子式和代数余子式-推荐下载

3.4 子式和代数余子式 行列开的依行依列展开

教学目的：

1.掌握计算行列 式的能力

2.通过一些比较典型的例题分析和习题训练,掌握行列式计算中的一些技巧教学内容:

1.子式和余子式:

定义1 在一个n 阶行列式D 中任意取定k 行k 列.位于这些行列相交处的元素所构成的k

阶行列式叫做行列式D 的一个k 阶子式. 例1 在四阶行列式

D=

44

43

42

41

3433323124232221

14131211a a a a a a a a a a a a a a a a 中，取定第二行和第三行，第一列和第四列，那么位于这些行列的相交处的元素就构成D 的一个二阶子式

M=

34

31

24

21

a a a a 定义2 n(n>1)阶行列式

D=

nn

nj n in ij i n j a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1

11111的某一元素余子式指的是在D 中划去所在的行和列后所余下的n-1阶子式.

ij a ij M ij a 例2例子的四阶行列式的元素

= 23M 44

42

41

343231

141211

a a a a a a a a a 定义 3 n 阶行列式D 的元素的余子式附以符号后,叫做元素的代数余子

ij a ij M j

i +-)

1(ij a 式.

元素的代数余子式用符号来表示:

ij a ij A =.

ij A j i +-)1(ij M 例3例1中的四阶行列式D 的元素的余子式是

23a ==-=- 23M 2332)1(M +-23M 44

4241

343231

1412

11

a a a a a a a a a

现在先看一个特殊的情形，就是一个n 阶行列式的某一行（列）的元素最多有一个不是零的情形。

定理3.4.1若在一个n 阶行列式

D= nn

nj n in ij i n j a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11

1111中，第I 行（或第j 列）的元素除a 外都是零，那么这个行列式等于a 与它代数余子式A

ij ij 的乘积：

ij

D= a A ij ij

证 我们只对行来证明这个定理。

1）

先假定D 的第一行的元素除a 外都是零。这时

ij D=

nn

n n n a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2122221110

0我们要证明，

D=a A = a （-1）

M = a M ，

1111111

1+111111也就是说，

D= a （1）

11nn

n n n n a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯32

3333222322子式M 的每一项都可以写作

11a a ……a ，

22j 33j n nj 此处j ，j ，…，j 是2，3，…n 这n-1个数码的一个排列。我们看项（1）与元素a 的乘23n 11积

a a a ……a ，

1122j 33j n nj 这一乘积的元素位在D 的不同的行与不同的列上，因此它是D 的一项。反过来，由于行列式

D 的每一项都含有第一列的一 个元素，而第一行的元素除a 外都零，因此D 的每一项都可以

11写成（2）的形式，这就是说，D 的每一项都是a 与它的子式M 的某一项的乘积，因此D

1111与a M 有相同的项，

1111乘积（2）在D 的符号是

（-1）

=（-1）

21j （πn j ⋯）

2j （πn j ⋯）

另一方面，乘积（2）在a M 中的符号就是（1）在M 中的符号。乘积（1）的元素111111既然位在D 的第2，3，…，n 行与第j ，j ，…j 列，因此它位在M 的第1，2，…，n-23n 111行与

j -1，j -1，…，j -1列，所以（1）在

M 中的符号应该是（-1）

。

2

3n

11)1(2-j （π)1(-⋯n j ）

显然，л（j …j ）=л（（j -1）…（j -1））。这样，乘积这（2）在a M 中的符号与2n 2n 1111D 中的符号一致。所以

D= a M 1111

现在我们来看一般的情形。设

D=

nn

j n nj j n n j n j j

j a a a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

+-+-1,1,1111,111,1110000我们变动行列式D 的行列，使a 位于第一行与第一列，并且保持a 的余子式不变。

ij ij 为了达到这一目的，我们把D 的第I 行依次与第I-1，I-2，…2，1行变换，这样，一共经过了I-1次交换两行步骤，我们就把D 的第I 行换到第一行的位置。然后在把第j 列依次与j-1，j-2，…，2，1列交换，一共经过j-1次交换两列的步骤，a 就被换到第一行与第一列的ij 位置上，这时，D 变为下面形式的行列式：

D =

1nn

j n j n n nj r i j i j i i j i n i j i j i i j i n j j j ij a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ............................................................................................................0...00...01,1

,1,11,11,11,1,1,11,11,11,1,111

,11,1111+-+++-+++-+-----++是由D 经过(i-1)+(j-1)次换行换列的步骤而得到的.由命题3.3.3,交换行列式的两行或两列,

1D 行列式改变符号.因此

D==

.)1()1()1(-+--j i 1D j

i +-)1(1D 在中,位在第一行与第一列,并且第一行的其余元素都是零;由1),

1D ij a D= =

ij a nn

j n j n n n i j i j i i n i j i j i i n j j a a a a a a a a a a a a a a a a ⋯

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

⋯⋯

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

⋯

+-+++-++-+----+-1,1,1,11,11,11,1,11,11,11,111

,11,111

ij a ij

M 因此

D====.

j i +-)1(1D j i +-)1(ij a ij M ij a j i +-)1(ij M ij a ij A 这样,定理得到证明.