幂函数与指数函数的区别

幂函数与指数函数的区别

1.指数函数：自变量x在指数的位置上，y=a^x（a>0，a不等于1）

性质比较单一，当a>1时，函数是递增函数，且y>0;

当00.

2.幂函数：自变量x在底数的位置上，y=x^a（a不等于1）.

a不等于1，但可正可负，取不同的值，图像及性质是不一样的。

高中数学里面，主要要掌握a=-1、2、3、1/2时的图像即可。其中当a=2时，函数是过原点的二次函数。其他a值的图像可自己通过描点法画下并了解下基本图像的走向即可。

3.y=8^(-0.7)是一个具体数值，并不是函数，如果要和指数函数或者幂函数联系起来也是可以的。首先你可以将其看成：指数函数y=8^x（a=8），当x=-0.7时，y 的值；或者将其看成：幂函数y=x^(-0.7)（a=-0.7），当x=8时，y的值。

幂函数的性质：

根据图象,幂函数性质归纳如下：

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1,1）；

（2）当a>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,+ ∞)上是增函数．特别地，当a>1时，幂函数的图象下凸；当0

当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋

于+∞时，图象在轴x上方无限地逼近轴x正半轴。

指出：此时y＝x0＝1；定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），特别强调，

当x为任何非零实数时，函数的值均为1，图像是从点（0，1）出发，平行于x 轴的两条射线，但点（0，1）要除外。

思考讨论：

（1）在幂函数y＝xa中，当a是正偶数时，这一类函数有哪种重要性质？（2）在幂函数y＝xa中，当a是正奇数时，这一类函数有哪种重要性质？

讲评：（1）在幂函数y＝xa中，当a是正偶数时，函数都是偶函数，在第一象限内是增函数。

对数函数的性质

(1)当a＞1时，

①x ＞0，即0和负数无对数；

②当x=1时，y=0；

③当x ＞1时，y＞0；当0＜x ＜1时，y ＜0；

④在（0，+∞）上是增函数．

(2)当0＜a＜1时，

①x ＞0，即0和负数没有对数；

②当x=1时，y=0；

③当x ＞1时，y ＜0；当0＜x ＜1时，y ＞0；

④在（0，+∞）上是减函数．

函数叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数（这里我们只讨论a是有理数n的情况）．

对数与对数函数

学习目标

1、理解对数概念；

2、能进行对数式与指数式的互化；

3、掌握对数的运算性质；

4、培养应用意识、化归意识。

5、掌握对数函数的概念；

6、掌握对数函数的图像的性质；

7、掌握比较对数大小的方法，培养应用意识；

8、培养图形结合、化归等思想。

知识要点:

我们在学习过程遇到2x=4的问题时，可凭经验得到x=2的解，而一旦出现2x=3时，我们就无法用已学过的知识来解决，从而引入出一种新的运算——对数运算。

1．对数的定义:

如果ab=N(a>0，且a≠1)，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:logaN=b。其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

注意:由于a>0，故N>0，即N为正数，可见零和负数没有对数。上面的问题:

通常将以10为底的对数叫做常用对数，。以e为底的对数叫做自然对数，。

2．对数式与指数式的关系

由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化。它们的关系可由下图表示。

由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化。

3．三个对数恒等式

由于对数式与指数式可以互化，因此指数的恒等转化为对数恒等式。在（a>0，a≠1）前提下有:

4. 三个运算法则:

指数的运算法则通过转化可变为对数的运算法则。在a>0，a≠1的前提下有:

(1)

令am=M，an=N，则有m=logaM，n=logaN，

∵，∴m+n=loga(MN)，即

(2) ，

令am=M，an=N，则有m=logaM，n=logaN，

∵，∴，即。

(3) ，令am=M，则有m=logaM，∴mn=n

∵Mn=amn，∴mn=(n∈R)，∴n = 。

5．两个换底公式

同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有:

(1)

令logaM=b，则有ab=M，(ab)n=Mn，即，即，即:。

(2) ，令logaM=b，则有ab=M，则有

即，即，即

当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性。而且由(2)还可以得到一个重要的结

论:

例题选讲:

第一阶梯

[例1]将下列对数式化为指数式，指数式化为对数式：(1)log216=4；(3)54=625；

解：

(1)24=16

(3)∵54=625，∴log5625=4.

[例2]解下列各式中的x：

(3)2x=3；

(4)log3(x-1)=log9(x+5).

解：

(3)x=log23.

(4)将方程变形为

[例3]求下列函数的定义域：

思路分析：

求定义域即求使解析式有意义的x的范围，真数大于0、底大于0且不等于1是对数运算有意义的前提条件。

解：

(1)令x2-4x-5>0，得(x-5)(x+1)>0，故定义域为{x|x<-1，或x>5}

∴0<4x-3≤1。