线性相关的判定

向量组与矩阵
n维行向量组 i ai 1 , ai 2 ,, ain ， ( i 1,2,, m ), 可以 构成一个矩阵
a11 a 21 A a m1
a a a
12 22

a a a
1j 2j

m2

mj
1 2 2n a mn m
向量组是线性无关的 .
例２
已知 1 0 2 1 1 ， 2 2 ， 3 4 ， 1 5 7 试讨论向量组 1， 2， 3 及 1， 2的线性相关性.
解 分析 对矩阵（ 1， 2， 3），施行初等行变换变
证明
（略）
下面举例说明定理的应用.
例１ n 维向量组 T T T e1 1,0,,0 , e 2 0,1,,0 ,，e n 0,0,,1
称为n 维单位坐标向量组 , 讨论其线性相关性 .
的矩阵 解 n维单位坐标向量组构成 E (e1 , e2 , , en ) 是n阶单位矩阵. 由 E 1 0，知R( E ) n. 即R( E )等于向量组中向量个数 ，故由定理2知此
a1 j a2 j j a mj
从 而A可 记 为
j 1,2, , n
1 2 A m
或 A 1 , 2 , , n
总之，一个含有有限个 向量的向量组可构成一 个 矩阵。反之，一个矩阵 可以看成是有限个行向 量所 构成所构成的向量组， 也可以看成是有限个列 向量 所构成所构成的向量组 。矩阵与向量组在形式 上能 够相互转化,因此可用矩阵讨论向量 组的有关问题。
解 （ 1）在A中，有 3个2维行向量，线性相关。
(2) 因 | B |wk.baidu.com 0, 故B的3个3维行向量线性无关。
（3）对C进行初等行变换
1 3 2 2 1 3 2 2 C ~ 0 2 1 3 ~ 0 2 1 3 0 6 3 5 0 0 0 0 知R(C ) 2 3, 故C的3个4维行向量线性相关。
T
x1 1 x2 2 xn n 0 或 Ax 0
矩 阵A的n维 行 向 量 组 1 , 2 , , m 线 性 相 关 的 充要条件是齐次线性方 程组
i x 0, i 1,2, , m
1 2 x Ax 0 m
即
有 非 零 解 x (不 一 定 唯 一 ). 其 中x x1 , x 2 , , x n .
T
定理
向量组 1 , 2 , , m 线性相关的充分必要
条件是它所构成的 矩阵 A ( 1 , 2 , , m )的秩小 于向量个数 m ;向量组线性无关的充分必要条件是 R( A ) m .
推论 含有零向量的向量组必线性相关
定理4 设p1,p2, …,pn为1，2，…，n的一个排列， 和 为两向量组，其中
即 是对 各分量的顺序进行重 排后得到的向量组，则这两个向量组有相同的线 性相关性。 证 对任意的常数k1,k2,…,ks，
上两式只是各分量的排列顺序不同，因此
当且仅当
所以
和
有相同的线性相关性。
§3 线性相关性的判别定理(1)
线性相关性的几个重要定理 小 结 思 考
若一向量组的部分向量组线性相关,则该向 量组也线性相关. 证 : 设向量组1 , 2 , , s中有r个(r s)向量线性相关,
定理3
不妨设1 , 2 , , r 线性相关,即存在不全为0的实数 k1 , k2 , , kr ,使 k11 k2 2 kr r =0 从而有不全为0的数k1 , k2 , , kr , 0, , 0, 使 k11 k2 2 kr r +0 r+1 + +0 s =0, 因此,向量组1 , 2 , , r 线性相关. 注: 这个定理的等价说法是:如果一个向量组线性无 关,则其中任一个部分向量组也必线性无关. 也即一向量组部分线性相关,则整体必线性相关,一 向量组整体线性无关,则其部分组必线性无关.
1 x 1 2 x 2 x b，即 Ax b x m m
注意： i是行向量 (i 1,2,, m).
m维 列 向 量 b能 由m维 向 量 组 1 , 2 , , n线 性 表 示 的 充 要 条 件 是 线方 性程 组 x1 1 x2 2 xn n b
定理5
在r维向量组 。 线性相关，
的各向量添上n-r个分
量变成n维向量组 (1)如果 那么 (2)如果 那么 证
也线性相关。 线性无关， 也线性无关。
对列向量来证明定理。
如果
线性相关,就有一个非零的s1矩阵X,使
因此,
也线性相关,即(1)式成立。
利用(1)式,用反证法容易证明(2)式也成立。
用语言叙述为：低维无关，则高维无关；高维相关，低维相关。
R( 1 , 2 ) 2,向量组 1 , 2线性无关.
方程组 结论 向量组A线性相关就是齐次线性 x11 x2 2 xm m 0,即 Ax 0 有非零解 . 其中A (1 , 2 , m ).
推论
设有n维n向量i (ai1, ai 2 ,, ain )(i 1, 2,, n),
n 个 n 元齐次线性方程组 Ax 0有非零解
的充要条件是它们的系 数方阵行列式 | A | 0。
定理2.6 n维行向量组 A : 1 , 2 ,, r (r n)线性无关 的充要条件是它所构成 的矩阵 A中存在 r阶非零子式 . 定理2.6' n维行向量组 A : 1 , 2 ,, r (r n)线性相关 的充要条件是它所构成 的矩阵 A中没有 r阶非零子式 .
则向量组1 , 2 ,, n线性无关的充分必要条件是由
1 , 2 ,, n构成的n阶行列式
a11 an1 a21
a12 a1n 0.
a22 a2 n an 2 ann
例8 判断向量组1 (1, 2, 0), 2 (1,3, 0), 3 (1, 1,1) 是否线性相关. 1 2 0 解 :由1 , 2 , 3组成的行列式 1 3 0 1 0 1 1 1 所以向量组1 , 2 , 3线性无关.
例4 讨论下列矩阵的行向量 组的线性相关性：
3 2 1 2 3 1 3 2 2 A 3 1 ; B 2 2 1 ; C 0 2 1 3 0 2 3 4 3 2 0 1 5
推 论4
如果在 m n矩 阵A中 有 一 个 r阶 子 式| D | 0,
那么含有 D的r个 行 向 量 线 性 无 关 , 含 有D的r个 列 向 量 线性无关。反之 , A中 所 有 的 r阶 子 式 全 为 零 , 则A的 任 意r个 行 向 量 线 性 相 关 , 任 意r个 列 行 向 量 也 线 性 相 。 关
定理8
如果向量组
可由 线性相关。 ，可由向量组
线性
表出且s>t，那么 推论1 如果向量组
线性表出，且 推论2
线性无关，那么
。
两个线性无关的等价的向量组必含有相同个
数的向量。
成行阶梯形矩阵 , 可同时看出矩阵（ 1， 2， 3） 及（ 1， 2）的秩，利用定理 2即可得出结论.
1 0 2 1 0 2 1 0 2 r2 r1 ( 1 , 2 , 3 ) 1 2 4 0 2 2 2 2 ~ 0 1 5 7 r3 r1 1 5 7 0 5 5 1 0 2 5 r3 r2 0 2 2 ， 2 0 0 0 ~ 可见R( 1 , 2 , 3 ) 2，向量组 1 , 2 , 3线性相关；
定理6 设A 是一个n阶方阵，则A的行(列)向量组线
性相关的充要条件是A的行列式等于零
推论 n维向量组 是矩阵
线性无关的充要条件
或者用书本的表述
的行列式不为零(A可逆)。此时,矩阵A的n个列向量也 线性无关。
定理7 n+1个n维向量组 必线性相关。 推论 当m>n时,m个n维向量组线性相关。
推论2
线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 a x a x a x b m2 2 mn n m m1 1
a a
1n
A称为由 n维行向量组 1 , 2 ,, m所构 成的矩阵 , i 称为矩阵 A的第i个行向量。
一 个 含 有 有 限 个 向 量向 的量 组 ， 总 可 以 看 成 是 由 一 个 矩 阵 的 全 体向 行量 所 构 成 。
m n矩 阵A有m个n维 行 向 量 ， 同 时 又 有 n个 m维 列 向 量
1
x
1
2
x
2
n
x
n

b b
x
1
1
x
2
2
Ax b
未知数 系数
x
n
n
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应． 注意： i是列向量 (i 1,2,, n)!
线性方程组的行向量表示
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , 1 x b1 , a 2 n x n b2 a 21 x1 a 22 x 2 2 x b2 m x bm . a mn x n bm a m 1 x1 a m 2 x 2
T 有 解x（ 不 一 定 唯 一.） 其 中x x1 , x2 , , xn .
1 , 2 , , n x b
或 Ax b
矩 阵A的m维 列 向 量 组 1 , 2 , , n线 性 相 关 的 充 要 条 件 是 齐 次 线 性程 方组 有 非 零 解 x(不 一 定 唯 一 ). 其 中x x1 , x2 , , xn .