1-2余子式与代数余子式

推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列） 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
a i 1 A j 1 a i 2 A j 2 a in A jn 0 , i j .
证 把行列式 D det( a ij ) 按第 j 行展开，有
a11 ai1 a j 1 A j 1 a jn A jn a j1 a n1 a1 n a in , a jn
n
D ,当 i j , aik Ajk D ij 0 , 当 i j; k 1
n
1 ,当 i j， 其中 ij 0 ,当 i j .
思考题
设n阶行列式
1 2 3 n 1 2 0 0 Dn 1 0 3 0 1 0 0 n
1 0 0 n
(i j ).
同理 a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, (i j ).
关于代数余子式的重要性质
D ,当 i j , aki Akj D ij 0 ,当 i j; k 1
n
D ,当 i j , aik Ajk D ij 0 , 当 i j; k 1
2
3
1
2 10 0 0
7 2 10 2 6 6 6
3
1
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7 2 6
20 42 12 1080.
三、小结
1. 降阶法： 行列式按行（列）展开法则是把 高阶行列式的计算化为低阶行列式.
D ,当 i j , 2. aki Akj D ij 0 ,当 i j; k 1
M 44 a21 a22 a23 , A44 14 4 M 44 M 44 . a31 a32 a33
行列式的每个元素分别 对应着一个余子式和一 个代数余子式.
二、行列式按行（列）展开法则
定理３ 行列式等于它的任一行（列）的各元 素与其对应的代数余子式乘积之和，即
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain
A23 1
M 23 M 23 .
a11 a21 D a31 a41
a12 a13 a14 a22 a23 a24 , a32 a33 a34 a42 a43 a44
1 2
a21 a23 a24 M12 a31 a33 a34 , a41 a43 a44
A12 1 M 12 M 12 . a11 a12 a13

a11 a12 a1n 0 ai 2 0 a n1 a n 2 a nn
a11 a12 a1n 0 0 a in ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain i 1,2,, n a n1 a n 2 a nn
a11 a22 a23 a32 a33 a12 a21 a23 a31 a33 a13 a21 a22 a31 a32
在 n 阶行列式中，把元素 a ij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 n 1 阶行列式叫做元素 a ij 的余子式，记作 M ij .
记
Aij 1
一、余子式与代数余子式
例如
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a a a a a a a a a 11 23 32 12 21 33 13 22 31, a31 a32 a33
a11 a22a33 a23a32 a12 a23a31 a21a33 a13 a21a32 a22a31
n
1 ,当 i j， 其中 ij 0 ,当 i j .
3 5 3
例３ 计算行列式 D 0 7 解 按第一行展开，得
D 3 1 0 7 2 5 0 0 7 2
1 0 7 2
3
0 1 7 7
27.
5 1
例４ 计算行列式
3 7
1 2 0 2 5 2 3 3 1 0 5 0
求第一行各元素的代数余子式之和
A11 A12 A1n .
思考题解答
解 第一行各元素的代数余子式之和可以表示成
n 1 . A11 A12 A1n 1 0 3 0 n! 1 j j2
1 1 1 1 1 2 0 0
i j
M ij， 叫做元素 a ij 的代数余子式．
例如
a11 a 21 D a 31 a 41
a12 a 22 a 32 a 42
2 3
a13 a 23 a 33 a 43
a14 a 24 a 34 a 44
a11 M 23 a 31 a 41
a12 a 32 a 42
a14 a 34 a 44
证
a11 a12
i 1,2,, n
a1 n
D a i 1 0 0 0 a i 2 0 0 0 a in a n1 an2 a nn
a11 a12 a1n ai 1 0 0 a n1 a n 2 a nn
a nn
把 a jk 换成 a ik ( k 1,, n), 可得
a11 ai1 a i 1 A j 1 a in A jn ai1 a1 n a in , a in
第i 行 第 j行
相同
当 i j 时,
a n1
a nn
ai 1 A j1 ai 2 A j 2 ain A jn 0,
D 0 2 0 2
0 4 1 4 0 5 1
解
3 7
1 2 0 2 5 2 3 3 1 0 5 0
D 0 2 0 2
0 4 1 4 0
5 1
2 5
3
1 2
0 2 3 1 r2 2r1 2 25 4 1 4 0 4 1 4 r3 r1 2 3 5 0 2 3 5