 0) ， e , t ≥ 0 2 试求[t ( f (t )] 及 [t ( f (t )] 。
1, 0 ≤ t < 1, 的正弦变换和 例2 求函数 f (t ) = 0, t ≥ 1