工程力学压杆稳定概述和精选例题讲解
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应综合考虑长度系数 与截面惯性矩 I ；
F
z
h
如：两端为柱铰铰支，
绕y轴失稳弯曲，两端铰支：Fcry
2EIy l2
绕z轴失稳弯曲，两端固支： Fcrz
b y
2EIz
(0.5l)2
y
比较两者，应取较小者。
z
2.失稳时的挠曲线表达式
对两端铰支压杆 w(x)Asin x
l
A为不定值，因为推导时采用了近似微分方程
l
x F=Fcr
w
x
F=Fcr
x 0 ,w 0 ,x l,w 0
FcrEI0l (l (lc22 oAssxi)n2ldx)x2dxl22EI 0 l l
l 利用能量法可求临界压力的近似解
3. 其他支承条件细长压杆的临界压力
两端固支 一端固支
F=Fcr
一端铰支 F=Fcr
两端铰支 F=Fcr
一端固支 一端自由
F=Fcr
l
l
l
l
Fcr
2EI
(0.5l ) 2
Fcr
2EI
(0.7l)2
长度系数 =0.5 = 0.7
Fcr
2EI l2
= 1.0
Fcr
2 EI
(2l)2
= 2.0
细长压杆临界压力 的欧拉公式
Fcr
2 EI (l)2
(17.2)
—— 长度系数 l ——相当长度
由压杆两端的支承条件决定，随支承约束条件的
i
令压杆的柔度 （长细比）为：
l i
（17.3）
压杆的临界应力为： cr
2E 2
（17.4)
柔度 反映了压杆的长度、两端约束、截面形状尺
寸因素对压杆临界应力的综合影响。 2.欧拉公式适用范围
推导欧拉公式的条件——压杆为弹性失稳
故应有
cr
2E 2
P
2E P
P
(17.5)
P 依材料不同而不同，是材料常数
(1) 两端支座的约束条件若在横截面内各轴线所 在平面内完全相同，弯曲应发生于 I 数值最小 的平面内；
即公式中的 I 取横截面内的最小惯性矩 Imin
F
z
h
如：两端为球铰铰支，
b y
矩形截面， I y Iz
失稳弯曲以
y
轴为中性轴，惯性矩应取
Imin
Iy
hb3 12
Fcr
2EIy l2
（2）两端支座的约束条件在不同平面内不一样，
例如：钢 E 206GPa
PLeabharlann Baidu 200MPa
P
2E P
2206103 100
200
满足 P 的压杆，称为大柔度杆。
只有大柔度压杆才可用欧拉公式：
l
梁令的k 2挠曲FE线Icr 方则程有为：：w dd2xw 2kM 2w E(x I)0 F EcrIw
w
x
通解：w (x)A sikn xB co kx s
F=Fcr
A，B为积分常数，由两端支座约束条件定
x F=Fcr
通解：w (x)A sikn xB co kx s
边界约束条件：
x=0 , w=0
一般的细长压杆，当 F Fcr时，杆中应力 maxP
——即强度足够，但失稳破坏 ——弹性压杆
弹性压杆的平衡路径及分叉屈曲：
F
f
F
F
D
B C
A
F cr
o
f
F-f 曲线
F
F
FcFr：cr ：二仅种O可A能直平线衡一形种式平衡AA形CB （式直A线D—）—曲稳线定
不稳定
且失稳时 f 增长很快，F1.01F5cr时f 0.11l
x F=Fcr
应变能的改变量为
V0lM 22 E (x)Id xE 2
Il(w)2dx
0
w
x
F=Fcr
外力功的增加为： WFcrl
l
d( l)d d s x1 (w )2d x d x 1(w )2dx
l 1 l(w)2dx
20
2
V W
EI l (w)2 dx
Fcr
0
l (w)2 dx
0
对两端铰支，设w(x)Asinx 可满足支座约束条件
3.欧拉公式为理论解，条件： 压杆无初曲率，轴向压力无偏心，材料均匀
F
D
B C
A
F cr
o
f
理想压杆F-f 曲线
F
f 实际压杆F-f 曲线
§17.5 柔度 临界应力总图
1. 临界应力与柔度
在临界压力Fcr 作用下，压杆横截面上的正应力为
临界应力 cr ：
crFA cr(l2)E2AI(2E l)22i(2lE )2
工程力学压杆稳定概 述和精选例题讲解
§17 压杆稳定
§17.1 概述 上册§8 中曾讨论刚体的平衡稳定性，例如：
本章涉及变形体的平衡稳定性，例如： 压杆失稳
深梁弯曲失稳
易拉罐受压失稳
易拉罐受扭失稳
变形体由于失稳所造 成的破坏是整体破坏
——灾难性后果
§17.2 压杆稳定的基本概念
本章仅讨论受压杆件的稳定性
减弱而增加（因而使压杆的Fcr下降）,即约束条件 越弱的杆Fcr越小，越容易失稳。
两端为其他支承条件的细长压杆（如介于固支与铰
支之间的弹性支承）， 值可查工程设计手册。
例如：
F
l
F
l
F
l
= 2.0
0.7< < 2.0
= 0.7
例如，将以下4种情形临界压力的大小排序（各 杆材料、杆长、横截面相同）：
F f曲线称为压杆的平衡路径曲线。A点称为平衡路
径的分叉点。∴细长压杆的屈曲又称为分叉屈曲。
其临界载荷又称为分叉载荷。
§17.3 细长压杆临界压力Fcr的确定
1.静力法
以两端铰支 、细长等截面直杆为例：
x F=Fcr
当F=Fcr的临界状态时，取微弯平衡状态： x截面上的弯矩为： M(x)Fcrw
F
F
F
F
l
(a)
(b)
l
(c)
l
l
(d)
aa
aa
F c( b r) F c(a r) F c( c r) F c(d r)
§17.4 欧拉公式在压杆稳定中的应用
细长压杆临界压力 的欧拉公式
Fcr
2 EI (l)2
(17.2)
1. 式中的惯性矩 I
I 应为横截面关于失稳弯曲中性轴的惯性矩 。
计算前应先判断截面一旦发生失稳弯曲，是 以哪根轴为中性轴的弯曲。
B=0
x=l , w=0
Asikn l 0
l
A 0 sk in l0
k ln, kn, n1,2,
w
x
l
挠曲线为： w(x)Asinnx
F=Fcr
l
取 n =1 ，最小非零解：
Fcr k2 ()2
EI
l
两端铰支压杆临界压力
Fcr
2EI l2
欧拉公式
（17.1）
2.能量法
当F=Fcr的临界状态时，从直线平衡 微弯平衡
例如：两端 铰支杆件， 受轴向压力
两端铰支的细长压杆，受轴向压力F
F Fcr F Fcr
直线平
受扰动 后弯曲
去扰后
衡状态
恢复
——稳定！
直线平 衡状态
——不稳定！
受扰动后弯曲
去扰后为曲线平衡状态
压杆失稳——压杆丧失直线形式的平衡状态转变 为曲线形式的平衡状态，这一过程称失稳，又称 屈曲。
临界压力（临界载荷）Fcr ——使压杆出现失稳 现象的最小载荷
F
z
h
如：两端为柱铰铰支，
绕y轴失稳弯曲，两端铰支：Fcry
2EIy l2
绕z轴失稳弯曲，两端固支： Fcrz
b y
2EIz
(0.5l)2
y
比较两者，应取较小者。
z
2.失稳时的挠曲线表达式
对两端铰支压杆 w(x)Asin x
l
A为不定值，因为推导时采用了近似微分方程
l
x F=Fcr
w
x
F=Fcr
x 0 ,w 0 ,x l,w 0
FcrEI0l (l (lc22 oAssxi)n2ldx)x2dxl22EI 0 l l
l 利用能量法可求临界压力的近似解
3. 其他支承条件细长压杆的临界压力
两端固支 一端固支
F=Fcr
一端铰支 F=Fcr
两端铰支 F=Fcr
一端固支 一端自由
F=Fcr
l
l
l
l
Fcr
2EI
(0.5l ) 2
Fcr
2EI
(0.7l)2
长度系数 =0.5 = 0.7
Fcr
2EI l2
= 1.0
Fcr
2 EI
(2l)2
= 2.0
细长压杆临界压力 的欧拉公式
Fcr
2 EI (l)2
(17.2)
—— 长度系数 l ——相当长度
由压杆两端的支承条件决定，随支承约束条件的
i
令压杆的柔度 （长细比）为：
l i
（17.3）
压杆的临界应力为： cr
2E 2
（17.4)
柔度 反映了压杆的长度、两端约束、截面形状尺
寸因素对压杆临界应力的综合影响。 2.欧拉公式适用范围
推导欧拉公式的条件——压杆为弹性失稳
故应有
cr
2E 2
P
2E P
P
(17.5)
P 依材料不同而不同，是材料常数
(1) 两端支座的约束条件若在横截面内各轴线所 在平面内完全相同，弯曲应发生于 I 数值最小 的平面内；
即公式中的 I 取横截面内的最小惯性矩 Imin
F
z
h
如：两端为球铰铰支，
b y
矩形截面， I y Iz
失稳弯曲以
y
轴为中性轴，惯性矩应取
Imin
Iy
hb3 12
Fcr
2EIy l2
（2）两端支座的约束条件在不同平面内不一样，
例如：钢 E 206GPa
PLeabharlann Baidu 200MPa
P
2E P
2206103 100
200
满足 P 的压杆，称为大柔度杆。
只有大柔度压杆才可用欧拉公式：
l
梁令的k 2挠曲FE线Icr 方则程有为：：w dd2xw 2kM 2w E(x I)0 F EcrIw
w
x
通解：w (x)A sikn xB co kx s
F=Fcr
A，B为积分常数，由两端支座约束条件定
x F=Fcr
通解：w (x)A sikn xB co kx s
边界约束条件：
x=0 , w=0
一般的细长压杆，当 F Fcr时，杆中应力 maxP
——即强度足够，但失稳破坏 ——弹性压杆
弹性压杆的平衡路径及分叉屈曲：
F
f
F
F
D
B C
A
F cr
o
f
F-f 曲线
F
F
FcFr：cr ：二仅种O可A能直平线衡一形种式平衡AA形CB （式直A线D—）—曲稳线定
不稳定
且失稳时 f 增长很快，F1.01F5cr时f 0.11l
x F=Fcr
应变能的改变量为
V0lM 22 E (x)Id xE 2
Il(w)2dx
0
w
x
F=Fcr
外力功的增加为： WFcrl
l
d( l)d d s x1 (w )2d x d x 1(w )2dx
l 1 l(w)2dx
20
2
V W
EI l (w)2 dx
Fcr
0
l (w)2 dx
0
对两端铰支，设w(x)Asinx 可满足支座约束条件
3.欧拉公式为理论解，条件： 压杆无初曲率，轴向压力无偏心，材料均匀
F
D
B C
A
F cr
o
f
理想压杆F-f 曲线
F
f 实际压杆F-f 曲线
§17.5 柔度 临界应力总图
1. 临界应力与柔度
在临界压力Fcr 作用下，压杆横截面上的正应力为
临界应力 cr ：
crFA cr(l2)E2AI(2E l)22i(2lE )2
工程力学压杆稳定概 述和精选例题讲解
§17 压杆稳定
§17.1 概述 上册§8 中曾讨论刚体的平衡稳定性，例如：
本章涉及变形体的平衡稳定性，例如： 压杆失稳
深梁弯曲失稳
易拉罐受压失稳
易拉罐受扭失稳
变形体由于失稳所造 成的破坏是整体破坏
——灾难性后果
§17.2 压杆稳定的基本概念
本章仅讨论受压杆件的稳定性
减弱而增加（因而使压杆的Fcr下降）,即约束条件 越弱的杆Fcr越小，越容易失稳。
两端为其他支承条件的细长压杆（如介于固支与铰
支之间的弹性支承）， 值可查工程设计手册。
例如：
F
l
F
l
F
l
= 2.0
0.7< < 2.0
= 0.7
例如，将以下4种情形临界压力的大小排序（各 杆材料、杆长、横截面相同）：
F f曲线称为压杆的平衡路径曲线。A点称为平衡路
径的分叉点。∴细长压杆的屈曲又称为分叉屈曲。
其临界载荷又称为分叉载荷。
§17.3 细长压杆临界压力Fcr的确定
1.静力法
以两端铰支 、细长等截面直杆为例：
x F=Fcr
当F=Fcr的临界状态时，取微弯平衡状态： x截面上的弯矩为： M(x)Fcrw
F
F
F
F
l
(a)
(b)
l
(c)
l
l
(d)
aa
aa
F c( b r) F c(a r) F c( c r) F c(d r)
§17.4 欧拉公式在压杆稳定中的应用
细长压杆临界压力 的欧拉公式
Fcr
2 EI (l)2
(17.2)
1. 式中的惯性矩 I
I 应为横截面关于失稳弯曲中性轴的惯性矩 。
计算前应先判断截面一旦发生失稳弯曲，是 以哪根轴为中性轴的弯曲。
B=0
x=l , w=0
Asikn l 0
l
A 0 sk in l0
k ln, kn, n1,2,
w
x
l
挠曲线为： w(x)Asinnx
F=Fcr
l
取 n =1 ，最小非零解：
Fcr k2 ()2
EI
l
两端铰支压杆临界压力
Fcr
2EI l2
欧拉公式
（17.1）
2.能量法
当F=Fcr的临界状态时，从直线平衡 微弯平衡
例如：两端 铰支杆件， 受轴向压力
两端铰支的细长压杆，受轴向压力F
F Fcr F Fcr
直线平
受扰动 后弯曲
去扰后
衡状态
恢复
——稳定！
直线平 衡状态
——不稳定！
受扰动后弯曲
去扰后为曲线平衡状态
压杆失稳——压杆丧失直线形式的平衡状态转变 为曲线形式的平衡状态，这一过程称失稳，又称 屈曲。
临界压力（临界载荷）Fcr ——使压杆出现失稳 现象的最小载荷