1、1、1任意角教案
【参考教案】《任意角》(人教)
【参考教案】《任意角》（人教）第一章：任意角的概念与表示方法1.1 任意角的概念引导学生回顾角度的概念，引入终边相同的角。
讲解任意角的定义，即不与任何特定角度相同的角。
强调任意角可以大于360°或小于-360°。
1.2 任意角的表示方法介绍用弧度制表示任意角的方法。
讲解用角度制表示任意角时，超过360°的部分记作正数，不足360°的部分记作负数。
示例练习，让学生熟悉表示方法。
第二章：任意角的性质2.1 任意角的度量讲解任意角的度量方法，即以原点为中心，以射线为边，绕原点旋转形成的角。
强调度量结果不受旋转方向影响。
2.2 任意角的分类讲解任意角的分类，如锐角、直角、钝角、平角、周角等。
示例练习，让学生掌握各类角的特征。
第三章：任意角的三角函数定义3.1 正弦函数的定义讲解正弦函数的定义，即任意角与其终边上的正弦线之间的比值。
强调正弦函数的周期性和奇偶性。
3.2 余弦函数的定义讲解余弦函数的定义，即任意角与其终边上的余弦线之间的比值。
强调余弦函数的周期性和奇偶性。
3.3 正切函数的定义讲解正切函数的定义，即任意角与其终边上的正切线之间的比值。
强调正切函数的周期性和奇偶性。
第四章：任意角的应用4.1 求解任意角的三角函数值讲解如何利用三角函数定义求解任意角的三角函数值。
示例练习，让学生熟悉求解过程。
4.2 任意角在实际问题中的应用举例讲解任意角在实际问题中的应用，如测量、建筑设计等。
让学生尝试用所学知识解决实际问题。
第五章：任意角的复习与拓展5.1 复习任意角的概念、性质和三角函数定义通过练习题，让学生巩固任意角的相关知识。
引导学生发现任意角的规律和特点。
5.2 拓展任意角的相关知识介绍任意角的进一步研究，如倍角公式、半角公式等。
鼓励学生自主学习，探索任意角的更多知识。
第六章：任意角的三角函数图形6.1 正弦函数的图形讲解正弦函数的图形特征，如波动性和周期性。
引导学生通过图形理解正弦函数的性质。
【参考教案】《任意角》(人教)
【参考教案】《任意角》（人教）第一章：任意角的概念一、教学目标1. 让学生理解任意角的概念，掌握任意角的表示方法。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 任意角的概念及表示方法。
2. 任意角的分类。
三、教学重点与难点1. 重点：任意角的概念及表示方法。
2. 难点：任意角的分类。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解任意角的概念及表示方法。
2. 采用案例分析法，让学生通过实际例子理解任意角的分类。
五、教学步骤1. 引入新课，讲解任意角的概念及表示方法。
2. 分析实例，让学生理解任意角的分类。
3. 课堂练习，巩固所学知识。
六、课后作业1. 定义任意角，并写出表示方法。
2. 分析实例，判断任意角的类别。
第二章：任意角的度量一、教学目标1. 让学生掌握任意角的度量方法。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 任意角的度量方法。
2. 弧度制的概念及应用。
三、教学重点与难点1. 重点：任意角的度量方法。
2. 难点：弧度制的概念及应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解任意角的度量方法。
2. 采用案例分析法，让学生通过实际例子理解弧度制的概念及应用。
五、教学步骤1. 引入新课，讲解任意角的度量方法。
2. 分析实例，让学生理解弧度制的概念及应用。
3. 课堂练习，巩固所学知识。
六、课后作业1. 解释任意角的度量方法。
2. 运用弧度制，解决实际问题。
第三章：任意角的三角函数一、教学目标1. 让学生掌握任意角的三角函数定义及性质。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 任意角的三角函数定义及性质。
2. 三角函数在各象限的符号。
三、教学重点与难点1. 重点：任意角的三角函数定义及性质。
2. 难点：三角函数在各象限的符号。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解任意角的三角函数定义及性质。
2. 采用案例分析法，让学生通过实际例子理解三角函数在各象限的符号。
五、教学步骤1. 引入新课，讲解任意角的三角函数定义及性质。
任意角 教案
第五章三角函数1.1 任意角、弧度1.1.1任意角(1课时)一、教学目标知识与技能体验角的概念扩展的必要性，理解任意角、象限角的概念。
过程与方法通过对任意角的概念的学习,促进学生对数学知识形成过程的认识;培养学生的类比、形象思维能力。
情感、态度与价值观揭示知识背景,引发学生学习兴趣;创设问题情景,激发学生分析、探求的学习态度;让学生感受图形的对称美、运动美,培养学生对美的追求。
二、教学重难点重点：任意角的概念。
难点：角的分类。
三、教学过程生1.角的概念的推广. (1)"旋转"形成角一条射线由原来的位置OA,绕着它的生端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB,就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角a的始边,旋转终止的射线OB叫做角α的终边,射线的端点O叫做角α的顶点.突出"旋转“,注意:"顶点,"始边,"终边。
(2)"正角,"负角,"零角,我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角,把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角,如图,以OA为始边的角α=210°,β=-150°,7=660°,特别地,当一条射线没有作任何旋转时, 我们也认为这时形成了一个角,并把这个角叫做零角.记法:角α或∠α可以简记成α.(3)意义用"旋转”定义角之后,角的范围大大地扩大了.①角有正负之分.②还有零角.③角可以任意大.1.锐角是第几象限的角? 第一象限的角是否都是锐角? 小于90°的角是锐角吗? 0°~90°的角是锐角吗?(答:锐角是第一象限角;第一象限角不一定是锐角;小于90°的角可能是零角或负角,故它不一定是锐角;0°~90°的角可能是零角,故它也不一定是锐角.)总结有关角的集合表示.锐角:(0°<α<90°),0°~90°的角:(0°≤α≤90°) ;小于90°角:(α<90°) .2.已知角的顶点与坐标系原点重合,始边落在x轴的正半轴上,作出下列各角,并指出它们是哪个象限的角?(1)420°,(2)- 75°,(3)855°,(4)- 510°.(答:(1)第一象限角,( 2)第四象限角, (3)第二象限角,(4)第三象限角)。
【参考教案】《任意角》(人教)
【参考教案】《任意角》（人教）一、教学目标1. 让学生理解任意角的概念，掌握任意角的定义及其表示方法。
2. 培养学生运用图形计算器进行角的测量和绘制，提高学生的动手操作能力。
3. 通过对任意角的学习，培养学生对数学的兴趣和探究精神。
二、教学重点与难点1. 教学重点：任意角的概念及其表示方法。
2. 教学难点：任意角的测量和绘制。
三、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究任意角的概念和表示方法。
2. 利用图形计算器，让学生亲自动手测量和绘制任意角，提高学生的实践能力。
3. 采用分组讨论法，培养学生团队合作精神，激发学生学习兴趣。
四、教学准备1. 准备图形计算器，确保每个学生都能进行实践操作。
2. 准备相关教案、PPT和教学素材。
3. 准备练习题，巩固学生所学知识。
五、教学过程1. 导入新课：通过提问方式引导学生回顾之前学过的角的概念，为新课学习做好铺垫。
2. 讲解任意角的概念：讲解任意角的概念，并用PPT展示相关图片，让学生形象地理解任意角。
3. 任意角的表示方法：介绍任意角的表示方法，如用弧度制、度分秒制等。
4. 实践操作：让学生使用图形计算器测量和绘制任意角，教师巡回指导，解答学生疑问。
5. 分组讨论：让学生分组讨论任意角的测量和绘制方法，分享彼此的经验和心得。
6. 总结提升：教师引导学生总结任意角的概念和表示方法，强调重点知识点。
7. 布置作业：发放练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
8. 课后反思：教师对本节课的教学进行反思，为的教学做好准备。
六、教学内容与要求1. 教学内容：任意角的定义与表示方法，角的测量与绘制。
2. 教学要求：学生能理解任意角的定义，能用弧度制和度分秒制表示任意角。
学生能够使用图形计算器测量任意角的度数。
学生能够绘制给定度数的任意角。
七、教学过程设计1. 教学活动一：引入新课通过实际生活中的例子（如钟表上的指针、车轮的旋转等）引出角的概念。
提问：我们之前学习的角都是有限制的，有没有无限大的角呢？2. 教学活动二：讲解任意角讲解任意角的定义，强调任意角可以是正向旋转也可以是反向旋转。
数学必修4教学案
2πα<<，试比较,tan ,sin ,cos αααα的大小.．如何画余弦函数R x x y ∈=,cos 的图象.因为)2sin(cos π+=x x ，所R x x y ∈=,cos 的图象就是3本例是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题，是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型，然后根据所得的模型解决问题。
应当注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题．4本例题的解答中，给出货船的进、出港时间，一方面要注意利用周期性以及问题的条件，另一方面还要注意考虑实际意义．B.③用有向线段的起点与终点字母：的大小――长度称为向量的模，记作．有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法则为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则讨论问题①对于零向量与任一向量的加法,结果又是怎样的呢？②两共线向量求和时,用三角形法则较为合适.当在数轴上表示两个向量时,它们的加法与数的加法有什么关系？③思考|a+b|,|a|,|b|存在着怎样的关系？④数的运算和运算律紧密联系,运算律可以有效地简化运算.类似地,向量的加法是否也有运算律呢?结果:①对于零向量与任一向量,我们规定a+0=0+a=a.②两个数相加其结果是一个数,对应于数轴上的一个点;在数轴上的两个向量相加,它们的和仍是一个向量,对应于数轴上的一条有向线段.③当a,b不共线时,|a+b|<|a|+|b|(即三角形两边之和大于第三边)；当a,b共线且方向相同时,|a+b|=|a|+|b|；当a,b共线且方向相反时,|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|).其中当向量a的长度大于向量b的长度时,|a+b|=|a|-|b|;当向量a的长度小于向量b的长度时,|a+b|=|b|-|a|.一般地,我们有|a+b|≤|a|+|b|.④如图1,作AB=a,AD=b,以AB、AD为邻边作ABCD,则BC=b,DC=a.因为AC=AB+AD=a+b,AC=AD+DC=b+a,所以a+b=b+a.如图2,因为AD=AC+CD=(AB+BC)+CD=(a+b)+c,AD==AB+BD=AB+(BC+CD)=a+(b+c),所以(a+b)+c=a+(b+c).综上所述,向量的加法满足交换律和结合律.图1 图2（二）例题讲解例1：如图3,已知向量a、b,求作向量a+b.图3 图4 图5解:作法一:在平面内任取一点O(如图4),作OA=a,AB=b,则OB=a+b.作法二:在平面内任取一点O(如图5),作OA=a,OB=b.以OA、OB为邻边作OACB,连接OC,则OC=a+b.图6 图7表示船速,AB表示水速,以AD为邻边作ABCD,向量加法的三角形法则和平行四边形法则图1AD=-b,由向量减法的定义,知AE(2)三角形法则如上图,已知a、b,在平面内任取一点O,作OA=a,OB=b,则BA=a-b,即a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量,这是向量减法的几何意义.（二）例题讲解例1：如图(1),已知向量a、b、c、d,求作向量a-b,c-d.作法:如图(2),在平面内任取一点O,作OA=a,OB=b,OC=c,OD=d.则BA=a-b,DC=c-d.例2：如下图,ABCD中, AB=a,AD=b,你能用a、b表示向量AC、DB吗?解:由向量加法的平行四边形法则,我们知道AC=a+b,同样,由向量的减法,知DB=AB-AD=a-b.例3：判断题:(1)若非零向量a与b的方向相同或相反,则a+b的方向必与a、b之一的方向相同.(2)△ABC中,必有AB+BC+CA=0.(3)若AB+BC+CA=0,则A、B、C三点是一个三角形的三顶点.(4)|a+b|≥|a-b|.解:(1)a与b方向相同,则a+b的方向与a和b方向都相同;若a与b方向相反,则有可能a与b互为相反向量,此时a+b=0的方向不确定,说与a、b之一方向相同不妥.(2)由向量加法法则AB+BC=AC,AC与CA是互为相反向量,所以有上述结论.(3)因为当A、B、C三点共线时也有AB+BC+AC=0,而此时构不成三角形.(4)当a与b不共线时,|a+b|与|a-b|分别表示以a和b为邻边的平行四边形的两条对角线的长,其大小不定.当a、b为非零向量共线时,同向则有|a+b|>|a-b|,异向则有|a+b|<|a-b|;当a、b中有零向量时,|a+b|=|a-b|.综上所述,只有(2)正确.．在。
1_1_1 任意角 教案
1.1.1 任意角教学目标：1.理解任意角的概念；2.学会建立直角坐标系讨论任意角，判断象限角，掌握终边相同角的集合的书写。
教学重、难点：1．判断已知角所在象限；2．终边相同的角的书写。
教学过程：（一）复习引入：1．初中所学角的概念。
2．实际生活中出现一系列关于角的问题。
（二）新课讲解：1．角的定义：一条射线绕着它的端点O ，从起始位置OA 旋转到终止位置OB ，形成一个角α，点O 是角的顶点，射线,OA OB 分别是角α的终边、始边。
说明：在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”能够简记为α．2．角的分类：正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；零角：假设一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角。
说明：零角的始边和终边重合。
3．象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负轴重 合，则（1） 象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几 象限角。
例如：30,390,330-都是第一象限角；300,60-是第四象限角。
（2）非象限角（也称象限间角、轴线角）：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。
例如：90,180,270等等。
说明：角的始边“与x 轴的非负半轴重合”不能说成是“与x 轴的正半轴重合”。
因为x 轴的正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为其端点的射线。
4． 终边相同的角的集合：由特殊角30看出：所有与30角终边相同的角，连同30角自身在内，都能够写成30360k +⋅()k Z ∈的形式；反之，所有形如30360k +⋅()k Z ∈的角都与30角的终边相同。
从而得出一般规律： 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{}|360,S k k Z ββα==+⋅∈，即任一与角α终边相同的角，都能够表示成角α与整数个周角的和。
说明：终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。
数学：1.1.1《任意角2》教案(苏教版必修4)
1.1.1 任意角（2）
教学目标
1．熟练掌握象限角与非象限角的集合表示；
2．会写出某个区间上角的集合。
教学重、难点
区间角的表示。
教学过程
复习：
1．角的分类：按旋转方向分；按终边所在位置分。
2．与角α同终边的角的集合S 表示。
3．练习：把下列各角写成360(0360)k αα⋅+≤<o o
的形式，并指出它们所在的象限或终边位置。
（1）135-o ； （2）1110o ； （3）540-o ．
新课讲解
1．轴线角的集合表示
例1：写出终边在y 轴上的角的集合。
拓展：（1）终边在x 轴线的角的集合怎么表示？
（2）所有轴线角的集合怎么表示？
例2：写出第一象限角的集合M ．
提问：第二、三、四象限角的集合又怎么表示？
例3 写出(0)y x x =±≥所夹区域内的角的集合。
课堂练习
1．若角β的终边在第一象限或第三象限的角平分线上，则角β的集合是 ．
2．若角α与β的终边在一条直线上，则α与β的关系是 ．
3．（思考）若角α与β的终边关于x 轴对称，则α与β的关系是 ． 若角α与β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系是 ．
若角α与β的终边关于原点对称，则α与β的关系是 ．
课堂小结
1．非象限角（轴线角）的集合表示；
2．区间角集合的书写。
教学后记。
1.1.1任意角(优秀经典公开课比赛教案)
1.1.1任意角
一、教学目标：
(1)要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念;
(2)学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；
(3)并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义．
二、教学重难点
教学重点:理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义．教学难点：“旋转”定义角; 终边相同的角的表示．
三、教学过程
四、课堂小结及课后作业：
五、教学反思：
这堂课从实际问题引入，引起学生的认知冲突。
说明角的概念扩展的必要性，然后通过学生的自主探索，得出了定义，为后面的探究打下了基础，体现了新课程理念，教学效果好，是一堂好课。
由于学生的计算机技术不高，导致教学时间过紧。
必修四1.1.1任意角第二课时(教案)
课题：1.1.1 任意角（二）教学目的：1．巩固角的形成，正角、负角、零角等概念，熟练掌握掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）、象限角、区间角、终边在坐标轴上的角的表示方法；2．掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）、象限角、终边在坐标轴上的角的表示方法；3．体会运动变化观点，逐渐学会用动态观点分析解决问题；教学重点：象限角、终边在坐标轴上的角的表示方法；教学难点：终边在坐标轴上的角的集合表示；教学过程：一、复习引入：1．“正角”与“负角”、“0角”2．“象限角”3．终边相同的角：所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合：{}ZkkS∈⋅+==,360|οαββ二、讲解新课：例1写出终边在y轴上的角的集合（用0到360度的角表示）.解：∵在0°～360°间，终边在y轴的正半轴上的角为90°，终边在y轴的负半轴上的角为270°，∴终边在y正半轴、负半轴上所有角分别是：S1={α|α=k⋅360︒+90︒,k∈Z}；S2={α|α=k⋅360︒+270︒,k∈Z}探究：怎么将二者写成统一表达式？∵S1={α|α=k⋅360︒+90︒,k∈Z}={α|α=2k⋅180︒+90︒,k∈Z}；S2={α|α=k⋅360︒+270︒,k∈Z}={α|α=2k⋅180︒+180︒+90︒,k∈Z}={α|α=(2k+1)⋅180︒+90︒,k∈Z}；∴终边在y轴上的角的集合是：S=S1Y S2={α|α=2k⋅180︒+90︒,k∈Z}Y{α|α=(2k+1)⋅180︒+90︒,k∈Z}={α|α=180︒的偶数倍+90︒,k∈Z}Y{α|α=180︒的奇数倍+90︒,k∈Z}={α|α=180︒的整数倍+90︒,k∈Z}={α|α=n⋅180︒+90︒,n∈Z}引申：写出所有轴上角的集合O xyO xyO xy{α|α=k⋅360︒, k∈Z} {α|α=k⋅360︒+180︒,k∈Z} {α|α=k⋅180︒,k∈Z}O xyO xyO xy{α|α=k⋅360︒+90︒,k∈Z} {α|α=k⋅360︒+270︒,k∈Z} {α|α=k⋅180︒+90︒,k∈Z}O xyO xyO xy{α|α=k⋅90︒, k∈Z} {α|α=k⋅90︒+45︒, k∈Z} {α|α=k⋅45︒, k∈Z}(最后两个可以根据实际情况处理)练习：写出终边直线在y x=上的角的集合S,并把S中适合不等式360α︒-≤720︒<的元素β写出来.例2．用集合的形式表示象限角第一象限的角表示为{α|k⋅360︒<α<k⋅360︒+90︒，（k∈Z）}；第二象限的角表示为{α|k⋅360︒+90︒<α<k⋅360︒+180︒，（k∈Z）}；第三象限的角表示为{α|k⋅360︒+180︒<α<k⋅360︒+270︒，（k∈Z）}；第四象限的角表示为{α|k⋅360︒+270︒<α<k⋅360︒+360︒，（k∈Z）}；或{α|k⋅360︒-90︒<α<k⋅360︒，（k∈Z）}.例3写出角的终边在图中阴影区域内的角的集合(不包括边界)解：.(1)｛α｜60°＋k·360°＜α＜255°＋k·360°，k∈Z}(2)｛α｜－120°＋k·360°＜α＜45°＋k·360°，k∈Z}例4已知α是第二象限角，问2α是第几象限角？2α是第几象限角？分别加以说明.解：∵α在第二象限，∴k⋅360︒+90︒＜α＜k⋅360︒+180︒，k∈Z于是，k⋅180︒+45︒＜2α＜k⋅180︒+90︒, ∵k∈Z, ∴k=2n或k=2n+1当k=2n时，n⋅360︒+45︒＜2α＜n⋅360︒+90︒, ∴2α在第一象限；当k=2n+1时，n⋅360︒+225︒＜2α＜n⋅360︒+270︒, ∴2α在第三象限；∴当α在第二象限时，∴2α可能在第一象限，也可能在第三象限.类似地，2α可能在第三、四象限或y轴负半轴上.三、回顾小结用集合的形式表示象限角以及轴线角（终边在坐标轴上的角）（1）象限角：第一象限的角表示为{α|k⋅360︒＜α＜k⋅360︒+90︒，（k∈Z）}；第二象限的角表示为{α|k⋅360︒+90︒＜α＜k⋅360︒+180︒，（k∈Z）}；第三象限的角表示为{α|k⋅360︒+180︒＜α＜k⋅360︒+270︒，（k∈Z）}；第四象限的角表示为{α|k⋅360︒+270︒＜α＜k⋅360︒+360︒，（k∈Z）}；或{α|k⋅360︒-90︒＜α＜k⋅360︒，（k∈Z）}.（2）轴线角：终边在x轴正半轴上的角的集合：{α|α=k⋅360︒，k∈Z}；终边在x轴负半轴上的角的集合：{α|α=k⋅360︒+180︒，k∈Z}；终边在x轴上的角的集合：{α|α=k⋅180︒，k∈Z}；终边在y轴正半轴上的角的集合：{α|α=k⋅360︒+90︒，k∈Z}；终边在y轴负半轴上的角的集合：{α|α=k⋅360︒+270︒，k∈Z}；终边在y轴上的角的集合：{α|α=k⋅180︒+90︒，k∈Z}；终边在坐标轴上的角的集合：{α|α=k⋅90︒，k∈Z}.5．区间角：锐角：(0︒,90︒)，钝角：(90︒,180︒)，注意区间(α,β)与(k⋅360︒+α, k⋅360︒+β)的区别.。
【参考教案】《任意角》(人教)
【参考教案】《任意角》（人教）第一章：任意角的概念与表示方法1.1 任意角的概念引导学生回顾角度的概念，引入终边相同的角。
通过图形和实际例子，让学生理解任意角的概念。
1.2 任意角的表示方法介绍用角度制表示任意角的方法。
引导学生学习用弧度制表示任意角。
让学生通过练习，掌握任意角的表示方法。
第二章：任意角的分类2.1 象限角引导学生学习象限角的概念。
通过图形和实际例子，让学生理解第一象限角、第二象限角、第三象限角和第四象限角的定义。
2.2 轴线角引导学生学习轴线角的概念。
通过图形和实际例子，让学生理解轴线角的定义。
第三章：任意角的三角函数定义3.1 正弦函数的定义引导学生学习正弦函数的概念。
通过图形和实际例子，让学生理解正弦函数的定义。
3.2 余弦函数的定义引导学生学习余弦函数的概念。
通过图形和实际例子，让学生理解余弦函数的定义。
3.3 正切函数的定义引导学生学习正切函数的概念。
通过图形和实际例子，让学生理解正切函数的定义。
第四章：任意角的三角函数性质4.1 正弦函数的性质引导学生学习正弦函数的性质。
通过图形和实际例子，让学生理解正弦函数的性质。
4.2 余弦函数的性质引导学生学习余弦函数的性质。
通过图形和实际例子，让学生理解余弦函数的性质。
4.3 正切函数的性质引导学生学习正切函数的性质。
通过图形和实际例子，让学生理解正切函数的性质。
第五章：任意角的三角函数在坐标系中的应用5.1 在直角坐标系中的应用引导学生学习任意角的三角函数在直角坐标系中的应用。
通过图形和实际例子，让学生理解任意角的三角函数在直角坐标系中的应用。
5.2 在极坐标系中的应用引导学生学习任意角的三角函数在极坐标系中的应用。
通过图形和实际例子，让学生理解任意角的三角函数在极坐标系中的应用。
第六章：任意角的三角恒等式6.1 和角公式引导学生学习两角和的正弦、余弦公式。
通过图形和实际例子，让学生理解两角和的正弦、余弦公式的推导和应用。
6.2 差角公式引导学生学习两角差的正弦、余弦公式。
【参考教案】《任意角》(人教)
【参考教案】《任意角》（人教）第一章：任意角的概念与表示方法1.1 任意角的概念1. 引导学生回顾角度的定义，复习锐角、直角、钝角的概念。
2. 引入“任意角”的概念，解释任意角是指大于0°且小于或等于360°的角。
1.2 任意角的表示方法1. 讲解如何用度数表示任意角，例如：一个任意角可以表示为375°。
2. 引导学生理解任意角可以分为锐角、直角、钝角三种类型。
第二章：任意角的度量与计算2.1 任意角的度量1. 介绍量角器的使用方法，示范如何测量任意角的度数。
2. 学生分组练习，测量不同角度的任意角，并记录结果。
2.2 任意角的计算1. 讲解如何计算两个任意角的和、差、乘积、除法。
2. 引导学生运用公式进行计算练习，例如：A + B = (A的度数+ B的度数)°。
第三章：任意角的性质与变化3.1 任意角的性质1. 引导学生探讨任意角的性质，如：任意角的对边相等、相邻角互补等。
2. 学生通过实例验证这些性质，并记录在教案中。
3.2 任意角的变化1. 讲解如何通过旋转或翻转改变任意角的大小。
2. 学生进行实际操作，观察任意角的变化，并记录在教案中。
第四章：任意角的应用4.1 任意角在几何中的应用1. 引导学生回顾几何中任意角的概念和性质。
2. 学生举例说明任意角在几何中的应用，如：计算三角形内角和、证明角度相等等。
4.2 任意角在生活中的应用1. 引导学生思考任意角在生活中的应用场景。
2. 学生举例说明任意角在生活中的应用，如：测量角度、设计建筑等。
第五章：任意角的综合练习5.1 综合练习题1. 设计一组综合练习题，包括任意角的表示、度量、计算、性质和应用等方面的内容。
2. 学生独立完成练习题，教师进行讲解和解答。
5.2 小组讨论与总结1. 学生分组讨论在练习过程中遇到的问题和解决方法。
2. 每组选代表进行总结，分享学习心得和经验。
第六章：任意角的弧度制6.1 弧度制的引入1. 讲解弧度制的概念，解释为什么用弧度制表示角度。
【参考教案】《任意角》(人教)
一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解任意角的概念，掌握任意角的表示方法；（2）了解终边相同的角的概念，能找出与给定角终边相同的角；（3）掌握任意角的基本性质，如正弦、余弦、正切函数的定义和性质。
2. 过程与方法：（1）通过生活实例和图形，引导学生认识任意角的概念；（2）利用数形结合的方法，探究任意角的基本性质；（3）运用终边相同的角的概念，简化任意角的表示和计算。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和好奇心；（2）培养学生积极参与、合作探究的学习态度；（3）引导学生认识数学在生活中的应用，提高学生的实践能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）任意角的概念及表示方法；（2）终边相同的角的概念及应用；（3）任意角的基本性质。
2. 教学难点：（1）任意角的三角函数定义和性质；（2）终边相同的角的表示和计算。
三、教学过程1. 导入新课：（1）利用生活中的实例，如钟表、地球自转等，引导学生思考角的概念；（2）通过提问，引导学生回顾之前学过的角的知识，为新课的学习做好铺垫。
2. 探究任意角的概念：（1）展示图形，引导学生认识任意角；（2）讲解任意角的表示方法，如用弧度制表示；（3）让学生举例说明，巩固任意角的概念。
3. 学习终边相同的角：（1）引导学生理解终边相同的角的概念；（2）讲解终边相同的角的表示方法，如用相同终边的角表示；（3）让学生练习找出与给定角终边相同的角，提高学生的动手能力。
四、作业布置1. 概念辨析：区分任意角和终边相同的角；2. 练习题：求出与给定角终边相同的角；3. 预习下一节课内容：任意角的三角函数定义和性质。
五、教学反思本节课通过生活实例和图形，引导学生认识任意角的概念，利用数形结合的方法，探究任意角的基本性质。
在教学过程中，注意调动学生的积极性，鼓励学生参与课堂讨论和练习。
对于教学难点，如任意角的三角函数定义和性质，以及终边相同的角的表示和计算，需在后续教学中进一步巩固。
【参考教案】《任意角》(人教)
【参考教案】《任意角》（人教）第一章：任意角的概念一、教学目标：1. 让学生了解任意角的概念，理解平角和周角的特点。
2. 培养学生运用图形直观认识角的能力。
3. 引导学生运用数学语言描述角的大小。
二、教学内容：1. 任意角的概念：大于0°而小于180°的角叫做锐角；等于180°的角叫做平角；等于360°的角叫做周角。
2. 角的度量：用度、分、秒表示角的大小。
三、教学重点与难点：1. 重点：任意角的概念及分类。
2. 难点：角的度量及运用。
四、教学方法：1. 采用直观演示法，让学生通过观察图形，理解任意角的概念。
2. 运用讲授法，讲解角的度量方法及运用。
3. 引导学生运用小组讨论法，探讨任意角的特点。
五、教学步骤：1. 导入新课：通过展示各种角的照片，引导学生思考：这些角有什么共同特点？2. 讲解任意角的概念：介绍锐角、平角、周角的定义，引导学生理解任意角的概念。
3. 讲解角的度量：讲解度、分、秒的换算方法，示范如何度量角的大小。
4. 练习与巩固：让学生自主度量一些角的大小，并与同学交流分享。
5. 总结与拓展：引导学生总结本节课所学内容，提出问题：还有没有其他的角分类？激发学生进一步学习的兴趣。
第二章：任意角的性质一、教学目标：1. 让学生了解任意角的性质，掌握角的运算规律。
2. 培养学生运用图形直观认识角的能力。
3. 引导学生运用数学语言描述角的大小。
二、教学内容：1. 任意角的性质：角的大小与边的长短无关，与开口的大小有关。
2. 角的运算规律：角的和、差、倍、分等运算。
三、教学重点与难点：1. 重点：任意角的性质及运用。
2. 难点：角的运算规律及应用。
四、教学方法：1. 采用直观演示法，让学生通过观察图形，理解任意角的性质。
2. 运用讲授法，讲解角的运算规律及运用。
3. 引导学生运用小组讨论法，探讨任意角的性质。
五、教学步骤：1. 导入新课：通过展示一些角的照片，引导学生思考：这些角有什么共同特点？2. 讲解任意角的性质：介绍角的大小与边的长短无关，与开口的大小有关，引导学生理解任意角的性质。
【必做练习】高中数学第一章三角函数1.1.1任意角教案新人教A版必修4
课题：任意角
［课时安排］
1 课时
［教学目标］
1．理解任意大小的角正角、 负角和零角， 掌握终边相同的角、
象限角、区间角、终边在坐标轴上的角 .
2．从数形结合的角度认识角
3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、
转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力
［教学重点］
理解概念，掌握终边相同角的表示法 .
A． 30° B ． 30°
C
． 630° D ． 630°
3. 把 1485°转化为 α ＋ k· 360°（ 0°≤ α ＜ 360° , k∈ Z）的形式是（ ）
A ． 45o 4×360°
B
C． 45o 5× 360°
D
o
． 45 4× 360°
o
．315 5× 360°
4. 下列结论中正确的是 ( )
方向旋转形成的角；
零角：射线没有任何旋转形成的角；
负角：按
方向旋转形成的角。
（3）象限角与坐标轴上的角：
B 终边
始边
O 顶点
A
使角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴正半轴重合，终边落第几象限，则
称为
；终边落在坐标轴上的角称为
。
2. 与角 终边相同的角为
k 360
k z) ，连同角 可构成一个集
合 S ，即
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(4) 第四象限 . 探究 2. 写出与角
45 的终边相同的角的集合 S，并写出 S 中适合不等式
360
720 的元素 β .
【当堂训练】 1. 与 405°角终边相同的角是（ ）
A. k ·360°－ 45° ( k Z )
【参考教案】《任意角》(人教)
【参考教案】《任意角》（人教）一、教学目标1. 让学生理解任意角的概念，掌握任意角的定义及其表示方法。
2. 培养学生运用任意角解决实际问题的能力。
3. 引导学生通过观察、思考、交流，培养学生的抽象思维能力和创新意识。
二、教学内容1. 任意角的概念及其表示方法。
2. 任意角的分类。
3. 任意角的应用。
三、教学重点与难点1. 重点：任意角的概念及其表示方法。
2. 难点：任意角的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究任意角的概念和表示方法。
2. 运用实例分析法，让学生学会运用任意角解决实际问题。
3. 利用小组合作学习法，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
五、教学过程1. 导入新课：通过生活中的实例，引导学生认识角的概念。
2. 自主学习：让学生自主探究任意角的概念和表示方法。
3. 课堂讲解：讲解任意角的分类及其应用。
4. 实例分析：分析实际问题，让学生学会运用任意角解决问题。
5. 练习巩固：布置练习题，让学生巩固所学知识。
6. 课堂小结：总结本节课的主要内容，强调任意角的概念和表示方法。
7. 课后作业：布置作业，巩固任意角的知识。
8. 教学反思：根据学生的反馈，调整教学方法，提高教学效果。
六、教学评价1. 评价学生对任意角概念的理解和表示方法的掌握程度。
2. 评价学生运用任意角解决实际问题的能力。
3. 评价学生在小组合作学习中的表现，包括团队协作能力和沟通能力。
七、教学资源1. 教材：人教版高中数学《三角函数》单元。
2. 教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备。
3. 参考资料：与任意角相关的学术论文、教学案例等。
八、教学进度安排1. 第1-2课时：讲解任意角的概念和表示方法。
2. 第3-4课时：讲解任意角的分类及其应用。
3. 第5-6课时：实例分析，让学生学会运用任意角解决实际问题。
4. 第7-8课时：练习巩固，布置作业。
5. 第9-10课时：课堂小结，布置课后作业。
九、教学拓展1. 引导学生深入研究任意角的性质和特点。
数学：1.1.1《任意角》教案(新人教A必修4)
1.1.1 任意角教学目的：使学生认识角的始边、终边，知道什么是正角、负角、零度角，0到360 度以外的角，会用集合表示与角α终边相同的角。
教学重点：任意角的理解与表示方法。
教学难点：用集合表示与角α终边相同的角。
教学过程一、新课引入在体操中旋转1周多少度？旋转2周呢？旋转3周呢？二、新课1、角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
如图，从起始位置OA逆时针方向旋转到终止位置OB，形成一个角α，射线OA、OB分别是角α的始边和终边。
2、任意角体操中，旋转2周（720°），旋转3周（1080°），角度大于360°，有没有负角呢？我们规定：按逆时针方向旋转形成的角叫正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角，零角的始边与终边重合，若α是零角，则α＝0°。
角包括正角、负角和零角，时针旋转形成的角都是负角。
角的顶点与原点重合，角的绐边与x轴非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，我们就说这个角在第几象限，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限。
3、终边相同角的表示328°＝－32°＋360°－392°＝－32°－360°设S＝{β|β＝－32°＋k·360°，k∈Z}328°、－392°、－32°角都是S的元素，因此，所有与－32°角终边相同的角，连同－32°角在内，都是集合S的元素；反过来，集合S的任一元素显然与－32°角终边相同。
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
4、例题讲解例1、在0°－360°范围内，找出与－950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限的角。
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2、1、1任意角
讲义编写者：数学教师秦红伟
如果你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25个小时，你应当如何将它校准？当时间校准后，分针旋转了多少度？这个问题我们将在这一节课中得到答案.
过去我们研究过00—3600范围的角，
但现实中还有其它角.例如体操中有“旋转
7200（即转体两周）”.“转体10800（即
转体三周）”这样的动作名称，而旋转的
方向也有顺时针与逆时针的不同；又如图
所示是两个齿轮的旋转示意图，被动轮随
着主动轮的旋转而旋转，而且被动轮与主动轮有相反的旋转方向.这样OA 绕O旋转所成的角与O‘B与绕O、旋转所成的角就会有不同的方向.因此，要准确的描述这些现象，不仅要知道角形成的结果，而且要知道角形成的过程，即必须既要知道旋转量，又要知道旋转方向.这就需要对角的概念进行推广.
一、【学习目标】
1、将00—3600的角推广到任意角；
2、理解任意角、象限角、终边相同的角的概念和含义；
3、理解象限角集合、终边相同角集合、轴线角集合.
【教学效果】：教学目标的给出有利于学生从整体上把握课堂.
二、【自学内容和要求及自学过程】
1、阅读教材第2到3页内容，回答问题（任意角）
<1>什么是角？角是怎么定义的？
结论：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个
位置所形成的图形. 如图所示，一条射线的端点是O，
它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OB，
形成一个角∠α，射线OA、OB分别是角α的始边和
终边.
注意：为了简单起见，在不引起混淆的前提下，∠α可以简记为α.
<2>什么是正角？什么是负角？什么是零度角？
结论：按逆时针方向旋转形成的角是正角.按顺时针方向旋转所形成的角叫负角.一条射线没有做任何旋转，我们称为零角.
<3>什么是任意角？
结论：这样，我们把角分为了正角、负角、零度角，我们就把角的概念推广到了任意角. 如图所示.图1中的角
是一个正角，它等于750；图2中的正角
为2100，负角为-1500，-6600.
【教学效果】：理解任意角的概念.
2、阅读教材第3页到第4页，回答问题（象限角、终边相同的角）
<1>什么是象限角？
结论：我们常在直角坐标系内讨论角，为了讨论问题
方便，我们使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非
负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，我们就说这个
角是第几象限角.例如，图中的300角、-1200角分别是第
一象限角和第三象限角.
<2>将角按照上述方法放在直角坐标系中，给定一个
角，就有唯一的一条终边与之对应.反之，对于直角坐
标系内任意一条射线OB ，以它为终边的角是否唯一？
如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系？（终边
相同的角.） 结论：不难发现，在图中，如果-320的终边是OB ，那么3280，-3920……角的终边都是OB ，并且与-32角终边相同的这些角都可以表示成-32的角与k 个（k ∈Z ）周角的和，如3280=-320+3600（这里k=1），-3920=-320-3600（这里k=-1）.设S={β|β=-32+k360，k ∈Z }，则3280，-3920都是S 的元素，-320也是S 的元素，这里k=0.因此所有与-320角终边相同的角，连同-320在内，都是集合S 的元素；反过来，集合S 的任一元素显然与-320角终边相同.一般地，我们有：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S={β|β=α+k3600，k ∈Z }，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
注意：①α为任意角；②k3600与α之间是“+”号，k3600-α可以理解为k3600+（-α）.③相等的角，终边一定相同；终边相同的角不一定相等，中边相同的角有无数个，它们相差3600的整数倍；④k ∈Z 这一条件必不可少. 练习一：教材例1、例2、例3例1.
例1、在0360︒︒
~范围内，找出与95012'︒－角终边相同的角，并判
定它是第几象限角.（注：0360︒︒－是指0360β︒︒≤<） 例2、写出终边在y 轴上的角的集合.
例3、写出终边直线在y x =上的角的集合S ,并把S 中适合不等式360α︒-≤720︒<的元素β写出来. 练习二：教材第5页练习（1）、（2）
(1)(口答)锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这两个问题.
(2)(回答)今天是星期三那么7()k k Z ∈天后的那一天是星期几? 7()k k Z ∈天前的那一天是星期几?100天后的那一天是星期几? 练习三：教材第5页练习（3）、（4）、（5）.
【教学效果】：理解象限角、轴线角的概念.
3、知识点引申
<1>象限角集合
第一象限角的集合为：{x|k3600<x<k3600+900，k ∈Z};
第二象限角的集合为：{x|k3600+900<x<k3600+1800，k ∈Z}
第三象限角的集合为：{x|k3600+1800<x<k3600+2700，k ∈Z} 第四象限角的集合为：{x|k3600+2700<x<k3600+3600，k ∈Z}
<2>轴线角的集合
终边落在x 轴的非负半轴上的角的集合为{x|x=k3600，k ∈Z}
终边落在x 轴的非正半轴上的角的集合为{x|x=k3600+1800，k ∈Z} 终边落在x 轴上的角的集合为{x|x=k1800，k ∈Z}
终边落在y 轴的非负半轴上的角的集合为{x|x=k3600+900，k ∈Z} 终边落在y 轴的非正半轴上的角的集合为{x|x=k3600—900，k ∈Z} 终边落在y 轴上的角的集合为{x|x=k1800+900，k ∈Z}
【教学效果】：理解轴线角、象限角的集合，对以后的学习是很有用的.
三、【作业】
1、必做题：习题1.1第1、
2、3题；
2、选做题：总结本节知识点到作业本上.
四、【小结】
本节主要学习了任意角、终边相同角、象限角、轴线角，要求学生能理解这些角的概念，并能写出终边相同角、象限角、轴线角的集合.
五、【教学反思】
要让学生学会学习、学会自学很重要.学生自己理解了，比老师口干舌燥讲一节课要管用得多.
六、【课后小练】
1、用集合表示下列各角：“第一象限角”，“锐角”，“小于900的角”.
2、写出终边与150角终边相同的角的集合.
3、已知α为第三象限角，那么α/2为第几象限角？α/n(n=2,3,4,…)为第几象限角？-α/2，-α/n呢？
4、写出终边与坐标轴重合的角α的集合.
6、确定下列角所在的象限<1>-17700；<2>123480
7、钟表经过10分钟，时针转了多少度？分针转了多少度？若钟表拨慢了10分钟，则时针转了多少度？分针转了多少度？
8、下列命题正确的是：
A、终边相同的角一定相等；
B、第一象限角都是锐角；
C、锐角都是第一象限角；
D、小于900的角都是锐角.
9、与-15600终边相同的角的集合中，最小的正角和最大的负角分别是多少？。