辽宁省辽南协作校2020-2021学年度高三上学期期末数学理试题
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（1）求角A；
（2）若△ABC的外接圆面积为π，求△ABC的面积的最大值．
18．网购已经成为一种新型的购物方式，2021年天猫双11，仅1小时47分钟成交额超过1000亿元，比2021年达到1000亿元的时间缩短了7个小时，为了研究市民对网购的依赖性，从A城市16﹣59岁人群中抽取一个容量为100的样本，得出下列2×2列联表，其中16﹣39岁为青年，40﹣59岁为中年，当日消费金额超过1000元为消费依赖网购，否则为消费不依赖网购．
22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 ，（t为参数）以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2 sinθ，
（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；
（2）直线l与x轴交于点P，与曲线C交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．
23．已知函数f（x）＝|x+a2|+|x+a﹣2|
A．2018B．﹣2018C．﹣4036D．4036
10．下列命题中，真命题的个数为（）
①若直线m，n都平行于平面α，则m∥n
②若平面α⊥平面β，直线l⊥α，则l∥β
③若直线m，n异面，m∥平面α，则n与α相交
④若平面α⊥平面β，α∩β＝m，直线n⊥m，则n⊥β
A．0个B．1个C．2个D．3个
11．函数f（x）＝x3+3ax2+bx+a2，当x＝﹣1时f（x）的极值为0，则 [f（x）﹣x3﹣3ax2﹣a2]dx＝（）
（1）求证：CM⊥ME；
（2）求二面角A﹣MC﹣E的余弦值．
（3）在线段DC上是否存在一点N，使得直线BN∥平面EMC，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
21．已知函数f（x）＝ex﹣ax
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若存在x1＜x2，且满足f（x1）＝（x2）.证明 ；
（3）证明： （n∈N）．
15．公差不为零的等差数列{an}，a2，a4，a8成等比，且a1＝1，若 m恒成立，则实数m的取值范围是_____．
16．已知向量 （1，0）， （ ， ），向量 满足 ，且（ ）• 0，则 与 的夹角为_____．
三、解答题
17．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（2b﹣c）cosA＝acosC．
A．5B．6C．7D．8
7．若函数f（x）＝ln（x2+mx ）的值域为R，则函数f（x）的零点个数为（）
A．0个B．1个C．2个D．1或2个
8．从4名男生、5名女生中选3名组成一个学习小组，要求其中男女生都有，则组成学习小组的不同方案共有（）种
A．70B．140C．210D．280
9．等差数列{an}中，a1009＝1，S2019＝6057，则S2018＝（）
19．抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点是F，直线y＝2与抛物线C的交点到F的距离等于2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点（2，0）斜率为k的直线l交抛物线C于A、B两点，O为坐标原点，直线AO与直线x＝﹣2相交于点P，求证：BP∥x轴．
20．如图所示的多面体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，CM⊥AB，垂足为M，且AE＝AC＝2 ，BD＝2BC＝4，
（1）当a＝1时，解不等式f（x）≤4
（2）证明：f（x） ．
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
化简集合 ，按交集定义，即可求解.
【详解】
函数 定义域需满足 或 ，
，
.
故wenku.baidu.com:B.
【点睛】
本题考查集合间的运算，以及函数的定义域，属于基础题.
2．A
【分析】
根据复数除法运算法则，即可求解.
【详解】
依题意得， .
A．3B．1C． 2D． 2
5．根据表中提供的数据求出y关于x的线性回归直线方程为 ，则m的值是（）
x
1
2
3
4
5
y
1.25
1.5
2
m
3.5
A．2.5B．2.85C．3D．3.05
6．《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长六百里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．根据该问题设计程序框图，若输人a＝103，b＝97，则输出n的值是（）
A．42B． C．12或 D．72
12．离心率为 的双曲线E： （a＞0，b＞0）的一条渐近线为l，点A（ ，0）关于l的对称点在椭圆 1（k＞0）上，则椭圆的离心率为（）
A． B． C． D．
二、填空题
13．设x，y满足 ，则z＝2x+y的最大值为_____．
14．正三棱锥底面边长为2 ，侧棱长为 ，则斜高和底面所成角大小为_____．
依赖网购
不依赖网购
小计
青年（16﹣39岁）
40
20
中年（40﹣59岁）
20
20
小计
（1）完成2×2列联表，计算X2值，并判断是否有95%的把握认为网购依赖和年龄有关？
（2）把样本中的频率当作概率，随机从A城市中选取5人，其中依赖网购的人数为随机变量X，求随机变量X的分布列及期望（附：X2 ，当X2＞3.841时，有95%的把握说事件A与B有关，当X2≤3.841时，没有95%的把握说事件A与B有关）
辽宁省辽南协作校2020-2021学年度高三上学期期末数学理试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合A＝{x|2x＞1}，B＝{x|y＝1n }，则A∩B＝（）
A．（0，1）B．（1，+∞）
C．（﹣1，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
故选:A.
【点睛】
本题考查复数的代数运算，属于基础题.
3．D
【分析】
根据已知圆的圆心 ，半径为 ，做出图像，即可求出切线方程.
【详解】
点A（1，2）在圆外，所以切线有两条，做出圆图象，
x2+（y﹣1）2＝1的圆心 ，半径为 ，
根据点 的位置关系，过点 的切线方程为x＝1或y＝2.
故选:D.
【点睛】
本题考查圆外一点求圆的切线，注意点的位置用观察法求解，属于基础题.
2．复数z满足（﹣2﹣i）z＝5（i为虚数单位），则z＝（）
A．﹣2+iB．2﹣iC．﹣2﹣iD．2+i
3．过点A（1，2）作圆x2+（y﹣1）2＝1的切线，则切线方程是（）
A．x＝1B．y＝2C．x＝2或y＝1D．x＝1或y＝2
4．已知函数f（x）＝2sin（ωx ）+ω（ω＞0）的图象与x轴相切，则f（π）＝（）
（2）若△ABC的外接圆面积为π，求△ABC的面积的最大值．
18．网购已经成为一种新型的购物方式，2021年天猫双11，仅1小时47分钟成交额超过1000亿元，比2021年达到1000亿元的时间缩短了7个小时，为了研究市民对网购的依赖性，从A城市16﹣59岁人群中抽取一个容量为100的样本，得出下列2×2列联表，其中16﹣39岁为青年，40﹣59岁为中年，当日消费金额超过1000元为消费依赖网购，否则为消费不依赖网购．
22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 ，（t为参数）以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2 sinθ，
（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；
（2）直线l与x轴交于点P，与曲线C交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．
23．已知函数f（x）＝|x+a2|+|x+a﹣2|
A．2018B．﹣2018C．﹣4036D．4036
10．下列命题中，真命题的个数为（）
①若直线m，n都平行于平面α，则m∥n
②若平面α⊥平面β，直线l⊥α，则l∥β
③若直线m，n异面，m∥平面α，则n与α相交
④若平面α⊥平面β，α∩β＝m，直线n⊥m，则n⊥β
A．0个B．1个C．2个D．3个
11．函数f（x）＝x3+3ax2+bx+a2，当x＝﹣1时f（x）的极值为0，则 [f（x）﹣x3﹣3ax2﹣a2]dx＝（）
（1）求证：CM⊥ME；
（2）求二面角A﹣MC﹣E的余弦值．
（3）在线段DC上是否存在一点N，使得直线BN∥平面EMC，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
21．已知函数f（x）＝ex﹣ax
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若存在x1＜x2，且满足f（x1）＝（x2）.证明 ；
（3）证明： （n∈N）．
15．公差不为零的等差数列{an}，a2，a4，a8成等比，且a1＝1，若 m恒成立，则实数m的取值范围是_____．
16．已知向量 （1，0）， （ ， ），向量 满足 ，且（ ）• 0，则 与 的夹角为_____．
三、解答题
17．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（2b﹣c）cosA＝acosC．
A．5B．6C．7D．8
7．若函数f（x）＝ln（x2+mx ）的值域为R，则函数f（x）的零点个数为（）
A．0个B．1个C．2个D．1或2个
8．从4名男生、5名女生中选3名组成一个学习小组，要求其中男女生都有，则组成学习小组的不同方案共有（）种
A．70B．140C．210D．280
9．等差数列{an}中，a1009＝1，S2019＝6057，则S2018＝（）
19．抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点是F，直线y＝2与抛物线C的交点到F的距离等于2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点（2，0）斜率为k的直线l交抛物线C于A、B两点，O为坐标原点，直线AO与直线x＝﹣2相交于点P，求证：BP∥x轴．
20．如图所示的多面体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，CM⊥AB，垂足为M，且AE＝AC＝2 ，BD＝2BC＝4，
（1）当a＝1时，解不等式f（x）≤4
（2）证明：f（x） ．
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
化简集合 ，按交集定义，即可求解.
【详解】
函数 定义域需满足 或 ，
，
.
故wenku.baidu.com:B.
【点睛】
本题考查集合间的运算，以及函数的定义域，属于基础题.
2．A
【分析】
根据复数除法运算法则，即可求解.
【详解】
依题意得， .
A．3B．1C． 2D． 2
5．根据表中提供的数据求出y关于x的线性回归直线方程为 ，则m的值是（）
x
1
2
3
4
5
y
1.25
1.5
2
m
3.5
A．2.5B．2.85C．3D．3.05
6．《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长六百里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．根据该问题设计程序框图，若输人a＝103，b＝97，则输出n的值是（）
A．42B． C．12或 D．72
12．离心率为 的双曲线E： （a＞0，b＞0）的一条渐近线为l，点A（ ，0）关于l的对称点在椭圆 1（k＞0）上，则椭圆的离心率为（）
A． B． C． D．
二、填空题
13．设x，y满足 ，则z＝2x+y的最大值为_____．
14．正三棱锥底面边长为2 ，侧棱长为 ，则斜高和底面所成角大小为_____．
依赖网购
不依赖网购
小计
青年（16﹣39岁）
40
20
中年（40﹣59岁）
20
20
小计
（1）完成2×2列联表，计算X2值，并判断是否有95%的把握认为网购依赖和年龄有关？
（2）把样本中的频率当作概率，随机从A城市中选取5人，其中依赖网购的人数为随机变量X，求随机变量X的分布列及期望（附：X2 ，当X2＞3.841时，有95%的把握说事件A与B有关，当X2≤3.841时，没有95%的把握说事件A与B有关）
辽宁省辽南协作校2020-2021学年度高三上学期期末数学理试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合A＝{x|2x＞1}，B＝{x|y＝1n }，则A∩B＝（）
A．（0，1）B．（1，+∞）
C．（﹣1，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
故选:A.
【点睛】
本题考查复数的代数运算，属于基础题.
3．D
【分析】
根据已知圆的圆心 ，半径为 ，做出图像，即可求出切线方程.
【详解】
点A（1，2）在圆外，所以切线有两条，做出圆图象，
x2+（y﹣1）2＝1的圆心 ，半径为 ，
根据点 的位置关系，过点 的切线方程为x＝1或y＝2.
故选:D.
【点睛】
本题考查圆外一点求圆的切线，注意点的位置用观察法求解，属于基础题.
2．复数z满足（﹣2﹣i）z＝5（i为虚数单位），则z＝（）
A．﹣2+iB．2﹣iC．﹣2﹣iD．2+i
3．过点A（1，2）作圆x2+（y﹣1）2＝1的切线，则切线方程是（）
A．x＝1B．y＝2C．x＝2或y＝1D．x＝1或y＝2
4．已知函数f（x）＝2sin（ωx ）+ω（ω＞0）的图象与x轴相切，则f（π）＝（）