高中数学选修1-1《圆锥曲线与方程》知识点讲义

第二章 圆锥曲线与方程

一、曲线与方程的定义：

(),C F x y 设曲线，方程=0，满足以下两个条件：

()(),,C x y F x y ∀①曲线上一点的坐标满足=0；

()(),,.

F x y x y C ∀②方程=0解都在曲线上

()(),,.

C F x y F x y C 则曲线称是方程=0的曲线，方程=0是曲线的方程

二、求曲线方程的两种类型：

()

1、已知曲线求方程；用待定系数法

()()()

2,;,x y x y 、未知曲线求方程①设动点②建立等量关系；

③用含的式子代替等量关系；④化简；别出现不等价情况⑤证明；高中不要求

椭圆

一、椭圆及其标准方程

1、画法

{}

121222,2P PF PF a F F a +=<、定义：

3、方程

()()22

22

22221010x y y x a b a b a b

a b +=>>+=>>①或

②

()

22

22+10x y a b a b

=>>二、几何性质：

1,.

x a y b ≤≤、范围：

2x y O 、对称性：关于、、原点对称. ()()()()12123,0,,0,0,,0,.

A a A a

B b B b --、顶点

2224,,a b c a b c =+、之间的关系：

()

2

25101c b e e a a ==-<<、离心率：

0,1e e →→越圆越扁 扩展：

()2222

22222x y x y m b a b a m b m <--①与椭圆+=1有相同焦点的椭圆方程为+=1 ()()

2222

22221010x y y x k k ka kb ka kb +=>+=>②有相同离心率的椭圆为或

.a c a c -+③椭圆上的点到焦点的最小距离是，最大距离是

12P P F PF ∠④为椭圆上一动点，当点为短轴端点时，最大.

24.AB F ABF a ⑤为过焦点的弦，则的周长为

()()1122,,,y kx b A x y B x y l =+⑥直线与圆锥曲线相交于两点，则当直线的斜率存在时，弦长为:

()()222121212114l k x x k x x x x ⎡⎤=+-=

++-⎣⎦

()2

12121222110114k l y y y y y y k k ⎡⎤=+

-=+⋅+-⎣⎦或当存在且不为时，

()2210,0.

Ax By A B +=>>⑥当椭圆的焦点位置不确定时，可设椭圆的方程为

1、画法

{}

121222,2P PF PF a F F a -=>、定义：

3、方程：

()()22

22

22221,01,0x y y x a b a b a b

a b -=>-=>①或

②

()

22

221,0x y a b a b

-=>二、几何性质：

1,x a y R

≥∉、范围：

2x y O 、对称性：关于轴、轴、原点对称. ()()

121212,0,,0=2.A a A a A A a B B b -=3、顶点：实轴2，虚轴

222.a b c c a b =+4、、、之间的关系：

()

2

2511c b e e a a

e ==+>、离心率:越大，开口越阔

22221b y x a y x y x a a b b ⎛⎫

=±-==± ⎪

⎝⎭6、渐近线：的渐近线为

()2222

222210x y x y m m a b a b -=-=>说明：与有相同离心率.

P l PF P F l d -⎧⎫

∉⎨⎬

⎩⎭1、定义：且

2、标准方程及几何性质 标准方程

()

220y px p =>

()

220y px p =->

()

220x py p =>

()

220x py p =->

简图

焦点

,02p ⎛⎫

⎪⎝⎭

,02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭

02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭、

02p ⎛⎫- ⎪

⎝

⎭、 准线 2p x =-

2p x =

2p y =-

2p y =

范围 0x ≥ 0x ≤

0y ≥ 0y ≤

对称性 x 轴 y 轴

顶点 ()0,0

离心率 1e =

P 说明：①越大，开口越阔.

②抛物线无限向外延展，但它无渐进线.

扩展：

Q Q 1、设点分别位于抛物线开口以内，抛物线上，以及开口以外，问过点且和抛物线只有一个交点的直线有几条？

()1.

Q 答：①当位于抛物线开口以内，个交点的直线只有一条主轴或其平行线

1Q ②当位于抛物线上，个交点的直线有两条，即主轴或其平行线，和切线. 1.Q ③当位于抛物线外，

个交点的直线有3条，分别是主轴或其平行线，两条切线