第一章概率论典型例题

典型例题：

一．排列

1．特殊排列

相邻、彼此隔开、顺序一定和不可分辨

例1．晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？

①3个舞蹈节目排在一起；

②3个舞蹈节目彼此隔开；

③3个舞蹈节目先后顺序一定。

例2．4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？

例3．5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？

2．重复排列和非重复排列（有序）

例4．5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？

3．对立事件

例5．七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？

例6．15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？

例7．有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？

4．顺序问题

例8．3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序）

例9．3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序）

例10．3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序）

二．概率

1. 一批产品由90件正品和10件次品组成，从中任取一件，问取得正品的概率多大.

2. 甲、乙两人各自向同一目标射击，已知甲命中目标的概率为0.7，乙命中目标的概率为0.8 求：(1)甲、乙两人同时命中目标的概率；(2)恰有一人命中目标的

概率；(3)目标被命中的概率.

3. 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率.

4. 有一批产品是由甲、乙、丙三厂同时生产的.其中甲厂产品占50%,乙厂产品占30%, 丙厂产品占20%,甲厂产品中正品率为95%,乙厂产品正品率为90%, 丙厂产品正品率为85%, 如果从这批产品中随机抽取一件, 试计算该产品是正品的概率多大.

1.7 一个小孩用13个字母T T N M M I I H E C A A A ,,,,,,,,,,,,作组字游戏。如果字母的各种排列是随机的（等可能的），问“恰好组成“MATHEMATICIAN ”一词的概率为多大？

解 显然样本点总数为!13，事件A “恰好组成“MATHEMATICIAN ”包含

!2!2!2!3个样本点。所以!

1348!13!2!2!2!3)(==A P 1.8 在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求它们正好可以相互吃掉的概率。

解 任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于891109=-⨯个不同位置，当它处于和红“车”同行或同列的1789=+个位置之一时正好相互“吃掉”。故所求概率为

89

17)(=A P 1.9 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。

解 每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为79。事件A “没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于

“从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”。所以包含79A 个样本点，于是

7799

)(A A P =。 1.13 把n 个完全相同的球随机地放入N 个盒子中（即球放入盒子后，只能区别盒子中球的个数，不能区别是哪个球进入某个盒子，这时也称球是不可辨的）。如果每一种放法都是等可能的，证明(1)某一个指定的盒子中恰好有k 个球的概

率为⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+n n N k n k n N 12，n k ≤≤0

(2)恰好有m 个盒的概率为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n N m N n m N 111，1-≤≤-N m n N

(3)指定的m 个盒中正好有j 个球的概率为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛---+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+n n N j n j n m N m j m 1111，

.0,1N j N m ≤≤≤≤

解 略。

1.18 在平面上画有间隔为d 的等距平行线，向平面任意地投掷一个三角形，该三角形的边长为c b a ,,（均小于d ），求三角形与平行线相交的概率。

解 分别用321,,A A A 表示三角形的一个顶点与平行线相合，一条边与平行线相合，两条边与平行线相交，显然.0)()(21==A P A P 所求概率为)(3A P 。分别用bc ac ab c b a A A A A A A ,,,,,表示边c b a ,,，二边bc ac ab ,,与平行线相交，则=)(3A P ).(bc ac ab A A A P ⋃⋃显然)(a A P )()(ac ab A P A P +，=)(b A P )()(bc ab A P A P +，=)(c A P )()(bc ac A P A P +。所以

21)(3=A P [+)(a A P +)(b A P )(c A P ])(22c b a d ++=π)(1c b a d

++=π 1.20 甲、乙两人从装有a 个白球与b 个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都有不放回，直到两人中有一人取到白球时停止。试描述这一随机现象的概率空间，并求甲或乙先取到白球的概率。

解1ω表示白，2ω表示黑白，3ω表示黑黑白，…白黑黑表示个

b b 1+ω，

则样本空间=Ω{1ω，2ω，…，1+b ω}，并且b

a a P +=})({1ω， 1})({2-+⋅+=

b a a b a b P ω， 2

11})({3-+⋅-+-⋅+=b a a b a b b a b P ω，…， )

1()2()2(11})({--+⋅--+--⋅⋅-+-⋅+=i b a a i b a i b b a b b a b P i ω