[2020理数]第九章 第二节 第3课时 深化提能——与圆有关的综合问题

第3课时 深化提能——与圆有关的综合问题

圆的方程是高中数学的一个重要知识点,高考中,除了圆的方程的求法外,圆的方程与其他知识的综合问题也是高考考查的热点,常涉及轨迹问题和最值问题．解决此类问题的关键是数形结合思想的运用． 与圆有关的轨迹问题

[典例] 已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0),B (1,1)为圆内一点,P ,Q 为圆上的动点．

(1)求线段AP 中点的轨迹方程；

(2)若∠PB Q ＝90°,求线段P Q 中点的轨迹方程．

[解] (1)设AP 的中点为M (x ,y ),由中点坐标公式可知,P 点坐标为(2x －2,2y )．

因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上,所以(2x －2)2＋(2y )2＝4.

故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.

(2)设P Q 的中点为N (x ,y )．

在Rt △PB Q 中,|PN |＝|BN |.

设O 为坐标原点,连接ON ,则ON ⊥P Q ,所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2,

所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.

故线段P Q 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.

[方法技巧] 求与圆有关的轨迹问题的4种方法

[针对训练]

1．(2019·厦门双十中学月考)点P (4,－2)与圆x 2＋y 2＝4上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为( )

A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1

B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4

C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4

D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1

解析：选A 设中点为A (x ,y ),圆上任意一点为B (x ′,y ′),

由题意得,????? x ′＋4＝2x ，y ′－2＝2y ，则?????

x ′＝2x －4，y ′＝2y ＋2， 故(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4,化简得,(x －2)2＋(y ＋1)2＝1,故选A.

2．已知点P (2,2),圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0,过点P 的动直线l 与圆C 交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M ,O 为坐标原点．

(1)求M 的轨迹方程；

(2)当|OP |＝|OM |时,求l 的方程及△POM 的面积．

解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16,所以圆心为C (0,4),半径为4.

设M (x ,y ),则CM ―→＝(x ,y －4),MP ―→＝(2－x,2－y )．

由题设知CM ―→·MP ―→＝0,

故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0,

即(x －1)2＋(y －3)2＝2.

由于点P 在圆C 的内部,

所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.

(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心,2为半径的圆． 由于|OP |＝|OM |,故O 在线段PM 的垂直平分线上．

又P 在圆N 上,从而ON ⊥PM .

因为ON 的斜率为3,所以l 的斜率为－13

, 故l 的方程为x ＋3y －8＝0.

又|OM |＝|OP |＝22,O 到l 的距离为4105

, 所以|PM |＝4105,S △POM ＝12×4105×4105＝165

, 故△POM 的面积为165

. 与圆有关的最值或范围问题

[例1] t ),若圆C 上存在两点A ,B 使得MA ⊥MB ,则实数t 的取值范围是( )

A ．[－2,6]

B ．[－3,5]

C ．[2,6]

D ．[3,5]

[解析] 法一：当MA ,MB 是圆C 的切线时,∠AMB 取得最大值．若

圆C 上存在两点A ,B 使得MA ⊥MB ,则MA ,MB 是圆C 的切线时,∠

AMB ≥90°,∠AMC ≥45°,且∠AMC ＜90°,如图,所以|MC |＝

(5－1)2＋(t －4)2≤10sin 45°

＝20,所以16＋(t －4)2≤20,所以2≤t ≤6,故选C.

法二：由于点M (5,t )是直线x ＝5上的点,圆心的纵坐标为4,所以实数t 的取值范围一定关于 t ＝4对称,故排除选项A 、B.当t ＝2时,|CM |＝25,若MA ,MB 为圆C 的切线,则sin ∠

CMA＝sin∠CMB＝

10

25

＝

2

2,所以∠CMA＝∠CMB＝45°,即MA⊥MB,所以t＝2时符合题意,

故排除选项D.选C.

[答案] C

[例2]已知实数x,y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：

(1)y

x的最大值和最小值；

(2)y－x的最大值和最小值；

(3)x2＋y2的最大值和最小值．

[解]原方程可化为(x－2)2＋y2＝3,表示以(2,0)为圆心,3为半径的圆．

(1)y

x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,

所以设y

x＝k,即y＝kx.

当直线y＝kx与圆相切时,斜率k取最大值或最小值,此时|2k－0|

k2＋1

＝3,解得k＝±3.

所以y

x的最大值为3,最小值为－ 3.

(2)y－x可看成是直线y＝x＋b在y轴上的截距．

当直线y＝x＋b与圆相切时,纵截距b取得最大值或最小值,此时|2－0＋b|

2

＝3,

解得b＝－2±6.

所以y－x的最大值为－2＋6,最小值为－2－ 6.

(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方．

由平面几何知识知,x2＋y2在原点和圆心的连线与圆的两个交点处分别取得最小值,最大值．

因为圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2,

所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43,

最小值是(2－3)2＝7－4 3.

[方法技巧]

与圆有关最值问题的求解策略

处理与圆有关的最值问题时,应充分考虑圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,借助数形结合思想求解．与圆有关的最值问题,常见类型及解题思路如下：

[针对训练]

1．(2019·新余一中月考)直线x ＋y ＋t ＝0与圆x 2＋y 2＝2相交于M ,N 两点,已知O 是坐

标原点,若|OM ―→＋ON ―→|≤|MN ―→|,则实数t 的取值范围是________． 解析：由|OM ―→＋ON ―→|≤|MN ―→|＝|ON ―→－OM ―→|,

两边平方,得OM ―→·ON ―→≤0,

所以圆心到直线的距离d ＝

|t |2≤22×2＝1, 解得－2≤t ≤2,

故实数t 的取值范围是[－2, 2 ]．

答案：[－2, 2 ]

2．已知点P (x ,y )在圆x 2＋(y －1)2＝1上运动,则y －1x －2

的最大值与最小值分别为________． 解析：设y －1x －2

＝k ,则k 表示点P (x ,y )与点A (2,1)连线的斜率． 当直线PA 与圆相切时,k 取得最大值与最小值．

设过(2,1)的直线方程为y －1＝k (x －2),即kx －y ＋1－2k ＝0.

由|2k |k 2＋1

＝1,解得k ＝±33. 答案：

33,－33 3．(2019·大庆诊断考试)过动点P 作圆：(x －3)2＋(y －4)2＝1的切线P Q ,其中Q 为切点,若|P Q |＝|PO |(O 为坐标原点),则|P Q |的最小值是________．

解析：由题可知圆(x －3)2＋(y －4)2＝1的圆心N (3,4)．设点P 的坐标为(m ,n ),则|PN |2＝|P Q |2＋|N Q |2＝|P Q |2＋1,又|P Q |＝|PO |,所以|PN |2＝|PO |2＋1,即(m －3)2＋(n －4)2＝m 2＋n 2＋1,化简得3m ＋4n ＝12,即点P 在直线3x ＋4y ＝12上,则|P Q |的最小值为点O 到直线3x ＋4y ＝12的距离,点O 到直线3x ＋4y ＝12的距离d ＝

125,故|P Q |的最小值是125

. 答案：125 [课时跟踪检测]

1．(2019·莆田模拟)已知圆O ：x 2＋y 2＝1,若A ,B 是圆O 上的不同两点,以AB 为边作等边△ABC ,则|OC |的最大值是( )

A.2＋62

B. 3 C ．2 D.3＋1 解析：选C 如图所示,连接OA ,OB 和OC .

∵OA ＝OB ,AC ＝BC ,OC ＝OC ,

∴△OAC ≌△OBC ,∴∠ACO ＝∠BCO ＝30°,

在△OAC 中,由正弦定理得OA sin 30°＝OC sin ∠OAC

, ∴OC ＝2sin ∠OAC ≤2,故|OC |的最大值为2,故选C.

2．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切

线,若a ,b ∈R 且ab ≠0,则1a 2＋1b

2的最小值为( ) A ．2

B ．4

C ．8

D ．9

解析：选D 圆C 1的标准方程为(x ＋2a )2＋y 2＝4,其圆心为(－2a,0),半径为2；圆C 2的标准方程为x 2＋(y －b )2＝1,其圆心为(0,b ),半径为1.因为圆C 1和圆C 2只有一条公切线,所以

圆C 1与圆C 2相内切,所以(－2a －0)2＋(0－b )2＝2－1,得4a 2＋b 2＝1,所以1a 2＋1b 2＝???

?1a 2＋1b 2(4a 2＋b 2)＝5＋b 2a 2＋4a 2

b 2≥5＋2 b 2a 2·4a 2b 2＝9,当且仅当b 2a 2＝4a 2b 2,且4a 2＋b 2＝1,即a 2＝16,b 2＝13

时等号成立．所以1a 2＋1b

2的最小值为9. 3．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD 中,AB ＝1,AD ＝2,动点P 在以点C 为圆心且与BD 相

切的圆上．若AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→,则λ＋μ的最大值为( )

A ．3

B ．2 2 C. 5 D ．2

解析：选A 以A 为坐标原点,AB ,AD 所在直线分别为x 轴,y 轴建立

如图所示的平面直角坐标系,则A (0,0),B (1,0),C (1,2),D (0,2),可得直线BD 的

方程为2x ＋y －2＝0,点C 到直线BD 的距离为

222＋1

2＝25,所以圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝45. 因为P 在圆C 上,所以P ???

?1＋255cos θ，2＋255sin θ. 又AB ―→＝(1,0),AD ―→＝(0,2),AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→＝(λ,2μ),

所以??? 1＋2

55cos θ＝λ，

2＋255sin θ＝2μ，λ＋μ＝2＋255cos θ＋55

sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中tan φ＝2),当且仅当θ＝π2

＋2k π－φ,k ∈Z 时,λ＋μ取得最大值3. 4．(2019·拉萨联考)已知点P 在圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0上运动,则点P 到直线l ：x －2y －5＝0的距离的最小值是( ) A ．4 B. 5

C.5＋1

D.5－1

解析：选D 圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0化为(x －2)2＋(y －1)2＝1,圆心C (2,1),半径为1,圆心到直线l 的距离为

|2－2－5|12＋22

＝5,则圆上一动点P 到直线l 的距离的最小值是5－1.故选D.

5．(2019·赣州模拟)已知动点A (x A ,y A )在直线l ：y ＝6－x 上,动点B 在圆C ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0上,若∠CAB ＝30°,则x A 的最大值为( )

A ．2

B ．4

C ．5

D ．6 解析：选C 由题意可知,当AB 是圆的切线时,∠ACB 最大,此时|CA |＝4.点A 的坐标满足(x －1)2＋(y －1)2＝16,与y ＝6－x 联立,解得x ＝5或x ＝1,∴点A 的横坐标的最大值为5.故选C.

6．(2018·北京高考)在平面直角坐标系中,记d 为点P (cos θ,sin θ)到直线x －my －2＝0的距离．当θ,m 变化时,d 的最大值为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解析：选C 由题知点P (cos θ,sin θ)是单位圆x 2＋y 2＝1上的动点,所以点P 到直线x －my －2＝0的距离可转化为单位圆上的点到直线的距离．又直线x －my －2＝0恒过点(2,0),所以当m 变化时,圆心(0,0)到直线x －my －2＝0的距离d ＝

21＋m 2

的最大值为2,所以点P 到直线x －my －2＝0的距离的最大值为3,即d 的最大值为3.

7．(2019·安徽皖西联考)已知P 是椭圆x 216＋y 27＝1上的一点,Q ,R 分别是圆(x －3)2＋y 2＝14

和(x ＋3)2＋y 2＝14

上的点,则|P Q |＋|PR |的最小值是________． 解析：设两圆圆心分别为M ,N ,则M ,N 为椭圆的两个焦点,

因此|P Q |＋|PR |≥|PM |－12＋|PN |－12＝2a －1＝2×4－1＝7,

即|P Q |＋|PR |的最小值是7.

答案：7

8．(2019·安阳一模)在平面直角坐标系xOy 中,点A (0,－3),若圆C ：(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1上存在一点M 满足|MA |＝2|MO |,则实数a 的取值范围是________．

解析：设满足|MA |＝2|MO |的点的坐标为M (x ,y ),由题意得x 2＋(y ＋3)2＝2x 2＋y 2, 整理得x 2＋(y －1)2＝4,

即所有满足题意的点M 组成的轨迹方程是一个圆,

原问题转化为圆x 2＋(y －1)2＝4与圆C ：(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1有交点,

据此可得关于实数a 的不等式组???

a 2＋(a －3)2≥1，a 2＋(a －3)2≤3，

解得0≤a ≤3, 综上可得,实数a 的取值范围是[0,3]．

答案：[0,3]

9．(2019·唐山调研)已知点A (－3,0),B (3,0),动点P 满足|PA |＝2|PB |.

(1)若点P 的轨迹为曲线C ,求此曲线的方程；

(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上,直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ,求|Q M |的最小值．

解：(1)设点P 的坐标为(x ,y ),则(x ＋3)2＋y 2＝2(x －3)2＋y 2.

化简可得(x －5)2＋y 2＝16,故此曲线方程为(x －5)2＋y 2＝16.

(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心,4为半径的圆,如图所示．

由题知直线l 2与圆C 相切,连接C Q ,CM ,

则|Q M |＝|C Q |2－|CM |2＝|C Q |2－16,

当C Q ⊥l 1时,|C Q |取得最小值,|Q M |取得最小值,

此时|C Q |＝|5＋3|2

＝42, 故|Q M |的最小值为32－16＝4.

10．(2019·广州一测)已知定点M (1,0)和N (2,0),动点P 满足|PN |＝2|PM |.

(1)求动点P 的轨迹C 的方程；

(2)若A ,B 为(1)中轨迹C 上两个不同的点,O 为坐标原点．设直线OA ,OB ,AB 的斜率分别为k 1,k 2,k .当k 1k 2＝3时,求k 的取值范围．

解：(1)设动点P 的坐标为(x ,y ),

因为M (1,0),N (2,0),|PN |＝2|PM |, 所以(x －2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2.

整理得,x 2＋y 2＝2.

所以动点P 的轨迹C 的方程为x 2＋y 2＝2.

(2)设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线AB 的方程为y ＝kx ＋b .

由?????

x 2＋y 2＝2，y ＝kx ＋b 消去y ,整理得(1＋k 2)x 2＋2bkx ＋b 2－2＝0.(*) 由Δ＝(2bk )2－4(1＋k 2)(b 2－2)＞0,得b 2＜2＋2k 2. ①

由根与系数的关系,得x 1＋x 2＝－2bk 1＋k 2,x 1x 2＝b 2－21＋k 2

. ② 由k 1·k 2＝y 1x 1·y 2x 2＝kx 1＋b x 1·kx 2＋b x 2

＝3, 得(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝3x 1x 2,

即(k 2－3)x 1x 2＋bk (x 1＋x 2)＋b 2＝0. ③ 将②代入③,整理得b 2＝3－k 2. ④ 由④得b 2＝3－k 2≥0,解得－3≤k ≤ 3. ⑤ 由①和④,解得k ＜－33或k ＞33

. ⑥ 要使k 1,k 2,k 有意义,则x 1≠0,x 2≠0,

所以0不是方程(*)的根,所以b 2－2≠0,即k ≠1且k ≠－1.⑦ 由⑤⑥⑦,得k 的取值范围为[－3,－1)∪????－1，－

33∪????33，1∪(1, 3 ]．