knn算法介绍与参数调优

KNN算法介绍与参数调优

K近邻法(k-nearest neighbors,KNN)是一种很基本的机器学习方法了，在我们平常的生活中也会不自主的应用。比如，我们判断一个人的人品，只需要观察他来往最密切的几个人的人品好坏就可以得出了。这里就运用了KNN的思想。KNN方法既可以做分类，也可以做回归，这点和决策树算法相同。

KNN做回归和分类的主要区别在于最后做预测时候的决策方式不同。KNN做分类预测时，一般是选择多数表决法，即训练集里和预测的样本特征最近的K个样本，预测为里面有最多类别数的类别。而KNN 做回归时，一般是选择平均法，即最近的K个样本的样本输出的平均值作为回归预测值。由于两者区别不大，虽然本文主要是讲解KNN的分类方法，但思想对KNN的回归方法也适用。由于scikit-learn里只使用了蛮力实现(brute-force)，KD树实现(KDTree)和球树(BallTree)实现，本文只讨论这几种算法的实现原理。

1. KNN算法三要素

KNN算法我们主要要考虑三个重要的要素，对于固定的训练集，只要这三点确定了，算法的预测方式也就决定了。这三个最终的要素是k值的选取，距离度量的方式和分类决策规则。

对于分类决策规则，一般都是使用前面提到的多数表决法。所以我们重点是关注与k值的选择和距离的度量方式。

对于k值的选择，没有一个固定的经验，一般根据样本的分布，选择一个较小的值，可以通过交叉验证选择一个合适的k值。

选择较小的k值，就相当于用较小的领域中的训练实例进行预测，训练误差会减小，只有与输入实例较近或相似的训练实例才会对预测结果起作用，与此同时带来的问题是泛化误差会增大，换句话说，K值的减小就意味着整体模型变得复杂，容易发生过拟合；

选择较大的k值，就相当于用较大领域中的训练实例进行预测，其优点是可以减少泛化误差，但缺点是训练误差会增大。这时候，与输入实例较远（不相似的）训练实例也会对预测器作用，使预测发生错误，且K值的增大就意味着整体的模型变得简单。

一个极端是k等于样本数m，则完全没有分类，此时无论输入实例是什么，都只是简单的预测它属于在训练实例中最多的类，模型过于简单。

对于距离的度量，我们有很多的距离度量方式，但是最常用的是欧式距离，即对于两个n维向量x和y，两者的欧式距离定义为：

大多数情况下，欧式距离可以满足我们的需求，我们不需要再去操心距离的度量。

当然我们也可以用他的距离度量方式。比如曼哈顿距离，定义为：

更加通用点，比如闵可夫斯基距离(Minkowski Distance)，定义为：

可以看出，欧式距离是闵可夫斯基距离在p=2时的特例，而曼哈顿距离是p=1时的特例。

2. KNN算法蛮力实现

从本节起，我们开始讨论KNN算法的实现方式。首先我们看看最想当然的方式。

既然我们要找到k个最近的邻居来做预测，那么我们只需要计算预测样本和所有训练集中的样本的距离，然后计算出最小的k个距离即可，接着多数表决，很容易做出预测。这个方法的确简单直接，在样本量少，样本特征少的时候有效。但是在实际运用中很多时候用不上，为什么呢？因为我们经常碰到样本的特征数有上千以上，样本量有几十万以上，如果我们这要去预测少量的测试集样本，算法的时间效率很成问题。因此，这个方法我们一般称之为蛮力实现。比较适合于少量样本的简单模型的时候用。

既然蛮力实现在特征多，样本多的时候很有局限性，那么我们有没有其他的好办法呢？有！这里我们讲解两种办法，一个是KD树实现，一个是球树实现。

3. KNN算法之KD树实现原理

KD树算法没有一开始就尝试对测试样本分类，而是先对训练集建模，建立的模型就是KD树，建好了模型再对测试集做预测。所谓的KD树就是K个特征维度的树，注意这里的K和KNN中的K的意思不同。KNN中的K代表最近的K个样本，KD树中的K代表样本特征的维数。为了防止混淆，后面我们称特征维数为n。

KD树算法包括三步，第一步是建树，第二部是搜索最近邻，最后一步是预测。

1.1 KD树的建立

我们首先来看建树的方法。KD树建树采用的是从m个样本的n维特征中，分别计算n个特征的取值的方差，用方差最大的第k维特征来作为根节点。对于这个特征，我们选择特征的取值的中位数对应的样本作为划分点，对于所有第k维特征的取值小于的样本，我们划入左子树，对于第k维特征的取值大于等于的样本，我们划入右子树，对于左子树和右子树，我们采用和刚才同样的办法来找方差最大的特征来做更节点，递归的生成KD树。

具体流程如下图：

比如我们有二维样本6个，{(2,3)，(5,4)，(9,6)，(4,7)，(8,1)，(7,2)}，构建kd树的具体步骤为：1）找到划分的特征。6个数据点在x，y维度上的数据方差分别为6.97，5.37，所以在x轴上方差更大，用第1维特征建树。

2）确定划分点（7,2）。根据x维上的值将数据排序，6个数据的中值(所谓中值，即中间大小的值)为7，所以划分点的数据是（7,2）。这样，该节点的分割超平面就是通过（7,2）并垂直于：划分点维度的直线x=7；3）确定左子空间和右子空间。分割超平面x=7将整个空间分为两部分：x<=7的部分为左子空间，包含3个节点={(2,3),(5,4),(4,7)}；另一部分为右子空间，包含2个节点={(9,6)，(8,1)}。

4）用同样的办法划分左子树的节点{(2,3),(5,4),(4,7)}和右子树的节点{(9,6)，(8,1)}。最终得到KD树。最后得到的KD树如下：

1.2 KD树搜索最近邻

当我们生成KD树以后，就可以去预测测试集里面的样本目标点了。对于一个目标点，我们首先在KD 树里面找到包含目标点的叶子节点。以目标点为圆心，以目标点到叶子节点样本实例的距离为半径，得到一个超球体，最近邻的点一定在这个超球体内部。然后返回叶子节点的父节点，检查另一个子节点包含的超矩形体是否和超球体相交，如果相交就到这个子节点寻找是否有更加近的近邻,有的话就更新最近邻。如果不相交那就简单了，我们直接返回父节点的父节点，在另一个子树继续搜索最近邻。当回溯到根节点时，算法结束，此时保存的最近邻节点就是最终的最近邻。

从上面的描述可以看出，KD树划分后可以大大减少无效的最近邻搜索，很多样本点由于所在的超矩形