圆周角定理ppt
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圆周角定理 课件
AD＝BD＝5
3 2 cm.
在 Rt△AOD 中，OD＝
OA2－AD2
＝
5 2
cm，所以
∠OAD＝30°，
所以∠AOD＝60°.
所
以
∠AOB
＝
2∠AOD
＝
120
°
，
所
以
∠ACB
＝
1 2
∠AOB＝60°.因为∠AOB＝120°，所以劣弧A︵EB的度数为
︵ 120°，优弧ACB的度数为 240°.
所以∠AEB＝12×240°＝120°. 所以此弦所对的圆周角为 60°或 120°.
所以 OG∥CF.所以∠AOB＝∠FCB，(2 分) 所以∠DAO＝90°－∠AOB， ∠FBC＝90°－∠FCB，(4 分) 所以∠DAO＝∠FBC.(6 分)
(2)连接 AB，AC， 因为 BC 为直径， 所以∠BAC＝π2， 又因为 AD⊥BC， 所以∠BAD＝∠BCA，(8 分)
︵︵ 又因为AB＝AF， 所以∠ABF＝∠BCA，(9 分) 所以∠ABF＝∠BAD， 所以 AE＝BE.(10 分)
类型 2 利用定理及推论进行证明(规范解答)
[典例 2] 如图所示，BC 是半圆 O 的直径，AD⊥BC， ︵︵
垂足为 D，AB＝AF，BF 与 AD、AO 分别交于点 E、G. (1)证明：∠DAO＝∠FBC； (2)证明：AE＝BE.
︵︵ [规范解答] (1)连接 FC，OF，因为AB＝AF，OB ＝OF， 所以点 G 是 BF 的中点， OG⊥BF. 因为 BC 是⊙O 的直径， 所以 CF⊥BF.(1 分)
反过来，弧的度数相等，它们所对圆心角的度数也相 等.2.由于圆心角的度数与它所对弧的度数相等，所以圆周 角的度数等于它所对弧的度数的一半．
2第4课时圆周角PPT课件(人教版)
• 课后作业：“学生用书”的“课后作业”部 分．
第4课时 圆周角
学习目标
• 1. 学习圆周角、圆内接多边形的概念，圆 周角定理及推论.
• 2. 掌握圆周角与圆心角、直径的关系，能 用分类讨论的思想证明圆周角定理.
• 3. 会用圆周角定理及推论进行证明和计算.
一、概念 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角．
D
【针对训练】
(1)(3)(4)
120
25
C 60°
探究点二 圆周角定理及其推论的 应用
针对训练】
1.两个概念：圆周角，圆内接四边形． 2.圆周角定理及其推论． 3.圆内接四边形的性质． 4.分类讨论的数学思想方法．
C C
C
C 40
课后作业
• 上交作业： 教科书第89页习题24.1第4，5，6题 ．
A
试找出图中的圆周角 C
O·
E
BB
探究点一 圆周角定理及其推论的推导 1.圆周角定理的推导
D A
C
O·
E
B
2.
思考：
半圆（或直径）所对的圆周角是多少度？90°的圆周角 所对的弦是什么？
在半径不等的圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的 弧相等吗？
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧 一定相等吗？为什么？圆内接四边形的两组对角分别有 怎样的关系？
第4课时 圆周角
学习目标
• 1. 学习圆周角、圆内接多边形的概念，圆 周角定理及推论.
• 2. 掌握圆周角与圆心角、直径的关系，能 用分类讨论的思想证明圆周角定理.
• 3. 会用圆周角定理及推论进行证明和计算.
一、概念 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角．
D
【针对训练】
(1)(3)(4)
120
25
C 60°
探究点二 圆周角定理及其推论的 应用
针对训练】
1.两个概念：圆周角，圆内接四边形． 2.圆周角定理及其推论． 3.圆内接四边形的性质． 4.分类讨论的数学思想方法．
C C
C
C 40
课后作业
• 上交作业： 教科书第89页习题24.1第4，5，6题 ．
A
试找出图中的圆周角 C
O·
E
BB
探究点一 圆周角定理及其推论的推导 1.圆周角定理的推导
D A
C
O·
E
B
2.
思考：
半圆（或直径）所对的圆周角是多少度？90°的圆周角 所对的弦是什么？
在半径不等的圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的 弧相等吗？
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧 一定相等吗？为什么？圆内接四边形的两组对角分别有 怎样的关系？
圆周角定理的推论课件
图 3－4－6
圆周角定理的推论
10
[ 解 析 ] 首 先 利 用 等 腰 三 角 形 的 性 质 得 出 ∠DBC ＝ ∠DCB，进而利用圆内接四边形的性质得出∠EAD＝∠DCB， 再利用圆周角定理得出∠DAE 与∠DAC 相等．
解：∠DAE 与∠DAC 相等． 理由：∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠DCB.
6
[解析] 连接 AD，由 AB 是⊙O 的直径得到∠ADB＝90°，再 根据直角三角形两锐角互余计算出∠A 的度数，然后根据圆周角 定理即可得到∠C 的度数．
解：连接 AD，如图．
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°.
∵∠ABD＝55°，
∴∠A＝90°－55°＝35°，
∴∠BCD＝∠A＝35°.
∵∠DAE 是四边形 ABCD 的一个外角，
∴∠DAE＋∠DAB＝∠DCB＋∠DAB＝180°，
∴∠DAE＝DCB，
∴∠DBC＝∠DAE.
又∵∠DAC＝∠DBC，∴∠DAE＝∠DAC.
圆周角定理的推论
11
[归纳总结]圆内接四边形性质的推广： 圆内接四边形的对角互补，外角等于与它相邻的内角的对角．因此常利用圆 内接四边形的性质，结合圆周角定理及其推论来探求角的相等关系或互补关 系．在进行有关计算或证明时，常添加辅助线构造圆周角或圆内接四边形．
圆周角定理的推论
17
圆周角定理的推论
7
观察与思考
如图,在⊙O中,∠ABD =110°,求∠C的大小.
A B
四边形ABCD的四个点都在 ⊙O上，像这样的四边形叫做 圆内接四边形，这个圆叫做 C 四边形的外接圆。
D
思考：1、∠ABD与∠C有怎样的关系？ 2、由此我们可以得到怎样的结论？
圆周角-PPT课件
E
20°
30°
∴∠ABF=∠D=20°，∠FBC=∠E=30°.
∴∠x=∠ABF+∠FBC=50°.
A F
C
下列说法是否正确，为什么？
拓展巩固
“在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等”.
一条弦所对应的圆周角有两类.
D
如图所示，连接BO、EO. 显然，∠C与∠D所对应的圆心角和为 ，
O.
所以36根0°据圆周角定理可知∠C+∠D = . 180°
通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的 体验.
知识回顾
O
1.圆心角的定义?
顶点在圆心的角叫圆心角.
A
B
2.图中∠ACB 的顶点和边有哪些特点？
C
考考你：你能仿照圆心角的定义，给下
图中象∠ACB 这样的角下个定义吗？
O
A
B
探索新知
顶点在圆上，并且两边都和圆相交 的角叫圆周角．（两个条件必须同时具备，缺一不可）
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
教学目标
【知识目标】 理解圆周角的概念。探索圆周角与同弧所对的圆心角之间的关
系，并会用圆周角定理及推论进行有关计算和证明. 【能力目标】
经历探索圆周角定理的过程，初步体会分类讨论的数学思想， 渗透解决不确定的探索型问题的思想和方法，提高学生的发散思维能 力. 【情感目标】
意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠A与∠D相等吗？ 请说明理由.
D
同弧所对的圆周角相等.
问题2 如图，若
,那么 ∠A与∠B相等吗？
想一想： 反过来，若∠A=∠B，那么
成立吗？
AB E
O
C
圆周角定理 课件
(2)因为△ABE∽△ADC， 所以AABE＝AADC，即 AB·AC＝AD·AE. 又 S＝12AB·AC·sin ∠BAC，且 S＝12AD·AE， 所以 AB·AC·sin ∠BAC＝AD·AE. 则 sin ∠BAC＝1. 又∠BAC 为三角形内角， 所以∠BAC＝90°.
2．已知 AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆的直径． 求证：∠BAE＝∠DAC. 证明：连接 BE，因为 AE 为直径， 所以∠ABE＝90°. 因为 AD 是△ABC 的高，所以∠ADC＝90°. 所以∠ADC＝∠ABE. 因为∠E＝∠C，所以∠BAE＝90°－∠E， ∠DAC＝90°－∠C. 所以∠BAE＝∠DAC.
5．如图，△ABC 的角平分线 AD 的延长线交 它的外接圆于点 E. (1)证明：△ABE∽△ADC； (2)若△ABC 的面积 S＝12AD·AE， 求∠BAC 的大小． 解：(1)证明：由已知条件可得∠BAE＝∠CAD. 因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角， 所以∠AEB＝∠ACD. 故△ABE∽△ADC.
利用圆周角进行计算
[例 2] 如图，已知 BC 为半⊙O 的直径， AD⊥BC，垂足为 D，BF 交 AD 于 E，且 AE ＝BE.
(1)求证： AB＝ AF ； (2)如果 sin ∠FBC＝35，AB＝4 5，求 AD 的长． [思路点拨] BC 为半⊙O 的直径，连接 AC，构造 Rt△ABC.
4．如图，△ABC ຫໍສະໝຸດ 接于⊙O，OD⊥BC 于 D，∠A＝50°，则
∠OCD 的度数是
()
A．40° C．50°
B．25° D．60°
解析：连接 OB.因为∠A＝50°，所以弦 BC 所 对的圆心角∠BOC＝100°，∠COD＝12∠BOC ＝50°，∠OCD＝90°－∠COD＝40°. 答案：A
《圆周角》课件精品 (公开课)2022年数学PPT全
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理. 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解 决简单的几何问题.（重点、难点） 3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用. （难点）
导入新课
复习引入
（5）√
A B
（6）√
二 圆周角定理及其推论
测量与猜测
如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与 ∠BOC存在怎样的数量关系.
BAC1BOC 2
推导与论证
圆心O在∠BAC 的一边上
圆心O 在∠BAC
的 内部
圆心O在∠BAC 的外部
n圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
OA=OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠ A+ ∠C
证明猜想
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角， ∴∠A＋∠C＝180°， 同理∠B＋∠D＝180°，
归纳总结
推论：圆的内接四边形的对角互补.
想一想
图中∠A与∠DCE的大小有何关系？
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
∴∠A＋∠C＝180°，
D
同理∠B＋∠D＝180°， A
延长BC到点E，有
2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC.
证明： ACB1AOB,
2
1
BAC BOC,
O
2
∠AOB=2∠BOC，
A
C B
∴∠ACB=2∠BAC
9.船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到
暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理. 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解 决简单的几何问题.（重点、难点） 3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用. （难点）
导入新课
复习引入
（5）√
A B
（6）√
二 圆周角定理及其推论
测量与猜测
如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与 ∠BOC存在怎样的数量关系.
BAC1BOC 2
推导与论证
圆心O在∠BAC 的一边上
圆心O 在∠BAC
的 内部
圆心O在∠BAC 的外部
n圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
OA=OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠ A+ ∠C
证明猜想
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角， ∴∠A＋∠C＝180°， 同理∠B＋∠D＝180°，
归纳总结
推论：圆的内接四边形的对角互补.
想一想
图中∠A与∠DCE的大小有何关系？
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
∴∠A＋∠C＝180°，
D
同理∠B＋∠D＝180°， A
延长BC到点E，有
2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC.
证明： ACB1AOB,
2
1
BAC BOC,
O
2
∠AOB=2∠BOC，
A
C B
∴∠ACB=2∠BAC
9.船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到
暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两
圆周角优秀课件
1.圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相 交的角叫圆周角.
2.半圆或直径所对的圆周角等于90° 90°的圆周角所对的弦是直径
3.在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相 等,同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半；相 等的圆周角所对的弧相等。
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等， 它们所对弧一定相等吗？为什么？
2
∠BAD＋∠CAD＝ 1∠ BOD＋ 1∠COD
2
2
即∠BAC= 1 ∠BOC 2
3.第三种情况：
A
证明：作射线AO交⊙O于D。
由第1种情况得 ∠CAD＝ 1 ∠ COD
2
O C
DB
∠BAD＝
1 2
∠ BOD
∠CAD－∠BAD＝ ห้องสมุดไป่ตู้ ∠ COD－ 1 ∠BOD
2
2
即∠BAC= 1 ∠BOC 2
归纳总结
A
E B
C D
E
●O
C
A⌒C所对的圆周角∠ AEC ∠ ABC
∠ ADC的大小有什么关系？
B
规律：都相等，都等于圆心角∠AOC的一半
D
结论：同弧或等弧所对的圆周角相等。
练习:
1、如图，在⊙O中，ABC=50°，
则∠AOC等于（ D）
A、50°；
B、80°；
C、90°；
D、100°
A
BO C
2、如图，△ABC是等边三角形，动点P
圆周角定理
C
在同圆或等圆中，同弧(或等弧）所对 的圆周角相等；同弧(或等弧）所对的 圆周角等于圆心角的一半．
D A
O·
B E
推论
C2
C1
C3
直径（或半圆）所对的圆周角是 直角， 90°的圆周角所对的弦是 A
2.半圆或直径所对的圆周角等于90° 90°的圆周角所对的弦是直径
3.在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相 等,同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半；相 等的圆周角所对的弧相等。
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等， 它们所对弧一定相等吗？为什么？
2
∠BAD＋∠CAD＝ 1∠ BOD＋ 1∠COD
2
2
即∠BAC= 1 ∠BOC 2
3.第三种情况：
A
证明：作射线AO交⊙O于D。
由第1种情况得 ∠CAD＝ 1 ∠ COD
2
O C
DB
∠BAD＝
1 2
∠ BOD
∠CAD－∠BAD＝ ห้องสมุดไป่ตู้ ∠ COD－ 1 ∠BOD
2
2
即∠BAC= 1 ∠BOC 2
归纳总结
A
E B
C D
E
●O
C
A⌒C所对的圆周角∠ AEC ∠ ABC
∠ ADC的大小有什么关系？
B
规律：都相等，都等于圆心角∠AOC的一半
D
结论：同弧或等弧所对的圆周角相等。
练习:
1、如图，在⊙O中，ABC=50°，
则∠AOC等于（ D）
A、50°；
B、80°；
C、90°；
D、100°
A
BO C
2、如图，△ABC是等边三角形，动点P
圆周角定理
C
在同圆或等圆中，同弧(或等弧）所对 的圆周角相等；同弧(或等弧）所对的 圆周角等于圆心角的一半．
D A
O·
B E
推论
C2
C1
C3
直径（或半圆）所对的圆周角是 直角， 90°的圆周角所对的弦是 A
圆周角定理ppt课件
∴∠A=∠C ．
o
又 ∠AOB=∠A+∠C，
B A
∴∠AOB=2∠C. 即
类比转化 考虑两种一般情况：
2.圆心O在圆周角的内部： C
.O
3.圆心O在圆周角的外部:
.C
O
A
B
D
c o
D AB
B A
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它 所对的圆心角的一半．
符号表示：
∵ A⌒B 所对的圆周角为∠ACB
A⌒B 所对的圆心角为∠AOB
圆周角和圆心O的位置关系：
①圆心在圆周角 ②圆心在圆周 的一条边上； 角的内部；
C
O·
A
B
C
O·
A
B
③圆心在圆 周角的外部.
C
O·
B A
证 明 1.圆心在圆周角的一条边上：
（
已知：在⊙O中，AB 所对的圆周角是 ∠C，圆心
角是 ∠AOB. 求证： ∠C = 1 ∠AOB. 2
c
证明： ∵OA=OC ，
如图, 足球课上,教练在球门前画了一个圆圈进行无人防 守的射门训练，甲，乙,丙三名同学分别在B,D,E三处，他 们都说在自己所在位置所对球门AC的张角大，你认为他们 谁说的对？
回顾圆心角的定义，给下图中像∠ACB这样的角下定义.
1.顶点在圆心的角叫 圆心角 ;
2.顶点在圆上，并且两边都和 圆相交的角叫做 圆周角 .
辨一辨 下列各图中，哪些是圆周角？
探 究 同弧（弧AB）所对的圆周角∠ACB与圆心角∠AOB的关系
1.画一画，量一量
C
在⊙O上任取一条弧，作
出这条弧所对的圆周角和
圆心角， 测量它们的度数，
圆周角定理PPT课件
关系？
n 为了解决这个问题,我们先探究同弧所对的圆周角和 圆心角之间有的关系.
你会画同弧所对的圆周角和圆心角吗?
精选2021最新课件
5
探究同一条弧所对的圆周角和圆心角的关系
1、分别量一量图23.1.10中弧AB所对的两 个圆周角的度数比较一下. 再变动点C在 圆周上的位置，看看圆周角的 度数有没有变化. 你发 现其中有什么规律吗？
C
O.
A
B
顶点在圆上
两边都与圆相交
这样的角叫圆周角。
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3
问题探讨：
判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理
由。
P
P
P
P 不是
顶点不 在圆上。
是
顶点在圆上， 两边和圆相 交。
不是
两边不和 圆相交。
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不是 有一边和圆 不相交。
4
类比圆心角 探知 圆周角
• 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆心角相等. • 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角有什么
B
n老师提示:能否转化为1的情况? n过点B作直径BD.由1可得:
AD C
n∠ABD
=
∠1 AOD,∠CBD
2
=
∠1 COD,
2
●O
∴ ∠ABC = ∠1 AOC.
2
B
同弧所对的圆周角等于它所对
你能写出这个命题吗?
的圆心角的一半.
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11
圆周角和圆心角的关系 A
C
• 如果圆心不在圆周角的一边上,结果 会怎样?
四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，
这些角中哪些是相等的角？
n 为了解决这个问题,我们先探究同弧所对的圆周角和 圆心角之间有的关系.
你会画同弧所对的圆周角和圆心角吗?
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5
探究同一条弧所对的圆周角和圆心角的关系
1、分别量一量图23.1.10中弧AB所对的两 个圆周角的度数比较一下. 再变动点C在 圆周上的位置，看看圆周角的 度数有没有变化. 你发 现其中有什么规律吗？
C
O.
A
B
顶点在圆上
两边都与圆相交
这样的角叫圆周角。
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3
问题探讨：
判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理
由。
P
P
P
P 不是
顶点不 在圆上。
是
顶点在圆上， 两边和圆相 交。
不是
两边不和 圆相交。
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不是 有一边和圆 不相交。
4
类比圆心角 探知 圆周角
• 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆心角相等. • 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角有什么
B
n老师提示:能否转化为1的情况? n过点B作直径BD.由1可得:
AD C
n∠ABD
=
∠1 AOD,∠CBD
2
=
∠1 COD,
2
●O
∴ ∠ABC = ∠1 AOC.
2
B
同弧所对的圆周角等于它所对
你能写出这个命题吗?
的圆心角的一半.
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11
圆周角和圆心角的关系 A
C
• 如果圆心不在圆周角的一边上,结果 会怎样?
四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，
这些角中哪些是相等的角？
圆周角定理 课件
2 点评：只要是在圆中考查角的关系，那么就要考虑弧的 中介作用．
已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接 圆的直径，求证：∠BAE＝∠DAC.
分析：题目中出现圆的直径，想到直径所对的圆周角 是直角．因此，连结BE，得到∠ABE＝90°，同时，在 △ABE与△ADC中，又有同弧所对的圆周角∠C与∠E相等， 从而结论得以证明．
圆周角定理
1．圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆 心角的________．
应当注意的是，圆周角与圆心角一定是对着__________，它 们才有上面定理中所说的数量关系．
2．圆心角定理：圆心角的度数________它所对弧的度数．
3．圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角________；同圆或等圆中， 相等的圆周角所对的弧________．
所以 AD=BD= 5 3 (cm)．在 Rt△AOD 中，OD= OA2 AD2 2
= 5 (cm)，所以∠OAD=30，所以∠AOD=60.所以∠AOB= 2
2∠AOD=120，所以∠ACB= 1 ∠AOB=60.因为∠AOB=120， 2
所以 AEB 的度数为 120， ACB 的度数为 240.所以∠AEB= 1 240=120.所以此弦所对的圆周角为 60或 120. 2
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是________；90°的圆 周角所对的弦是________．
1．一半 同一条弧 2.等于
3.相等 也相等 直角 直径
在半径为5 cm的圆内有长为5 3 cm的弦AB，求 此弦所对的圆周角．
OD 经过圆心，
点评：弦所对的圆周角有两个，易丢掉120°而导致错
误．另外，求圆周角时应用到解三角形的知识．
已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接 圆的直径，求证：∠BAE＝∠DAC.
分析：题目中出现圆的直径，想到直径所对的圆周角 是直角．因此，连结BE，得到∠ABE＝90°，同时，在 △ABE与△ADC中，又有同弧所对的圆周角∠C与∠E相等， 从而结论得以证明．
圆周角定理
1．圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆 心角的________．
应当注意的是，圆周角与圆心角一定是对着__________，它 们才有上面定理中所说的数量关系．
2．圆心角定理：圆心角的度数________它所对弧的度数．
3．圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角________；同圆或等圆中， 相等的圆周角所对的弧________．
所以 AD=BD= 5 3 (cm)．在 Rt△AOD 中，OD= OA2 AD2 2
= 5 (cm)，所以∠OAD=30，所以∠AOD=60.所以∠AOB= 2
2∠AOD=120，所以∠ACB= 1 ∠AOB=60.因为∠AOB=120， 2
所以 AEB 的度数为 120， ACB 的度数为 240.所以∠AEB= 1 240=120.所以此弦所对的圆周角为 60或 120. 2
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是________；90°的圆 周角所对的弦是________．
1．一半 同一条弧 2.等于
3.相等 也相等 直角 直径
在半径为5 cm的圆内有长为5 3 cm的弦AB，求 此弦所对的圆周角．
OD 经过圆心，
点评：弦所对的圆周角有两个，易丢掉120°而导致错
误．另外，求圆周角时应用到解三角形的知识．
沪科版九年级下册数学24.3：圆周角定理及其推论-课件-(共20张PPT)
B O·
B
C
AO·ຫໍສະໝຸດ A CO·C A（1） √
A
顶点（不2）在圆上 B
B 边AC（没3有）和圆相交
CC
O·
A O·
·O
A B
B
C
顶点不在圆上
（5）√
√ （6）
圆周角定理
合作探究 问题1 如图，点A、B、C、D都是☉O 上的点，请问图中哪些是 圆周角？哪些是圆心角?分别指出对应哪条弧？是同一条弧吗？
圆心角：∠BOC
x 60 °
B
x
D 20
°
E
30 °
A FC
拓展提升：如图，在△ABC中，AB=AC, 以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E, (1)BD与CD的大小有什么关系?为什么? (2)求证：BD DE .
B
A
E DC
课堂小结
定义
1.顶点在圆上； 2.两边都与圆相交的角
二者必须同时具备
圆
周
定理
角
同弧所对的圆周角等于它 所对的圆心角的一半.
明理由.
D
同弧所对的圆周角相等
问题2 如图，若 CD EF，∠A与∠B相等吗？ A B
E O
反过来，若∠A=∠B， 那么 等弧所对的圆周角相等
C
F
D
CD EF 成立吗？
圆周角定理推论
推论1 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
相等的圆周角所对的弧也相等. A B
D
E
O
C
F
D
C1
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；
2
2
A
O
DAC1DOC
2
C
《圆周角》PPT课件
O
1.(2008东莞调研文、理)如图所示,圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆O的半径等于 ．ABOD
C
分析：由射影定理得
2.如图, ⊙O的直径 AB 为10cm,弦AC为6cm,∠ACB 的平分线交⊙O于 D, 求BC、AD、BD的长.
我能行
3.如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D， ，BF和AD相交于E，求证：AE=BE。
比一比，看谁最快！
2、如上题图，若∠3=∠7，则____=____.
圆周角定理的推论3：
半圆（或直径）所对的圆周角是 ， 90°的圆周角所对的弦是 。
直角
直径
如图，∠AC1B=∠AC2B=∠AC3B=
例1 如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径。求证：
A
B
C
D
E
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
顶点在圆心的角叫做圆心角。
什么叫做圆周角？圆心角呢?
下列各图中的∠CDE哪些是圆周角?
E
⑴
⑵
⑶
⑷
√
×
√
×
看一看,谁理解?
如图,观察圆周角∠ACB与圆心角∠AOB,它们的大小有什么关系?
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
圆周角定理：
1、如图，∠A是⊙O的圆周角，∠BOC=80°，则∠A= ，2、如图，∠E=46°则∠DOC=_____,∠OCD=______.
∴AE=BE
3.3 圆周角定理
- .
本节学习目标：1、理解圆周角定理、圆心角定理以及两个 推论；2、会利用圆周角定理、圆心角定理以及 两个推论进行计算、证明。
右图中 所对的圆周角是 ， 所对的圆心角是 .
1.(2008东莞调研文、理)如图所示,圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆O的半径等于 ．ABOD
C
分析：由射影定理得
2.如图, ⊙O的直径 AB 为10cm,弦AC为6cm,∠ACB 的平分线交⊙O于 D, 求BC、AD、BD的长.
我能行
3.如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D， ，BF和AD相交于E，求证：AE=BE。
比一比，看谁最快！
2、如上题图，若∠3=∠7，则____=____.
圆周角定理的推论3：
半圆（或直径）所对的圆周角是 ， 90°的圆周角所对的弦是 。
直角
直径
如图，∠AC1B=∠AC2B=∠AC3B=
例1 如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径。求证：
A
B
C
D
E
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
顶点在圆心的角叫做圆心角。
什么叫做圆周角？圆心角呢?
下列各图中的∠CDE哪些是圆周角?
E
⑴
⑵
⑶
⑷
√
×
√
×
看一看,谁理解?
如图,观察圆周角∠ACB与圆心角∠AOB,它们的大小有什么关系?
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
圆周角定理：
1、如图，∠A是⊙O的圆周角，∠BOC=80°，则∠A= ，2、如图，∠E=46°则∠DOC=_____,∠OCD=______.
∴AE=BE
3.3 圆周角定理
- .
本节学习目标：1、理解圆周角定理、圆心角定理以及两个 推论；2、会利用圆周角定理、圆心角定理以及 两个推论进行计算、证明。
右图中 所对的圆周角是 ， 所对的圆心角是 .
圆周角定理 课件
∴ACDD＝BEDD，即63＝E5D，
∴ED＝2.5 cm. 【名师点评】 和圆周角有关的线段、角的计算，不仅可以 通过计算弧、圆心角、圆周角的度数来求相关的角、线段， 有时，还可以通过比例线段，相似比来计算．
又 OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝30°， ∴∠BOD＝60°，∴∠CAB＝∠BOD. (2)在 Rt△ABC 中，∠ABC＝30°，得 AC＝12AB， 又 OB＝12AB，∴AC＝OB. 由 BD 切⊙O 于点 B，得∠OBD＝90°. 在△ABC 和△ODB 中，
∠CAB＝∠BOD ∠ACB＝∠OBD ， AC＝OB
的弦是直__径__．
考点突破
考点一 与圆周角定理相关的证明 例1 (高考课标全国卷)如图，D，E 分别为△ABC 边 AB ，AC 的中点，直线 DE 交△ABC 的外接圆于 F ，G 两点．若 CF ∥ AB ，
证明：(1) CD＝BC；
(2)△BCD∽△GBD. 【证明】 (1)因为 D，E 分别为 AB，AC 的中点，所以 DE ∥BC.又已知 CF∥AB，故四边形 BCFD 是平行四边形，所以 CF＝BD＝AD.而 CF∥AD，连接 AF，所以四边形 ADCF 是 平行四边形，故 CD＝AF.
圆周角定理
1．圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的_一__半__． 应当注意的是，圆周角与圆心角一定是对着_同__一__条__弧____，它
们才有上面定理中所说的数量关系．
2．圆心角定理 圆心角的度数_等__于___它所对弧的度数． 3．圆周角定理的推论 推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相__等__；同圆或等圆中，相等 的圆周角所对的弧也相__等__． 推论 2：半圆(或直径)所对的圆周角是直__角__；90°的圆周角所对
∴ED＝2.5 cm. 【名师点评】 和圆周角有关的线段、角的计算，不仅可以 通过计算弧、圆心角、圆周角的度数来求相关的角、线段， 有时，还可以通过比例线段，相似比来计算．
又 OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝30°， ∴∠BOD＝60°，∴∠CAB＝∠BOD. (2)在 Rt△ABC 中，∠ABC＝30°，得 AC＝12AB， 又 OB＝12AB，∴AC＝OB. 由 BD 切⊙O 于点 B，得∠OBD＝90°. 在△ABC 和△ODB 中，
∠CAB＝∠BOD ∠ACB＝∠OBD ， AC＝OB
的弦是直__径__．
考点突破
考点一 与圆周角定理相关的证明 例1 (高考课标全国卷)如图，D，E 分别为△ABC 边 AB ，AC 的中点，直线 DE 交△ABC 的外接圆于 F ，G 两点．若 CF ∥ AB ，
证明：(1) CD＝BC；
(2)△BCD∽△GBD. 【证明】 (1)因为 D，E 分别为 AB，AC 的中点，所以 DE ∥BC.又已知 CF∥AB，故四边形 BCFD 是平行四边形，所以 CF＝BD＝AD.而 CF∥AD，连接 AF，所以四边形 ADCF 是 平行四边形，故 CD＝AF.
圆周角定理
1．圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的_一__半__． 应当注意的是，圆周角与圆心角一定是对着_同__一__条__弧____，它
们才有上面定理中所说的数量关系．
2．圆心角定理 圆心角的度数_等__于___它所对弧的度数． 3．圆周角定理的推论 推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相__等__；同圆或等圆中，相等 的圆周角所对的弧也相__等__． 推论 2：半圆(或直径)所对的圆周角是直__角__；90°的圆周角所对
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.
课 时 作 业
菜
单
新课标 ·数学 选修4-1
课 前 自 主 导 学
在半径为 5 cm 的圆内有长为 5 3 cm 的弦， 求 此弦所对的圆周角．
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
【思路探究】 过圆心作弦的垂线构造直角三角形．先 求弦所对的圆心角度数，再分两种情况求弦所对的圆周角的 度数．
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
所在圆上的特殊性，寻求相关的圆周角作为桥梁； (2)当圆中出现直径时，要注意寻找直径所对的圆周角， 然后在直角三角形中处理相关问题．
课 前 自 主 导 学
【提示】 不一定相等．一般有两种情况：相等或互补， 弦所对的优弧与所对劣弧上的点所成的圆周角互补，所对同 一条弧上的圆周角都相等，直径所对的圆周角既相等又互
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
补． 2． 在推论 1 中， 把“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”
的话，结论还成立吗？ 【提示】 不成立．因为一条弦所对的圆周角有两种可
课 时 作 业
菜
单
新课标 ·数学 选修4-1
课 前 自 主 导 学
AB AD (2) 因为△ ABE ∽△ ADC ，所以 ＝ ，即 AB· AC ＝ AE AC AD· AE. 1 1 又 S＝2AB· ACsin∠BAC 且 S＝ 2AD· AE， 故 AB· ACsin∠BAC＝AD· AE， 则 sin∠BAC＝1，又∠BAC 为三角形内角，所以∠BAC ＝90° .
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
课 时 作 业
菜
单
新课标 ·数学 选修4-1
课 前 自 主 导 学
1． 解答本题(2)时关键是利用 AB· AC＝AD· AE 以及面积 S 1 ＝ AB· ACsin∠BAC 确定 sin∠BAC 的值． 2 2．利用圆中角的关系证明时应注意的问题 (1)分析已知和所求，找好所在的三角形，并根据三角形
课 时 作 业
菜
单
新课标 ·数学 选修4-1
课 前 自 主 导 学
1．圆周角定理及其推论 (1)圆周角定理：圆上一条弧所对的 圆周角 对的 圆心角 的一半． (2) 推 论 1 ： 等于它所
当 堂 双 基 达 标
同弧或等弧
所对的圆周角相等；
课 时 作 业
课 堂 互 动 探 究
同圆或等圆
中，相等的圆周角所对的 弧 也相等．
新课标 ·数学 选修4-1课 前 自 主 ຫໍສະໝຸດ 学当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
课 时 作 业
菜
单
新课标 ·数学 选修4-1
一
课 前 自 主 导 学
圆周角定理
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
课 标 1.了解圆心角定理． 解 2.理解圆周角定理及其两个推论，并能解决有关问题. 读
课 前 自 主 导 学
(2)利用(1)的结论及面积相等求 sin∠BAC 的大小，从而 求∠BAC 的大小．
【自主解答】 (1)由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD.
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角，所以∠AEB＝ ∠ACD. 故△ABE∽△ADC.
课 时 作 业
菜
单
新课标 ·数学 选修4-1
【自主解答】 如图所示，过点 O 作 OD⊥AB 于点 D.
课 前 自 主 导 学
∵OD⊥AB，OD 经过圆心 O， 5 3 ∴AD＝BD＝ 2 cm.
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
课 时 作 业
菜
单
新课标 ·数学 选修4-1
在 Rt△AOD 中， 5 OD＝ OA －AD ＝ cm， 2
【解】
课 前 自 主 导 学
∵
，
当 堂 双 基 达 标
∴∠ADB＝∠CDE. 又∵ ，
∴∠BAD＝∠ECD.
课 堂 互 动 探 究
∴△ABD∽△CED. AD BD 6 5 ∴CD＝ED.即3＝ED. ∴ED＝2.5 cm.
课 时 作 业
菜
单
新课标 ·数学 选修4-1
如图 2－1－2，△ABC 的角平分线 AD 的延长
菜 单
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
的度数为 120° ，优弧
课 时 作 业
新课标 ·数学 选修4-1
课 前 自 主 导 学
1 ． 解答本题时应注意弦所对的圆周角有两个，它们互 为补角． 2 ．和圆周角定理有关的线段、角的计算，不仅可以通
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
过计算弧、圆心角、圆周角的度数来求相关的角、线段，有 时，还可以通过比例线段，相似比来计算．
2 2
课 前 自 主 导 学
∴∠OAD＝30° ，∴∠AOD＝60° . ∴∠AOB＝2∠AOD＝120° . 1 ∴∠ACB＝2∠AOB＝60° . ∵∠AOB＝120° ，∴劣弧 . 的度数为 240° 1 ∴∠AEB＝2×240° ＝120° ， ∴此弦所对的圆周角为 60° 或 120° .
课 时 作 业
菜
单
新课标 ·数学 选修4-1
已知如图 2－1－1，△ABC 内接于⊙O，
课 前 自 主 导 学
，点
当 堂 双 基 达 标
D是
上任意一点，AD＝6 cm，BD＝5 cm， CD＝ 3 cm，
求 DE 的长．
课 堂 互 动 探 究
课 时 作 业
图 2－1－1
菜 单
新课标 ·数学 选修4-1
(3)推论 2：半圆 (或 直径 )所对的圆周角是直角；90° 的圆周角所对的弦是 直径 ．
菜
单
新课标 ·数学 选修4-1
课 前 自 主 导 学
2．圆心角定理 圆心角的 度数 等于它所对弧的度数 ．
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
课 时 作 业
菜
单
新课标 ·数学 选修4-1
1．圆的一条弦所对的圆周角都相等吗？
课 前 自 主 导 学
线交它的外接圆于点 E.
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
图 2－1－2 (1)证明：△ABE∽△ADC；
1 (2)若△ABC 的面积 S＝ AD· AE，求∠BAC 的大小． 2
菜 单
课 时 作 业
新课标 ·数学 选修4-1
【思路探究】 (1)通过证明角相等来证明三角形相似．
课 时 作 业
能，在一般情况下是不相等的．
菜 单
新课标 ·数学 选修4-1
3．“相等的圆周角所对的弧相等”，正确吗？
课 前 自 主 导 学
【提示】 不正确．“相等的圆周角所对的弧相等”是 在“同圆或等圆中”这一大前提下成立的，如图．
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
若 AB∥DG，则∠BAC＝∠EDF，但