高中数学学案:基本不等式及其简单应用(2)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
高中数学学案:基本不等式及其简单应用(2)
1. 运用基本不等式求最值、取值范围及不等式恒成立问题.
2. 运用基本不等式解决实际应用问题中的最值问题.
1. 阅读:必修5第99~101页.
2. 解悟:①应用基本不等式解决实际问题,首先要正确理解题意,然后通过分析、思考,将实际问题转化为数学模型,再应用基本不等式求解;②解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围;③解应用问题时,若等号取得的条件不足,应如何处理?
3. 践习:在教材上的空白处,完成必修5第102页习题第3、4题.
基础诊断
1. 在平面直角坐标系xOy 中,曲线4x 2+9y 2=1上的点到原点O 的最短距离为__5__.
解析:设曲线4x 2+9y 2=1上的点P(x,y).设P(x,y)到原点的距离为d =x 2+y 2=(x 2+y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 2+9y 2=13+4y 2x 2+9x 2y 2≥13+24y 2x 2·9x 2y 2=5,当且仅当4y 2x 2=9x 2
y 2时,d 取最
小值,所以曲线4x 2+9y 2=1上的点到原点O 的最短距离为5.
2. 已知x,y,z ∈R +,x -2y +3z =0,则y 2xz 的最小值是__3__.
解析:因为x ,y ,z >0,x -2y +3z =0,所以2y =x +3z ,所以4y 2=x 2+6xz +9z 2≥2x 2·9z 2+6xz =
12xz ,当且仅当x 2=9z 2,即x =3z 时取等号,所以4y 2
≥12xz ,y 2
xz ≥3. 3. 已知函数y =log a (x +3)-1(a>0且a ≠1)的图象恒过定点A,若点A 在直线mx +ny +1=
0上(其中mn>0),则1m +2n
的最小值是__8__. 解析:由题意可得定点A(-2,-1),又因为点A 在直线mx +ny +1=0上,所以2m +n =1,且
mn>0,所以m>0,n>0.则1m +2n =2m +n m +4m +2n n =4+n m +4m n ≥4+4=8,当且仅当n m =4m n 时取等
号,故1m +2n 的最小值是8.
4. 从等腰直角三角形纸片ABC 上剪下如图所示的两个正方形,其中,BC =2,∠A =90°,则
这两个正方形面积之和的最小值为__12__.
解析:设两个正方形的边长分别为a,b,则由题意可得a +b =BC 2=1,且13≤a,b ≤23,所以两个正
方形面积之和为S =a 2+b 2
≥2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a +b 22=12,当且仅当a =b =12时取等号,故两个正方形面积之和最小为12
. 范例导航
考向❶ 基本不等式与函数综合问题
例1 设x,y 是正实数,且x +y =1,求x 2x +2+y 2
y +1
的最小值. 解析:设x +2=m,y +1=n.
因为x +y =1,所以m +n =x +y +3=4,
所以x 2x +2+y 2y +1
=(m -2)2m +(n -1)2n =m +n +4m +1n -6=4m +1n -2. 因为m +n =4,所以1=14(m +n),
所以4m +1n -2=14(m +n)⎝ ⎛⎭⎪⎫4m +1n -2=14⎝ ⎛⎭
⎪⎫5+4n m +m n -2≥14. 当且仅当m =2n 时,取等号,
由x +2=2(y +1)得x =2y,
即当x =23,y =13时,x 2x +2+y 2y +1
取得最小值14.
已知实数x,y 满足x>y>0,且log 2x +log 2y =1,求x 2+y 2
x -y
的最小值. 解析:因为log 2x +log 2y =1,所以log 2xy =1,所以xy =2,所以x 2+y 2x -y =(x -y )2+2xy x -y
=x -y +4x -y ≥2×2=4,当且仅当x =1+3,y =3-1时取等号,故x 2+y 2x -y 的最小值为4.
考向❷ 基本不等式在实际应用问题中的运用
例2 某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒,现准备在该厂附近建一职工宿舍,并对宿舍进行防辐射处理,建宿舍的费用与宿舍到工厂的距离有关. 若建造宿舍的所有费用p(万元)和宿舍与工厂的距离x(km )的关系式为p =k 3x +5
(0≤x ≤8),若距离为1km 时,测算宿舍建造费用为100万元.为了交通方便,工厂与宿舍之间还要修一条道路,已知购置修路设备需5万元,铺设路面每千米成本为6万元.设 f(x)为建造宿舍与修路费用之和.
(1) 求f(x)的表达式;
(2) 宿舍应建在离工厂多远处,可使总费用f(x)最小?并求最小值.
解析:(1) 根据题意得100=
k 3×1+5,所以k =800.故f(x)=8003x +5+5+6x,x ∈[0,8]. (2) f(x)=
8003x +5+2(3x +5)-5≥ 28003x +5
·2(3x +5)-5=80-5=75, 当且仅当
8003x +5=2(3x +5),即x =5时,取等号,此时f(x)的最小值是75, 所以宿舍应建在离工厂5km 处,可使总费用f(x)最小,最小值为75万元.
在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业,其用氧量包含3个方面:①下潜时,平均速度为v(米/单位时间),单位时间内用氧量为cv 2(c 为正常数);②在水底作业
需5个单位时间,每个单位时间用氧量为0.4;③返回水面时,平均速度为v 2(米/单位时间),单位时
间用氧量为0.2,记该潜水员在此次考古活动中,总用氧量为y.
(1) 将y 表示为v 的函数.
(2) 设0 水底作业时用氧量为5×0.4=2, 返回水面用时60v ,用氧量60v ×0.2=12v , 所以y =30cv +2+12v (v>0). (2) y =30cv +2+12v ≥2+230cv·12v =2+1210c,