相似三角形的面积比与相似比的关系
初中数学相似三角形公式定理
初中数学相似三角形公式定理相似三角形要义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似三角形相似三角形判定定理:(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
)(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。
)(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等(或三个角分别对应相等)，那么这两个三角形相似。
直角三角形判定定理:(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
相似三角形性质定理:(1)相似三角形的对应角相等。
(2)相似三角形的对应边成比例。
(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
(4)相似三角形的周长比等于相似比。
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
判定定理推论推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。
推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。
推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。
推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。
推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
性质1.相似三角形对应角相等，对应边成比例。
2.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比。
3.相似三角形周长的比等于相似比。
4.相似三角形面积的比等于相似比的平方。
初中数学 相似三角形有哪些特点
初中数学相似三角形有哪些特点相似三角形是指具有相似形状的三角形，它们的对应角度相等，对应边长之间存在比例关系。
下面是相似三角形的一些重要特点：1. 角度相等：相似三角形的对应角度是相等的。
也就是说，如果两个三角形相似，它们的对应角度是相等的。
例如，如果一个三角形的角A等于另一个三角形的角A，角B等于角B，角C等于角C，那么这两个三角形就是相似的。
2. 边长比例相等：相似三角形的对应边长之间存在比例关系。
也就是说，如果两个三角形相似，它们的对应边长之间的比例是相等的。
例如，如果一个三角形的边a与另一个三角形的边a的比例为m，边b与边b的比例为m，边c与边c的比例为m，那么这两个三角形就是相似的。
3. 高度比例相等：相似三角形的对应高度之间存在比例关系。
也就是说，如果两个三角形相似，它们的对应高度之间的比例是相等的。
例如，如果一个三角形的高度h与另一个三角形的高度h的比例为m，那么这两个三角形就是相似的。
4. 面积比例相等：相似三角形的面积之间存在比例关系。
也就是说，如果两个三角形相似，它们的面积之间的比例是相等的。
面积比例等于边长比例的平方。
例如，如果一个三角形的面积S与另一个三角形的面积S的比例为m，那么这两个三角形的边长比例为√m。
5. 三角形的相似比较：当两个三角形的对应角度相等时，它们是相似的。
根据相似三角形的性质，我们可以使用三个角度对两个三角形进行比较，或者使用两个角度和一个边长的组合来比较。
如果两个三角形的对应角度相等或者其中两个角度和一个对应边长相等，那么这两个三角形是相似的。
6. 旁边角相等：相似三角形的旁边角（与对应边相邻的角）也是相等的。
这是因为相似三角形的对应边长比例相等，所以对应边相邻的角也是相等的。
7. 重心比例相等：相似三角形的重心之间存在比例关系。
重心是三角形的三条中线的交点。
如果两个三角形相似，它们的重心之间的距离比例等于边长比例。
例如，如果一个三角形的重心与另一个三角形的重心的距离比例为m，那么这两个三角形的边长比例也为m。
初中数学知识归纳相似三角形的性质与比例
初中数学知识归纳相似三角形的性质与比例相似三角形是初中数学中重要的概念之一。
在研究相似三角形时，我们需要了解相似三角形的性质以及相关的比例关系。
本文将归纳相似三角形的性质与比例，并通过实例进行说明。
一、相似三角形的性质（1）对应角相等性质：如果两个三角形的对应角相等，那么它们是相似的。
换句话说，如果三角形 ABC 与三角形 DEF 的对应角相等（∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F），则三角形 ABC 相似于三角形DEF。
（2）对应边成比例性质：如果两个三角形的对应边成比例，那么它们是相似的。
设三角形 ABC 与三角形 DEF 的对应边满足 AB/DE = BC/EF = AC/DF，则三角形 ABC 相似于三角形 DEF。
（3）三角形的形状相似性质：如果两个三角形的所有角相等或者所有边成比例，那么它们是相似的。
也就是说，如果三角形 ABC 的所有角与三角形 DEF 的所有角相等，或者三角形 ABC 的所有边与三角形 DEF 的所有边成比例，则三角形 ABC 相似于三角形 DEF。
二、相似三角形的比例关系当两个三角形相似时，我们可以得到一些有用的比例关系。
（1）边长比例关系：设三角形 ABC 相似于三角形 DEF，即三角形ABC ~ 三角形 DEF。
则有 AB/DE = BC/EF = AC/DF。
这意味着三角形中对应边的比例是相等的。
（2）角度比例关系：设三角形 ABC 相似于三角形 DEF，即三角形ABC ~ 三角形 DEF。
则有∠A/∠D = ∠B/∠E = ∠C/∠F。
这意味着三角形中对应角的比例是相等的。
（3）面积比例关系：设三角形 ABC 相似于三角形 DEF，即三角形ABC ~ 三角形 DEF。
则有△ABC 的面积 / △DEF 的面积 = (AB/DE)^2 = (BC/EF)^2 = (AC/DF)^2。
这意味着两个三角形的面积比例是边长比例的平方。
三、示例分析为了更好地理解相似三角形的性质与比例关系，我们举例进行分析。
相似三角形的面积比
相似三角形的面积比在数学中，相似三角形是指具有相同形状但不一定相同大小的两个三角形。
而这两个相似三角形的面积之间存在着一定的比例关系。
本文将介绍相似三角形的性质，并推导相似三角形的面积比公式。
一、基本概念在讨论相似三角形的面积比之前，先来回顾一下相似三角形的基本概念。
1. 相似三角形的定义两个三角形是相似的，当且仅当它们的对应角相等。
2. 相似三角形的性质相似三角形的对应边成比例，即对应边之比相等。
3. 相似三角形的符号表示在表示相似三角形时，通常用大写字母表示大三角形的顶点，用对应的小写字母表示小三角形的顶点。
例如，大三角形的顶点为A、B、C，小三角形的顶点为a、b、c，那么可以表示为△ABC∼△abc。
二、相似三角形的面积比公式给定两个相似三角形△ABC∼△abc，它们的边长比为k，则有以下公式计算相似三角形的面积比：面积比 = (边长比)^2推导过程如下：设大三角形ABC的边长为a、b、c，小三角形abc的边长为x、y、z。
根据相似三角形的性质，有如下等式：a:x = b:y = c:z由此可得：x = a * (x/y) = a * (x/c) * (c/y)y = b * (y/c) * (c/b) = b * (y/c) * (c/a)z = c * (z/a) = c * (z/b) * (b/a)那么，相似三角形的面积比可表示为：面积比 = (小三角形abc的面积) / (大三角形ABC的面积)= (1/2) * x * y * sin∠A / (1/2) * a * b * sin∠A= (x * y) / (a * b)= (a * (x/c) * (c/y)) * (b * (y/c) * (c/a)) / (a * b)= (x/c)^2因此，相似三角形的面积比公式为：面积比 = (边长比)^2三、实例分析通过一个实例来说明相似三角形的面积比的用法。
已知△ABC∼△abc，且AB = 6 cm，AC = 8 cm，BC = 10 cm，ab = 3 cm，bc = 4 cm。
相似三角形周长比等于相似比,面积比等于相似比平方
A
E
B
4、如图，在正方形网格上有 △A1B1C1 和△A2B2C2 ，这两个 三角形相似吗？如果相似，求 出△A1B1C1和△A2B2C2的面积比。
4:1
B2
A1
A2
C2 C1
B1
全等三角形与相似三角形性质比较
全等三角形
相似三角形
对应边相等
对应边的比等于相似比（对应边成比例）
对应角相等
对应角相等
S2
F
G
M B
S3 N
S4 C
如图在 ABCD中，AE:AB=1:2 (1)△AEF与△CDF的周长之比_1_:_2___
(2)若△AEF的面积为8，则△CDF的面积 _3_2___
D
C
j F
A
E
B
四边形 ABCD是 ，点E是BC的延长线上 的一点，而且CE：BC=1：3，若△DGF的面积 为9，试求：（1）△ABG的面积（2）△ADG 与△BGE的周长比和面积比
还是让我们一起走近今天的数学课 堂来探究其中的奥秘吧？
问题
图 中 (1) 、 (2) 、 (3) 分 别 是 边长为1、2、3的等边三角形， 相似吗？
(2)与(1)的相似比＝____， (2)与(1)的面积比＝____;周长比＝____ (3)与(1)的相似比＝——， (3)与(1)的面积比＝____;周长比＝____
大标牌用油漆
2听
。
2．两个相似多边形面积的比9：16， （1）其中较小的多边形的周长为36cm ,则另 一个多边形的周长 48cm。
（2）两个多边形的周长之和是42cm,则两个多边 形的周长分别是 18cm,24cm。
典型例题
例1、如图，在△ABC中，点D、E分别分别 在AB、AC上，DE∥BC，AD：DB=3︰2. 求四边形DBCE与△ADE的面积的比。
相似三角形面积比和边长比的关系
相似三角形面积比和边长比的关系
相似三角形是几何中重要的证明模型之一，三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形，它可以被理解为相似比为1的相似三角形。
相似三角形的面积比等于边长比的平方，设小三角形的面积为s，底长为a高为h，则小三角形的面积为s等于二分之一乘以a乘以b。
设大三角形的'面积为s，底长为ka 高为kh，则大三角形的面积为s等于二分之一乘以ka乘以kb。
相近三角形对应角成正比，对应边变成比例；相近三角形的一切对应线段，包含对应低、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等的比等同于相近比；相近三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相近比相同，内切圆、外接圆面积比是相近比的平方。
北师大版九年级上册数学 第2课时 相似三角形的周长和面积之比第2课时 相似三角形的周长和面积之比教
第2课时相似三角形的周长和面积之比●教学目标（一）教学知识点1.相似三角形的周长比，面积比与相似比的关系.2.相似三角形的周长比，面积比在实际中的应用.（二）能力训练要求1.经历探索相似三角形的性质的过程，培养学生的探索能力.2.利用相似三角形的性质解决实际问题训练学生的运用能力.（三）情感与价值观要求1.学生通过交流、归纳，总结相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系，体会知识迁移、温故知新的好处.2.运用相似多边形的周长比，面积比解决实际问，增强学生对知识的应用意识.●教学重点1.相似三角形的周长比、面积比与相似比关系的推导.2.运用相似三角形的比例关系解决实际问题.●教学难点相似三角形周长比、面积比与相似比的关系的推导及运用.●教学方法引导启发式通过温故知新，知识迁移，引导学生发现新的结论，通过比较、分析，应用获得的知识达到理解并掌握的目的.●教具准备投影片两张第一张：（记作§4.7.2 A）第二张：（记作§4.7.2 B）●教学过程Ⅰ.创设问情境，引入新课［师］（拿大小不同的两个等腰直角三角形三角板）.我手中拿着两名同学的两个大小不同的三角板.请同学们观察其形状，并请两位同学来量一量它们的边长分别是多少.然后告诉大家数据.（让学生把数据写在黑板上）［师］同学们通过观察和计算来回答下列问题.1.两三角形是否相似.2.两三角形的周长比和面积比分别是多少？它们与相似比的关系如何？与同伴交流.［生］因为两三角形都是等腰直角三角形，其对应角分别相等，所以它们是相似三角形.周长比与相似比相等，而面积比与相似比却不相等.［师］能不能找到面积比与相似比的量化关系呢？［生］面积比与相似比的平方相等.［师］老师为你的重大发现感到骄傲.但这是特殊三角形，对一般三角形、多边形，我们发现的结论成立吗？这正是我们本节课要解决的问.Ⅱ.新课讲解1.做一做投影片（§4.7.2 A）在上图中，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为43. （1）请你写出图中所有成比例的线段. （2）△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比是多少？你是怎么做的？ （3）△ABC 的面积如何表示？△A ′B ′C ′的面积呢？△ABC 与△A ′B ′C ′的面积比是多少？与同伴交流.［生］（1）∵△ABC ∽△A ′B ′C ′∴B A AB ''=C B BC ''=C A AC ''=D C CD ''=D B BD ''=D A AD ''=43. （2）43='''∆∆的周长的周长C B A ABC . ∵B A AB ''=C B BC ''=C A AC ''=43. ∴C A C B B A AC BC AB l l C B A ABC ''+''+''++='''∆∆ =C A C B B A C A C B B A ''+''+''''+''+''434343 =43)(43=''+''+''''+''+''C A C B B A C A C B B A . （3）S △ABC =21AB ·C D. S △A ′B ′C ′=21A ′B ′·C ′D ′. ∴2)43(2121=''⋅''=''⋅''⋅='''∆∆D C CD B A AB D C B A CD AB S S C B A ABC . 2.想一想如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，那么△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比和面积比分别是多少？ ［生］由上可知若△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，那么△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比为k ，面积比为k 2.3.议一议投影片（§4.7.2 B ）.如图，四边形A 1B 1C 1D 1∽四边形A 2B 2C 2D 2，相似比为k .（1）四边形A 1B 1C 1D 1与四边形A 2B 2C 2D 2的周长比是多少？（2）连接相应的对角线A 1C 1，A 2C 2，所得的△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2相似吗？△A 1C 1D 1与△A 2C 2D 2呢？如果相似，它们的相似各是多少？为什么？（3）设△A 1B 1C 1，△A 1C 1D 1，△A 2B 2C 2，△A 2C 2D 2的面积分别是,111C B A S ∆ 222222111,,D C A C B A D C A S S S ∆∆∆ 那么222111222111D C A D C A C B A C B A S S S S ∆∆∆∆=各是多少？（4）四边形A 1B 1C 1D 1与四边形A 2B 2C 2D 2的面积比是多少？如果把四边形换成五边形，那么结论又如何呢？［生］解：（1）∵四边形A 1B 1C 1D 1∽四边形A 2B 2C 2D 2.相似比为k .（2）△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2、△A 1C 1D 1∽△A 2C 2D 2，且相似比都为k .∵四边形A 1B 1C 1D 1∽四边形A 2B 2C 2D 2∴2211221122112211D A D A D C D C C B C B B A B A === ∠D 1A 1B 1=∠D 2A 2B 2,∠B 1=∠B 2.∠B 1C 1D 1=∠B 2C 2D 2,∠D 1=∠D 2.在△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2中∵22112211C B C B B A B A = ∠B 1=∠B 2. ∴△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2.∴2211B A B A =k . 同理可知，△A 1C 1D 1∽△A 2C 2D 2，且相似比为k .（3）∵△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2,△A 1C 1D 1∽△A 2C 2D 2.22222222222222)(k S S S S k D C A C B A D C A C B A =++∆∆∆∆照此方法，将四边形换成五边形，那么也有相同的结论.由此可知：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.Ⅲ.随堂练习完成教材随堂练习Ⅳ.课时小结本节课我们重点研究了相似三角形的对应线段（高、中线、角平分线）的比，周长比都等于相似比，面积比等于相似比的平方.Ⅴ.课后作业习题4.12●板书设计 4.7 相似三角形的性质第2课时 相似三角形的周长和面积之比一、1.做一做2.想一想3.议一议二、课堂练习三、课时小结四、课后作业。
相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方
1 4
2
32
（２）
所以它们的长与宽对应 成比例，
32
（１）
如果以图（１）最大矩形的左下顶点为原点， 宽和长所在直线分别为x轴、y轴，那么这组矩 形右上顶点的坐标都满足
y 2,即y 2x,也就是说它们在直线y 2x上 x
谈谈收获
今天我们了解了相似图 形王国的一个伟大的家族……
相似多边形
相似多边形的性质
解：对开后所得的矩形纸张和原来的矩形纸
张相似，理由如下：设原来的纸张为矩形Ａ ＢＣＤ，如图： BC 2
AB
连结ＢＣ与ＡＤ的中点Ｆ，Ｅ，则ＥＦ就把
矩形ＡＢＣＤ分为全等的两个矩形． A
E
D
在矩形ＡＢEF中，AB
BF
AB BC
AB 1 BC 2
2 2
2.
BF AB
B
F
C
矩形ＡＢＦＥ与矩形ＢＣＤＡ的对应角
个内角的度数,
然后与你的同
伴议一议;这两 C
个四边形的对
应角之间有什
B1
么关系?对应
边之间有什么 关系?
C1
A
D A1
D1
相似多边形 各对应角相等、各对应边成
比例的两个多边形叫做相似多边 形.
对应顶点的字母写在对应的位置上
相似比 相似多边形对应边的比叫做
相似比.
它们形状相同吗？
B
A
F
C
ED
A1 F1
相等，对应边成比例，矩形ＡＢＦＥ与
矩形ＢＣＤＡ相似
1、右面两个矩形相似，
求它们对应边的比. 2∶3
2
2、如图，两个正六边形的边长分别
3
为a和b，它们相似吗？为什么？
九年级上册4-7相似三角形的性质第2课时相似三角形的周长和面积之比教案新版北师大版
4.7相似三角形的性质第2课时相似三角形的周长和面积之比教学目标【知识与能力】1.相似三角形的周长比，面积比与相似比的关系.2.相似三角形的周长比，面积比在实际中的应用.【过程与方法】1.经历探索相似三角形的性质的过程，培养学生的探索能力.2.利用相似三角形的性质解决实际问题训练学生的运用能力.【情感态度价值观】1.学生通过交流、归纳，总结相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系，体会知识迁移、温故知新的好处.2.运用相似多边形的周长比，面积比解决实际问题，增强学生对知识的应用意识.教学重难点【教学重点】1.相似三角形的周长比、面积比与相似比关系的推导.2.运用相似三角形的比例关系解决实际问题.【教学难点】相似三角形周长比、面积比与相似比的关系的推导及运用.教学方法引导启发式课前准备投影片.教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］（拿大小不同的两个等腰直角三角形三角板）.我手中拿着两名同学的两个大小不同的三角板.请同学们观察其形状，并请两位同学来量一量它们的边长分别是多少.然后告诉大家数据.（让学生把数据写在黑板上）［师］同学们通过观察和计算来回答下列问题.1.两三角形是否相似.2.两三角形的周长比和面积比分别是多少？它们与相似比的关系如何？与同伴交流.［生］因为两三角形都是等腰直角三角形，其对应角分别相等，所以它们是相似三角形.周长比与相似比相等，而面积比与相似比却不相等.［师］能不能找到面积比与相似比的量化关系呢？［生］面积比与相似比的平方相等.［师］老师为你的重大发现感到骄傲.但这是特殊三角形，对一般三角形、多边形，我们发现的结论成立吗？这正是我们本节课要解决的问题.Ⅱ.新课讲解1.做一做在上图中，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为43. （1）请你写出图中所有成比例的线段. （2）△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比是多少？你是怎么做的？（3）△ABC 的面积如何表示？△A ′B ′C ′的面积呢？△ABC 与△A ′B ′C ′的面积比是多少？与同伴交流.［生］（1）∵△ABC ∽△A ′B ′C ′∴B A AB ''=C B BC ''=C A AC ''=D C CD ''=D B BD ''=D A AD ''=43. （2）43='''∆∆的周长的周长C B A ABC . ∵B A AB ''=C B BC ''=C A AC ''=43. ∴CA CB B A AC BC AB l l C B A ABC ''+''+''++='''∆∆ =C A C B B A C A C B B A ''+''+''''+''+''434343 =43)(43=''+''+''''+''+''C A C B B A C A C B B A . （3）S △ABC =21AB ·C D. S △A ′B ′C ′=21A ′B ′·C ′D ′. ∴2)43(2121=''⋅''=''⋅''⋅='''∆∆D C CD B A AB D C B A CD AB S S C B A ABC. 2.想一想如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，那么△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比和面积比分别是多少？［生］由上可知若△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，那么△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比为k ，面积比为k 2.3.议一议 投影片.如图，四边形A 1B 1C 1D 1∽四边形A 2B 2C 2D 2，相似比为k .（1）四边形A 1B 1C 1D 1与四边形A 2B 2C 2D 2的周长比是多少？ （2）连接相应的对角线A 1C 1，A 2C 2，所得的△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2相似吗？△A 1C 1D 1与△A 2C 2D 2呢？如果相似，它们的相似各是多少？为什么？（3）设△A 1B 1C 1，△A 1C 1D 1，△A 2B 2C 2，△A 2C 2D 2的面积分别是,111C B A S ∆222222111,,D C A C B A D C A S S S ∆∆∆ 那么222111222111D C A D C A C B A C B A S S S S ∆∆∆∆=各是多少？（4）四边形A 1B 1C 1D 1与四边形A 2B 2C 2D 2的面积比是多少？如果把四边形换成五边形，那么结论又如何呢？［生］解：（1）∵四边形A 1B 1C 1D 1∽四边形A 2B 2C 2D 2.相似比为k .（2）△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2、△A 1C 1D 1∽△A 2C 2D 2，且相似比都为k .∵四边形A 1B 1C 1D 1∽四边形A 2B 2C 2D 2∴2211221122112211D A D A D C D C C B C B B A B A === ∠D 1A 1B 1=∠D 2A 2B 2,∠B 1=∠B 2.∠B 1C 1D 1=∠B 2C 2D 2,∠D 1=∠D 2.在△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2中∵22112211C B C B B A B A =∠B 1=∠B 2.∴△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2. ∴2211B A B A =k . 同理可知，△A 1C 1D 1∽△A 2C 2D 2，且相似比为k .（3）∵△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2,△A 1C 1D 1∽△A 2C 2D 2.22222222222222)(k S S S S k D C A C B A D C A C B A =++∆∆∆∆照此方法，将四边形换成五边形，那么也有相同的结论.由此可知：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.Ⅲ.随堂练习完成教材随堂练习Ⅳ.课时小结本节课我们重点研究了相似三角形的对应线段（高、中线、角平分线）的比，周长比都等于相似比，面积比等于相似比的平方.Ⅴ.课后作业习题4.12●板书设计4.7 相似三角形的性质第2课时相似三角形的周长和面积之比一、1.做一做2.想一想。
相似三角形的面积比例与边长比例的关系
相似三角形的面积比例与边长比例的关系相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个三角形。
在几何学中，相似三角形的面积比例与边长比例之间存在着一定的关系。
本文将探讨相似三角形的面积比例与边长比例之间的关系，并解释其原理。
一、相似三角形的定义和性质相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个三角形。
当两个三角形的对应角度相等时，它们为相似三角形。
相似三角形的性质如下：1. 对应角相等性质：如果两个三角形的对应角相等，则它们为相似三角形。
2. 边长比例性质：相似三角形的对应边长之比相等。
二、相似三角形的面积比例相似三角形的面积比例与边长比例之间存在着一定的关系。
假设有两个相似三角形，其边长比例为k，则面积比例为k^2。
证明：设两个相似三角形的面积分别为S1和S2，边长比例为k。
则可以得到以下等式：S1 = (1/2) * a1 * b1 * sin(A1)S2 = (1/2) * a2 * b2 * sin(A2)其中，a1和a2分别为三角形的底边，b1和b2分别为对应的高，A1和A2为对应的顶角。
根据相似三角形的性质，可以得到以下等式：a2 = k * a1b2 = k * b1A2 = A1将以上等式代入面积公式中，得到：S2 = (1/2) * (k * a1) * (k * b1) * sin(A1)= k^2 * (1/2) * a1 * b1 * sin(A1)= k^2 * S1因此，面积比例S2/S1 = k^2。
由此可见，相似三角形的面积比例与边长比例的平方成正比。
三、应用举例下面通过一个实际问题来应用相似三角形的面积比例与边长比例的关系。
问题：已知一个三角形ABC，其边长分别为a、b、c，三角形的高为h。
设另一个三角形DEF为相似三角形，且其边长比例为k（即DE=k*AB，DF=k*AC，EF=k*BC）。
求证：三角形DEF的面积为三角形ABC面积的k^2倍。
解答：首先根据相似三角形的性质，可以得到三角形DEF的边长为DE=k*AB，DF=k*AC，EF=k*BC。
相似图形与比例关系
相似图形与比例关系相似图形是指具有相同的形状但不一定相同的大小的两个或多个图形。
在相似图形中，各个对应部分的长度之比保持不变，这种比例关系被称为相似比例尺。
相似性质1. 对应角相等：在相似图形中，对应的角是相等的。
这意味着如果两个图形的角度相同，那么它们是相似的。
2. 对应边成比例：在相似图形中，对应边的比值是相等的。
假设有两个相似三角形，它们的对应边长度分别为a和b，则它们的比例关系可以表示为a:b。
3. 长度比与面积比：在相似图形中，任意一对相似图形的对应边长度比等于它们的面积比的平方根。
即若a:b为相似图形的对应边长度比，那么它们的面积比为a^2:b^2。
应用举例1. 长方形的相似性：假设有两个长方形，它们的宽度和长度比分别为a:b，那么它们的面积比将为a^2:b^2。
这意味着如果一个长方形的宽度是另一个长方形的一半，那么它们的面积比将是1:4。
2. 直角三角形的相似性：在相似直角三角形中，三角形的两条直角边的长度比是相等的。
例如，在一个直角三角形ABC中，如果有一条线段DE满足AB:DE=1:2，那么角BAC与角EDF将是相等的，其中DF是DE的平方根倍。
3. 圆的相似性：在相似圆中，圆的半径之比等于圆的周长之比，也等于圆的面积之比。
这意味着如果两个圆的半径之比为a:b，那么它们的周长和面积之比也将是a:b。
总结相似图形之间的比例关系可以帮助我们计算未知数的值，从而解决与相似性质相关的问题。
通过了解相似比例尺和相似图形的性质，我们可以更好地理解和应用这一概念。
在解决实际问题或进行几何推理时，相似图形与比例关系将为我们提供有力的工具。
相似三角形的周长与面积
相似三角形的周长与面积一、知识要点1.相似三角形对应高线的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
2.相似三角形周长的比等于相似比；相似多边形周长的比等于相似比。
3.相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似多边形面积的比等于相似比的平方。
二、例题解析例1.证明：相似三角形对应高线的比等于相似比。
已知：如图所示，如果ΔABC∽ΔA1B1C1，AD是BC边上的高，A1D1是B1C1边上的高，且，求证：。
分析：在这里要通过三角形相似去证比例式，先要看所证的比例式在哪两个三角形中，在这里是在ΔABD与ΔA1B1D1中，只需要证这两个三角形相似即可。
再想想：要证这两个三角形相似，具备了哪些条件，还差哪些条件？证明：∵ΔABC∽ΔA1B1C1，∴∠B＝∠B1又∵AD是BC边上的高，A1D1是B1C1边上的高∴∠ADB＝∠A1D1B1＝90°∴ΔABD∽ΔA1B1D1∴例2.证明：相似三角形对应角平分线的比等于相似比。
已知：如图所示，如果ΔABC∽ΔA1B1C1，AE是∠BAC 的角平分线，A1E1是∠B1A1C1的角平分线，且，试证：。
证明：∵ΔABC∽ΔA1B1C1，∴∠B＝∠B1，∠BAC＝∠B1A1C1又∵AE是∠BAC 的角平分线，A1E1是∠B1A1C1的角平分线∴∠BAE＝∠BAC，∠B1A1E1＝∠B1A1C1∴∠BAE＝∠B1A1E1∴ΔABE∽ΔA1B1E1∴例3.有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比。
解：设原地块为△ABC，地块在甲图上为△A1B1C1，在乙图上为△A2B2C2。
∴△ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2且，，∴，∴。
例4.如图所示是步枪在瞄准时的俯视图，OE是从眼睛到准星的距离80cm,AB是步枪上的准星宽度2mm,CD是目标的正面宽度50cm,求眼睛到目标的距离OF.分析：相似三角形对应高线的比等于相似比。
相似三角形的面积比例与边长比例
相似三角形的面积比例与边长比例相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的三角形。
在几何学中，研究相似三角形的面积比例与边长比例是一个重要的课题。
通过研究相似三角形的性质，我们可以得出一些重要的结论和应用。
一、面积比例的推导设有两个相似三角形ABC和DEF，其中∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
我们知道，两个三角形的面积可以通过底边乘以高（或边乘以正弦值）来计算。
所以可以得到以下比例关系：∠A/∠D = ∠B/∠E = ∠C/∠F （相似三角形的对应角相等）设h1和h2分别为三角形ABC和DEF中的高，l1和l2分别为三角形ABC和DEF中的底边。
根据三角形的面积公式，我们可以得到：面积(ABC) = 1/2 * l1 * h1面积(DEF) = 1/2 * l2 * h2我们可以推导出：面积(ABC)/面积(DEF) = (1/2 * l1 * h1) / (1/2 * l2 * h2)经过简化得：面积(ABC)/面积(DEF) = (l1 * h1) / (l2 * h2)根据相似三角形的性质，我们可以得出：l1/l2 = h1/h2所以，最终我们可以得到相似三角形的面积比例公式：面积(ABC)/面积(DEF) = (l1/l2)^2这个公式表明，两个相似三角形的面积比例等于它们对应边长的比例的平方。
二、边长比例的推导设有两个相似三角形ABC和DEF，其中∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
我们可以得到以下比例关系：∠A/∠D = ∠B/∠E = ∠C/∠F = l1/l2 （相似三角形的对应边长比例相等）根据三角形的正弦定理，我们可以得到：l1/sin(A) = l2/sin(D)l1/sin(B) = l2/sin(E)l1/sin(C) = l2/sin(F)令k = l1/l2，并且考虑到∠A+∠B+∠C = 180°和∠D+∠E+∠F = 180°，我们可以推导出：sin(A) = sin(D)sin(B) = sin(E)sin(C) = sin(F)由于正弦函数在0°到180°的范围内是单调递增的，所以可以得到：A = DB = EC = F从而得出：相似三角形的对应边长比例相等。
第一点是相似三角形面积比等于对应边长比的平方
第一点是相似三角形面积比等于对应边长比的平方；第二点是同高不同底的两个三角形面积之比等于这两个三角形的底边之比对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
（similar triangles）互为相似形的三角形叫做相似三角形。
相似三角形的认识对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
（similar triangles）。
互为相似形的三角形叫做相似三角形相似三角形的判定方法根据相似图形的特征来判断。
（对应边成比例，对应角相等）1.平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似；（这是相似三角形判定的引理，是以下判定方法证明的基础。
这个引理的证明方法需要平行线分线段成比例的证明）2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；3.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似；4.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似；绝对相似三角形1.两个全等的三角形一定相似。
2.两个等腰直角三角形一定相似。
3.两个等边三角形一定相似。
直角三角形相似判定定理1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。
三角形相似的判定定理的推论推论一：顶角或底角相等的那个的两个等腰三角形相似。
推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。
推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。
推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。
推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
相似三角形的性质1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。
相似三角形的面积比与相似比的关系[终稿]
![相似三角形的面积比与相似比的关系[终稿]](https://img.taocdn.com/s3/m/7d4e9ff8f9c75fbfc77da26925c52cc58bd69038.png)
相似三角形的面积比与相似比的关系执教老师：园南中学姚春花一、教学目标：1、掌握“相似三角形的面积比等于相似比的平方”，并会应用结论解决问题；2、培养学生对数学结论的公理化的论证能力；3、通过例题的分析、研究，培养学生的发散性思维；4、通过认知冲突激发学生的学习兴趣，使学生主动活泼、自主、自动地进行学习，让学生获得成功的喜悦。
二、教学重点和难点：“相似三角形的面积比等于相似比的平方”，并会应用结论解决问题；三、教学过程：（一）、创设情景、引入新课1、已知：在△ABC中，∠ABC=90º，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AD∶AB=1∶3，AD=3，DE=4，求S△ADE∶S△ABC的值。
2、如果把上题中的阴影部分条件换成AD=a,DE=b呢？3、如果上题中的△ABC换成一般三角形呢？4、如果上题中AD∶AB=K呢？结论：相似三角形的面积的比等于相似比的平方（学生口述，教师板演过程）（二）、定理应用A 、简单应用：1、如果两个三角形相似，其中一组对应边分别是3和4，那么它们的面积比是 2、已知两个三角形相似，面积比是1∶2，则相似比是3、如果把一个三角形的三条边的长都扩大为原来的100倍，那么这个三角形的面积扩大为原来的多少倍？4、如果把一个三角形的面积扩大为原来的100倍，且与原三角形相似，那么这个三角形的边长扩大为原来的多少倍？B 、应用举例在中，延长BC 到E ，使CE ∶BC=1∶2，连接AE 交DC 于F ，求证： S △AFD ∶ S △EFC =4∶1C 、变式练习：1、 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 交AB 、AC 于点D 、E ，1)、若AD ∶BD=1∶2,S △ADE ∶S △ABC =______,2)、若DE ＝2，BC ＝5，＝20，求：3)、若AD ∶DB=2∶3，S 四边形DBCE=12，求S △ABC4)、若DE=2，BC=5，连结BE 、CD 交于点O ，＝4，问在图形中可求出哪些三角形的面积？（学生讨论，回答，教师板书答案，并要求学生讲清理由）2、如图，在△ABC 中，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，AE=2，AD=3，BE=4，S △ADE =9,你能求出哪些三角形的面积？（三）、小结：（略）（四）、布置作业：O ABCDEAB CEDO。
相似三角形周长比等于相似比,面积比等于相似比平方
如 图 ， 已 知 DE∥FG∥MN∥BC ， 且 AD
＝DF＝FM＝MB，则 S1:S２:S３:S4
＝ 1︰3︰5︰7 。
A
D S1 E
S2
F
G
M B
S3 N
S4 C
如图在 ABCD中，AE:AB=1:2 (1)△AEF与△CDF的周长之比_1_:_2___
(2)若△AEF的面积为8，则△CDF的面积 _3_2___
3、如图在平行四边形ABCD中，
(2)与(1)的相似比＝____， (2)与(1)的面积比＝____;周长比＝____ (3)与(1)的相似比＝——， (3)与(1)的面积比＝____;周长比＝____
C C’
A
B A’
B’
如图，已知
△ABC∽△A’B’C’，相似
比为k,则△ABC与△A’B’C’
的周长比等于什么？怎么来
说明？
• 如果△ABC∽△A’B’C’，相似比为k
• 那么 AB BC CA k AB BC CA
• 于是 AB kAB, BC kBC,CA kCA
• 所以 AB BC CA kAB kBC kCA k AB BC CA AB BC CA
于是 AD kAD' , BC kBC
AD.BC kAD'.kBC k2 AD'.BC AD'.BC
又因为 三角形ABC面积 1 BC.AD 2
三角形A' B'C'面积 1 B'C'.A' D' 2
所以
三角形ABC面积 三角形A' B'C'面积
相似的判定方法
相似的判定方法
相似三角形的判定：
1、两角分别对应相等的两个三角形相似。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3、三边成比例的两个三角形相似。
4、一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似。
5、用一个三角形的两边去比另一个三角形与之相对应的两边，分别对应成比例，如果三组对应边相比都相同，则三角形相似。
相似三角形介绍：
三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广。
全等三角形可以被理解为相似比为1的相似三角形。
相似三角形其实是一套定理的集合，它主要描述了在相似三角形是几何中两个三角形中，边、角的关系。
相似三角形的性质
1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
2、相似三角形任意对应线段的比等于相似比。
3、相似三角形的面积比等于相似比的平方。
相似三角形的判定
类比全等三角形的判定定理，可以得出下列结论：
1、两角分别对应相等的两个三角形相似。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3、三边成比例的两个三角形相似。
4、一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似。
根据以上判定定理，可以推出下列结论：
1、三边对应平行的两个三角形相似。
2、一个三角形的两边和三角形任意一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
相似三角形的面积比与相似比的关系
执教老师：园南中学 姚春花
一、教学目标：
1、掌握“相似三角形的面积比等于相似比的平方”，并会应用结论解决问题；
2、培养学生对数学结论的公理化的论证能力；
3、通过例题的分析、研究，培养学生的发散性思维；
4、通过认知冲突激发学生的学习兴趣，使学生主动活泼、自主、自动地进行学习，让学生获得成功的喜悦。
二、教学重点和难点：“相似三角形的面积比等于相似比的平方”，并会应用结
论解决问题；
三、教学过程：
（一）、创设情景、引入新课
1、已知：在△ABC 中，∠ABC=90º，D 、E 分别在AB 、AC 上，DE ∥BC ，AD ∶AB=1∶3，AD=3，DE=4，求S △ADE ∶S △ABC 的值。
2、如果把上题中的阴影部分条件换成AD=a,DE=b 呢？
3、如果上题中的△ABC 换成一般三角形呢？
4、如果上题中AD ∶AB=K 呢？
结论：相似三角形的面积的比等于相似比的平方
（学生口述，教师板演过程）
（二）、定理应用
A 、简单应用：
1、如果两个三角形相似，其中一组对应边分别是3和4，那么它们的面
积比是
2、已知两个三角形相似，面积比是1∶2，则相似比是
3、如果把一个三角形的三条边的长都扩大为原来的100倍，那么这个三
角形的面积扩大为原来的多少倍？
4、如果把一个三角形的面积扩大为原来的100倍，且与原三角形相似，
那么这个三角形的边长扩大为原来的多少倍？
B、应用举例
在 ABCD中，延长BC到E，使CE∶BC=1∶2，连接AE交DC于F，
求证： S△AFD ∶S△EFC=4∶1
A D
F
B C E
C、变式练习：
1、如图，在△ABC中，DE∥BC，DE交AB、AC于点D、E，
1)、若AD∶BD=1∶2,S△ADE∶S△A BC=______,
2)、若DE＝2，BC＝5，＝20，求：
3)、若AD∶DB=2∶3，S四边形DBCE=12，求S△ABC
4)、若DE=2，BC=5，连结BE、CD交于点O，＝4，问在图形中可求
出哪些三角形的面积？
A
D E
O
B C
（学生讨论，回答，教师板书答案，并要求学生讲清理由）
2、如图，在△ABC 中，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，AE=2，AD=3，BE=4，S △ADE =9,你能求出哪些三角形的面积？
（三）、小结：（略）
（四）、布置作业：
A
B C
E D O。