第一章概率论典型例题

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概率论与数理统计练习题(含答案)

概率论与数理统计练习题(含答案)

第一章 随机事件及其概率练习: 1. 判断正误(1)必然事件在一次试验中一定发生,小概率事件在一次试验中一定不发生。

(B )(2)事件的发生与否取决于它所包含的全部样本点是否同时出现。

(B )(3)事件的对立与互不相容是等价的。

(B ) (4)若()0,P A = 则A =∅。

(B )(5)()0.4,()0.5,()0.2P A P B P AB ===若则。

(B ) (6)A,B,C 三个事件至少发生两个可表示为AB BC AC ⋃⋃(A ) (7)考察有两个孩子的家庭孩子的性别,{()Ω=两个男孩(,两个女孩),(一个男孩,}一个女孩),则P{}1=3两个女孩。

(B )(8)若P(A)P(B)≤,则⊂A B 。

(B ) (9)n 个事件若满足,,()()()i j i j i j P A A P A P A ∀=,则n 个事件相互独立。

(B )(10)只有当A B ⊂时,有P(B-A)=P(B)-P(A)。

(A ) 2. 选择题(1)设A, B 两事件满足P(AB)=0,则©A. A 与B 互斥B. AB 是不可能事件C. AB 未必是不可能事件D. P(A)=0 或 P(B)=0 (2)设A, B 为两事件,则P(A-B)等于(C)A. P(A)-P(B)B. P(A)-P(B)+P(AB)C. P(A)-P(AB)D. P(A)+P(B)-P(AB) (3)以A 表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件A 为(D)A. “甲种产品滞销,乙种产品畅销”B. “甲乙两种产品均畅销”C. “甲种产品滞销”D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销”(4)若A, B 为两随机事件,且B A ⊂,则下列式子正确的是(A) A. P(A ∪B)=P(A) B. P(AB)=P(A) C. P(B|A)=P(B) D. P(B-A)=P(B)-P(A) (5)设(),(),()P A B a P A b P B c ⋃===,则()P AB 等于(B)A. ()a c c + B . 1a c +-C.a b c +- D. (1)b c -(6)假设事件A 和B 满足P(B|A)=1, 则(B)A. A 是必然事件 B . (|)0P B A = C. A B ⊃ D. A B ⊂ (7)设0<P(A)<1,0<P(B)<1, (|)(|)1P A B P A B += 则(D)A. 事件A, B 互不相容B. 事件A 和B 互相对立C. 事件A, B 互不独立 D . 事件A, B 互相独立8.,,.,,.D ,,.,,.,,1419.(),(),(),(),()37514131433.,.,.,.,37351535105A B A AB A B B AB A B C AB A B D AB A B P B A P B A P AB P A P B A B C φφφφ≠=≠====对于任意两个事件必有(C )若则一定独立;若则一定独立;若则有可能独立;若则一定不独立;已知则的值分别为:(D)三解答题1.(),(),(),(),(),(),().P A p P B q P AB r P A B P AB P A B P AB ===设求下列事件的概率:解:由德摩根律有____()()1()1;P A B P AB P AB r ⋃==-=-()()()();P AB P B AB P B P AB q r =-=-=-()()()()(1)()1;P A B P A P B P AB p q q r r p ⋃=+-=-+--=+-________()()1[()()()]1().P AB P A B P A P B P AB p q r =⋃=-+-=-+-2.甲乙两人独立地对同一目标射击一次,命中率分别是0.6和0.5,现已知目标被命中,求它是甲射击命中的概率。

概率论第一章习题

概率论第一章习题

Hi)
1 7 3 30
8 30
5 30
2 9
q
P( A1
A2 )
P( A1A2 ) P( A2 )
2 9
61 90
20 61
补充练习题
1. 假设事件A和B满足P(B|A)=1,则( )
(A) 事件A是必然事件 (B)P(A/B)=0
(C) A B
(D)B A
答案:D
解析:由于P(A|B)=P(AB)/P(A)=1,可知P(AB)=P(A).从而 有A B.
此箱玻璃杯中,确实没有次品的概率.
解:设 A={顾客买下所查看的一箱},
Bi={箱中恰好有 i 件次品}, i=0, 1, 2.
由题设可知:P(B0)=0.8, P(B1)=0.1, P(B2)=0.1,
P(A|B0)=1
P(A|B1)=
C149|B2)=
C148
C
4 20
12 19
m n1
n m
n
C
2 n
C2 m n1
m2 mn2
4. 设玻璃杯整箱出售, 每箱20个, 各箱含0, 1, 2个次品的概率
分别为 0.8, 0.1, 0.1,某顾客欲购买一箱玻璃杯, 由售货员任取
一箱, 经顾客开箱随机查看 4个. 若无次品, 则买一箱玻璃杯,
否则不买. 求: (1)顾客买此箱玻璃杯的概率;(2)在顾客买的
2. 设 P(A)=0.3, P(B)=0.4,P(A|B)=0.5, 求 P(B|A), P(B| A∪B), P( A∪B | A∪B).
[答案] 0.2, 0.8, 0.6
3. 一袋中装有m(m3)个白球和 n个黑球,今丢失一 球,不知其色. 先随机从袋中摸取两球,结果都是白 球,球丢失的是白球的概率.

概率论第一章历年试题答案

概率论第一章历年试题答案

第一章历年试题答案一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设A 与B 互为对立事件,且P (A )>0,P (B )>0,则下列各式中错误..的是( ) A.P (A )=1-P (B ) B.P (AB )=P (A )P (B ) C.P 1)( ABD.P (A ∪B )=1 答案:B2.设A ,B 为两个随机事件,且P (A )>0,则P (A ∪B |A )=( ) A.P (AB ) B.P (A ) C.P (B ) D.1答案:D3.从标号为1,2,…,101的101个灯泡中任取一个,则取得标号为偶数的灯泡的概率为( )A .10150B .10151C .10050D .10051答案:A4.设事件A 、B 满足P (A B )=0.2,P (A )=0.6,则P (AB )=( ) A .0.12 B .0.4 C .0.6 D .0.8答案:B5.设A 与B 互为对立事件,且P(A )>0,P (B )>0,则下列各式中错误..的是( ) A .0)|( B A P B .P (B |A )=0 C .P (AB )=0 D .P (A ∪B )=1 答案:A6.设A,B为两个随机事件,且P (AB)>0,则P(A|AB)=()A.P(A)B.P(AB)C.P(A|B)D.1答案:D7.设事件A与B相互独立,且P(A)>0,P(B)>0,则下列等式成立的是()φA.AB=B.P(A B)=P(A)P(B)C.P(B)=1-P(A)D.P(B |A)=0答案:B8.设A、B、C为三事件,则事件A ()BC=A.A C BB.A B CC.( A B )CD.( A B )C答案:A9.一批产品共10件,其中有2件次品,从这批产品中任取3件,则取出的3件中恰有一件次品的概率为( )A .601B .457C .51D .157答案:D10.设随机事件A与B互不相容,P(A)=0.2,P(B)=0.4,则P(B|A)=()A.0 B.0.2C.0.4 D.1答案:A11.设事件A,B互不相容,已知P(A)=0.4,P(B)=0.5,则P(A B)=()A.0.1 B.0.4C.0.9 D.1答案:A12.已知事件A,B相互独立,且P(A)>0,P(B)>0,则下列等式成立的是()B)=P(A)+P(B)A.P(AB.P(A B)=1-P(A)P(B)B)=P(A)P(B)C.P(AB)=1D.P(A答案;B13.某人射击三次,其命中率为0.8,则三次中至多命中一次的概率为( ) A .0.002 B .0.04 C .0.08 D .0.104答案:D14.设A 为随机事件,则下列命题中错误..的是( ) A .A 与A 互为对立事件B .A 与A 互不相容C .Ω=⋃A AD .A A = 答案:C15.设A 与B 相互独立,2.0)(=A P ,4.0)(=B P ,则=)(B A P ( ) A .0.2 B .0.4 C .0.6 D .0.8答案:D16.同时抛掷3枚均匀的硬币,则恰好三枚均为正面朝上的概率为( ) A.0.125 B.0.25 C.0.375 D.0.5答案:A17.设A、B为任意两个事件,则有()A.(A∪B)-B=AB.(A-B)∪B=A⊂AC.(A∪B)-B⊂AD.(A-B)∪B答案:C18.设A,B为两个互不相容事件,则下列各式错误..的是()A.P(AB)=0B.P(A∪B)=P(A)+P(B)C.P(AB)=P(A)P(B)D.P(B-A)=P(B)答案;C19.设事件A ,B 相互独立,且P (A )=31,P (B )>0,则 P (A|B )=( )A .151B .51C .154D .31 答案:D20.设事件A与B互不相容,且P(A)>0,P(B) >0,则有()A.P(AB)=lB.P(A)=1-P(B)C.P(AB)=P(A)P(B)D.P(A∪B)=1答案;A21.设A、B相互独立,且P(A)>0,P(B)>0,则下列等式成立的是()A.P(AB)=0B.P(A-B)=P(A)P(B)C.P(A)+P(B)=1D.P(A|B)=0答案:B22.同时抛掷3枚均匀的硬币,则恰好有两枚正面朝上的概率为()A.0.125 B.0.25C.0.375 D.0.50答案:C23.某射手向一目标射击两次,A i 表示事件“第i 次射击命中目标”,i =1,2,B 表示事件“仅第一次射击命中目标”,则B =( )A .A 1A 2B .21A AC .21A D .21A A 答案:B24.某人每次射击命中目标的概率为p (0<p <1),他向目标连续射击,则第一次未中第二次命中的概率为( )A .p 2B .(1-p )2C .1-2pD .p (1-p )答案:D25.已知P(A)=0.4,P(B)=0.5,且 B,则P(A|B)=()AA.0 B.0.4C.0.8 D.1答案:C26.一批产品中有5%不合格品,而合格品中一等品占60%,从这批产品中任取一件,则该件产品是一等品的概率为()A.0.20 B.0.30C.0.38 D.0.57答案:D二、填空题(本大题共15小题,每空2分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

《概率论与数理统计》习题及答案

《概率论与数理统计》习题及答案

概率论与数理统计 第一部份 习题第一章 概率论基本概念一、填空题1、设A ,B ,C 为3事件,则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 。

2、设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ,且A 与B 互不相容,则=)(B P 。

3、口袋中有4只白球,2只红球,从中随机抽取3只,则取得2只白球,1只红球的概率为 。

4、某人射击的命中率为0.7,现独立地重复射击5次,则恰有2次命中的概率为 。

5、某市有50%的住户订晚报,有60%的住户订日报,有80%的住户订这两种报纸中的一种,则同时订这两种报纸的百分比为 。

6、设A ,B 为两事件,3.0)(,7.0)(==B A P A P ,则=)(B A P 。

7、同时抛掷3枚均匀硬币,恰有1个正面的概率为 。

8、设A ,B 为两事件,2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ,则=)(AB P 。

9、10个球中只有1个为红球,不放回地取球,每次1个,则第5次才取得红球的概率为 。

10、将一骰子独立地抛掷2次,以X 和Y 分别表示先后掷出的点数,{}10=+=Y X A{}Y X B >=,则=)|(A B P 。

11、设B A ,是两事件,则B A ,的差事件为 。

12、设C B A ,,构成一完备事件组,且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ,=)(AB P 。

13、设A 与B 为互不相容的两事件,,0)(>B P 则=)|(B A P 。

14、设A 与B 为相互独立的两事件,且4.0)(,7.0)(==B P A P ,则=)(AB P 。

15、设B A ,是两事件,,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。

16、设B A ,是两个相互独立的事件,,4.0)(,2.0)(==B P A P 则=)(B A P 。

17、设B A ,是两事件,如果B A ⊃,且2.0)(,7.0)(==B P A P ,则=)|(B A P 。

《概率论与数理统计》典型例题

《概率论与数理统计》典型例题

《概率论与数理统计》典型例题第一章 随机事件与概率例1.已知事件,A B 满足,A B 与同时发生的概率与两事件同时不发生的概率相等,且()P A p =,则()P B = 。

分析:此问题是考察事件的关系与概率的性质。

解:由题设知,()(P AB P A B =∩),则有()()()1()1()()()P AB P A B P A B P A B P A P B P AB ===−=−−+∩∪∪而,故可得。

()P A p =()P B =1p −注:此题具体考察学生对事件关系中对偶原理,以及概率加法公式的掌握情况,但首先要求学生应正确的表示出事件概率间的关系,这三点都是容易犯错的地方。

例2.从10个编号为1至10的球中任取1个,则取得的号码能被2或3整除的概率为 。

分析:这是古典概型的问题。

另外,问题中的一个“或”字提示学生这应该是求两个事件至少发生一个的概率,即和事件的概率,所以应考虑使用加法公式。

解:设A :“号码能被2整除”,B :“号码能被3整除”,则53(),()1010P A P B ==。

只有号码6能同时被2和3整除,所以1()10P AB =,故所求概率为 5317()()()()10101010P A B P A P B P AB =+−=+−=∪。

注:这是加法公式的一个应用。

本例可做多种推广,例如有60只球,又如能被2或3或5整除。

再如直述从10个数中任取一个,取得的数能被2或3整除的概率为多少等等。

例3.对于任意两事件,若,则 A B 和()0,()0P A P B >>不正确。

(A )若AB φ=,则A 、B 一定不相容。

(B )若AB φ=,则A 、B 一定独立。

()若C AB φ≠,则A 、B 有可能独立。

()若D AB φ=,则A 、B 一定不独立。

分析:此问题是考察事件关系中的相容性与事件的独立性的区别,从定义出发。

解:由事件关系中相容性的定义知选项A 正确。

概率论与数理统计教程习题(第一章随机事件与概率)

概率论与数理统计教程习题(第一章随机事件与概率)

习题1(随机事件及其运算)一.填空题1. 设A ,B ,C 是三个随机事件,用字母表示下列事件:事件A 发生,事件B ,C 不都发生为 ;事件A ,B ,C 都不发生为 ;事件A ,B ,C 至少一个发生为 ;事件A ,B ,C 至多一个发生为 .2. 某人射击三次,用A i 表示“第i 次射击中靶”(i =1,2,3).下列事件的含义是:1A 表示 ;321A A A 表示 ;321321321A A A A A A A A A ++表示 ;321A A A 表示 .3. 在某学院的学生中任选一人,用A 表示“选到的是男生”,用B 表示“选到的是二年级的学生”,用C 表示“选到的是运动员”。

则式子ABC=C 成立的条件是 .二.选择题1. 在事件A ,B ,C 中,B 与C 互不相容,则下列式子中正确的是( ).① A BC A = ; ② A BC A = ;③ Φ=BC A ; ④ Ω=BC A .2. 用A 表示“甲产品畅销,乙产品滞销”,则A 表示( ).① “甲产品滞销,乙产品畅销”; ② “甲、乙产品都畅销”; ③ “甲产品滞销或乙产品畅销”; ④ “甲、乙产品都滞销”.3. 若概率0)(=AB P ,则必有( ).① Φ=AB ; ② 事件A 与B 互斥;③ 事件A 与B 对立; ④ )()()(B P A P B A P += .三.解答题1. 将一枚骰子掷两次,记录点数之和,写出样本空间Ω及事件=A {点数之和为偶数};=B {点数之和能被3整除}.2. 将一枚骰子掷两次,观察点数的分布,写出样本空间Ω及事件=A {点数之和为6};=B {点数之差为2}.3. 某城市发行日报和晚报两种报纸。

有15%的住户订日报,25%的住户订晚报,同时订两种报纸的住户有8%,求下列事件的概率:C ={至少订一种报};D ={恰订一种报};E ={不订任何报}.4. 若已知,2.0)(,0)()(,3.0)()()(======BC P AC P AB P C P B P A P 求概率)(ABC P ;)(C B A P ;).(C B A P习题2(概率的定义及性质)一.填空题1. 掷两枚质地均匀的骰子,则点数之和为8的概率P = .2. 在10把钥匙中,有3把能开门。

概率论第一章随机事件及其概率答案

概率论第一章随机事件及其概率答案

概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第一章 随机事件及其概率(一)一.选择题1.对掷一粒骰子的试验,在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ](A )不可能事件 (B )必然事件 (C )随机事件 (D )样本事件2.下面各组事件中,互为对立事件的有 [ B ](A )1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品}(B )1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品}(C )1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个}(D )1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品}3.下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ](A )A AB - (B )()A B B ⋃- (C )A B (D )A B4.甲、乙两人进行射击,A 、B 分别表示甲、乙射中目标,则A B ⋃表示 [ C ](A )二人都没射中 (B )二人都射中(C )二人没有都射着 (D )至少一个射中5.以A 表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对应事件A 为. [ D ](A )“甲种产品滞销,乙种产品畅销”; (B )“甲、乙两种产品均畅销”;(C )“甲种产品滞销”; (D )“甲种产品滞销或乙种产品畅销6.设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<,则AB 表示 [ A ](A ){|01}x x ≤< (B ){|01}x x <<(C ){|12}x x ≤< (D ){|0}{|1}x x x x -∞<<⋃≤<+∞7.在事件A ,B ,C 中,A 和B 至少有一个发生而C 不发生的事件可表示为 [ A ](A )C A Y C B ; (B )C AB ;(C )C AB Y C B A Y BC A ; (D )A Y B Y C .8、设随机事件,A B 满足()0P AB =,则 [ D ](A ),A B 互为对立事件 (B) ,A B 互不相容(C) AB 一定为不可能事件 (D) AB 不一定为不可能事件二、填空题1.若事件A ,B 满足AB φ=,则称A 与B 互斥或互不相容 。

概率论第一章例题

概率论第一章例题


1


333 2000

250 2000
83 2000


3. 4
例4 某接待站在某一周曾接待过 12次来访,已知 所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的,问是 否可以推断接待时间是有规定的.
解 假设接待站的接待时间没有
规定,且各来访者在一周的任一天
中去接待站是等可能的.
17 27
解 将产品编号, 1, 2, 3 为一等品 ; 4 号为二等品 . 以 (i, j) 表示第一次、第二次分别取到第 i 号、第
j 号产品, 则试验的样本空间为 {(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4) , ,
(4,1), (4,2), (4,3)},
因为 333 2000 334, 所以 P( A) 333 ,
6
2000
由于 2000 250, 故得 P(B) 250 .
8
2000
由于 83 2000 84, 得 P( AB) 83 .
24
2000
于是所求概率为
P( AB) 1 {P( A) P(B) P( AB)}
3. 古典概型的基本模型:摸球模型
(1) 无放回地摸球
问题1 设袋中有4 只白球和 2只黑球, 现从袋中无
放回地依次摸出2只球,求这2只球都是白球的概率.
解 设 A {摸得 2 只球都是白球},
基本事件总数为 A62,
AP所( A包)含 基A42 本A62事件52.的个数为或A42,
不考虑顺序
C42种 C22种
2个
2个
因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为

概率试题库一

概率试题库一

概率论试题库(一)第一章 预备知识(排列、组合、集合) 第二章 随机事件1. 令A 表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则A 的对立事件A 为( ) (A )“甲种产品滞销,乙种产品畅销” (B )“甲,乙产品均畅销 ” (C )“甲种产品滞销” (D )“甲产品滞销或乙产品畅销 答案:D2. 设A 、B 、C 为三个随机事件,则“A 、B 、C 至少有一个发生"可表示为__________;“A 发生而B 、C 不发生"可表示为__________。

答案:A+B+C, ABC ;3. 设,,,A B C D 为任意四个事件,则四个事件中至多有一个发生可表示 为4. 设A 、B 、C 为三个随机事件,则“A 、B 、C 不都发生”可表示为__________; “A ,B 、C 至多有一个发生”可表示为__ ________.第三章 随机事件的概率5. 掷三枚质地均匀的骰子,出现三个3点的概率为 。

6. 掷三枚质地均匀得硬币,出现三个正面得概率为 .7. 投掷一枚均匀的骰子,出现6点的概率为____________,点数能被3整除的概率为 。

8. 投掷一枚均匀的骰子,出现6点的概率为____________,点数能被2整除的概率为 。

第四章 条件概率 事件(试验的)相互独立9. 一射手对同一目标独立地射击4次,且已知射手的命中率为2/3,则4次射击中恰好命中一次的概率为____________,4次射击中至少命中一次的概率为 。

答案:8/81; 80/81 ;10. 一射手对同一目标独立地射击3次,且已知射手的命中率为2/3,则3次射击中恰好命中一次的概率为____________,3次射击中至少命中一次的概率为 . 11. 2.0)(,5.0)(,6.0)(===B A P B P A P ,求)(),(),(B A P A B P B A P -+解:()()()0.50.20.1P AB P B P A B ==⨯=,()()()()0.60.50.11P A B P A P B P AB +=+-=+-=,()0.11()()0.66P AB P B A P A ===, ()()()0.60.10.5P A B P A P AB -=-=-=。

概率论与数理统计例题

概率论与数理统计例题

第一章第一节例1:甲、乙、丙三个射手击中目标的事件分别记作A 、B 、C ,试替用A 、B 、C 表示以下事件。

1) 甲击中目标,乙、丙未击中;2) 三个人中恰有一个人击中目标;3) 三个人中至少有一个击中目标;4) 三个人中恰有两个人击中目标;5) 三个人中至多一个人击中目标;6) 三个人都击中了目标;7) 三个人都未击中目标。

解:1) C B A2) C B A C B A C B A3) C B A C B A C B A C AB C B A BC A ABC ,或A B C 4) C AB C B A BC A5) C B A C B A C B A C B A ,或C B C A B A6) ABC7) C B A 或C B A例2:一名射手连续向某个目标射击三次,事件i A 表示第i 次射击时击中目标(i =1,2,3),试用文字叙述叙述下列事件:1A 2A ,2A ,3A -2A ,C B A 。

解:1A 2A :前两次射击中至少有一次击中目标;2A :第二次射击未中目标;3A -2A :第三次击中目标但第二次未击中目标;C B A =A B C :三次射击中至少有一次击中目标。

第二节例1:同时掷两枚硬币,求出现一正一反的概率。

解:试验样本空间 ={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)},因此有四个基本事件且每个基本事件发生的可能性相同,所以是古典概型问题。

设A 表示事件“出现一正一反”,则事件A 包含两个基本事件(正,反)、(反,正),所以)(A P =42=21 例2:一批产品中有7件正品和3件次品,现从中任取两次,每次任取一件产品,考虑下面两种抽样方式:(a )第一次取出一件产品,观察是否合格后放回,混合后再取第二件。

这种抽样方式称为有放回抽样。

(b )第一次取出一件产品不放回,第二次从剩下的产品中再取一件。

这种抽样方式称为无放回抽样。

分别就以上两种情况求:1) 取到的两件都是次品的概率;2) 取到的两件是一件正品一件次品的概率。

概率论与数理统计第一章测试题

概率论与数理统计第一章测试题

第一章随机事件和概率选馳1.设A,B,C为任意三个事件,则与A—定互不相容的事件为(A) AUBUC (B) AB A JAC (C) ABC (D) A(BuC)2•对于任意二事件A和B,与二B不等价的是(A) AuB (B) Bc=A (C) AB =</> (D)兀B =03•设A、B是任意两个事件,AuB, P(B)>0,则下列不等式中成立的是()A. P(A)<P(A\B) B • P(A)<P(A\B)C. P(A)>P(A B)D. P(A)>P(AIB)4•设OvP(A)vl,OvP(B)vl,P(AIB) + P(平)=1,则()A •事件A与B互不相容B ■事件A与B相互独立C事件A弓R相万材D•事件A与3旦彳、独立5.设随机事件A与B互不相容,且P么丿二P P (B)二q,则A与B中恰有一个发生的概率等于() A・p + q B ・ P + q-pqC. (1 一卩)(1 一?) 0“(l—q) + q(l—〃)6.对于任意两事件A与P(A-B)=()A. P(A)-P(B)B. P(A)・P(B) + P(AB)C. P (A) -P (AB)D. P(A)^P{A)-P (AB)7若A、B*,且P(A)>0,P(B)>0,则下列式于成立的是()A. P(AIB) = P(A) B• P(BIA)>0C. P(AB) = P(A)P(B)D. P(BIA) = O8.设P(A) = OAP(B) = O.&P(BIA)=O&则下列结论中正确的是()A・事件A. B互不相容B事件A、8互逆C.事件q、B相互独立Z) • A 二)B9.设A、3互不相容,P(A)工O,P(B) HO,则下列结论肯定正确的是()A.刁与豆互不相容B. P(EN\)>0C. P(AB) = P(A)P(B)D. P(A-B) = P(q)10.设A > B、C 为三个事件,P(BIA) = 0.6,P(CIAB;=0.4,则P ⑦CM丿=(丿A. 0.3 B• 0.24 C. 0.5 D. 0.2111.设A, B 是两个随机事件,且0<P(A)<l, P(B)>0, P(B\A) = P(B\A)f则必有(A) P(A\B) = P(A\B)(B)(C) P(AB) = P(A)P(B)(D) P(AB)HP(A)P(B)12.随机事件仏3,满足P(A)=P(B)二丄和P(QB) = 1,则有2(A) A5 = G (B) AB = ©(C) P(A A B) = /(D) P(A-8) = 013.设随机事件A与B互不相容,P(A)>0,P(B)>0f则下面结论一定成立的是(A) A, B为对立事件(B)瓦,歹互不相容(C) A,B不独立(D) A.B独立14.对于事件A和B,设AnB, P(B)>0,则下列各式正确的是(A) P(BIA) = P(B) (B) P(AIB) = P(A) (C) P(瓦+E) = P(豆) (D) P(A A B) = P(A)15.设事件A与B同时发生时,事件C必发生,则(A) P(C)<P(A fP(B)-l(B) P(C)>P(A) + P(B)-1(C) P(C) = P(AB)(P) P(C) = P(A5)16.设A,B,C是三个相互独立的随机事件,且0<P(C)<lo则在下列给定的四对事件中不相互独立的是(A) X7万与c (B)走与F (C)乔玄与F (D)丽与C17.设A,B,C三个事件两两独立'则A,B,C相互独立的充要条件是C.事件q、B相互独立 D • A二)B(A) A与BC独立(B) AB与A+C独立(C) AB与AC独立(D) A+B与A+C独立18.将一枚均匀的硬币独立地掷三次,记事件A二“正.反面都出现:’正面最多出现一\ C= “反面杲多出现一次7则下面结论中不正确的是(A) A与B独立(B)B与C独立(C)A与C独立(P) BuC与A独立19.进行一系列独立重复试验,每次试验成功的概率为p,则在成功2次之前已经失败3次的概率为(A) 4p(l-p)3(B) c; p2(l-p)3(C) (1-p)3(r>) 4/?(l 一T二填空题1. 一袋中有50个乒乓球,其中20个红球,30个白球,今两人从袋中各取一球,取后不放回,则第二个人取到红球的槪率为 ___________2・设A, B是任意两个随机事件,贝IJP{(A +B)(A + B)(A + BKA + P)} = ____________3.巳知A、B两事件满足条件P(AB) = P (ABy且P(A) = p,贝>JP(B) = __________________4.P(A) = P(B) = P(C) = P(AB) = P(BC) = 0,P(AC)=-Jl\ K 都不发生4 16的槪率为 _________5.随机事件A、B 满足P(A) = 0A,P(B) = 0.5,P(A\B) = P(A\B),则P (AB) = _______________ 6•设两两相互独立的三事件和c满足条件:ABC=</> >oP(A) = P(B) = P(C)<・,且巳知P(AuBuC)= —M P(A)= ___________________2 167・设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为卜A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等,则P(A)= ____________8.设事件A和B中至少有一个发生的概率为2,人和〃中有且仅有一个发生的概率为;,6 3那么A和B同时发生的概率为__________ 9・设随机事件A,B,C满足p(A) = P(B) = P(C)=丄,P(AB) = P(BC) = 0, P(AC)=・> 贝IJ4 8A,B、C三个事件中至少出现一个的概率为 _________ 010. _____________ 若在区间(0,1)上隨机地取两个数u,v,则矢于x的一元二次方程,・2以+ “二0有实根的概率是 _ O11 •二阶行列式“ b的元素可能为0或1,而0与1出现的概率均为丄,则该行列式的值为Cd2 正教的概率是12•对同一目标接连迸行3次独立重复射击,假设至少命中目标一次的概率为7/&则每次射击命中目标的槪率为 __________ 0ofer选删I.(A) 2. (D) 3 • (B) 4. (B) 5. (A) 6 • (C) 7. (D) 8. (C) 9. (D) 10. (B)II.(C) 12. (C) 13. (C) 14. (C) 15. (B) 16. (B) 17. (A) 18. (B) 19. (D) 二、埴空题1.2/52.0 3 - 1-p 4. 7/16 5.0.2 6 ・ 1/4 7.2/3 8.1/6 9.5/8 10.1/311 ・ 3/16 12. 1/2如有侵权请联系告知删除,鳳谢你们的配合!。

概率论 第一章

概率论 第一章

第一章随机事件及其概率习题一1 举出几个必然事件、不可能事件和随机事件的例子.解(1)设v10为10次射击命中次数,则{5<v10≤8=——随机事件,{v10≤10}——必然事件,{v10>10}——不可能事件;(2)掷一枚骰子试验中,{出现偶数点}——随机事件,{出现i点}(i=1,2,…,6)——随机事件,{出现点数小于7}——必然事件,{点数不小于7}——不可能事件;(3)盒中有2个白球,3个红球,从盒中随机取出3球,则{取出的3个球中含有红球}——必然事件,{取出的3个球中不含红球}——不可能事件.2 互不相容事件与对立事件的区别何在?说出下列各对事件的关系:(1)|x-a|<δ与x-a≥δ;(2)x>20与x≤20;(3)x>20与x<18;(4)x>20与x≤22;(5)20个产品全是合格产品与20个产品中只有一个废品;(6)20个产品全是合格产品与20个产品中至少有一个废品.解对立事件一定是互不相容事件,但互不相容事件不一定是对立事件.对立事件和互不相容事件的共同特点是事件间没有公共的样本点,但两个对立事件的并(和)等于样本空间,即若A与__A是两个对立事件,则A__A=Φ,A+__A=Ω;而两个互不相容事件的并(和)被样本空间所包含,即若A与B是两个互不相容事件,则AB=Φ,且A+B⊂Ω.(1)由于{x||x-a|<δ=∩{x|x-a≥δ}=Φ,且{x||x-a|<δ=∪{x|x-a≥δ}⊂R,所以事件|x-a|<δ与x-a≥δ是互不相容事件;(2)由于{x|x>20}∩{x|x≤20}=Φ,且{x|x>20}∪{x|x≤20}=R,所以事件x>20与x≤20是对立事件;(3)由于{x|x>20}∩{x|x<18}=Φ,且{x|x>20}∪{x|x<18}=R,所以事件x>20与x<18是互不相容事件;(4){x|x>20}∩{x|x≤22}≠Φ,所以事件x>20与x≤22是相容事件;(5)设事件A={20个产品全是合格品},事件B={20个产品中只有一个废品},显然AB=Φ,A+B⊂Ω={20个产品},所以A与B是互不相容事件;(6)设事件A={20个产品全是合格品},事件B={20个产品中至少有一个废品},显然AB=Φ,A+B=Ω={20个产品},所以A与B是对立事件.3 写出下列随机试验的样本空间.(1)10只产品中有3只是次品,每次从其中取一只(取出后不放回),直到将3只次品都取出,记录抽取的次数;(2)生产产品直到得到10件正品,记录生产产品的总件数;(3)测量一汽车通过给定点的速度.解(1)将3只次品都取出,至少要抽取3次,而最多抽取10次即可,故所求样本空间Ω={3,4,…,9,10};(2)最理想的情形是开始生产的10件产品都是正品,故所求样本空间Ω={10,11,12,…};(3)若不考虑汽车的运动方向,则所求样本空间Ω={v|v>0}.若考虑汽车的运动方向,θ表示该运动方向与正东方向之间的夹角,则所求样本空间 Ω={(vcosθ,vsinθ)|v>0,0≤θ<2π=.4 事件A表示在三件被检验的仪器中至少有一件为废品,事件B表示所有的仪器为合格品,问事件(1)A∪B;(2)A∩B各表示什么意义?解(1)A∪B=Ω; (2)A∩B= .5 设A,B,C为三个随机事件,试将下列事件用A,B,C来表示:(1)仅仅A发生;(2)三个事件都发生;(3)至少有两个事件发生;(4)恰有一个事件发生;(5)没有一个事件发生;(6)不多于两个事件发生.解(1)A__B__ C;(2)ABC;(3)AB∪AC∪BC;(4)A__B__C∪__AB__C∪__A__BC;(5)__A__B__C;(6) AB__ C.7 袋内装有5个白球,3个黑球,从中任取两个球,求取出的两个球都是白球的概率. 解随机试验是从8个球中任取2个,样本空间所包含的样本点总数为n=C28.设事件A={取出两个球均为白球},此时,事件A包含的样本点数为k=C25,故P(A)= k / n = C25 / C28≈0.357.8 一批产品共200个,其中有6个废品,求:(1)这批产品的废品率;(2)任取3个恰有一个是废品的概率;(3)任取3个全是废品的概率.解随机试验是从200个产品中任取3个,样本空间所包含的样本点总数为n=C3200. 设事件A i={取出的3个产品中含有i个废品},i=1,3,事件B={这批产品的废品率}.若取出的3个产品中含有i个废品,则i个废品必须从6个废品中获得,3-i个合格品必须从194 个合格品中获得,从而事件A i所包含的样本点数为k i=C i6C3-i194 ,i=1,3.故P(B)= 6 / 200 =0.03,P(A1)=k1 / n=C16C2194/C3200≈0.086,P(A3)=k3 /n=C36/C3200≈0.000 02.9 两封信随机地向四个邮筒投寄,求第二个邮筒恰好投入一封信的概率.解将两封信随机地投入四个邮筒,共有4×4=16种投法,即n=16.设 A={第二个邮筒恰好投入一封信},此时,需将两封信中的一封放入第二个邮筒,共有2种放法,剩下的一封放入其他三个邮筒中的一个,共有3种放法,从而事件A包含的样本点数为k=2×3=6,故P(A)=k/n=6/16=3/ 8.10 在房间里有10个人,分别佩带着从1号到10号的纪念章,任意选3人记录其纪念章的号码.(1)求最小号码为5的概率;(2)求最大号码为5的概率.解设事件A={最小号码为5},事件B={最大号码为5},则P(A)=C25/C310=1/12,P(B)=C24 /C310=1/20.11 把10本书任意地放在书架上,求其中指定的三本书放在一起的概率.解设事件A={指定的三本书放在一起},将指定的三本书作为一个整体,10本书成为8本,故P(A)=k/n=A33A88/A1010≈0.067.12 甲、乙二人约定1点到2点之间在某处会面,约定先到者等候10分钟即离去.设想两个人各自随意地在1点到2点之间选一个时刻到达该处,问“甲乙二人能会面”这事件的概率是多少?解记事件A={两人能会面},以x,y分别表示两人到达时刻,则两人能会面的充要条件为|x-y|≤10, 即A={(x,y):|x-y|≤10}.这是一个几何概率问题,样本空间为Ω={(x,y):0≤x,y≤60},P(A)=L(A)/L(Ω)=602-502/602=11/36.13 在一间房里有四个人,问至少有两人的生日是在同一个月的概率是多少?解四个人在12个月中任一月出生的可能性是相等的,故基本事件的总数为124.设事件A={四个人生日均不在同一个月},则P(__A)=1-P(A)=1-A412/124=738/1728=41/96.14 设有10件样品,编以号码0~9,随机地抽取1件样品,以B表示“取到号码为偶数的样品”;A1表示“取到号码为1的样品”,A2表示“取到号码为2的样品”,A3表示“取到号码大于7的样品”,分别求A1,A2,A3的概率和A1,A2,A3对B的条件概率,并将条件概率与无条件概率做一比较.解由题设可知:P(A1)=1/10,P(A2)=1/10,P(A3)=2/10=1/5,P(A1|B)=0,P(A2|B)= 1/5,P(A3|B)= 1/5 .15 某人忘了电话号码的最后一个数字,因而随意拨号,不超过三次而接通所需要电话的概率是多少?如果已知最后一个数是奇数,那么此概率是多少?解(1)设A={三次中至少有一次接通}, __A={三次每次都不通},A i={第i次接通}(i=1,2,3).易知,__A=__A1__A2__A3,故P(__A1)=9/10, P(__A2__A1)=8/9,P(__A3|__A1__A2)=7/8,从而,P(__A)= P(__A1) P(__A2__A1)P(__A3|__A1__A2)= 9/10×8/9×7/8=7/10.故P(A)=1- P(__A)=1-7/10=3/10.(2)若已知最后一个数字是奇数,从0到9有十个数,其中五个是奇数,则P(__A1)=4/5, P(__A2__A1)=3/4,P(__A3|__A1__A2)=2/3,从而,P(__A)= P(__A1) P(__A2__A1)P(__A3|__A1__A2)= 4/5×3/4×2/3=2/5.故P(A)=1- P(__A)=1-2/5=3/5.16 考察甲、乙两地出现春旱的情况,以A,B分别表示甲、乙两地出现春旱这一事件.根据以往气象记录知P(A)=0.2,P(B)=0.15,P(AB)=0.08,求 P(A|B),P(B|A)及P(A∪B).解由题设可知:P(A|B)=P(AB)/P(B)=0.08/0.15=8/15,P(B|A)=P(AB)/P(A=0.08/0.2=2/5,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.2+0.15-0.08=0.27.17 掷三个均匀骰子,已知第一粒骰子掷出幺点(事件B),问“掷出点数之和不小于10”这个事件A的条件概率是多少?解设事件B={第一粒骰子掷出幺点},事件A={掷出点数之和不小于10},由题设可知,若第一粒掷出幺点,第二粒可能掷出3、4、5、6点;若第二粒掷出3点,第三粒必掷出6点;第二粒掷出4点,第三粒可能为5、6点;第二粒掷出5点,第三粒可能掷出4、5、6点;第二粒掷出6点,第三粒可能掷出3、4、5、6点,则P(A|B)=P(AB)/P(B)=10/36=5/18.18 甲、乙二人射击,甲击中的概率为0 8,乙击中的概率为0 7,二人同时射击,并假定中靶与否是独立的,求:(1)中靶的概率;(2)甲中、乙不中的概率;(3)甲不中、乙中的概率.解设A、B分别表示甲中靶、乙中靶两事件,则事件A与B独立,又P(A)=0.8,P(B)=0.7,于是,所求概率为(1)P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.8+0.7-0.7×0.8=0.94;(2)P(A__B)=P(A)P(__B)=0.8×(1-0.7)=0.24;(3)P(__AB)=P(__A)P(B)=(1-0.8)×0.7=0.14.19 从厂外打电话给这个工厂某一车间要由工厂的总机转进,若总机打通的概率为0.6,车间的分机占线的概率为0.3,假定二者是独立的,求从厂外向该车间打电话能打通的概率.解设A,B分别表示从厂外打电话总机打通、分机打通两事件,则事件A,B独立,又P(A)=0.6,P(B)=1-0.3=0.7,所求概率为P(AB)=P(A)P(B)=0.6×0.7=0.42.20 设事件A,B的概率均不为0,证明事件A与B独立及互不相容不会同时成立.证若P(A)>0,P(B)>0,则有(1)因A,B两事件相互独立,且P(A)>0,P(B)>0,有P(AB)=P(A)P(B)> 0,故AB≠Φ,即A、B不互不相容;(2)因AB=Φ,故P(AB)=P(Φ)=0,而P(A)>0,P(B)>0,故P(A)P(B)>0, 于是P(AB)≠P(A)P(B),即A与B不相互独立.21 有四个大小质地一样的球,分别在其上写有数字1,2,3和“1,2,3”,令A i={随机抽出一球,球上有数字i}(i=1,2,3).试证明A1,A2,A3两两独立而不相互独立.证由题设可知P(A1)=1/2,P(A2)=1/2,P(A3)=1/2,且P(A1A2)=1/4= 1/2×1/2,P(A1A3)=1/4= 1/2×1/2,P(A2A3)=1/4= 1/2×1/2 .以上等式说明A1,A2,A3两两独立.但P(A1A2A3)=1/4≠1/2×1/2×1/2=P(A1)P(A2)P(A3).可见事件A1A2A3不相互独立.22 加工某一零件共需四道工序,设第一、二、三、四道工序的次品率分别是2%,3%,5%,3%,假定各道工序是互不影响的,求加工出来的零件的次品率.解设Ai={第i道工序出次品},i=1,2,3,4.又设A={零件为次品},则有A=A1∪A2∪A3∪A4.由题知,A1,A2,A3,A4相互独立,__A1 ,__A2 ,__A3 ,__A4也相互独立,于是P(A)=P(A1∪A2∪A3∪A4)=1-P(________________________4321AAAA⋃⋃⋃)=1-P(__A1__A2__A3__A4)=1-P(__A1)P(__A2)P(__A3)P(__A4)=1-0.98×0.97×0.95×0.97≈0.124.23 掷三枚均匀骰子,记B={至少有一枚骰子掷出1},A={三枚骰子掷出的点数中至少有两枚一样},问A,B是否独立?解考虑P(A|__B),若__B发生,则三枚骰子都不出现幺点,那么,它们都只有5种可能性(2,3,4,5,6),比不知__B发生时可能取的点数1,2,3,4,5,6少了一个.从5个数字取3个(可重复取),其中有两个一样的可能性,应比6个数字中取3个时,有两个一样的可能性要大些,即P(A)<P(A|__B).由此推出P(A)>P(A|B),故A,B不独立.24 一批玉米种子,其出芽率为0 9,现每穴种5粒,问“恰有3粒出芽”与“不大于4粒出芽”的概率是多少?解设A={恰有3粒出芽了},B={不大于4粒出芽}.把穴中每一粒种子是否发芽看作一次试验,而各粒种子发芽与否是互不影响的,所以5次试验是相互独立的,故P(A)=b3(5,0.9)=C35×0.93×(1-0.9)2=C35×0.93×0.12≈0.073,P(B)=1-b5(5,0.9)=1-C55×0.95×(1-0.9)0=1-0.95≈0.41.25 某一由9人组成的顾问小组,若每个顾问贡献正确意见的百分比是70 % ,现在该机构对某事件可行与否个别征求各位顾问意见,并按多数人意见作出决策,求作出正确决策的概率.解显然本问题是:如果9人中超过4人作出正确决策,则可对该事件可行与否作出正确决策,从而设事件A={作出正确决策},由题设知,n=9,p=0.7,q=0.3,于是bk(n,p)=bk(9,0.7)=Ck9×0.7k×0.39-k(k=5,6,7,8,9),所以5次试验是相互独立的,故P(A)=∑=95kCk9×0.7k×0.39-k≈0.901.26 电灯泡使用寿命在1 000小时以上的概率为0 2,求3个灯泡在使用1 000小时后,最多只有一个坏了的概率.解利用二项概型,有P n(k≤1)=b0(3,0.8)+b1(3,0.8)=C03×0.80×0.23+C13×0.81×0.22=0.104.27 用三台机床加工同一种零件,零件由各机床加工的概率分别为0.5,0.3,0.2,各机床加工的零件为合格品的概率分别等于0.94,0.9,0.95,求全部产品中的合格率.解设事件A、B、C分别表示三台机床加工的产品,事件E表示合格品.依题意,P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(C)=0.2,P(E|A)=0.94,P(E|B)=0.9,P(E|C)=0.95,由全概率公式P(E)=P(A)P(E|A)+P(B)P(E|B)+P(C)P(E|C) =0.5×0.94+0.3×0.9+0.2×0.95=0.93.28 12个乒乓球中有9个新的,3个旧的,第一次比赛时,同时取出了3个,用完后放回去.第二次比赛时,又同时取出3个,求第二次取出3个球都是新球的概率.解以A i(i=0,1,2,3)表示事件“第一次比赛从盒中任取的3个球中有i个新球”.可知A0,A1,A2,A3是样本空间Ω的一个划分.以B表示事件“第二次取出的球都是新球”.则P(A0)=C33/C312=1/220,P(A1)=C19C23/C312=27/200,P(A2)=C29C13/C312=27/55,P(A3)=C39/C312=21/55,P(B|A0)=C39/C312=21/55,P(B|A1)=C38/C312=14/55,P(B|A2)=C37/C312=35/220,P(B|A3)=C36/C312=1/11.由全概率公式,得P(B)=∑=3iP(Ai)P(B|Ai)=1/220×21/55+27/220×14/55+27/55×35/220+21/55×1/11=1746/12100≈0.14629 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“·”和“-”.由于通信系统受到干扰,当发出信号“·”时,收报台以概率0 8及0 2收到信号“·”和“-”;当发出信号“-”时,收报台以概率0 9及0 1收到信号“-”和“·”.求:(1)收报台收到信号“·”的概率;(2)当收报台收到信号“·”时,发报台确系发出信号“·”的概率.解设事件B={收到信号“·”},A0={发出信号“·”},A1={发出信号“-”}.显然A0,A1构成一个完备事件组,且P(A0)=0.6,P(A1)=0.4,P(B|A0)=0.8,P(B|A1)=0.1.(1)应用全概率公式,有P(B)=∑=1iP(Ai)P(B|Ai)=0.6×0.8+0.4×0.1=0.52.(2)应用贝叶斯公式有P(A0|B)=P(A0)P(B|A0)/∑=1iP(Ai)P(B|Ai)=0.6×0.8/0.52≈0.923.30 设某种病菌在人口中的带菌率为0.83.当检查时,带菌者未必检出阳性反应,而不带菌者也可能呈阳性反应,假定P(阳性|带菌)=0.99,P(阴性|带菌)=0.01,P(阳性|不带菌)=0.05P(阴性|不带菌)=0.95.设某人检出阳性,问他“带菌”的概率是多少?解设A={某人检出阳性},B1={带菌},B2={不带菌}.由题设知P(B1)=0.83,P(B2)=1-0.83=0.17,P(A|B1)=0.99, P(A|B2)=0.05,故所求的概率为P(B1|A)=P(AB1)/P(A)=P(B1)P(A|B1)/∑=2jP(B j)P(A|B j)=(0.83×0.99)/(0.83×0.99+0.17×0.05)=0.8217/(0.0085+0.8217)≈0.9898.31 设有五个袋子,其中两个袋子(品种A1)每袋有两个白球和三个黑球,另外两个袋子(品种A2)每袋有一个白球和四个黑球,还有一个袋子(品种A3)中有四个白球和一个黑球,(1)从五个袋中任挑一袋,并从这袋中任取一球,此球为白球的概率;(2)从不同品种的三袋中任挑一袋,并由其中任取一球,结果是白球(事件B),问这球由三个品种的袋子中取出的概率各是多少?解(1)设事件B表示“取到白球”,A i表示“从五个袋中取到A i品种袋子”(i=1,2,3),故P(A1)=2/5, P(A2)=2/5,P(A3)=1/5,P(B|A1)=2/5,P(B|A2)=1/5,P(B|A3)=4/5,利用全概率公式,所求概率为P(B)=∑=31iP(A i)P(B|A i)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=2/5×2/5+2/5×1/5+1/5×4/5=10/25=2/5 .(2)设事件B={取到白球},A i={从不同品种三袋中取到品种A i袋子} (i=1,2,3),根据题设,欲求下述三个条件概率P(B|A1),P(B|A1),P(B|A1). 于是P(A1)=1/3 ,P(A2)=1/3,P(A3)=1/3,P(B|A1)=2/5 ,P(B|A2)=1/5,P(B|A3)=4/5. 利用全概率公式,取到白球概率为P(B)=∑=31iP(A i)P(B|A i)=1/3×2/5+1/3×1/5+1/3×4/5=7/15.再由贝叶斯公式,有P(A1|B)=P(A1)P(B|A1)/∑=31iP(Ai)P(B|Ai)=(1/3×2/5)/7/15=2/7.P(A2|B)=P(A2)P(B|A2)/∑=31iP(Ai)P(B|Ai)=(1/3×1/5)/7/15=1/7.P(A3|B)=P(A3)P(B|A3)/∑=31iP(Ai)P(B|Ai)=(1/3×4/5)/7/15=4/7.。

1古典概率典型题解

1古典概率典型题解

概率论与数理统计典型题解第一章 随机事件与概率典型题解1.n 个人随机地围一圆桌而坐,求甲、乙两人相邻而坐的概率. 解 令A ={甲、乙两人相邻而坐},设想圆桌周围有1,2,,n 这n 个位置,由于该问题属于圆排列问题,所以不妨认为甲坐1号位置,那么A 发生当且仅当乙坐2号或n 号位置,从而1,2,()2, 2.1n P A n n =⎧⎪=⎨>⎪-⎩ 2.甲、乙两人掷均匀硬币,其中甲掷1n +次,乙掷n 次,求甲掷出正面的次数大于乙掷出正面次数的概率.解 令A ={甲掷出正面的次数大于乙掷出正面次数},B ={甲掷出反面的次数大于乙掷出反面次数},由硬币的均匀性知,()()P A P B =,容易看出,,A B S AB ==∅,由此可知1()2P A =. 3.某班有N 个学生,上体育课时老师发给每人一根绳子进行跳绳练习,跳了10分钟后把绳子放在一堆,进行别的练习,后来每人又随机拿了一根绳子进行练习,问至少有一个学生拿到自己原先使用的绳子的概率. 解 令i A ={第i 个学生拿到自己原先使用的绳子}(1,2,,i N =), A ={至少有一个学生拿到自己原先使用的绳子},则111()()()()NN i i i j i i j N i P A P A P A P A A =≤<≤===-+∑∑1121()(1)()N i j k N i j k N P A A A P A A A -≤<<≤-+-∑12311111(1)(1)(1)(2)!N N N N N N C C C C N N N N N N N -=-+-+---- 11111(1)2!3!!N N -=-+-+-. 4.若事件A 与B 互不相容,且()0P B ≠,证明:(|)()/()P A B P A P B =. 证明 由于A 与B 互不相容,则AB A =,而()0P B ≠,故(|)()/()()/()P A B P AB P B P A P B ==.5.一学生接连参加同一课程的两次考试,第一次及格的概率为p ,若第一次及格则第二次及格的概率也为p ;若第一次不及格则第二次及格的概率为/2p .(1)若至少有一次及格则他能取得某种资格,求他取得该资格的概率.(2)若已知他第二次已经及格,求他第一次及格的概率.解 令i A ={该学生第i 次考试及格}(1,2i =),A ={该学生取得该资格},则(1)1121121()()()()()(|)P A P A P A A P A P A P A A =+=+23(1)222p p p p p =+-=-. (2)12112121121()(|)2(|)()(|)()(|)(1)/21P A P A A p p p P A A P A P A A P A P A A p p p p p===++-+. 6.设口袋里装有b 个黑球,r 个红球,任意取出一个,然后放回并放入c 个与取出的颜色相同的球,再从袋里取出一球,问:(1)最初取出的球是黑球,第二次取出的也是黑球的概率;(2)如将上述手续进行n 次,用归纳法证明任何一次取得黑球的概率都是b b r +,任何一次取得红球的概率都是r b r+. 解 令n A ={第n 次取出的球是黑球}(1,2,n =),则 (1)21(|)b c P A A b r c +=++; (2)1()b P A b r =+,假设()n b P A b r=+,则 11(|)n b c P A A b r c ++=++,11(|)n b P A A b r c+=++, 所以1111111()()(|)()(|)n n n P A P A P A A P A P A A +++=+b bc r b b b r b r c b r b r c b r+=+=+++++++, 于是()n b P A b r =+(1,2,n =),()n r P A b r=+(1,2,n =). 7.利用概率论的思想证明恒等式(其中A a >,且均为正整数) ()(1()2111(1)(2)(1)(1)A a A a A a A a A A A A A a a a-----++++=----+.证明 设一口袋中共有A 只球,其中有a 红球,不放回地从袋中一次取一只球,令n B ={第n 次取出的球是红球}(1,2,,1n A a =-+),则11A a n n B S -+==,所以111212111()()()()()A a n A a A a n P S P B P B P B B P B B B B -+--+====+++11111a A a a A a A a a A A A A A a a----=+⋅+⋅⋅⋅⋅--+L , 即 ()(1()2111(1)(2)(1)(1)A a A a A a A a A A A A A a a a -----+++⋅⋅⋅+=----+L g L . 8.学生在做一道有4个选项的单项选择题时,如果他不知道问题的正确答案时,就作随机猜测,现从卷面上看题是答对了,试在以下情况下求学生确实知道正确答案的概率:(1)学生知道正确答案和胡乱猜测的概率都是12; (2)学生知道正确答案的概率是0.2.解 令B ={学生知道正确答案},A ={学生题目答对},则(1)()(|)0.51(|)0.8()(|)()(|)0.510.50.25P B P A B P B A P B P A B P B P A B ⨯===+⨯+⨯; (2)()(|)0.21(|)0.5()(|)()(|)0.210.80.25P B P A B P B A P B P A B P B P A B ⨯===+⨯+⨯. 9.甲、乙比赛射击,每进行一次,胜者得一分,在一次射击中,甲胜的概率为α,乙胜的概率为β.设(1)αβαβ>+=,且独立地进行比赛到有一人超过对方2分就停止,多得2分者胜.分别求甲、乙获胜的概率.解 令n A ={甲恰好在第n 局比赛后获胜},n B ={乙恰好在第n 局比赛后获胜}(1,2,n =),A ={甲获胜},B ={乙获胜}.则22n A +发生当且仅当第1,3,,21n -局可胜可负,第2,4,,2n 局的胜负情形恰好分别与第1,3,,21n -局的胜负情形相反,而第21,22n n ++局连胜.因此2222()2(2)n n n n n P A αβαααβ+==,所以222222000()()()(2)12nn n n n n P A P A P A αααβαβ∞∞∞++=======-∑∑, 同理 2()12P B βαβ=-.10.在四次独立试验中事件A 至少出现一次的概率为0.59,试问一次试验中A 出现的概率是多少?解 令n A ={第n 次试验中A 发生}(1,2,3,4n =),()P A p =,则41234()1(1)0.59P A A A A p =--=,解之得()0.1998P A =.11.设,A B 相互独立,()0P A >.证明,,A B A B 相互独立的充要条件是()1P A B =.证明 必要性.设,,A B A B 相互独立,则(())()()P A A B P A P A B =, 即()()()P A P A P A B =,而()0P A >,所以 ()1P A B =.充分性.设()1P A B =,则,,A B A B 两两独立,且(())()()()()()P AB A B P AB P A B P A P B P A B ==,于是,,A B A B 相互独立.12.设一枚深水炸弹击沉一潜水艇的概率为13,击伤的概率为12,击不中的概率为16.并设击伤两次也会导致潜水艇下沉.求施放4枚深水炸弹能击沉潜水艇的概率.解 令n A ={第n 枚炸弹击沉潜水艇},n B ={第n 枚炸弹击伤潜水艇},n C ={第n 枚炸弹击不中潜水艇},(1,2,3,4n =),A ={潜水艇被击沉},则12341234123412341234A C C C C B C C C C B C C C C B C C C C B =,于是12341234123412341234()()()()()()P A P C C C C P B C C C P C B C C P C C B C P C C C B =++++43(1/6)4(1/2)(1/6)0.01=+⨯⨯=,所以 ()0.99P A =.13.设0()1,0()1,(|)(|)1P A P B P A B P A B <<<<+=,试证A 与B 独立. 证明 因为0()1,0()1,(|)(|)1P A P B P A B P A B <<<<+=, 所以(|)1(|)(|)P A B P A B P A B =-=,即()()()()P AB P AB P B P B =,于是()(1())()()P AB P B P AB P B -=,因此 ()(()())()()()P AB P AB P AB P B P A P B =+=,从而A 与B 独立.14.已知某商场一天内来k 个顾客的概率为/!(0,1,2,)k e k k λλ-=,其中0λ>.又设每个到达商场的顾客购买商品是独立的,其概率为p .试求这个商场一天内有r 个顾客购买商品的概率.解 令k B ={一天内有k 个顾客到达这个商场}(0,1,2,)k =,r A ={这个商场一天内有r 个顾客购买商品},则()()(|)(1)!k r r k r r k r k k k r k rP A P B P A B eC p p k λλ∞∞--====-∑∑ 0()((1))()!!!rk r p k p p p e e r k r λλλλλ∞--=-==∑. 15.甲、乙两人进行乒乓球比赛,每局甲胜的概率为,1/2p p ≥.问对甲而言,采用三局二胜制有利,还是采用五局三胜制有利.设各局胜负相互独立.解 采用三局二胜制,甲最终获胜,其胜局的情况是:“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”.而这三种结局互不相容,于是由独立性得甲最终获胜的概率为2212(1)p p p p =+-.采用五局三胜制,甲最终获胜,至少需比赛3局(可能赛3局,也可能赛4局或5局),且最后一局必需是甲胜,而前面甲需胜二局.例如,共赛4局,则甲的胜局情况是:“甲乙甲甲”,“乙甲甲甲”,“甲甲乙甲”,且这三种结局互不相容.由独立性得在五局三胜制下甲最终获胜的概率为3332234(1)(1)22p p p p p p ⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,而 2322221(615123)3(1)(21)p p p p p p p p p -=-+-=--. 当1/2p >时21p p >;当1/2p =时211/2p p ==.故当1/2p >时,对甲来说采用五局三胜制为有利.当1/2p =时两种赛制甲、乙最终获胜的概率是相同的,都是50%.。

概率论与数理统计第一章习题参考答案

概率论与数理统计第一章习题参考答案

1第一章 随机事件及其概率1.解:(1){}67,5,4,3,2=S (2){} ,4,3,2=S (3){} ,,,TTH TH H S =(4){}6,5,4,3,2,1,,T T T T T T HT HH S = 2.解:81)(,21)(,41)(===AB P B P A P\)()()()(AB P B P A P B A P -+= 85812141=-+=)()()(AB P B P B A P -==838121=-= 87811)(1)(=-=-=AB P AB P)])([(AB B A P )]()[(AB B A P -=)()(AB P B A P -= )(B A AB Ì 218185=-=3.解:用A 表示事件“取到的三位数不包含数字1” 2518900998900)(191918=´´==C C C A P4、解:用A 表示事件“取到的三位数是奇数”,用B 表示事件“取到的三位数大于330330””(1)455443)(2515141413´´´´==A C C C C A P =0.482)455421452)(251514122512´´´´+´´=+=A C C C A C B P =0.485、解:用A 表示事件“表示事件“44只中恰有2只白球,只白球,11只红球,只红球,11只黑球”, 用B 表示事件“表示事件“44只中至少有2只红球”, 用C 表示事件“表示事件“44只中没有只白球”只中没有只白球” (1)412131425)(C C C C A P ==495120=338(2)4124838141)(C C C C B P +-==16567495201= 或16567)(4124418342824=++=C C C C C C B P(3)99749535)(41247===CC C P6.解:用A 表示事件“某一特定的销售点得到k 张提货单”张提货单” nkn k n MM C A P --=)1()(7、解:用A 表示事件“表示事件“33只球至少有1只配对”,用B 表示事件“没有配对”表示事件“没有配对” (1)3212313)(=´´+=A P 或321231121)(=´´´´-=A P(2)31123112)(=´´´´=B P8、解、解 1.0)(,3.0)(,5.0)(===AB P B P A P(1)313.01.0)()()(===B P AB P B A P ,515.01.0)()()(===A P AB P A B P7.01.03.05.0)()()()(=-+=-+=AB P B P A P B A P)()()()()()]([)(B A P AB P B A P AB A P B A P B A A P B A A P ===757.05.0==717.01.0)()()()])([()(====B A P AB P B A P B A AB P B A AB P1)()()()]([)(===AB P AB P AB P AB A P AB A P(2)设{}次取到白球第i A i = 4,3,2,1=i则)()()()()(32142131214321A A A A P A A A P A A P A P A A A A P =0408.020592840124135127116==´´´=9、解: 用A 表示事件表示事件“取到的两只球中至少有“取到的两只球中至少有1只红球”,用B 表示事件表示事件“两只都是红球”“两只都是红球”方法1651)(2422=-=C C A P ,61)(2422==C C B P ,61)()(==B P AB P516561)()()(===A P AB P A B P方法2 在减缩样本空间中计算在减缩样本空间中计算在减缩样本空间中计算 51)(=A B P1010、解:、解:A 表示事件“一病人以为自己得了癌症”,用B 表示事件“病人确实得了癌症”表示事件“病人确实得了癌症” 由已知得,%40)(%,10)(%,45)(%,5)(====B A P B A P B A P AB P (1)B A AB B A AB A 与,=互斥互斥5.045.005.0)()()()(=+=+==\B A P AB P B A AB P A P同理同理15.01.005.0)()()()(=+=+==B A P AB P B A AB P B P (2)1.05.005.0)()()(===A P AB P A B P(3)2.05.01.0)()()(,5.05.01)(1)(====-=-=A P B A P A B P A P A P(4)17985.045.0)()()(,85.015.01)(1)(====-=-=B P B A P B A P B P B P(5)3115.005.0)()()(===B P AB P B A P1111、解:用、解:用A 表示事件“任取6张,排列结果为ginger ginger””92401)(61113131222==A A A A A A P1212、、解:用A 表示事件“A 该种疾病具有症状”,用B 表示事件“B 该种疾病具有症状”由已知2.0)(=B A P3.0)(=B A P 1.0)(=AB P (1),B A AB B A B A S=且B A AB B A B A ,,,互斥互斥()6.01.03.02.0)()()(=++=++=\AB P B A P B A P B A P4.06.01)(1)()(=-=-==B A P B A P B A P ()()()4.0)(1=---=AB P B A P B A P B A P(2)()()()6.01.03.02.0)(=++=++=AB P B A P B A P AB B A B A P(3)B A AB B =, B A AB ,互斥互斥4.03.01.0)()()()(=+=+==B A P AB P B A AB P B P )()()(])[()(B P AB P B P B AB P B AB P ==414.01.0==1313、解:用、解:用i A 表示事件“讯号由第i 条通讯线输入”,,4,3,2,1=i B 表示“讯号无误差地被接受”接受”;2.0)(,1.0)(,3.0)(,4.0)(4321====A P A P A P A P9998.0)(1=A B P ,9999.0)(2=A B P ,,9997.0)(3=A B P 9996.0)(4=A B P 由全概率公式得由全概率公式得9996.02.09997.01.09999.03.09998.04.0)()()(41´+´+´+´==å=ii iA B P A P B P99978.0=1414、、解:用A 表示事件“确实患有关节炎的人”,用B 表示事件“检验患有关节炎的人”由已知由已知1.0)(=A P ,85.0)(=A B P ,04.0)(=A B P , 则9.0)(=A P ,85.0)(=A B P ,96.0)(=A B P , 由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得 017.096.09.015.01.015.01.0)()()()()()()(=´+´´=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P1515、解:用、解:用A 表示事件“程序交与打字机A 打字”,B 表示事件“程序交与打字机B 打字”, C 表示事件“程序交与打字机C 打字”;D 表示事件“程序因计算机发生故障被打坏”坏”由已知得由已知得6.0)(=A P ,3.0)(=B P ,1.0)(=C P ; 01.0)(=A D P ,05.0)(=B D P ,04.0)(=C D P由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得)()()()()()()()()(C D P C P B D P B P A D P A P A D P A P D A P ++=24.025604.01.005.03.001.06.001.06.0==´+´+´´=)()()()()()()()()(C D P C P B D P B P A D P A P B D P B P D B P ++=6.05304.01.005.03.001.06.005030==´+´+´´=)()()()()()()()()(C D P C P B D P B P A D P A P C D P C P D A P ++=16.025604.01.005.03.001.06.004.01.0==´+´+´´=1616、解:用、解:用A 表示事件“收到可信讯息”,B 表示事件“由密码钥匙传送讯息”表示事件“由密码钥匙传送讯息”由已知得由已知得 95.0)(=A P ,05.0)(=A P ,1)(=A B P ,001.0)(=A B P由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得999947.0001.005.0195.0195.0)()()()()()()(»´+´´=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P1717、解:用、解:用A 表示事件“第一次得H ”,B 表示事件“第二次得H ”, C 表示事件“两次得同一面”表示事件“两次得同一面”则,21)(,21)(==B P A P ,21211)(2=+=C P ,4121)(2==AB P ,4121)(2==BC P ,4121)(2==AC P )()()(),()()(),()()(C P A P AC P C P B P BC P B P A P AB P ===\C B A ,,\两两独立两两独立而41)(=ABC P ,)()()()(C P B P A P ABC P ¹C B A ,,\不是相互独立的不是相互独立的1818、解:用、解:用A 表示事件“运动员A 进球”,B 表示事件“运动员B 进球”, C 表示事件“运动员C 进球”,由已知得由已知得5.0)(=A P ,7.0)(=B P ,6.0)(=C P 则5.0)(=A P ,3.0)(=B P ,4.0)(=C P (1){})(C B A C B A C B A P P =恰有一人进球)()()(C B A P C B A P C B A P ++= (C B A C B A C B A ,,互斥)互斥) )()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ++=相互独立)C B A ,,(29.06.03.05.04.07.05.04.03.05.0=´´+´´+´´=(2){})(C B A BC A C AB P P =恰有二人进球)()()(C B A P BC A P C AB P ++= (C B A BC A C AB ,,互斥)互斥) )()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ++= 相互独立)C B A ,,(44.06.03.05.06.07.05.04.07.05.0=´´+´´+´´= (3){})(C B A P P =至少有一人进球)(1C B A P -= )(1C B A P -=)()()(1C P B P A P -=相互独立)C B A ,,( 4.03.05.01´´-=94.0= 1919、解:用、解:用i A 表示事件“第i 个供血者具有+-RHA 血型”, ,3,2,1=iB 表示事件“病人得救”表示事件“病人得救”,4321321211A A A A A A A A A A B=4321321211,,,A A A A A A A A A A 互斥,i A ( ,3,2,1=i )相互独立)相互独立 ()()(1P A P B P +=\+)21A A )()(4321321A A A A P A A A P +8704.04.06.04.06.04.06.04.032=´+´+´+=2020、解:设、解:设i A 表示事件“可靠元件i ” i=1,2,3,4,5 ,B 表示事件“系统可靠”由已知得p A P i =)(1,2,3,4,5)(i = 54321,,,,A A A A A 相互独立相互独立法1:54321A A A A A B =)()(54321A A A A A P B P =\()()()()()()542154332154321A A A A P A A A P A A A P A A P A P A A P ---++=()54321A A A A A P +543322p p p p p p p +---++= ()相互独立54321,,,,A A A A A543222p p p p p +--+=法2:)(1)(54321A A A A A P B P -=)()()(154321A A P A P A A P -= ()相互独立54321,,,,A A A A A()()]1][1)][(1[154321A A P A P A A P ----=()()()]1][1)][()(1[154321A P A P A P A P A P ----=()相互独立54321,,,,A A A A A()()()221111pp p----=543222p p p p p +--+=2121、解:令、解:令A :“产品真含杂质”,A :“产品真不含杂质”“产品真不含杂质” 则4.0)(=A P ,6.0)(=A P2.08.0)|(223´´=C A B P 9.01.0)|(223´´=C A B P \)()|()()|()(A P A B P A P A B P B P +=6.09.01.04.02.08.0223223´´´+´´´=C C\)()|()()|()()|()()()|(A P A B P A P A B P A P A B P B P AB P B A P +==905.028325660901********.02.08.0223223223»=´´´+´´´´´´=C C C第二章习题答案 1、{}()4.04.011´-==-k k Y Pk=1,2,… 2、用个阀门开表示第i A i))()()()()(())((}0{32321321A P A P A P A P A P A A A P X P -+=== 072.0)2.02.02.02.0(2.0=´-+=23213218.02.0)04.02.02.0(8.0])([}1{´+-+===A A A A A A P X P416.0=512.08.0)(}2{3321====A A A P X P 3、()2.0,15~b X{}kkk C k X P -´==15158.02.0 k=0,1,2,……,15(1){}2501.08.02.03123315=´==C X P(2){}8329.08.02.08.02.01214115150015=´-´-=³C C X P(3){}6129.08.02.08.02.08.02.031123315132215141115=´+´+´=££C C C X P(4){}0611.08.02.01551515=´-=>å=-k kkk C X P4、用X 表示5个元件中正常工作的个数个元件中正常工作的个数9914.09.01.09.01.09.0)3(54452335=+´+´=³C C X P5、设X={}件产品的次品数8000 则X~b(8000,0.001)由于n 很大,P 很小,所以利用)8(p 近似地~X {}3134.0!8768==<å=-k k k eX P6、(1)X~p (10){}{}0487.09513.01!101151151510=-=-=£-=>\å=-k k k eX P X P (2)∵ X~p ( l ) {}{}!01010210ll --==-=>=\e X P X P{}210==\X P21=\-le7.02ln ==\l {}{}1558.08442.01!7.0111217.0=-=-=£-=³\å=-k k k eX P X P或{}{}{}2ln 2121!12ln 21110122ln -=--==-=-=³-e X P X P X P 7、)1( )2(~p X 1353.0!02}0{22====--e e X P )2( 00145.0)1()(24245=-=--eeC p)3( 52)!2(å¥=-=k kk e p8、(1) 由33)(11312k x k dx kx dx x f ====òò¥+¥- 3=\k(2){}()2713331331231====£òò¥-xdx x dx x f X P(3)64764181321412141321412=-===þýüîí죣òxdx x X P(4)271927813)(321323132232=-====þýüîíì>òò¥+xdx x dx x f X P9、方程有实根04522=-++X Xt t ,则,则 0)45(4)2(2³--=D X X 得.14£³X X 或 有实根的概率有实根的概率937.0003.0003.0}14{104212=+=£³òòdx x dx x X X P10、)1( 005.01|100}1{200110200200122»-=-==<---òeedx ex X P x x)2(=>}52{X P 0|100200525220020052222»-=-=-¥--¥òeedx exx x)3( 25158.0}20{}26{}20|26{200202002622==>>=>>--ee X P X P X X P 11、解:、解: (1){}()275271942789827194491)(12132121=+--=÷øöçèæ-=-==>òò¥+x x dx x dx x f X P(2)Y~b(10,275){}kk kC k Y P -÷øöçèæ´÷øöçèæ==10102722275k=0,1,2,……,10(3){}2998.027*******2210=÷øöçèæ´÷øöçèæ==C Y P{}{}{}1012=-=-=³Y P Y P Y P 5778.027222752722275191110100210=÷øöçèæ÷øöçèæ-÷øöçèæ´÷øöçèæ-=C C 12(1)由()()òòò++==-+¥¥-10012.02.01dy cy dy dy y f24.0)22.0(2.01201c y c y y +=++=-2.1=\c ()ïîïíì£<+£<-=\其它102.12.0012.0y yy y f ()()ïïïïîïïïïíì³+<£++<£--<==òòòòòò--¥-¥-12.12.0102.12.02.0012.010)()(100011y dyy y dy y dy y dt y dtdt t f y F y yyyYïïîïïíì³<£++<£-+-<=11102.02.06.0012.02.0102y y y y y y y{}()()25.02.05.06.05.02.02.005.05.002=-´+´+=-=££F F Y P {}()774.01.06.01.02.02.011.011.02=´-´--=-=>F Y P {}()55.05.06.05.02.02.015.015.02=´-´+-=-=>F Y P{}{}{}{}{}7106.0774.055.01.05.01.01.0,5.01.05.0==>>=>>>=>>\Y P Y P Y P Y Y P Y Y P(2) ()()ïïïîïïïíì³<£+<£<==òòòò¥-41428812081002200x x dtt dt x dt x dt t f x F xxxïïïîïïïíì³<£<£<=4142162081002x x x x xx{}()()167811691331=-=-=££F F X P{}()16933==£F X P{}{}{}9716916733131==£££=£³\X P X P X X P 13、解:{}111,-´===n nj Y i X Pn j i j i ,¼¼=¹,2,1,,{}0,===i Y i X P 当n=3时,(X ,Y )联合分布律为)联合分布律为14、)1(2.0}1,1{===Y X P ,}1,1{}0,1{}1,0{}0,0{}1,1{==+==+==+===££Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P42.020.004.008.010.0=+++= )2( 90.010.01}0,0{1=-===-Y X P)3(}2,2{}1,1{}0,0{}{==+==+====Y X P Y X P Y X P Y X P60.030.020.010.0=++= }0,2{}1,1{}2,0{}2{==+==+====+Y X P Y X P Y X P Y X P28.002.020.006.0=++= 15、()()()88104242c ee cdxdy ce dx x f yx y x =-×-===+¥-+¥-+¥+¥+-+¥¥-òòò8=\c{}()()()4402042228,2-+¥-+¥-+¥+-+¥>=-×-===>òòòòe ee dy edxdxdy y x f X P yyxx y x xY X 1 2 31 0 1/6 1/62 1/6 0 1/6 31/6 1/6 0D :xy x ££¥<£00{}()òò>=>yx dxdy y x f Y X P ,()()dx e e dy edxx yx xy x 0402042028-+¥-+-+¥-×==òòò()ò¥++¥----=÷øöçèæ-=+-=2626323122x x xxe e dx eeD :xy x -££££101{}()dy edxY X P xyx òò-+-=<+10421081 ()()òò------=-=1422101042222dx eedx eex xx yx()()22104221----=--=e e ex x16、(1)61)2(122=-=òdx x x s , îíìÎ=其他,0),(,6),(G y x y x f(2)îíì<<==ò其他,010,36)(2222x x dy x f x xXïïïîïïíì<£-=<<-==òò其他,0121),1(66210),2(66),(12y y yY y y dx y y y dx y x f17、(1)Y X0 1 2 P{X=x i } 0 0.10 0.08 0.06 0.24 1 0.04 0.20 0.14 0.38 20.02 0.06 0.300.38 P{Y=y i } 0.16 0.34 0.501(2)D :+¥<£+¥<£y x x 0或:yx y <£+¥<£00()()ïîïíì£>==\òò+¥-¥+¥-00,x x dye dy y xf x f xy Xîíì£>=-00x x e x()()ïîïíì£>==òò-¥+¥-00,0y y dxe dx y xf y f yy Yîíì£>=--00y y ye y22、(1)Y 1 Y 2 -11-14222qq q =×()q q-124222qq q =×()q q-12()21q -()q q-1214222qq q =×()q q-124222qq q =×且{}{}{}{}1,10,01,121212121==+==+-=-===Y Y P Y Y P Y Y P Y YP()12234142222+-=+-+=q qqqq(2){}10.00,0===Y X P{}{}0384.000==×=Y P X P 又 {}0,0==Y X P {}{}00=×=¹Y P X P∴X 与Y 不相互独立不相互独立23、()1,0~U X ()ïîïíì<<=其它2108y yy f Y且X 与Y 相互独立相互独立则()()()ïîïíì<<<<=×=其它0210,108,y x yy f x f y x f Y XD :1210<£<£x y y32|)384()8(8}{21032212=-=-==>òòò>y y dy y y ydxdy Y X P yx24X-2-11 3 k p51 61 51151301112+=X Y 52 1 2 10Y 12 510k p5115161+513011即Y 12 5 10 k p5130751301125、U=|X|,当0)|(|)()(0=£=£=<y X P y Y P y F y U时,1)(2)()()()|(|)()(0-F =--=££-=£=£=³y y F y F y X y P y X P y Y P y F y X X U 时,当故ïîïíì<³==-0,00,2)(||22y y e y f X U y U p的概率概率密度函数为26、(1)X Y =,当0)()()(0=£=£=<y X P y Y P y F y Y 时,)()()()()(022y F y X P y X P y Y P y F y X Y =£=£=£=³时,当故 ïîïíì<³==-0,00,2)(2y y ye y f X Y y Y 的概率概率密度函数为(2))21(+=X Y ,当0)21()()(0=£+=£=£y X P y Y P y F y Y 时,1)(1)12()12()21()()(01=³-=-£=£+=£=>>y F y y F y X P y X P y Y P y F y Y X Y 时,当时,当故 ïîïíì>>=+=其他的概率概率密度函数为,001,21)(21y y f X Y Y(3)2X Y =,当0)()()(02=£=£=£y X P y Y P y F y Y 时,)()()()()()(02y F y F y X y P y XP y Y P y F y X X Y --=££-=£=£=>时,当故 ïîïíì£>==-0,00,21)(22y y e yy f X Y y Y p 的概率概率密度函数为27、()()ïîïíì<<+=其它201381x x x f X()()p p 4,02,02Î=ÞÎx y x 当y 0£时,()0=y F Yp 40<<y (){}þýüîí죣-=£=p p p y X yP y X P y F Y2()()òò+==-pppyyyx dx x dx x f 01381p 4³y()()113812=+=þýüîí죣-=òdx x y X yP y F Y p p时当p 4,0¹¹\y y ()()ïîïíì><<<×÷÷øöççèæ+×==pp p p 4,0040211381'y y y y yy F y f Y Y()ïîïíì<<+=\其它40161163p p p y yy f Y28、因为X 与 Y 相互独立,且服从正态分布),0(2s N2222221)()(),(sp sy x Y X ey f x f y x f +-==由知,22Y XZ+=0)(0=£z f z Z 时,当时,当0>z òò----=xxx z x z Z z F 2222)(2222221spsy x e+-dydx=2222220202121sspq p sz r zedr rd e---=òòïîïíì³=-其他,0,)()2(222z ez z f z Z ss29、ïîïíì<<-=其他,011,21)(x x f X))1arctan()1(arctan(21)1(21)()()(112--+=+=-=òò+-¥¥-z z dy y dy y f y z f z f z z Y X Z pp30、0)(0=£z f z Z时,当时当0>z2)()()(2302)(z e dy ye edy y f y z f z f zyzyz YX Zll l l l l ----¥¥-==-=òò31、îíì<<=其他,010,1)(x x f X , íì<<=其他,010,1)(y y f Y 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P12132120291201(2) V 的可能取值为0,1,2}2{4013}1,3{}1,2{}2,1{}1,1{}1{4027}0,3{}0,2{}0,1{}2,0{}1,0{}0,0{}0{=====+==+==+=======+==+==+==+==+====V P Y X P Y X P Y X P Y X P V P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P V PV 0 1 2 P40274013(3) W 的可能取值是0,1,2,3,4,5 0}5{}4{121}2,1{}1,2{}0,3{}3{125}2,0{}1,1{}0,2{}2{125}1,0{}0,1{}1{121}0,0{}0{=======+==+=======+==+=======+=========W P W P Y X P Y X P Y X P W P Y X P Y X P Y X P W P Y X P Y X P W P Y X P W PW 0 1 2 3 P121125125121概率统计第三章习题解答1、52}7{,51}6{}5{}4{========X P X P X P X P529)(=X E2、2914}7{,296}6{,295}5{,294}4{========Y P Y P Y P Y P29175)(=Y E 3、设X 为取到的电视机中包含的次品数,为取到的电视机中包含的次品数, 2,1,0,}{3123102===-k CC C k X P kkX 0 1 2 p k 221222922121)(=X E4、设X 为所得分数为所得分数 5,4,3,2,1,61}{===k k X P 12,11,10,9,8,7,361}{===k k X P1249)(=X E5、(1)由}6{}5{===X P X P ,则,则l l l l --=e e !6!565 解出6=l ,故6)(==l X E(2)由于åå¥=-¥=--=-11212211)1(66)1(k k k k kkkpp 不是绝对收敛,则)(X E 不存在。

概率论第一章例题

概率论第一章例题

例3:设三个元件寿命分别为T1、T2、T3,并联成一个系统,则只要有一个元件能正常工作,系统便能正常工作,事件“系统的寿命超过t”表示为()(A)﹛T1+T2+T3〉t﹜(B) ﹛T1T2T3〉t﹜( C ) ﹛min﹛T1,T2,T3〉t﹜( D) ﹛max﹛T1,T2,T3﹜〉t﹜例12:一袋中装有m+n个球,其中m个黑球,n个白球,现随机地从中每次取抽取出一个球(不放回),求下列事件的慨率:(1)第i次取到的是白球;(2)第i次才取到白球;(3)前i次中能取到白球;(4)前i次中恰好取到ι个白球(ι≤i≤m+n,ι≤n)(5) 到第i次为止才取到ι个白球(ι≤i≤m+n,ι≤n);(6)取球直到剩下的球的颜色都相同为止,最后剩下的全是白球。

例13:一袋中装有m+n个球,其中m个黑球,n个白球,每次从中任取一球,取后放回,求下列事件的慨率:(1)第i次取到的是白球;(2)第i次才取到白球;(3)前i次能取到白球;(4)前i次中恰好取到ι个白球(5) 到第i次为止才取到ι个白球例14:一人的中袋中放有2盒火柴,每盒n支,每次从口袋中随机的取一盒并用去一支,当他发现一盒空了,另一盒还恰有m支的概率是多少?例17:一套书共3卷,其中第1卷2册,第2卷3册,第3卷2册,现随意排放在一层书架上,则同一卷书恰好摆在一起的概率为___。

例21:一辆飞机场的交通车载有25名乘客,途经9个站,每位乘客都等可能在9个站中任意一站下车,交通车只在有乘客下车时才停车。

求下列事件的概率:(1)交通车在第i站停车(2)交通车在第i站和第j站至少有一站停车;(3)交通车在第i站和第j站均停车;(4)在第i站恰有3人下车。

例39:某商店收进甲厂生产的产品30箱,乙厂生产的同类产品20箱,甲厂产品每箱装100个,废品率为0.06,乙厂产品每箱装120个,废品率为0.05(1)任取一箱,从中任取一个产品,求其为废品的概率。

(2)若将所有产品开箱混装,任取一个,求其为废品的概率。

概率论与数理统计 第一章随机事件及其概率 练习题

概率论与数理统计 第一章随机事件及其概率 练习题

第一章 随机事件及其概率(概率论与数理统计)练习题1.写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合:(1) 10件产品中有1件是不合格品,从中任取2件得1件不合格品;(2) 一个口袋中有2个白球,3个黑球,4个红球,从中任取一球:①得白球;②得红球.2.化简事件算式:)()()()(B A B A B A AB ⋅ .3.就下列情况分别说明事件A ,B ,C 之间的关系:(1) A C B A =++;(2) A ABC =.4.试判断事件“A ,B 至少发生一个”与“A ,B 最多发生一个”是否是对立事件.5.下列各式说明A 与B 之间具有何种包含关系?(1) AB =A , (2)A B A = .6.掷一枚骰子的试验,观察其出现的点数,事件A =“偶数点”,B =“奇数点”,C =“点数小于5”,D =“小于5的偶数点”,讨论上述各事件间的关系.7.将下列事件用A ,B ,C 的运算表示出来:(1) A 发生;(2) 只有A 发生;(3) 三个事件中恰好有一个发生;8.设某工人连续生产了4个零件,用i A 表示他生产的第i 个零件是正品(i =1,2,3,4).试用事件的运算表示下列各事件:(1) 没有一个是次品;(2) 至少有一个是次品;(3) 只有一个是次品;(4) 至少有三个不是次品;(5) 恰好有三个是次品;(6) 至多有一个是次品.9.事件i A 表示某个生产单位第i 车间完成生产任务(i =1,2,3),B 表示至少有两个车间完成生产任务,C 表示最多只有两个车间完成生产任务.说明事件C B B -与的含义,并且用i A (i =1,2,3)表示出来.10.设A ,B 为事件,问下列各事件表示什么意思? (1)B A ; (2)B A ; (3)B A ⋅.11.如图,事件A ,B ,C 都相容,即φ≠ABC ,把事件A +B ,A +B +C ,AC +B ,C -AB 用一些互不相容事件的和表示出来.12.两个事件互不相容与两个事件对立的区别何在,举例说明.13.将1套4册的文集按任意顺序放到书架上去,问各册自右向左或自左向右恰成1,2,3,4的顺序的概率是多少?14. 袋内装有5个白球,3个黑球,从中一次任取两个,求取到的两个球颜色不同的概率.15.10把钥匙中有3把能打开一个门锁,今任取两把,求能打开门锁的概率.16.抛掷一枚硬币,连续3次,求既有正面又有反面出现的概率.17.有一元币、五角币、一角币、五分币、二分币、一分币各一枚,试求由它们所组成的所有可能的不同币值中,其币值不足一元的概率.18.一楼房共14层,假设电梯在一楼起动时有10名乘客,且乘客在各层下电梯是等可能的.试求下列事件的概率:1A ={10人在同一层下}; 2A ={10人在不同楼层下};3A ={10人都在第14层下}; 4A ={10人中恰有4人在第8层下}.19.将S N I E E C C , , , , , ,等7个字母随意排成一行,求恰好排成SCIENCE 的概率.20.一副扑克牌有52张,不放回抽样,每次一张,连续抽取4张,计算下列事件的概率:(1) 四张花色各异; (2) 四张中只有两种花色.21.袋中有红、白、黑色球各一个,每次任取一球,有放回地抽取三次,求下列事件的概率:A =“全红”,B =“全白”,C =“全黑”,D =“无红”,E =“无白”,F =“无黑”,G =“颜色全相同”,H =“颜色全不相同”,I =“颜色不全相同”.22.一间宿舍内住有6位同学,求他们中有4人的生日在同一个月份的概率.23.一个教室中有100名学生,求其中至少有一人的生日是在元旦的概率(设一年以365天计算).24.从4双不同的鞋子中任取4只,求下列事件的概率:(1) 4只恰成2双;(2) 4只中恰有一双;(3) 4只中没有成双的.25.掷三颗骰子,得3个点数能排成公差为1的等差数列的概率为多少?26.将4个男生与4个女生任意地分成两组,每组4人,求每组各有2个男生的概率.27.设O 为线段AB 的中点,在AB 上任取一点C ,求AC 、CB 、AO 三条线段能构成一个三角形的概率.28.在A B C ∆中任取一点P ,证明:ABP ∆与ABC ∆的面积之比大于nn 1-的概率为21n. 29.设c AB P b B P a A P ===)( ,)( ,)(,用a ,b ,c 表示下列事件的概率: (1) )(B A P , (2) )(B A P , (3) )(B A P , (4) )(B A P ⋅.30.设)( ,6.0)( ,3.0)( ,4.0)(B A P B A P B P A P 求=== .31.设7.0)( ,4.0)(=+=B A P A P ,(1) 若A 与B 互斥,求()B P ;(2) 若A 与B 独立,求()B P .32.已知61)()(,0)(,41)()()(======BC P AC P AB P C P B P A P ,求A ,B ,C 全不发生的概率.33.事件A 与B 互不相容,计算)(B A P +.34.设事件A B ⊃,求证:)()(A P B P ≥.35.设事件B A ,的概率都大于0,比较概率)(A P ,)()(),(B P A P B A P ++, )(AB P 的大小(用不等号把它们连结起来).36.已知a B A P a b ab b B P a A P 7.0)( ),3.0 ,0( ,)( ,)(=->≠==,求: )(A B P +, )(A B P -, )(A B P +.37.设21,A A 为两个随机事件,证明: (1))()()(1)(212121A A P A P A P A A P ⋅+--=; (2))()(121A P A P --)()()()(212121A P A P A A P A A P +≤≤≤ .38.一间宿舍中有4位同学的眼镜都放在书架上,去上课时,每人任取一副眼镜,求每个人都没有拿到自己眼镜的概率.39.在1000名技术员中调查性别、婚姻状况及学历,得如下数据:(1) 813个男性;(2) 875个已婚;(3) 752个大专毕业生;(4) 632个男大专毕业生;(5) 572个已婚男性;(6) 654个已婚大专毕业生;(7) 420个已婚男大专毕业生.试说明这些数据中有错误.40.在某城市中发行3种报纸A ,B ,C .经调查,在居民中按户订阅A 报的占%45,订阅B 报的占%35,订阅C 报的占%30,同时订阅A 报和B 报的占%10,同时订阅A 报和C 报的占%8,同时订阅B 报和C 报的占%5,同时订阅这3种报纸的占%3,试求下列事件的概率:(1) 只订B 报的;(2) 只订A 报和B 报两种的;(3) 只订1种报纸的;(4) 恰好订2种报纸的;(5) 至少订阅2种报纸的;(6) 至少订1种报纸的;(7) 不订报纸的;(8) 至多订阅1种报纸的.41.某单位有%92的职工订阅报纸,%93的人订阅杂志,在不订阅报纸的人中仍有%85的职工订阅杂志,从单位中任找一名职工,求下列事件的概率:(1) 该职工至少订阅一种报纸或杂志;(2) 该职工不订阅杂志,但订阅报纸.42.某地区气象资料表明,邻近的甲、乙两城市中的甲市全年雨天比例为%12,乙市全年雨天的比例为%9,甲乙两市至少有一市为雨天的比例为16.8%.试求下列事件的概率:(1) 甲、乙两市同为雨天;(2) 在甲市雨天的条件下乙市亦为雨天;(3) 在乙市无雨的条件下甲市亦无雨.43.分析学生们的数学与外语两科考试成绩,抽查一名学生,事件A 表示数学成绩优秀,B 表示外语成绩优秀,若28.0)(,4.0)()(===AB P B P A P ,求:)|(B A P , )|(A B P , )(B A P +.44.设A 与B 独立, )(A P =0.4, )(B A P +=0.7,求概率)(B P .45.设甲、乙两人各投篮1次,其中甲投中的概率为0.8,乙投中的概率为0.7,并假定二者相互独立,求:(1) 2人都投中的概率;(2) 甲中乙不中的概率;(3) 甲投不中乙投中的概率;(4) 至少有一个投中的概率.46.甲、乙、丙三人进行投篮练习,每人一次,如果他们的命中率分别为0.8,0.7,0.6,计算下列事件的概率:(1) 只有一人投中;(2) 最多有一人投中;(3) 最少有一人投中.47.甲乙两人轮流投篮,甲先开始,假定他们的命中率分别为0.4及0.5,问谁先投中的概率较大,为什么?48.加工一产品需要4道工序,其中第1、第2、第3、第4道工序出废品的概率分别为0.1,0.2,0.2,0.3,各道工序相互独立,若某一道工序出废品即认为该产品为废品,求产品的废品率.49.加工某种零件,需经过三道工序,假定第一、二、三道工序的废品率分别为0.3,0.2,0.2,并且任何一道工序是否出废品与其他各道工序无关,求零件的合格率.50.求下列系统(如图所示)的可靠度.假设元件i 的可靠度为i p ,各元件正常工作或失效相互独立.51.某单位电话总机的占线率为0.4,其中某车间分机的占线率为0.3,假定二者独立,现在从外部打电话给该车间,求一次能打通的概率;第二次才能打通的概率以及第m 次才能打通的概率(m 为任何正整数).52.设事件n A A A ,,,21 相互独立,且i i p A P =)( ),,2,1(n i =,11=∑=ni i p ,试求:(1) 这些事件至少有一件不发生的概率;(2) 这些事件均不发生的概率;(3) 这些事件恰好发生一件的概率.53.设有两门高射炮,每一门击中飞机的概率都是0.6.求同时发射一枚炮弹而击中飞机的概率是多少? 又若有一架敌机入侵领空,欲以%99以上的概率击中它,问至少需要多少门高射炮?54.甲、乙、丙三人在同一时间分别破译某一密码,设甲译出的概率为0.8,乙译出的概率为0.7,丙译出的概率为0.6,求该密码能被译出的概率.55.上题中如改为n 个人组成的小组,在同一时间内分别破译某密码.并假定每人能译出的概率均为0.7,若要以%9999.99的把握能够译出,问至少需要几个人?56.对于三事件A 、B 、C ,若)|()|()|((C B P C A P C B A P = 成立,则称A 与B 关于条件C 独立.若已知A 与B 关于条件C 、C 均独立,且==)|(,5.0)(C A P C P 0.9,=)|(C B P 0.9,2.0)|(=C A P ,1.0)|(=C B P .试求)(,)(,)(B A P B P A P ,并证明A 与B 不独立.57.一个人的血型为O ,A ,B ,AB 型的概率分别为0.46,0.40,0.11,0.03,现在任意挑选5人,求下列事件的概率:(1) 2个人的血型为O 型,其他3人的血型分别为其他3种血型;(2) 3个人的血型为O 型,2个人为A 型;(3) 没有一个人的血型为AB 型.58.设1)(0<<B P ,证明:A 与B 独立的充要条件是=)|(B A P )|(B A P .59.设A ,B ,C 相互独立.证明:A 与C B 独立,A 与B -C 也独立.60.某厂有甲、乙、丙三条流水线生产同一种产品,每条流水线的产量分别占该厂生产产品总量的%25,%35,%40,各条流水线的废品率分别是%5,%4,%2,求在总产品中任取一个产品是废品的概率.61.假定某工厂甲、乙、丙3个车间生产同一种螺钉,产量依次占全厂的%45,%35,%20.如果各车间的次品率依次为%4,%2,%5.现在从待出厂产品中检查出1个次品,试判断它是由甲车间生产的概率.62.某种同样规格的产品共10箱,其中甲厂生产的共7箱,乙厂生产的共3箱,甲厂产品的次品率为101,乙厂产品的次品率为152,现从这10箱产品中任取1件产品,问:(1) 取出的这件产品是次品的概率;(2) 若取出的是次品,分别求出次品是甲、乙两厂生产的概率.63.设玻璃杯整箱出售,每箱20只,各箱含0,1,2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1,一顾客欲购买一箱玻璃杯,由营业员任取一箱,经顾客开箱随机察看4只,若无次品,则买此箱玻璃杯,否则不买.求:(1) 顾客买下此箱玻璃杯的概率α;(2) 在顾客买下的此箱玻璃杯中,确实没有次品的概率β.64.一道选择题有4个答案,其中仅1个正确.假设一个学生知道正确答案及不知道而乱猜的概率都是1/2(乱猜就是任选一个答案).如果已知学生答对了,问他确实知道正确答案的概率是多少?65.某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为9:3:2:1,它们在一定的时间内需要修理的概率之比为1:2:3:1.当有一台机床需要修理时,问这台机床是车床的概率是多少?66.A 地为甲种疾病多发区,该地区共有南、北、中三个行政小区,其人口比为9:7:4,据统计资料,甲种疾病在该地三个行政小区内的发病率依次为4‟,2‟,5‟,求A 地的甲种疾病的发病率.67.盒子里有12个乒乓球,其中有9个是新的,第一次比赛时从其中任取3个来用,比赛后仍放回盒子,第二次比赛时再从盒子中任取3个,求第二次取出的球都是新球的概率;若已知第二次取出的球都是新球,求第一次取出的球都是新球的概率.68.已知100件产品中有10件绝对可靠的正品,每次使用这些正品时肯定不会发生故障,而在每次使用非正品时发生故障的可能性均为0.1.现从这100件产品中随机抽取一件,若使用了n 次均未发生故障,问n 为多大时,才能有%70的把握认为所抽取的产品为正品.69.在4次独立重复试验中事件A 至少出现1次的概率为0.59,试问在1次试验中A 出现的概率是多少?70.按某种要求检查规则,随机抽取4个梨,如果4个梨全是熟的,则所有梨都将在餐厅做饭后食用.一批梨仅有%80是熟的,问能做餐用的概率是多少?答案1.(1) 记9件合格品分别为:正1,正2,…,正9,不合格品为次,则 {=Ω(正1,正2),(正1,正3),…,(正1,正9),(正1,次), (正2,正3),…,(正2,正9),(正2,次),…………………………,(正8,正9),(正8,次),(正9,次)},{=A (正1,次),(正2,次),(正3,次),……,(正9,次)}(2) 记2个白球分别为21,ωω,3个黑球分别为321,,b b b ,4个红球分别为4321,,,r r r r .则 {=Ω,,21ωω321,,b b b ,4321,,,r r r r },① {=A 21,ωω}; ② {=B 4321,,,r r r r }2.Ω3.A +B +C =A 表明B +C A ⊂.但B ,C 可以互斥、相容或包含; ABC =A 表明A BC ⊂.但B ,C 的交必须是非不可能事件4.不是对立事件5.(1) 因为“AB =A ”与“AB A A AB ⊂⊂且”是等价的, 由A ⊂A B 可以推出A ⊂A 且A ⊂B ,因此有A ⊂B(2) 因为“A B A = ”与“B A A A B A ⊂⊂且”是等价的, 由A B A = 可以推出A ⊂A 且B ⊂A ,因此有B ⊂A 6.A 与B 为对立事件,B 与D 互不相容,A ⊃D ,C ⊃D .7.(1) A ; (2) C B A ; (3) C B A C B A C B A .8.(1) 4321A A A A ; (2) 4321A A A A ;(3) 4321432143214321A A A A A A A A A A A A A A A A ;(4) 43214321432143214321A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ;(5) 4321432143214321A A A A A A A A A A A A A A A A ;(6) 43214321432143214321A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A 9.323121A A A A A A B ++=表示至少有两个车间没完成任务; B -C =321A A A 表示三个车间均完成生产任务10.(1) AB B A = 表示A 、B 不都发生;(2) AB B B A B A -=-Ω=)(表示B 发生而AB 不发生;(3) B A 表示A 、B 都不发生11.AB B A B A A B A B A A B A ++=-+=+=+)(;C B A B A A C B A ++=++;A C +B =C B A B +; BC A C B A C B A AB C ++⋅=-12.对立一定互不相容(φ=A A );互不相容不一定对立(Ω=+=B A AB 未必,φ)例如,E :掷骰子.事件{=A 出现点数为1,2},事件{=B 出现点数为3,4},{=C 出现点数为3,4,5,6},则A 与B 互不相容,A 与C 对立.13.121 14.2815 15.158 16.43 17.0.492118.1111043.9)(-⨯=A P ; 721024.1)(-⨯=A P ;1231025.7)(-⨯=A P ; 341055.4)(-⨯=A P19.七个字母的全排列总共有7!=5040种不同排法,将七个字母编号S N I E E C C1 2 3 4 5 6 7在全部的5040种可能排列中,恰好排成SCIENCE 的有如下四种情形(7154623),(7153624),(7254613),(7253614), 于是≈=50404p 0.000794 20.(1) 105.0452113113113113==C C C C C p ;(2) 30.04523131132421321324=+=C C C P C C C p 21.27131)()()(3====C P B P A P , 27832)()()(33====F P E P D P , 91271271271)(=++=G P , 9227123)(=⋅⋅=H P , 98)(1)(=-=G P I P 22.0.007323.24.03653641100100=- 24.从4双即8只鞋中任取4只,故基本事件数为48C ,(1) “4只恰成2双”相当于“从4双里选2双”,故有利事件数为C 24,其概率为4824C C =353. (2)为使4只中恰有1双,可设想为先从4双中取出1双,再从余下的3双中取出2双,然后从这2双中各取1只.因此,有利事件数为222314⋅⋅⋅C C ,其概率为352422482314=⋅⋅⋅C C C . (3)“4只中没有成双的”相当于“从4双中各取1只”.因此,有利事件数为162222=⋅⋅⋅,其概率为3581648=C 25.每颗骰子有6个点,因此基本事件总共有216666=⋅⋅个,只要掷出的三个点由1,2,3或2,3,4或3,4,5或4,5,6组成,不论它们出现的次序怎么样,都是有利事件.因此欲求之概率为91216!34=⨯. 26.3518 27.不妨设AB =1, AC =x ,则CB =1-x , AO =21, AC ,CB , AO 能构成一个三角形必须且只需同时满足 x x x x >-+->+121,121, 即4341<<x . 将AB 等分成四小段,第二及第三小段组成有利事件,因此欲求之概率为2142= 28.(如图)截取CD nD C 1=',当且仅当点P 落入△B A C ''之内时,△ABP 与△A B C 的面积之比大于nn 1-,故所求概率为 22222211nCD CD n CD D C ABC C B A p =='=∆''∆=的面积的面积.29.(1) 1-c ; (2) b -c ; (3) 1-a +c ; (4) 1-a -b +c30.0.331.0.3;0.532.127 33.134.略35.)()()()()(B P A P B A P A P AB P +≤+≤≤36.b +0.7a ; b -0.3a ; 1-0.3a37.(1) )(1)()(212121A A P A A P A A P -===1-[)()()(2121A A P A P A P ⋅-+]=1-)()()(2121A A P A P A P ⋅+-(2) 由(1)和0)(21≥⋅A A P 得第一个不等式,而)()(2121A A P A A P ≤ )()(21A P A P +≤38.0.37539.设从1000名技术员中任意地抽取一人.以A 记事件:“抽取男性”,B 记事件:“抽取已婚者”,C 记事件:“抽取大专毕业生”.按所给数据应有,752.0)(,875.0)(,813.0)(===C P B P A P420.0)(,632.0)(,654.0)(,572.0)(====ABC P AC P BC P AB P 于是)(C B A P ++)()()(C P B P A P ++=)()()()(ABC P AC P BC P AB P +---=0.813+0.875+0.752-0.572-0.654-0.632+0.420=1.002>1.得出矛盾,因此所给数据有错误40.(1) 0.23; (2) 0.07; (3) 0.73; (4) 0.14; (5) 0.17; (6) 0.90;(7) 0.10; (8) 0.8341.(1) 0.988; (2)0.05842.(1)0.042; (2) 0.35; (3)0.914343.0.7; 0.7; 0.5244.5.045.(1) 0.56; (2) 0.24; (3) 0.14; (4) 0.9446.(1) 0.188; (2) 0.212; (3) 0.97647.甲先投中的概率大48.0.649.0.448.50.(1) 这个系统由三个相同的子系统并联而成,每个子系统又由三个元件串联而成.因此每个子系统的可靠度为321p p p ,整个系统的可靠度为3321)1(1p p p --.(2) 这个系统由三个子系统串联而成,第一、第三个子系统只由一个元件组成,第二个子系统由三个相同的元件并联而成.因此,三个子系统的可靠度分别为1321,)1(1,p p p --,整个系统的可靠度为])1(1[3221p p --.(3) 这个系统由两个子系统并联而成,第一个子系统由两个二级子系统串联而成,而第一个二级子系统又由两个元件并联而成.因此,第一个子系统的可靠度为])1(1[212p p --,整个系统的可靠度为1-[))1(1(1212p p ---])1(3p -]=1-)1(3p -[)2(1121p p p --]=)2()2(13213121p p p p p p p p --+-=33121)1)(2(p p p p p +--51.0.42; 0.58×0.42; 0.581-m ×0.4252.(1) )(1}{2121n n A A A P A A A P -==-=)()()(121n A P A P A P 1-n p p p 21(2) )()()(}{2121n n A P A P A P A A A P =⋅=∏=-ni i p 1)1( (3) }{121321321n n n n A A A A A A A A A A A A P -⋅⋃⋅=+---+---)1()1()1()1()1)(1(321321n n p p p p p p p pn n p p p p )1()1)(1(121----+=∑∏=≠=-n i nj i i j i p p 11])1([.53.用k A 表示“第k 门高射炮发射一枚炮弹击中飞机”, ,2,1=k ,B 表示“击中飞机”.则 ,2,1,6.0)(==k A P k , (1) 84.04.01)()(1)(1)(2212121=-=-=⋅-=A P A P A A P A A P , (2) 99.04.01)(1)(1)(1121>-=-=-=∏==n nk k n k k n A P A P A A A P , 即6,026.54.0lg 01.0lg ,01.099.014.0=≈>=-<n n n 取, 故至少需要6门高射炮,同时发射一枚炮弹,可保证%99的概率击中飞机54.0.97655.1256.55.0)2.09.0(21)|()()|()()(=+=+=C A P C P C A P C P A P ,50.0)1.09.0(21)|()()|()()(=+=+=C B P C P C B P C P B P , )|()()|()()(C AB P C P C AB P C P B A P +=)|()|()()|()|()(C B P C A P C P C B P C A P C P +=,由A ,B 条件独立得415.0)1.02.09.0(21)(2=⨯+=B A P , 由于)()(5.055.0415.0)(B P A P B A P =⨯≠= ,所以A ,B 不独立57.(1) 从5个人任选2人为O 型,共有25C 种可能,在其余的3人中任选一人为A 型,共有3种可能,在余下的2人中任选1人为B 型,共有2种可能,另1人为A B 型,因此所要求的概率为0168.013.011.040.046.023225≈⋅⋅⋅⋅⋅⋅=C p ;(2) 1557.040.046.02335≈⋅⋅=C p ;(3) 8587.0)03.01(5≈-=p58.必要性 因为A 与B 独立,则)|()()|(B A P A P B A P ==. 充分性 因为)()()()(B P B A P B P AB P =, [][])()()()(1)(B P AB P A P B P AB P -=-,)()()(B P A P AB P =,所以A 与B 独立.59.)()())((C B A P AB P C B A P += =)()()()()(C P B P A P B P A P + =)]()()[(C B P B P A P +=)()(C B P A P即A 与C B 独立,同理可证A 与B -C 也独立.)()())((ABC P AB P C B A P -=-=)()()()(BC P A P B P A P -=)()(BC B P A P -)()(C B P A P -=.60.0.034561.0.51462.(1) 0.11; (2) 0.6364; 0.363663.记A :顾客买下所察看的一箱玻璃杯,i B :箱中有i 件次品(2,1,0=i ),由题设知,8.0)(0=B P ,=)(1B P 1.0)(2=B P ,所以1)|(0=B A P ,54)|(4204191==C C B A P ,1912)|(4204182==C C B A P , (1)由全概率公式知∑==++===2094.0)191254(8.0)/()()(i i i B A P B P A P α, (2)由贝叶斯公式知85.094.08.0)()/()()/(000====A P B A P B P A B P β 64.以A 记事件:“学生知道正确答案”,则A 表示事件:“学生在乱猜”以B 记事件:“学生答对了”.易见B A ⊂.因此有1)|(,21)()(===A B P A P AB P , 此外,按题意有41)|(=A B P ,由全概率公式得 85412121)|()()|()()(=⋅+=+=A B P A P A B P A P B P , 故所求的条件概率为54)()()|(==B P AB P B A P 65.以1A 表示“任取一台机床是车床”;2A 表示“任取一台机床是钻床”;3A 表示“任取一台机床是磨床”;4A 表示“任取一台机床是刨床”;B 表示“任取一台机床,它需要修理”.由题设知15912399)(1=+++=A P ,153)(2=A P ,152)(3=A P ,151)(4=A P , k k A B P 711321)|(1=+++=,k A B P 72)|(2=,k A B P 73)|(3=, k A B P 71)|(4=,其中k 为比例常数.由Bayes 公式得 ∑==41111)|()()|()()|(i i i A B P A P A B P A P B A P =2297115173152721537115971159=⨯+⨯+⨯+⨯⨯k k k k k 66.3.5‟67.设{=i A 第一次取出的3个球中有i 个新球})3,2,1,0(=i ,{=B 第二次取出的球全是新球},则∑==30)|()()(i i i A B P A P B P =146.0)(3023*******=∑=--i i i i C C C C , )()|()()|(333B P A B P A P B A P ==24.0146.0)(2312360339=C C C C68.设{=A 取出正品},{=B 使用n 次均无故障},已知10010)(=A P ,按题目要求应有70.0)|(≥B A P ,而)|()()|()()|()()|(A B P A P A B P A P A B P A P B A P +==n )9.0(9.011.011.0⨯+⨯⨯, 所以应是11)9.0(043.0,7.0)9.0(1.01.0++≥≥+n n ,由此得29≥n . 69.设在1次试验中A 出现的概率为p ,则在4次独立试验中A 不出现的概率为4)1(p -,从而A 至少出现一次的概率为A P (至少出现一次)=1-4)1(p -=0.59即4)1(p -=0.41,所以p =0.270.设A =“随机抽取一个梨是熟的”.则取出4个梨相当于做了4次贝努里试验,且)(A P =548.0=,设B =“4个梨都是熟的”,则 4096.0625256)8.0()(444===C B P , 即此批梨能作餐用的概率为4096.0。

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典型例题:一.排列1.特殊排列相邻、彼此隔开、顺序一定和不可分辨例1.晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目,问:分别按以下要求各可排出几种不同的节目单?①3个舞蹈节目排在一起;②3个舞蹈节目彼此隔开;③3个舞蹈节目先后顺序一定。

例2.4幅大小不同的画,要求两幅最大的排在一起,问有多少种排法?例3.5辆车排成1排,1辆黄色,1辆蓝色,3辆红色,且3辆红车不可分辨,问有多少种排法?2.重复排列和非重复排列(有序)例4.5封不同的信,有6个信箱可供投递,共有多少种投信的方法?3.对立事件例5.七人并坐,甲不坐首位,乙不坐末位,有几种不同的坐法?例6.15人中取5人,有3个不能都取,有多少种取法?例7.有4对人,组成一个3人小组,不能从任意一对中取2个,问有多少种可能性?4.顺序问题例8.3白球,2黑球,先后取2球,放回,2白的种数?(有序)例9.3白球,2黑球,先后取2球,不放回,2白的种数?(有序)例10.3白球,2黑球,任取2球,2白的种数?(无序)二.概率1. 一批产品由90件正品和10件次品组成,从中任取一件,问取得正品的概率多大.2. 甲、乙两人各自向同一目标射击,已知甲命中目标的概率为0.7,乙命中目标的概率为0.8 求:(1)甲、乙两人同时命中目标的概率;(2)恰有一人命中目标的概率;(3)目标被命中的概率.3. 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率.4. 有一批产品是由甲、乙、丙三厂同时生产的.其中甲厂产品占50%,乙厂产品占30%, 丙厂产品占20%,甲厂产品中正品率为95%,乙厂产品正品率为90%, 丙厂产品正品率为85%, 如果从这批产品中随机抽取一件, 试计算该产品是正品的概率多大.1.7 一个小孩用13个字母T T N M M I I H E C A A A ,,,,,,,,,,,,作组字游戏。

如果字母的各种排列是随机的(等可能的),问“恰好组成“MATHEMATICIAN ”一词的概率为多大?解 显然样本点总数为!13,事件A “恰好组成“MATHEMATICIAN ”包含!2!2!2!3个样本点。

所以!1348!13!2!2!2!3)(==A P 1.8 在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”,求它们正好可以相互吃掉的概率。

解 任意固定红“车”的位置,黑“车”可处于891109=-⨯个不同位置,当它处于和红“车”同行或同列的1789=+个位置之一时正好相互“吃掉”。

故所求概率为8917)(=A P 1.9 一幢10层楼的楼房中的一架电梯,在底层登上7位乘客。

电梯在每一层都停,乘客从第二层起离开电梯,假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的,求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。

解 每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯,现有7位乘客,所以样本点总数为79。

事件A “没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层,各有一位乘客离开电梯”。

所以包含79A 个样本点,于是7799)(A A P =。

1.13 把n 个完全相同的球随机地放入N 个盒子中(即球放入盒子后,只能区别盒子中球的个数,不能区别是哪个球进入某个盒子,这时也称球是不可辨的)。

如果每一种放法都是等可能的,证明(1)某一个指定的盒子中恰好有k 个球的概率为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+n n N k n k n N 12,n k ≤≤0(2)恰好有m 个盒的概率为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n N m N n m N 111,1-≤≤-N m n N(3)指定的m 个盒中正好有j 个球的概率为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+n n N j n j n m N m j m 1111,.0,1N j N m ≤≤≤≤解 略。

1.18 在平面上画有间隔为d 的等距平行线,向平面任意地投掷一个三角形,该三角形的边长为c b a ,,(均小于d ),求三角形与平行线相交的概率。

解 分别用321,,A A A 表示三角形的一个顶点与平行线相合,一条边与平行线相合,两条边与平行线相交,显然.0)()(21==A P A P 所求概率为)(3A P 。

分别用bc ac ab c b a A A A A A A ,,,,,表示边c b a ,,,二边bc ac ab ,,与平行线相交,则=)(3A P ).(bc ac ab A A A P ⋃⋃显然)(a A P )()(ac ab A P A P +,=)(b A P )()(bc ab A P A P +,=)(c A P )()(bc ac A P A P +。

所以21)(3=A P [+)(a A P +)(b A P )(c A P ])(22c b a d ++=π)(1c b a d++=π 1.20 甲、乙两人从装有a 个白球与b 个黑球的口袋中轮流摸取一球,甲先取,乙后取,每次取后都有不放回,直到两人中有一人取到白球时停止。

试描述这一随机现象的概率空间,并求甲或乙先取到白球的概率。

解1ω表示白,2ω表示黑白,3ω表示黑黑白,…白黑黑表示个b b 1+ω,则样本空间=Ω{1ω,2ω,…,1+b ω},并且ba a P +=})({1ω, 1})({2-+⋅+=b a a b a b P ω, 211})({3-+⋅-+-⋅+=b a a b a b b a b P ω,…, )1()2()2(11})({--+⋅--+--⋅⋅-+-⋅+=i b a a i b a i b b a b b a b P i ωab a b a a b P b )1)((!})({1-++=+ω 甲取胜的概率为})({1ωP +})({3ωP +})({5ωP +…乙取胜的概率为})({2ωP +})({4ωP +})({6ωP +…1.24 在某城市中共发行三种报纸:甲、乙、丙。

在这个城市的居民中,订甲报的有45%,订乙报的有35%,订丙报的有30%,同时订甲、乙两报的有10%,同时订甲、丙两报的有8%,同时订乙、丙两报的有5%,同时订三种报纸的有3%,求下述百分比:(1)只订甲报的;(2)只订甲、乙两报的;(3)只订一种报纸的;(4)正好订两种报纸的;(5)至少订一种报纸的;(6)不订任何报纸的。

解 事件A 表示订甲报,事件B 表示订乙报,事件C 表示订丙报。

(1) ))(()(AC AB A P C B A P ⋃-==)()(AC AB P A P ⋃-=30% (2) %7)()(=-=ABC AB P C AB P (3) %23)]()()([)()(=-+-=ABC P BC P AB P B P C A B P %20)]()()([)()(=-+-=ABC P BC P AC P C P B A C P ⋃C B A P (+C A B +)B A C =)(C B A P +)(C A B P +)(B A C P =73% (4) =++)(A BC B AC C AB P %14)()()(=++A BC P B AC P C AB P(5) %90)(=++C B A P (6) %10%901)(1)(=-=++-=C B A P C B A P1.26 某班有n 个学生参加口试,考签共N 张,每人抽到的考签用后即放回,在考试结束后,问至少有一张考没有被抽到的概率是多少?解 用i A 表示“第i 张考签没有被抽到”, N i ,,2,1 =。

要求)(1 Ni i A P =。

n i N N A P ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1)(,n j i N N A A P ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2)(,……,0)(1=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n N N N N A A P n N i i N N N A P ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=11)(1nN N N ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-11)1(11n N i j i N N N A A P ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∑≤≤22)(1nN N N ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-22)1(12,…… 所以n N i i N i i N i N A P ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑=-=111)1()( 1.27 从n 阶行列式的一般展开式中任取一项,问这项包含主对角线元素的概率是多少?解n 阶行列式的展开式中,任一项略去符号不计都可表示为n ni i i a a a 2121,当且仅当n ,,2,1 的排列)(21n i i i 中存在k 使k i k =时这一项包含主对角线元素。

用k A 表示事件“排列中k i k =”即第k 个主对角线元素出现于展开式的某项中。

则n i n n A P i ≤≤-=1!)!1()( )1(!)!2()(n j i n n A A P j i ≤<≤-=,…… 所以!1)1(!)!()1()(11111i n i n i n A P n i i n i i N i i ∑∑=-=-=-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 1.31 n 个人用摸彩的方式决定谁得一张电影票,他们依次摸彩,求:(1)已知前1-k )(n k ≤个人都没摸到,求第k 个人摸到的概率;(2)第k )(n k ≤个人摸到的概率。

解 设i A 表示“第i 个人摸到”, n i ,,2,1 =。

(1) 11)1(1)|(11+-=--=-k n k n A A A P k k (2) =)(k A P =-)(11k k A A A P n k n n n n n 111121=+-⋅⋅--⋅- 1.32 已知一个母鸡生k 个蛋的概率为)0(!>-λλλe k k,而每一个蛋能孵化成小鸡的概率为p ,证明:一个母鸡恰有r 个下一代(即小鸡)的概率为p re r p λλ-!)(。

解 用k A 表示“母鸡生k 个蛋”, B 表示“母鸡恰有r 个下一代”,则 )|()()(k r k k A B P A P B P ∑∞==r k r r k k p p r k k e -∞=--⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=∑)1(!λλ∑∞=----=rk r k rr k p e r p )!()]1([!)(λλλ)1(!)(p re e r p --⋅=λλλ p re r p λλ-=!)( 1.37 证明:若三个事件A 、B 、C 独立,则B A ⋃、AB 及B A -都与C 独立。

证明 (1))()()())((ABC P BC P AC P C B A P -+=⋃=)()(C P B A P ⋃(2))()()()()()C P AB P C P B P A P PABC ==(3))())(())((ABC AC P C AB A P C B A P -=-=-=)()(C P B A P -1.39 设n A A A ,,,21 为n 个相互独立的事件,且)1()(n k p A P k k ≤≤=,求下列事件的概率:(1) n 个事件全不发生;(2) n 个事件中至少发生一件;(3) n 个事件中恰好发生一件。

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