倒立摆课程设计

《控制系统设计》课程设计报告

题目：倒立摆控制系统设计

班级：

姓名:

学号:

2011年03月09日

课程设计（论文）任务书

指导教师签字：系（教研室）主任签字：

2011年 3月 10 日

1. 实验设备简介 (4)

2.建立一阶倒立摆数学模型 (4)

3.PID控制原理 (7)

4．模型仿真实验 (10)

5.参考资料 (16)

1.实验设备简介

本课程设计的被控对象采用固高公司生产的GIP-100-L型一阶倒立摆系统，课程设计包括三方面的内容：

（1）建立一阶倒立摆的线性化数学模型；

（2）倒立摆系统的PID控制器设计、MATLAB仿真及实物调试；

（3）倒立摆系统的最优控制器设计、MATLAB仿真及实物调试。

一阶倒立摆系统的结构示意图如图1所示。

小车

滑轨

皮带

电机

摆杆

图1 一阶倒立摆结构示意图

系统组成框图如图2所示。

图2 一阶倒立摆系统组成框图

系统是由计算机、运动控制卡、伺服机构、倒立摆本体和光电码盘几大部分组成的闭环系统。光电码盘1将小车的位移、速度信号反馈给伺服驱动器和运动控制卡，摆杆的角度、角速度信号由光电码盘2反馈给运动控制卡。计算机从运动控制卡中读取实时数据，确定控制决策（小车运动方向、移动速度、加速度等），并由运动控制卡来实现该控制决策，产生相应的控制量，使电机转动，通过皮带，带动小车运动，保持摆杆平衡。

2.建立一阶倒立摆数学模型

对系统建立数学模型是系统分析、设计的前提，而一个准确又简练的数学模型将大大简化后期的工作。为了简化系统分析，在实际的模型建立过程中，要忽略空气流动阻力，以及各种次要的摩擦阻力。这样，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质刚性杆组成的系统，如下图所示。

本系统内部各相关参数定义如下：

M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数

l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 I 摆杆惯量

F 加在小车上的力 x 小车位置

φ 摆杆与垂直向上方向的夹角

θ 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到

摆杆初始位置为竖直向下）

下图是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图，图示方向为矢量正方向。

应用Newton 方法来建立系统的动力学方程过程如下： 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程： N x b F x

M --=

由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：

2

2(sin )d N m x l dt

θ=+

即：2

cos sin N mx ml ml θθθθ=+-

把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程：

F ml ml x b x

m M =-+++θθθθsin cos )(2 （2-1） 为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面

方程：

2

2(cos )d P mg m l dt

θ-=-

即：2

sin cos P mg ml ml θθθθ-=+

力矩平衡方程如下：

θ

θθ I Nl Pl =--cos sin 注意：此方程中力矩的方向，由于θφθφφπθsin sin ,cos cos ,-=-=+=，故等式前面有负号。

合并这两个方程，约去P 和N ，得到第二个运动方程：

θθθcos sin )(2x

ml mgl ml I -=++ （2-2） 1．微分方程模型

设φπθ+=，当摆杆与垂直向上方向之间的夹角φ与1（单位是弧度）相比很小，即 1<<φ

时，则可以进行近似处理：1cos -=θ，φθ-=sin ，0)(2

=dt

d θ。为了与控制理论的表达习惯相统一，即u 一般表示控制量，用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后得到该

系统数学模型的微分方程表达式：

()

⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-+u ml x b x m M x ml mgl ml I φφφ

)(2 (2-3)

2．传递函数模型

对方程组（2-3）进行拉普拉斯变换，得到

()

⎪⎩⎪⎨⎧=Φ-++=Φ-Φ+)

()()()()()()()(2

22

22s U s s ml s s bX s s X m M s

s mlX s mgl s s ml I （2-4）

注意：推导传递函数时假设初始条件为0。

由于输出为角度φ，求解方程组（2-4）的第一个方程，可以得到

)(])([)(22s s

g

ml ml I s X Φ-+=

把上式代入方程组（2-4）的第二个方程，得到

)()()()()()

()(2222

2s U s s ml s s s g ml

ml I b s s s g ml ml I m M =Φ-Φ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++Φ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-

++ 整理后得到以输入力u 为输入量，以摆杆摆角φ为输出量的传递函数：

()s

q

bmgl

s q mgl m M s q ml I b s s

q ml s U s s G -+-++=Φ=23242

1)()()()( 其中 ])())([(2

2

ml ml I m M q -++= 若取小车位移为输出量，可得传递函数：