弹性力学ppt

4. 各向同性假定
假定物体内一点的弹性性质在所有各个方向都相同。 作用： 弹性常数（E、μ）——不随坐标方向而变化；
金属 —— 上述假定符合较好；
木材、岩石 —— 上述假定不符合，称为各向异性材料； 符合上述4个假定的物体，称为理想弹性体。
应力关于坐标连续分布的
( x, y, z ) ( x, y, z )
(2) 一点的应力状态
通过一点P 的各个面上应力状况的集合 —— 称为一点的应力状态 x面的应力： x , xy , xz y面的应力： z面的应力：
y , yx , yz
z , zx , zy
数值解法：能量法（变分法）、差分 法、有限单元法等。 3. 与其他力学课程的关系
弹性力学
数学弹性力学；
应用弹性力学。
弹性力学是塑性力学、断裂力学、岩石力学、 振动理论、有限单元法等课程的基础。
小结：
弹性力学是固体力学的一个分支，研究弹 性体由于外力作用或温度改变等原因而发生的 应力、形变和位移。
本课程较为完整的表现了力学问题的数学 建模过程，建立了弹性力学的基本方程和边值 条件，并对一些问题进行了求解。弹性力学基 本方程的建立为进一步的数值方法奠定了基础。 弹性力学是学习塑性力学、断裂力学、有 限元方法等课程的基础。
3. 形变 (1) 一点形变的度量
形变 —— 物体的形状改变 （1）线段长度的改变 ——用线（正）应变ε度量 （2）两线段间夹角的改变。 ——用切应变γ度量 （切应变——两垂直线段夹角（直角）的改变量）
三个方向的线应变：
三个平面内的切应变：
x , y , z xy , yz , zx
着坐标轴方向为正，反之为负。
注意：体力、面力都是表示单位体积、单位面积上的作用力， 因此，在考虑平衡条件求合力时必须要乘以相应的体积和面积。
2. 应力 (1) 一点应力的概念
内力 (1) 物体内部分子或原子间的相互 作用力; (不考虑) (2) 由于外力作用引起的物体本身不同 部分之间的相互作用力.
§1-2 弹性力学中的几个基本概念
基本概念： 外力、应力、形变、位移。 1. 外力
（是指其它物体对研究对象的作用力）
体力、面力 （集中力、分布力。） (1) 体力 —— 弹性体内单位体积上所受的外力
F —— 体力分布集度 f lim （矢量） V 0 V f f xi f y j f zk
w
S
P
P v
u
O
x
y
§1-3 弹性力学中的基本假定
弹性力学问题：
已知外力、物体的形状和大小（边界）、材料特性（E、 μ）、约束条件等，求解应力、应变、位移分量。
需建立三个方面的关系： （1）静力学关系（平衡状态）： 应力与体力、面力间的关系；
（2）几何学关系：
形变与位移间的关系； （3）物理学关系：
•近代弹性力学的研究是从 19世纪开始的。
•柯西1828年提出应力、应 变概念，建立了平衡微分 方程、几何方程和广义胡 克定律。
•柯西的工作是近代弹性力 学的一个起点，使得弹性 力学成为一门独立的固体 力学分支学科。 柯西（A.L.Cauchy）
•而后，世界各国的一批学 者相继进入弹性力学研究 领域，使弹性力学进入发 展阶段。
z C
Leabharlann Baiduz
A
O
应变的正负： 线应变： 伸长时为正，缩短时为负；
切应变： 以直角变小时为正，变大时为负； x
x P
y
B y
(2) 一点应变状态
—— 代表一点 P 的邻域内线段与线段间夹角的改变
x yx zx
xy xz y yz zy z
基尔霍夫 (G.R.Kirchoff)
弹性力学进入更深入的发展时期是在1907 年以后，非线性弹性力学迅速地发展起来。卡 门（1907）提出了薄板的大挠度问题；卡门和 钱学森提出了薄壳的非线性稳定问题；力学工 作者还提出了大应变问题，非线性材料问题 （如塑性力学等）等等。同时，线性弹性力学 也得到进一步的发展，出现了许多分支学科， 如薄壁构件力学、薄壳力学、热弹性力学、粘 弹性力学、各向异性弹性力学等。
形变与应力间的关系。
1. 连续性假定
整个物体的体积都被组成物体的介质充满，不留下任何 空隙。 该假定在研究物体的宏观力学特性时，与工程实际吻 合较好；研究物体的微观力学性质时不适用。
作用： 使得σ、ε、u 等量表示成坐标的连续函数。
( x, y, z ) ( x, y, z ) u u ( x, y, z )
2. 线弹性假定
假定物体完全服从虎克（Hooke）定律，应力与应变间 成线性比例关系（正负号变化也相同）。
比例常数 —— 弹性常数（E、μ）
脆性材料—— 一直到破坏前，都可近似为线弹性的； 塑性材料—— 比例阶段，可视为线弹性的。 作用： 可使求解方程线性化，可利用叠加原理。
3. 均匀性假定
假定整个物体是由同一种材料组成 的，各部分材料性 质相同。 弹性常数（E、μ）——不随位置坐标而变化； 作用： 取微元体分析的结果可应用于整个物体。
z
fz
F
fx、fy、fz为体力矢量在坐标轴上的投影
量纲： L-2MT-2
k i
O j
f x V
fy
y
(1) f 是坐标的连续分布函数； x 说明：(2) f 如：重力，磁场力、惯性力等 (3) fx、fy、fz 的正负号由坐标方向确定。沿着坐标轴方向为
正，反之为负。
(2) 面力
F —— 面力分布集度（矢量） f lim S 0 S
如：梁的弯曲问题
弹性力学结果
材料力学结果
当 l >> h 时，两者误差很小
如：板中圆孔应力集中
弹性力学以微元 体为研究对象，建立 方程求解，得到弹性 体变形的一般规律。 所得结果更符合实际。
（3）数学理论基础 材力、结力 —— 常微分方程（2阶，一个变量）。 弹力 —— 偏微分方程（4阶，二、三个变量）。
许多科学家.像拉格朗日(J.L.Lagrange)，乐甫 (A.E.H.Love)，铁木辛柯(S.P.Timoshenko)做 出了贡献。 •中国科学家钱伟长、钱学森、徐芝纶、胡海 昌等在弹性力学的发展，特别是在中国的推广 应用做出了重要贡献。
钱学森
钱伟长
胡海昌
杨桂通
弹性力学的学习方法 弹性力学的公式推导比较繁复，不便记忆， 因此初学者会感到困难。 由于基本方程是偏微分方程组，接触较少， 理解有困难。偏微分方程组的直接求解是十分 困难的，只有在边界条件比较简单时，可以解 出，大多需要通过数值方法求解，因此基本方 程的意义很大程度上是为将来其它课程的学习 打基础。 在每章的最后，附有一些习题，必须通过 练习，加深对概念和方法的理解。
其中
xy yx yz zy
z C
z
A
zx xz
x P
y
B
注：
应变无量纲； 应变分量均为位置坐标的函数，即
x
O
z
y
x x ( x, y, z ), ; xy xy ( x, y, z ),
4. 位移
一点的位移 —— 矢量S 量纲：L u —— x方向的位移 分量； 位移分量： v —— y方向的位移 分量； w—— z方向的位移 分量。
y
yx
zx
zy
yz
应力符号的意义：
第2个下标 y 表示τ的方向. 应力正负号的规定： 正应力—— 拉为正，压为负。 切应力——正坐标面上，与坐标正向一致时为正； 负坐标面上，与坐标正向相反时为正。
xy
第1个下标 x 表示τ所在面的法线方向；
z
正应力—— 拉为正，压为负。 与材料力学中的规定是一致的。
x xy xz 用矩阵表示： yx y yz zx zy z
其中，只有6个量独立。
z
z
xy yx yz zy zx xz
切应力互等定理
O x
xz xy y yx y yz x zx zy z
f f xi f y j f zk
f x f y f z —— 面力矢量在坐标轴上投影
量纲： L-1MT-2
—— 作用于物体表面单位面积上的外力
z
F
fz
k i
x O j
fx
S f y
y
(1) f 是坐标的连续分布函数； 说明： (2) f 如：接触力、流体压力等;
(3) f x f y f z 的正负号由坐标方向确定。沿
F p lim A0 A
(1) P点的内力面分布集度 ----P点的应力 (2) 应力矢量. F 的极限方向

P ΔA
ΔF
由外力引起的在 P点的某一面上内力分布集度

n
(法线)
应力分量 量纲:
应力的法向分量 应力的切向分量

—— 正应力 —— 切应力

与面力相同
单位：MPa (兆帕)
弹性力学的发展和研究方法
弹性力学是一门有悠久历史的学科，早期 研究可以追溯到1678年，胡克（R.Hooke）发 现胡克定律。 这一时期的研究工作主要是通过实验方法 探索物体的受力与变形之间的关系。 1807年，Thomas Young （1773～1829， 英国物理学家、医生、波动光学的奠基人） 做 了大量的实验，提出和测定了材料的弹性模量。
第一章 绪
论
§1-1 弹性力学的研究内容 §1-2 弹性力学中的几个基本概念
§1-3 弹性力学中的基本假定
§1-1 弹性力学的研究内容
1. 研究内容
弹力:（内容）弹性体在外力或温度作用下的应力、 变形、位移等分布规律。 （任务）解决弹性体的强度、刚度、稳定性问题。 材力:（内容）杆件在外力或温度作用下的应力、变 形、材料的宏观力学性质、破坏准则等。
•1856年，圣维南 （A.J.Saint-Venant）建立 了柱体扭转和弯曲的基本 理论； 圣维南 （A.J.Saint-Venant）
•1862年，艾瑞（G.B.Airy） 发表了关于弹性力学的平面 理论； •1882年，赫兹建立了接触应 力理论； 赫兹（H.Hertz）
基尔霍夫 1824年生於德国，1887年 逝世。曾在海登堡大学和 柏林大学任物理学教授， 他发现了电学中的“基尔 霍夫定理”，同时也对弹 性力学，特别是薄板理论 的研究作出重要贡献。
（任务）解决杆件的强度、刚度、稳定性问题。 结力: （内容）杆件系统（杆系结构）在外力或温 度作用下的应力、变形、位移等变化规律。
（任务）解决杆系的强度、刚度、稳定性问题。
2. 弹性力学与材力、结力课程的区别 （1）研究对象 材力： 杆件（直杆、小曲率杆） 结力： 杆件系统（或结构）如桁架、钢架结构 弹力： 一般弹性实体结构：板壳、坝体、地基、 挡土墙、 杆件、三维弹性固体等 （2）研究方法 材力： 借助于直观和实验现象作一些假定，如 平面假设等，然后由静力学、几何关系、 物理方程三方面进行分析。 结力： 与材力类同。 弹力： 仅由静力平衡、几何方程、物理方程三 方面分析，放弃了材力中的大部分假定。
教材
徐芝纶(1911-1999)，力学家、力学教育家。
1911年6月20日生于江苏省江都县。 1930—1934年清华大学土木工程系学习，获工学学士学位。 1934—1935年任清华大学土木工程系助教。 1935—1936年美国麻省理工学院学习，获土木工程硕士学位。 1936—1937年美国哈佛大学工程科学研究院，获工程科学硕士学位。 1937—1943年任浙江大学副教授、教授。 1943—1944年任资源委员会水力发电勘测总队工程师兼设计课长。 1944—1946年任中央大学（南京大学前身）教授。 1946—1952年任上海交通大学教授，1948年起兼任水利系主任。 1952年—任华东水利学院（现名河海大学）教授，1954年起兼任教务长，1956 年起兼任副院长（任至1983年）。 1957—1986年任中国力学学会第一、第二届理事。
z
O x
xz xy y yx y yz x zx zy z
y
yx
zx
zy yz
与材力中切应力τ正负号规定的区别： 规定使得单元体顺时的切应力τ为 正，反之为负。
yx y
x
y
xy
xy
yx
y
x
x
xy yx
图中 yx为负