位似图形的画法中考题例析

位似图形的画法中考题例析

山东王芳

两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，并且对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形（homothetic figures），这个交点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。[1]有必要声明，位似图形的标准定义应是：如果两个图形不仅是相似图形,且对应点连线相交于一点，对应线段相互平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，位似图形对应点连线的交点是位似中心。作图步骤位似比，即位似图形的相似比，指的是要求画的新图形与参照的原图形的相似比

①首先确定位似中心，位似中心的位置可随意选择；

②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点；

③确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小；

④符合要求的图形不惟一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形，最好做两个。

1．两图形相似．

2．每组对应点所在直线都经过同一点．

同时满足上述两个条件的两个图形才叫做位似图形．两条件缺一不可．此时，把这个点叫做位似中心．这时的相似比叫做位似比．

若两个多边形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，像这样的相似叫做位似.这个交点叫做位似中心，这样的两个图形称为位似图形.学习了位似图形，我们不仅要掌握位似图形的性质，而且要会画位似图形.

一、在平面直角坐标内画位似图形.

例1（江苏省淮安市2006年中考题）如图,已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为(3，-1)、(2,1)．

(1)以0点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍(即新图与原图的相似比为2)，画出图形；

(2)分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标；

(3)如果△OBC内部一点M的坐标为(x，y),写出M的对应点M′的坐标．

图 1 图2 例2 (2006年福建南平)如图3，已知△ABC的三个顶点坐标如下表：

（1）将下表补充完整，并在直角坐标系中，画出

△A′B′C′；

图3

（2）观察△ABC与△A′B′C′，写出有关这两个三角形关系的一个正确结论.

二、网格中的位似图形

例3（2006年广西南宁）如图5，正方形网格中有一条简笔画“鱼”，请你以点O为位似中心放大，使新图形与原图形的对应线段的比是2∶1（不要求写作法）．

（x，y）(2x,2y)

A(2,1) A′(4,2)

B(4,3) B′( , )

C(5,1) C′( , )

图5

例4 （2006年广东省）如图6，图中的小方格都是边长为1的正方形， △ABC 与△A′ B′ C′是关于点0为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．

图 6

图7

（1）画出位似中心点0；

（2）求出△ABC 与△A′B′C′的位似比；

（3）以点0为位似中心，再画一个△A 1B 1C 1，使它与△ABC 的位似比等于1.5．

分析：（1）要确定△ABC 与△A′ B′ C′的位似中心，只要连结A′A ，C′C 并延长，其交点即为位似中心O.

（2）位似比即对应边的比，可以通过计算对应边的长求出位似比，位似比也等于A OA 'O ；（3）要画△A 1B 1C 1，使其与△ABC 的位似比等于1.5,只要根据位似比确定点A 1、B 1、C 1点的位置，然后顺次连结即可.

解：(1)连结A′A 并延长，连结C′C 并延长，A′A 的延长线与C′C 的延长线的交点，即为位似中心0.

（2）因为A OA 'O =2

1，所以△ABC 与△A′B′C′的位似比 1:2 ； （3）如图7，所示,此时

23111===OC OC OB OB OA OA .

分析 ：本题是一道在直角坐标系内画位似图形的试题，根据位似比为

2∶1，可延长BO 到

B′，使OB′=2BO ，延长CO 到C′，使C′O=2CO ，连结B′C′，则△OB′C′即位所作的位似图形.进一步可以求到B′、C′点的坐标.

解：（1）延长BO 到B′，使B′O=2BO ，延长CO 到C′，使C′O=2CO ，连结B′、C′.则△OB′C′即为△OBC 的位似图形（如图2）.

（2）观察可知B′(-6,2)，C′(-4,-2).

（3）M′(-2x ．-2y).

2、

分析: 本题的一道集点的坐标变换,作图,探究图形之间关系的于一体的中考试题.首先根据表格信息确定点的B′、C′两点的坐标，在直角坐标系中描出A′、B′、C′三点的坐标，得到△A′B′C′，然后根据两个三角形之间的关系，写出正确结论.

解：（1）根据表格信息可知点B′的坐标为（8，6），点C′的坐标为（10，2）.描出这A′、B′、C′三点的坐标，可得到△A′B′C′（如图4）

（2）观察两个三角形，可知△ABC ∽△A′B′C′两个三角形的是以原点为位似中心的位似三角形，△ABC 与△A′B′C′的位似比为1∶2

图4

3、分析：要做出“鱼”关于点O 成位似中心的位似图形，则只要作出点A 、B 、C 以点O 为位似中心，且位似比为2：1的位似点A′、B′、C′、D′，然后顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′即可得到“鱼”的位似图形

解：连接OA 、OB 、OC 、OD 并延长到A′、B′、C′、D′使OA′：OA=OB′：OB=OC′：OC=OD′：OD=2：1顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，所得图形即为“鱼ABCD”的位似图形（如图5） （辽宁省锦州中考题）如图1，己知四边形ABCD ，用尺规将它放大，使放大前后的图形对应线段的比为1:2．

画法一：

延长AD 到1D ，使1DD AD =，延长AC 到点1C ，使1CC AC =，延长AB 到点1B ，使1BB AB =，连接11D C ，